八年级数学第4讲.四边形综合.尖子班.教师版.doc

4四边形综合满分晋级阶梯四边形 5级四边形 4级典型中点构造四边形 3 级四边形综合梯形寒季班春季班春季班第五讲第四讲第五讲漫画释义壮壮玩拼图知识互联网题型切片题型切片（两个）对应题目题动手操作题例 1，练习1；例 2，练习 2；例 3，练习 3；型目例 4，例 5，例 6，练习 4，练习 5．标四边形性质与判定综合编写思路本讲内容主要分为两个题型，题型一的动手操作题，近年来考查频率较高，并且对学生综合掌握所学几何部分的能力要求较高，三道例题分别代表了动手操作题的三大题型——折叠、分割、剪拼，并在练习部分各搭配一习题，在思路导航部分对这三类题型进行了总结，希望老师将此类题目的核心思路进行重点强调及讲解；题型二是在中考新大纲的要求下增加的新题型，寒假时已经进行了预热，旨在锻炼学生们综合运用四边形中各特殊图形之间的关系来进行解题的能力，这部分内容对学生的要求较高，每个题几乎都不只考查一种四边形的知识，本讲也可以看成在后几讲分块练习专题课之前的一个小结课．本讲的最后一道例题是2013 年 101 中学的一道期末考试题，此题根据2011 年大兴一模进行改变，增加了最后一问，近年改变题目之风盛行，老师们也可借此题进行发挥，比如训练 4 是首师大二附的期末考试题，此题也是根据2008 年北京中考题改编的，全面考查了特殊四边形的性质、判定等相关知识点．题型一：动手操作题思路导航在近年的中考试题中，几何内容的考查在不断推陈出新，但经典题型——动手操作题却经久不衰，大量出现在各地的中考试卷上．这种题型充分考查了学生的想象能力、构图能力及动手操作能力，主要有以下三个考查方式：1图形折叠图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴．图形的折叠问题分两大类题型：⑴ 考查图形折叠的不变性：只需抓住不变量，既对应边相等，对应角相等；⑵ 考查图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连成的线段且平分对应边所形成的夹角．2图形分割近年中考中图形分割的基本类型有：⑴把图形分割成面积相等的几部分（等面积）；⑵把图形分割成形状相同的几部分（相似或全等）；⑶把图形分割成轴对称或中心对称图形（等腰三角形或特殊四边形）；⑷把图形分割成满足特定要求的几部分．思路：只要抓住分割后图形的特殊性即可．3图形剪拼图形剪拼是一种常见的几何题目，“剪”就是将整体的图形分割为各个部分；而“拼”则是把若干分散的图形组合成为一个整体图形．思路：此类问题一般只需根据剪拼过程中面积不变即可．典题精练【例 1】如图，将边长为8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点D落在 BC 边的中点E处，点A落在F处，折痕为 MN ，求折痕 MN 的长度．A DMA D A DM FM HF FKNN NB E CB EC B E C图 1 H图 2【解析】方法一：如图1，作 MH ∥BC， MN 是折痕，则MN DE只需证明△ MHN ≌△ DCE 得出 MN DE ，由勾股定理求出DE 4 5 ，所以 MN 4 5 ．方法二：延长 NE 交 AB 延长线于点 H ，由题意可知 NC 3， CE 4，NE 5∴△NEC ≌△ HEB ， HE 5，HN 10∵ DNMENM ，AB ∥ CD，∴ MH NH 10，MH 10 作NK AH ，KB BH3，MK 4，KN8∴ MN 45【点评】 此题是一道非常典型的考察折痕的问题，方法一是应用折痕垂直平分对应点连线段， 应用正方形的一个经典模型，将 MN 转化，方法二是折痕平分对应边所成的夹角，和平行线一起构成等腰三角形，建议老师仔细讲解此题．【例 2】 阅读下列材料：小明遇到一个问题： AD 是 △ ABC 的中线， 点 M 为 BC 边上任意一点 （不与点 D 重合），过点 M 作一直线，使其等分 △ ABC 的面积．ANBMDC图1他的做法是：如图 1，连结 AM ，过点 D 作 DN ∥ AM 交 AC 于点 N ，作直线 MN ，直线 MN 即为所求直线． 请你参考小明的做法，解决下列问题：⑴如图 2，在四边形 ABCD 中，AE 平分 ABCD 的面积， M 为 CD 边上一点，过 M 作一直线 MN ，使其等分四边形 ABCD 的面积（要求：在图2 中画出直线 MN ，并保留作图痕迹） ；⑵如图 3，求作过点 A 的直线 AE ，使其等分四边形 ABCD 的面积（要求：在图 3 中画出直线AE ，并保留作图痕迹） ．（ 2013 西城期末）ADBA CCM EDB 图2图 3【解析】 ⑴ 连接 AM ，过 E 作 EN ∥ AM ，交 AD 于 N ，再做直线MN 即可，如图．AB NCMED⑵ 取对角线 BD 的中点 M ，连接 AM 、 CM 、 AC ，过点 M 作 ME ∥ AC 交 CD 于 E ，直线 AE 就是所求直线，如图．DMEACB【例 3】 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为 a （ a>2 ）的正方形 ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH =1，当∠ AFQ=∠ BGM =∠ CHN=∠ DEP=45 °时，求正方形 MNPQ 的面积． 小明发现，分别延长 QE ，MF ， NG ， PH 交 FA ，GB ， HC ， ED 的延长线于点 R ， S ， T ， W ， 可得△ RQF ，△ SMG ，△ TNH ，△ WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图 2）请回答：⑴若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为；⑵求正方形 MNPQ 的面积；⑶参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在等边△ ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF ，再分别过点 D ，E ， F 作 BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边△ RPQ ，若△3 ，则 AD 的长为．S RPQ3（ 2013 北京中考 ）RAEDAEDW A QQH DMHMRPFPFPQF NNS BGB EBG CCC图 1图 2T图 3【解析】 ⑴ 四个等腰直角三角形的斜边长为a ，则斜边上的高为1a ，2每个等腰直角三角形的面积为：1 a 1 a 1 a 2，2 24则拼成的新正方形面积为：4 1a 2 a 2 ，即与原正方形 ABCD 面积相等，4∴ 这个新正方形的边长为 a⑵∵ 四个等腰直角三角形的面积和为 a 2 ，正方形 ABCD 的面积为 a 2 ， ∴S 正方形 MNPQ S △ ARE S △ DWH S △ GCT S △ SBF 4S △ ARE 4 1 12 22⑶ 如答图 1 所示，分别延长 RD ，QF ， PE ，交 FA ， EC ， DB 的延长线于点 S ， T ， W ．由题意易得： △RSF ，△ QET ，△ PDW 均为底角是 30°的等腰三角形，其底边长均等于 △ ABC 的边长． 不妨设等边三角形边长为a ，则 SF=AC=a ．如答图 2 所示，过点 R 作 RM ⊥ SF 于点 M ，则 MF = 1 SF= 1a ，2 2SADRPQFB EC TW答图 1MF 1 3 3 S 在 Rt △ RMF 中， RM=32aa36AN1 3 3D M∴S △ RSFa a a 2R2 6 12过点 A 作 AN ⊥ SD 于点 N ，设 AD=AS=x ，则 AN= 1x ， SD=2ND= 3x ，2 PQFBEC TW答图 2∴ S △ ADS111 32AD AN3 x x4 x22 2∵ 三个等腰三角形 △ RSF ， △ QET ， △ PDW 的面积和 = 3S △ RSF 33 a 23 a 2 ，正 △ ABC124的面积为3a 2 ，4∴ S △ RPQS △ ADS S △ CFT S △ BEW3S △ ADS ，∴ 33 322434 x ，解得 x 9解得 x 2 或 x 23 （舍去负数）3∴ x 2 ，即 AD 的长为 2，故答案为： a2 ．3 33题型二：四边形性质与判定综合思路导航特殊四边形之间的关系：从属关系 :四边形平行四边形梯形正等腰直角矩形梯形梯形方菱形形演变关系：一个角是直角一组邻边相等矩形两组对边分别平行平行四边形正方形一组邻边相等一个角是直角菱形两腰相等一组对边平行等腰梯形四边形另一组对边不平行梯形一个角是直角直角梯形两组对边都不平行任意四边形典题精练【例 4】如图 1，矩形 MNPQ 中，点 E、F、G、H 分别在 NP、PQ、QM 、MN 上，若∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形．在图 2、图 3 中，四边形 ABCD 为矩形，且 AB=4 ，BC=8．M G Q A G D A D1FF3 2 HF HN4P B E CB E CE图 3图 1图 2⑴在图 2、图 3 中，点 E、F 分别在 BC、CD 边上，图 2 中的四边形 EFGH 是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD 的反射四边形．请你利用正方形网格在图 3 上画出矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH ；⑵图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH 的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的周长各是多少；⑶图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH 的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的面积各是多少．（ 2013 门头沟区二模）【解析】⑴如图 3 所示：利用正方形网格在图 3 上画出矩形 ABCD 的反射四边形EFGH ．AGD HF⑵∵图2中 HE=2 5，EF 2 5 ，GF= 2 5 ，HG=2 5 ， B E C ∴四边形 EFGH 的周长为： 2 5 4 8 5 ，图3中HE=3 5，EF 5,GF 3 5,HG 5 ,∴四边形 EFGH 的周长为： 3 5 5 2 8 5∴图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的周长是定值，定值是8 5⑶∵图 2 中四边形 EFGH 的面积为：14 8 16 ，211 213 6 2 12，图 3 中四边形 EFGH 的面积为： 4 8 22 2∴图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的面积不是定值，它们的面积分别是16、12．【例 5】操作：如图①在正方形ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，将△ ABE 沿 AE 折叠后得到△ AFE ，点F 在正方形 ABCD 内部，延长 AF 交 CD 于点 G．易知 FG=GC．探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段GF 与 GC 相等吗？请说明理由．拓展：如图③，将图①中的正方形ABCD 改为平行四边形，其他条件不变，若AB=3， AD=4，A D A D A DFF GFGGCB EC B E B E C图①图②图③【解析】探究： GF =GC，理由是：连接CF ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ B=∠ ECG=90°，∵△ ABE 沿 AE 折叠后得到△ AFE ，∴BE=EF，∠ GFE=∠AFE=∠B=90°，∵ BE=CE，∴EF=EC，∴∠ EFC=∠ ECF ，∴∠ GFC=∠ GCF，∴GF=GC．拓展：连接CF，∵△ ABE 沿 AE 折叠后得到△AFE ，B=∠AFE，边形 ABCD 是平行四边形，（ 2013 长春一模）A DFGB E CA D∴ ∠F∵ 四∴ AB∥ CD，G ∴ ∠BE CB+∠C=180 °，∵ ∠AFE+∠GFE =180 °，∴ ∠C=∠ GFE ，∵∠ EFC=∠ ECF ，∴∠ GFC=∠ GCF，∴ GF=GC．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=3=AF ，∵ AD=4 ，∴△ AGD 的周长是 AD +DG+AF=4+DG +AF+FG=4+ DG +CG+AF=4+3+3=10 ．真题赏析【例 6】已知：如图1，在四边形ABCD 中， AD=BC，∠ A、∠ B 均为锐角．⑴当 A B 时，如图2， CD 与AB的位置关系是 CD AB ，大小关系是 CD AB ；⑵当A≠ B 时，CD与 AB 的大小关系是否还成立，证明你的结论．求证： AGC DAG ．D D FC D C CHA B A B A E图 1 图 2 图 3 【解析】⑴如图 1，作 DE 平行于 BC 交 AB 于点 E，∴∠ B=∠ AED ，∵∠ A=∠ B，∴∠ A=∠ AED ，∴AD=DE，∵ AD=CB，∴DE=CB，∵ DE∥ BC，∴四边形 CBED 为平行四边形，∴DC 平行且等于 EB，∵EB＜ AB，∴CD∥AB ，CD ＜ AB；⑵CD＜AB 还成立证明：如图2，分别过点 D 、 B 作 BC、 CD 的平行线，两线交于 F 点，作∠ ADF 的平分线交AB 于 G 点，连接GF．∴四边形 DCBF 为平行四边形∴FD =BC， DC=FB∵AD=BC∴AD=FD∴∠ ADG=∠ FDG ．在△ADG 和△FDG 中GB（2013 年 101 中学期末）D CA E B图 1DCFA G B图 2AD FDADG FDG ，DG DG∴△ ADG≌△ FDG （ SAS）∴AG=FG，∵在△BFG 中， FG +BG＞ BF，∴AG+BG＞ DC，∴DC＜AB ．⑶连接 AC，取 AC 中点 P，连接 PE、 PF， PE 交 AG 于 Q，延长 AD 、 EF 交于 R则 PF 1AD， PE1BC ，∵AD =BCR 2 2∴PF=PE，∴∠ PEF=∠ PFE ∵PE∥ BC， AG⊥ EF∴∠ AGC=∠ PQA=90°－∠ PEF ∵PF∥ AD ， AG⊥EF∴∠ DAG=90°－∠R=90°－∠ PFE ∴∠ AGC=∠ DAGD FCPGQHAE B图 3思维拓展训练 ( 选讲 )训练 1. 如图，小明将一块边长为 6 的正方形纸片折叠成领带形状，其中 D CF 30 ，B点落在 CF 边上的 B 处，则 AB 的长为______________．（海淀一模）A AAF E FB D BD′B′C C C【解析】 3 3 ．提示：将图形还原，将AB放在四边形AEBF 或△AEB中AF EB′计算 . 四边形 AEB F 是一个经典的基本模型.将它放大，如图所示， B D EAF EBF 90 ,AE AF,延长BE至M,使得EM BF,易证△ B AM 是等腰直角三角形，则B F B E.2 AB 在原图中可以计算得到：BF 2 26,BE 2 ,所以 2 AB 326，C AB 3 3 .训练 2. 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB 26 厘米， BC 18.5 厘米，点点 P 是 AB 边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕 MN步骤二，过点 P 作 PT AB ，交MN所在的直线于点Q ，连接E 在 AD上，且AE6厘米，（如图①）；QE （如图②）．DMC DC TQ 10E EA N PB A P20B图①图②图③⑴无论点 P 在 AB 边上任何位置，都有PQ QE （填“”、“ ”、“ ”）；⑵如图③所示，将矩形纸片①当点 P 在 A点时， PT②当 PA 6 厘米时，PTABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：与 MN 交于点Q1 ， Q1 点的坐标是（，）；与 MN 交于点Q2 ， Q2 点的坐标是（，）；③当 PA a 厘米时，在图③中用尺规作出MN （不要求写作法，要求保留作图痕迹），PT与 MN 交于点Q3，Q3点的坐标是（，）．DCDC10 10 EEA 20BA20B备用图备用图（崇文一模）【解析】 ⑴ 无论点 P 在 AB 边上任何位置，都有 PQ QE ；⑵ ①当点 P 在 A 点时， PT 与 MN 交于点 Q 1 ， Q 1 点的坐标是 0 ，3 ； ②当 PA 6 厘米时， PT 与 MN 交于点 Q 2 ， Q 2 点的坐标是 6 ，6 ；③当 PAa 厘米时，在图 ③ 中用尺规作出 MN （连接 EP ，作中垂线，作图略） ，连接 EP ，作中垂线， Q 3 点的坐标是设 Q 3 a ，y ，过 Q 3 作 Q 3 F AD 于 ∴ Q 3 F AP a ， Q 3 P y∵ Q 3 P Q 3 E ， ∴ Q 3 E y2 aa ， 3 ．12F ,∴ EFAF AEy62EF 22∵ Q 3EQ 3 F2y 6 221 2∴ ya ， ∴ y a 312∴ Q 3 点的坐标是 a ，a 23 ． 12【点评】 此题是一道考察折叠不变性的题，题目看似很难，其实只需要按照要求作图，再按照折叠不变性，列出方程．训练 3. 将矩形纸片 ABCD 分别沿两条不同的直线剪两刀， 使剪得的三块纸片恰能拼成一个三角形（不能有重叠和缝隙） . 图 1 中提供了一种剪拼成等腰三角形的示意图.APDAD①③EF②④BCBC图1 图2⑴ 请提供另一种剪拼成等腰三角形的方式，并在图2 中画出示意图；y yD D A AB C x B Cx图3 备用图⑵以点 B 为原点，BC所在直线为x 轴建立平面直角坐标系（如图），点D的坐标为8，5 ．若剪拼后得到等腰三角形MNP ，使点M、 N 在y轴上（M在 N 上方），点P在边 CD 上（不与C 、D重合）.设直线PM的解析式为y kx b（k0 ），请写出所有符合条件的k 的取值及相应的 b 的取值范围（不要求写解题过程）.（海淀期中统考）【分析】图形的拼接实质就是全等变换，抓住边的平行关系和线段的中点构造“8”形字.【解析】⑴答案不唯一，例如：ADA DADB CB CB C.⑵结论： k 5， 5 b 10 ；k3， b 8 ；k1， b 7 ．8 4 2提示：由题意，△ MNP 与矩形 ABCD 的面积相等，且P到MN的距离为8 ，故 MN 10 ．要使得拼接得到的△ MNP 为等腰三角形，三种情况：①PM PN ，如图给出了一种特殊的分割方法，P为CD中点，AM BN 2.5 ，P 8，2.5 ，M 0，7.5 ，此时直线 PM 的解析式满足k 5．若 P 不是CD中点，只需保持与刚才的分8割线平行即可，仍然可以拼接成符合条件的等腰三角形，所以 5 b 10 ；②PM MN ；因为P、M的水平距离为8， PM 10 ,所以P、M的竖直距离为 6 ，考虑到拼接前后部分是全等形，所以只需要AM DP 3 即可，如图所示.此时直线PM的解析式为y 3x 8 ，故 k34， b 8 .4③ PN MN ,实际就是M 、N互换位置，与上一种情况一样，此时直线PM 的解析式为y 1x 7 ，故 k1， b 7 .y y yM MMA D A D A DP PPB C x B C x B CxN N N【点评】此题比较新，是一道很好的试题，还有拓展空间．确定这个图形的关键点就是 D 点，我们可以一般化，如设 D m，n ， m，n为正实数，这将是一道比较难的数形结合的综合题．当然还可以这样进行改编，取 D 24，13 ，其他条件不变 .训练 4. 请阅读下列材料：问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点A、B、E在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连结PG、PC．若ABCBEF 60 ，探究 PG 与 PC 的位置关系及数量关系．小聪同学的思路是：延长GP 交 DC 于点H构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：C D C D CDP F P P FF GGGA B E A B EA B E图 1 图 2 图 3⑴直接写出上面问题中线段PG 与 PC 的关系及PG的值；PC⑵如图 2，在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，点A、B、E在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连结PG 、 PC ，探究 PG 与 PC 的位置关系及数量关系．⑶将图 2 中的条件“正方形 ABCD 和正方形 BEFG ”改为“矩形 ABCD 和矩形 BEFG ”其它条件不变，（如图 3），你在⑵中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（2013 首师大二附期末）【解析】⑴如图 1，延长 GP 交 CD 于 H，∵P 是 DF 的中点，∴ DP=FP．∵四边形 ABCD 和四边形BEFG 是菱形，DH CP FG点 A， B， E 在同一条直线上，∴ DC∥GF ，∴∠ HDP =∠ GFP．∴△ DHP ≌△ FGP （ ASA ），∴ HP=GP DH =FG∵ CD=CB， FG=GB∴CD-DH =CB -FG A B E图 1即： CH=CG∴△ HCG 是等腰三角形，∴ PC ⊥ PG ，∠ HCP =∠ GCP （等腰三角形三线合一） ∴∠ CPG=90°．∵∠ ABC=60°， ∴∠ DCB =120°，∴∠ GCP= 1∠ DCB =60°，2∴ Rt △CPG 中：PG3 ．PC故 PG ⊥PC ，PG=PC ，PG3 ．PC⑵ PG ⊥ PC 且 PG=PC ；理DHC由：如图 2，延长 GP 交 DC 于点 H ，四边形 ABCD 和 BEFG 是正方形，DC=BC ， BG=GF ，∠ FGB =∠GCD =∠ DCB =90°，∵PGF∴∴ABECD ∥ GF ，∠ CDP=∠ GFP ．是线段 DF 的中点，∴ DP=FP ．∴△ DHP ≌△ FGP （ ASA ），∴ DH =FG ， PH=PG ，∴ HC=GC ，∴△ HCG 是等腰直角三角形，∵ PH=PG∴ PG ⊥ PC 且 PG=PC ．⑶如图 3，延长 GP 交 DC 于点 H ， ∵ 四边形 ABCD 和 BEFG 是矩形，∴ FGB=∠ GCD=∠ DCB=90°，∴ CD ∥GF ， ∴∠ CDP=∠ GFP ． ∵ P 是线段 DF 的中点，∴ DP=FP ． ∴△ DHP ≌△ FGP （ ASA ），∴ PH=PG= 1HG ，2图 2∴∵ PD H CP F ∴△ HCG 是直角三角形，∴CP= 1HG，2∴PG=PC；GA B E图 3复习巩固题型一动手操作题巩固练习【练习 1】如图，矩形纸片ABCD 中， AB 8 ，将纸片折叠，使顶点 B 落在边 AD 上的点为E，折痕的一端 G 点在边 BC 上（ BG＜ GC），另一端 F 落在矩形的边上，BG10 ．⑴请你在备用图中画出满足条件的图形；⑵求出折痕 GF 的长．A D A D A DB G CB G CB G C备用图 1 备用图 2 备用图 3（平谷二模）【解析】⑴正确画出图⑴、图⑵⑵如图 1，当点 F 在 AB 上时，过点 G 作 GH⊥ AD，则四边形ABGH 为矩形，∴GH=AB=8， AH=BG=10，设 BF=x,由图形的折叠可知△BFG≌△ EFG，∴EG=BG=10，BF=EF=x,在 Rt△GEH 中，由勾股定理，得EH =6，∴ AE=4. ∵∠ A=90°， AF= 8x,EF x ,EF2AF2AE2 A EH D FB CG图1∴ x2 8 x 242解方程，得x 5. ∴ BF=5 ，2 2∵ BG=10，∴ FGBG BF 5 5.如图 2，当点 F 在 AD 边上时，连接 HG 、BE、 FG 因为四边形 HFGE 由四边形 ABGF 折叠得到，由折叠可知 ,BG=EG，AB =EH，∠ BGF =∠EGF ，∵EF∥ BG，∴∠ BGF =∠ EFG ，∴∠ EGF =∠ EFG，∴ EF=EG，∴ BG=EF，∴四边形 BGEF 为平行四边形又∵EF=EG，∴平行四边形BGEF 为菱形∴ BE，FG 互相垂直平分，在 Rt△EFH 中， EF=BG=10 ， EH=AB =8，由勾股定理可得 FH =AF=6 ，∴ AE=16，∴ BE=2AB 25 ，∴ BO=4 5 ，AE =8 ∴ FG=2OG=2 BG225BO =4【练习 2】⑴如图 1， AD 为 △ ABC 的中线，点E 在边 AC 上，过点 E 作一直线平分 △ ABC 的面积 .⑵如图 2，点 E 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点， 过点 E 作一直线平分平行四边形ABCD 的面积 .⑶如图 3，点 E 为梯形 ABCD 上底 AD 上一点，过点E 作一直线平分梯形 ABCD 的面积 .ADAEEDA EDAEBDCBCBCBC图1图 2图 3图【解析】 ⑴如图 1，连接 DE ，作 AF ∥DE 交 BC 于 F , EF 为所求 .⑵ 如图 2，连接 AC 和 BD 交于点 O ，直线 OE 为所求 .⑶如图 3，取 AB ， CD 的中点 M ， N,取 MN 中点 F ,直线 EF 为所求 .ADAEDAEEDMAEOMNFNBF DC BCBCBC图 1图2图 3图【练习 3】已知 : 如图， △ ABC 中， ACAB BC⑴在 BC 边上确定点 P 的位置，使 APCC ．请画出图形，不写画法；⑵在图中画出一条直线 l ，使得直线 l 分别与 AB 、 BC 边交于A点 M 、 N ．并且沿直线 l 将△ ABC 剪开后可拼成一个等腰梯形， 请画出直线 l 及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法．说明：本题只需保留画图痕迹，无需尺规作图．BC（西城一模）【分析】 第一问比较简单．若抓住梯形中的常见辅助线以及第一问的提示作用，第二问就不难了．等腰梯形可以通过平移腰出现等腰三角形，那么等腰三角形也可以平移腰出等腰梯形就可以轻松找到裁剪线，问题就圆满解决了．【解析】 ⑴ 答案见图 4（任选一种即可） ．⑵ 答案见图 5．剪拼方法：取 AB 的中点 M ，过点 M 作 AP 的平行线 l ，与 BC 交于点 N ，过点 A 作 BC 的平A A H A行线，与 l 交于点 H ，将 △ BMN 绕点 M 顺时针旋转 180 到 △ AMH ，则四边形 ACNH 为拼接后的等腰梯形．题型二四边形性质与判定综合 巩固练习【练习4】如图，在线段 AE 的同侧作正方形 ABCD 和正方形 BEFG B EA B ，连接 EG 并延长交 DC 于点 M ，作M NA B ，垂足为点 N ， MN 交 BD 于点 P ，设正方形ABCD 的边长为 1．⑴ 证明：四边形 MPBG 是平行四边形；⑵ 设 BEx ，四边形 MNBG 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；⑶ 如果按题设作出的四边形BGMP 是菱形，求 BE 的长．【解析】 ⑴ ∵ 四边形 ABCD 、 BEFG 是正方形∴ ∠DBA ∠FEB 90 ， ∠ABD ∠BEG45 ，D MCGFPANBE（ 2013 东城区南片期末）∴ DB ∥ ME ．∵ MN AB ，CB AB ，∴ MN ∥CB ．∴ 四边形 MPBG 是平行四边形；⑵∵ 正方形 BEFG 中，设 BG BE x ．∵ CMGBEG 45 ，∴CGCMBN 1- x ．111 1 2x 1 ；∴ y （ GB MN ） BN1 x 1 x2 2 x ， 022⑶ 由四边形 BGMP 是菱形，则有 BG MG ，即 x2 1 x ．解得 x2- 2，∴ BE 2- 2 ．【练习 5】△ ABC 是等边三角形，点 D 是射线 BC 上的一个动点（点 D 不与点 B 、 C 重合），△ ADE 是以 AD 为边的等边三角形， 过点 E 作 BC 的平行线， 分别交射线 AB 、AC 于点 F 、G ，连接 BE ．⑴如图（ a ）所示，当点 D 在线段 BC 上时．探究四边形 BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明 理由；⑵如图（ b ）所示，当点 D 在 BC 的延长线上运动到什么位置时，四边形 BCGE 是菱形？并说明理由．（ 2013 年十三分期中）AAE F GB DCB D C图 (a) F E G图 (b)【解析】⑴ ∵△ ABC 和△ ADE 都是等边三角形，∴AE=AD ， AB=AC，∠ EAD=∠ BAC=60°，又∵∠ EAB=∠ EAD -∠ BAD，∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD，∴∠ EAB =∠ DAC ，∴△ AEB ≌△ ADC （SAS），∴∠ ABE =∠ C=60°．又∵∠ BAC=∠ C=60°，∴∠ ABE =∠ BAC ，∴EB∥ GC，又∵ EG∥BC，∴四边形 BCGE 是平行四边形；⑵当 CD =CB 时，四边形 BCGE 是菱形．理由：同⑴，△AEB≌△ ADC，∴BE=CD ，又∵四边形 BCGE 是菱形，∴BE=CB，∴CD =CB，即 CD=CB 时，四边形 BCGE 是菱形．第十六种品格：感恩子路借米孝敬父母中国有句古语：“ 百善孝为先” 。