上海市七宝中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
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上海市七宝中学【最新】高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知角 的终边经过点 ， ，则 ______.
2．已知 ，则角 所在的象限为______.
3．函数 的最小正周期 ______.
4．化简 的结果为______.
【详解】
解：函数
的最小正周期 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．
4．
【分析】
利用应用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，化简所给的三角函数式，可得结果．
【详解】
解：
，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查应用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．
， ，即 .
（1）将 绕原点顺时针旋转 并延长至点 使 ，求点 坐标；
（2）若将 绕坐标原点旋转 并延长至 ，使 ，求点 的坐标（用含有 、 的数学式子表示）；
（3）定义 ， 的中点为 ，将 逆时针旋转 角，并延长至 ，使 ，且 的中点 也在单位圆上，求 的值.
23．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；
（2）对于 ， 为任意实数，关于 的方程 恰好有两个不等实根，求实数 的值；
（3）在（2）的条件下，若不等式 在 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 的值．
【详解】
解：已知角 的终边经过点 ， ，则 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2．三、四
【分析】
根据条件 ，利用各象限三角函数值的符号判断即可
【详解】
解： 可以转化为 和 异号， ①或者 ②，由①得， 为第四象限角，由②得， 为第三象限角．
故答案为：三、四
【点睛】
本题考查各象限三角函数值的符号，考查转化思想与运算能力，属于基础题．
3．
【分析】
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
5．若 ， ，则 的值为______.
6．已知 ，则 的值为______.
7．扇形的圆心角为 ，其内切圆的面积 与扇形的面积 的比值 ______.
8．将函数 ， 的图像向右平移 个单位，然后保持每个点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的三倍，得到的函数解析式为______.
9．如图为第七届国际数学教育大会会徽图案，它由一串直角三角形演化而成，其中 ， ， ，… ，它可以形成近似的等角螺线，则 ______.
5．
【分析】
由已知利用 求解．
【详解】
解： ， ， ，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，属于基础题．
6．
【分析】
由已知结合同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【详解】
解：由 ，
得
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
10．等腰直角三角形
【分析】
根据正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数关系式可求 ，结合 ， 的范围，可求 ， 的值，根据三角形内角和定理可求 的值，即可判断出 的形状．
【详解】
解： ，
由题意得， ，
由正弦定理得， ，
，
、 ，
， ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．
【分析】
由题意利用函数 的图象变换规律，得出结论．
【详解】
解：将函数 ， 的图象向右平移 个单位，可得 的图象；
然后保持每个点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的三倍，得到的函数解析式 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查函数 的图象变换规律，属于基础题．
14．若 ， ，且 ， ，则 ______.
二、单选题
15．“ ”是“ ”成立的何种条件（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
16．函数 与 的图象在 上的交点有（）
A． 个B． 个C． 个D． 个
17．定义 ，则下列关于函数 的性质描述错误的选项为（）
A．周期为 B．对称轴为 ，
7．
【分析】
设扇形半径为 ，设扇形的内切圆的半径为 ，有题意有 ，可得： ，可求内切圆的面积 ，扇形的面积 ，即可得解．
【详解】
解：如图，扇形的圆Βιβλιοθήκη Baidu角为 ，设其半径为 ，设扇形的内切圆的半径为 ，
则有： ，可得： ，
可得：内切圆的面积 ，
可得：扇形的面积 ，
可得：内切圆的面积 与扇形的面积 的比值 ．
21．如图，在宽为20的草坪内修建两个关于 对称的直角三角形花坛，其中 为直角， , .
（1）求两个直角三角形花坛的周长 关于 的函数关系式；
（2）当 为多少时，周长 取得最小值，并求此最小值.
22．阅读问题：已知点 ，将 绕坐标原点逆时针旋转 至 ，求点 的坐标.
解：如图，点 在角 的终边上，且 ，则 ， ，点 在角 的终边上，且 ，于是点 的坐标满足：
9．3
【分析】
根据直角三角形的勾股定理求出边长满足的条件，结合两角和差的正切公式进行求解即可．
【详解】
解：设所有的直角边边长构成一个数列 ，其中 ， ，
在直角三角形，由勾股定理得 ，
即 是首项为1，公差 的等差数列，
则 ，
即 ，
则 ， ，
则 ，
故答案为：3
【点睛】
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合递推数列的性质求出对应边长的公式，结合两角和差的正切公式是解决本题的关键，属于中档题．
C．值域为 D．单调递增区间为 ，
18．已知函数 ，若存在实数 ，满足 ，且 ， ， ，则 的最小值为（）
A．3B．4C．5D．6
三、解答题
19．已知 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
20．在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且满足 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求△ 的面积 最大值及取得最大值时角 的大小.
10． 中，若 ，则 为______三角形.
11．若 是偶函数,则有序实数对( )可以
是.
12．已知 ，则 的取值范围是______.
13．给出函数 ，有下列四个结论：①该函数的值域为 ；②当且仅当 时，函数取得最大值3；③函数的单增区间为 ；④当且仅当 时，方程 在 上有两个不同的解；其中正确结论的序号为______.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知角 的终边经过点 ， ，则 ______.
2．已知 ，则角 所在的象限为______.
3．函数 的最小正周期 ______.
4．化简 的结果为______.
【详解】
解：函数
的最小正周期 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．
4．
【分析】
利用应用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，化简所给的三角函数式，可得结果．
【详解】
解：
，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查应用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．
， ，即 .
（1）将 绕原点顺时针旋转 并延长至点 使 ，求点 坐标；
（2）若将 绕坐标原点旋转 并延长至 ，使 ，求点 的坐标（用含有 、 的数学式子表示）；
（3）定义 ， 的中点为 ，将 逆时针旋转 角，并延长至 ，使 ，且 的中点 也在单位圆上，求 的值.
23．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；
（2）对于 ， 为任意实数，关于 的方程 恰好有两个不等实根，求实数 的值；
（3）在（2）的条件下，若不等式 在 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 的值．
【详解】
解：已知角 的终边经过点 ， ，则 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2．三、四
【分析】
根据条件 ，利用各象限三角函数值的符号判断即可
【详解】
解： 可以转化为 和 异号， ①或者 ②，由①得， 为第四象限角，由②得， 为第三象限角．
故答案为：三、四
【点睛】
本题考查各象限三角函数值的符号，考查转化思想与运算能力，属于基础题．
3．
【分析】
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
5．若 ， ，则 的值为______.
6．已知 ，则 的值为______.
7．扇形的圆心角为 ，其内切圆的面积 与扇形的面积 的比值 ______.
8．将函数 ， 的图像向右平移 个单位，然后保持每个点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的三倍，得到的函数解析式为______.
9．如图为第七届国际数学教育大会会徽图案，它由一串直角三角形演化而成，其中 ， ， ，… ，它可以形成近似的等角螺线，则 ______.
5．
【分析】
由已知利用 求解．
【详解】
解： ， ， ，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，属于基础题．
6．
【分析】
由已知结合同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【详解】
解：由 ，
得
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
10．等腰直角三角形
【分析】
根据正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数关系式可求 ，结合 ， 的范围，可求 ， 的值，根据三角形内角和定理可求 的值，即可判断出 的形状．
【详解】
解： ，
由题意得， ，
由正弦定理得， ，
，
、 ，
， ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．
【分析】
由题意利用函数 的图象变换规律，得出结论．
【详解】
解：将函数 ， 的图象向右平移 个单位，可得 的图象；
然后保持每个点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的三倍，得到的函数解析式 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查函数 的图象变换规律，属于基础题．
14．若 ， ，且 ， ，则 ______.
二、单选题
15．“ ”是“ ”成立的何种条件（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
16．函数 与 的图象在 上的交点有（）
A． 个B． 个C． 个D． 个
17．定义 ，则下列关于函数 的性质描述错误的选项为（）
A．周期为 B．对称轴为 ，
7．
【分析】
设扇形半径为 ，设扇形的内切圆的半径为 ，有题意有 ，可得： ，可求内切圆的面积 ，扇形的面积 ，即可得解．
【详解】
解：如图，扇形的圆Βιβλιοθήκη Baidu角为 ，设其半径为 ，设扇形的内切圆的半径为 ，
则有： ，可得： ，
可得：内切圆的面积 ，
可得：扇形的面积 ，
可得：内切圆的面积 与扇形的面积 的比值 ．
21．如图，在宽为20的草坪内修建两个关于 对称的直角三角形花坛，其中 为直角， , .
（1）求两个直角三角形花坛的周长 关于 的函数关系式；
（2）当 为多少时，周长 取得最小值，并求此最小值.
22．阅读问题：已知点 ，将 绕坐标原点逆时针旋转 至 ，求点 的坐标.
解：如图，点 在角 的终边上，且 ，则 ， ，点 在角 的终边上，且 ，于是点 的坐标满足：
9．3
【分析】
根据直角三角形的勾股定理求出边长满足的条件，结合两角和差的正切公式进行求解即可．
【详解】
解：设所有的直角边边长构成一个数列 ，其中 ， ，
在直角三角形，由勾股定理得 ，
即 是首项为1，公差 的等差数列，
则 ，
即 ，
则 ， ，
则 ，
故答案为：3
【点睛】
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合递推数列的性质求出对应边长的公式，结合两角和差的正切公式是解决本题的关键，属于中档题．
C．值域为 D．单调递增区间为 ，
18．已知函数 ，若存在实数 ，满足 ，且 ， ， ，则 的最小值为（）
A．3B．4C．5D．6
三、解答题
19．已知 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
20．在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且满足 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求△ 的面积 最大值及取得最大值时角 的大小.
10． 中，若 ，则 为______三角形.
11．若 是偶函数,则有序实数对( )可以
是.
12．已知 ，则 的取值范围是______.
13．给出函数 ，有下列四个结论：①该函数的值域为 ；②当且仅当 时，函数取得最大值3；③函数的单增区间为 ；④当且仅当 时，方程 在 上有两个不同的解；其中正确结论的序号为______.