常量与变量 公开课获奖【一等奖教案】

19．1函数

19.1.1变量与函数

第1课时常量与变量

1．了解常量、变量的概念；

2．掌握在简单的过程中辨别常量和变

量的方法，感受在一个过程中常量和变量是

相对存在的．(重点)

一、情境导入

大千世界处在不停的运动变化之中，如

何来研究这些运动变化并寻找规律呢？

数学上常用常量与变量来刻画各种运

动变化．

二、合作探究

探究点一：常量与变量

【类型一】指出关系式中的常量与变

量

设路程为s km，速度为v km/h，时

间为t h，指出下列各式中的常量与变量：

(1)v＝s

8；

(2)s＝45t－2t2；

(3)v t＝100.

解析：根据变量和常量的定义即可解答．

解：(1)常量是8，变量是v，s；

(2)常量是45，2，变量是s，t；

(3)常量是100，变量是v，t.

方法总结：常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．【类型二】几何图形中动点问题中的常量与变量

如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M 点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N 点重合．试写出重叠部分的面积y cm2与MA 的长度x cm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．

解析：根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系．再根据变量和常量的定义得出常量与变量．

解：由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM＝x cm.∵∠BAC＝45°，∴S阴影＝1

2·AM·h＝

1

2AM

2＝

1

2x

2，则y＝

1

2x

2，0≤x≤10.其中的常量为

1

2，变量为重叠部分的面积y cm2与MA的长度x cm.

方法总结：通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．

探究点二：确定两个变量之间的关系

【类型一】 区分实际问题中的常量与变量

分析并指出下列关系中的变量与

常量：

(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；

(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；

(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝1

2

gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x 千克与所付款W 元之间的关系式是W ＝1.8x .

解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．

解：(1)S ＝4πR 2，常量是4π，变量是S ，R ；

(2)h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；

(3)h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，常量是

12g ，变量是h ，t ；

(4)W ＝1.8x ，常量是1.8，变量是x ，W . 方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．

【类型二】 探索规律性问题中的常量与变量

按如图方式摆放餐桌和椅子．用x

来表示餐桌的张数，用y 来表示可坐人数．

(1)题中有几个变量？

(2)你能写出两个变量之间的关系式吗？

解析：由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放4把椅子．x 张餐桌共有6＋4(x －1)＝4x ＋2.

解：(1)有2个变量；

(2)能，关系式为y ＝4x ＋2. 方法总结：解答本题关键是依据图形得出变量x 的变化规律．

三、板书设计 1．常量与变量

数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量为常量．

2．常量与变量的区分

整个教学过程中，作为教学主导的老师需特别注重对学生感受知识与处理问题的能力与结果的即兴评价．应引导学生在学习中多举例，多类比，多思考，多体味，以此激发和培养学生的学习兴趣，理解和接受常量与变量的概念，改变对概念下程式化的定义，切实提高学生的学习兴趣，降低函数学习入门的难度．

17．1 勾股定理

第1课时 勾股定理

1．经历探索及验证勾股定理的过程，

体会数形结合的思想；(重点)

2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)

3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)

一、情境导入

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理

【类型一】 直接运用勾股定理

如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，

AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，CD ⊥AB 于D ，求：

(1)AC 的长；

(2)S △ABC ； (3)CD 的长．

解析：(1)由于在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，根据勾股定理即可求出AC 的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S △ABC ；(3)根据面积公式得到CD ·AB ＝BC ·AC 即可求出CD .

解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12cm ；

(2)S △ABC ＝12CB ·AC ＝12

×5×12＝30(cm 2)；

(3)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝1

2CD ·AB ，∴CD

＝AC ·BC AB ＝60

13

cm.

方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．

【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用

在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，

BC 边上的高AD ＝12，试求△ABC 的周长．

解析：本题应分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．

解：此题应分两种情况说明：

(1)当△ABC 为锐角三角形时，如图①所示．在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝5＋9＝14，∴△ABC 的周长为15＋13＋14＝42；

(2)当△ABC 为钝角三角形时，如图②所示．在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.

方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．

【类型三】 勾股定理的证明

探索与研究： 方法1：如图：

对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；