清华大学概率论与数理统计原稿
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装入与球同号的盒子中，称为一个配对，
记X为总的配对数，Ⅹ如何表示呢?
6
我们自然而然地会想到示性函数，令Ai 表 示第i个球和盒子配对，IAi (ω)为事件Ai的示 性函数，则Ⅹ(ω)可表为
X I Ai
i 1
n
7
第二章
第一节 离散型随机变量 第二节 多维离散随机变量 第三节 数学期望与条件数学期望
则 P( A) P{I A () 1} p，P( A) P{I A () 0} 1 p ； 可见示性函数可用来描述某随机事件发生与否。
16
例2.1
200件产品，190件是合格的，10件是不合格的， 现从中任取一件，若规定
若取得合格产品 1 X 0 若取得不合格产品
I
k 1
n
I A A k 1
k k
n
，I
k 1
n
I A A
k
n
k 1
k
I n I Ak k 1 Ak
k 1
n
5
例 将n只球(1～n号)随机地放进n只盒子(1～n
号)中去，一只盒子装一只球，若一只球
8
第一节 离散型随机变量
9
离散型随机变量定义 定义2.1.1
如果随机变量X(ω)所有可能取值是有限个或可 列多个，则称X(ω)为离散型随机变量（discrete random variable）简写作d.r.v.。
10
离散型随机变量 定义2.1.2
设离散型随机变量 (d.r.v.) X(ω)所有可能取的值
特别地，当n=1时，二项分布化为：
P( X k ) p k q1k , k 0,1
这就是二点分布。
可见，二点分布是二项分布的一个特例。
21
例2.2
某人进行射击训练，每次射中的概率时0.02， 独立射击400次，求至少击中1次的概率。 解：
将每次射击看作一次独立试验，则整个试验可
看作一个400次的贝努利试验。设击中的次数为
为xk ，k∈N={1,2,…}，X(ω)取各个值的概率为：
P{X= xk }= pk ， k∈N （2.1）
称P{X= xk }= pk (k∈N) 为 d.r.v X(ω)的概率分布或
分布律。
11
离散型随机变量
r.v X(ω)的概率分布反映了它取各种可能值的概 率分配，包含了它的全部概率信息。 由概率定义，易知pk满足如下两个条件：
1
pk 0 , k N（非负性）
2 pk 1 （规一性）
k 1
(2.2)
12
离散型随机变量
可以这样理解分布律，将质量1分布在各个质点 上，xk点处的质量为pk 。如图2-1
13
离散型随机变量
分布律也可以用表格形式来表示：
14
几个重要的离散型随机变量的概率分布
（1） 二点分布
4
（6）若：记a b maxa, b , a b min(a, b)
则 I A B I A I B
k 1
ak maxak , ak minak ,
1 k n k 1 1 k n
n
n
I AB I A I B 。
定义2.1.3
若r.v. X只取1和0两个值，且P(X=1)=p，P(X=0)=1-p， (0 p1)，则称r.v.X服从参数为p的二点分布。 简记为：X ～ B(1, p)。
15
几个重要的离散型随机变量的概率分布
若事件A发生r.v.X取1，否则X取0；即
1 A A F , X ( ) I A ( ) 0 A
3
（2） I AB I A I B I AB
I A B I A I B
（3） I AB I A I B （4） I A I A 1
（5） 若B A, 则I A B I A I B
引 言
示性函数
对于A，考虑定义在样本空间Ω上的实函数：
1 当 A即A发生 I A 0 当 A即A 发生
称I A
ˆ I A
（2.1）
为事件A的示性函数。
1
引入事件的示性函数，可使事件的表示、事 件的关系与运算，转化为数量的表示、数量
的关系与运算。
它是最简单的概念与记号，但它却扮演重要
则X服从参数为0.95的二点分布。
17
二点分布是最简单的一种分布类型，它可描述 一切只有或只关心两种可能结果的随机事件。
比如产品合格与不Baidu Nhomakorabea格，新生婴儿是男是女，
比赛中的胜与负，电信号的正与负，种子是否
发芽等等。
18
（2）二项分布（Binomial distribution）
以X表示n重贝努利试验中A发生的次数，易知
(2.3)
则称r.v.X服从参数为（n,p）的二项分布，又称为 贝努利分布（Bernoulli分布），简记X～B(n,p)。
20
根据上面的定义，显然有 P（X k） ； 0 （非负性）
k k nk n C p q （ p q ） 1（规一性），其中 q 1 p 。 n k 1 n
角色，尤其在现代概率论中发挥巨大的基础
作用。
2
容易验证：
I A 1 ˆ | ( I A 1 A I A 0 ˆ | I A 0 A
并得到以下关系：
（1）
A B I A I B A B I A I B
X是一个随机变量，其可能取值为0,1,2,…,n。
由于各次试验相互独立，故在n次试验中A发
生k次的概率
P( X k ) C p (1 p) , k 0,1,2,...,n
k n k
n k
19
定义2.1.4
若r.v.X满足:
k k P( X k ) Cn p (1 p)nk , k 0,1,2,...,n
记X为总的配对数，Ⅹ如何表示呢?
6
我们自然而然地会想到示性函数，令Ai 表 示第i个球和盒子配对，IAi (ω)为事件Ai的示 性函数，则Ⅹ(ω)可表为
X I Ai
i 1
n
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第二章
第一节 离散型随机变量 第二节 多维离散随机变量 第三节 数学期望与条件数学期望
则 P( A) P{I A () 1} p，P( A) P{I A () 0} 1 p ； 可见示性函数可用来描述某随机事件发生与否。
16
例2.1
200件产品，190件是合格的，10件是不合格的， 现从中任取一件，若规定
若取得合格产品 1 X 0 若取得不合格产品
I
k 1
n
I A A k 1
k k
n
，I
k 1
n
I A A
k
n
k 1
k
I n I Ak k 1 Ak
k 1
n
5
例 将n只球(1～n号)随机地放进n只盒子(1～n
号)中去，一只盒子装一只球，若一只球
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第一节 离散型随机变量
9
离散型随机变量定义 定义2.1.1
如果随机变量X(ω)所有可能取值是有限个或可 列多个，则称X(ω)为离散型随机变量（discrete random variable）简写作d.r.v.。
10
离散型随机变量 定义2.1.2
设离散型随机变量 (d.r.v.) X(ω)所有可能取的值
特别地，当n=1时，二项分布化为：
P( X k ) p k q1k , k 0,1
这就是二点分布。
可见，二点分布是二项分布的一个特例。
21
例2.2
某人进行射击训练，每次射中的概率时0.02， 独立射击400次，求至少击中1次的概率。 解：
将每次射击看作一次独立试验，则整个试验可
看作一个400次的贝努利试验。设击中的次数为
为xk ，k∈N={1,2,…}，X(ω)取各个值的概率为：
P{X= xk }= pk ， k∈N （2.1）
称P{X= xk }= pk (k∈N) 为 d.r.v X(ω)的概率分布或
分布律。
11
离散型随机变量
r.v X(ω)的概率分布反映了它取各种可能值的概 率分配，包含了它的全部概率信息。 由概率定义，易知pk满足如下两个条件：
1
pk 0 , k N（非负性）
2 pk 1 （规一性）
k 1
(2.2)
12
离散型随机变量
可以这样理解分布律，将质量1分布在各个质点 上，xk点处的质量为pk 。如图2-1
13
离散型随机变量
分布律也可以用表格形式来表示：
14
几个重要的离散型随机变量的概率分布
（1） 二点分布
4
（6）若：记a b maxa, b , a b min(a, b)
则 I A B I A I B
k 1
ak maxak , ak minak ,
1 k n k 1 1 k n
n
n
I AB I A I B 。
定义2.1.3
若r.v. X只取1和0两个值，且P(X=1)=p，P(X=0)=1-p， (0 p1)，则称r.v.X服从参数为p的二点分布。 简记为：X ～ B(1, p)。
15
几个重要的离散型随机变量的概率分布
若事件A发生r.v.X取1，否则X取0；即
1 A A F , X ( ) I A ( ) 0 A
3
（2） I AB I A I B I AB
I A B I A I B
（3） I AB I A I B （4） I A I A 1
（5） 若B A, 则I A B I A I B
引 言
示性函数
对于A，考虑定义在样本空间Ω上的实函数：
1 当 A即A发生 I A 0 当 A即A 发生
称I A
ˆ I A
（2.1）
为事件A的示性函数。
1
引入事件的示性函数，可使事件的表示、事 件的关系与运算，转化为数量的表示、数量
的关系与运算。
它是最简单的概念与记号，但它却扮演重要
则X服从参数为0.95的二点分布。
17
二点分布是最简单的一种分布类型，它可描述 一切只有或只关心两种可能结果的随机事件。
比如产品合格与不Baidu Nhomakorabea格，新生婴儿是男是女，
比赛中的胜与负，电信号的正与负，种子是否
发芽等等。
18
（2）二项分布（Binomial distribution）
以X表示n重贝努利试验中A发生的次数，易知
(2.3)
则称r.v.X服从参数为（n,p）的二项分布，又称为 贝努利分布（Bernoulli分布），简记X～B(n,p)。
20
根据上面的定义，显然有 P（X k） ； 0 （非负性）
k k nk n C p q （ p q ） 1（规一性），其中 q 1 p 。 n k 1 n
角色，尤其在现代概率论中发挥巨大的基础
作用。
2
容易验证：
I A 1 ˆ | ( I A 1 A I A 0 ˆ | I A 0 A
并得到以下关系：
（1）
A B I A I B A B I A I B
X是一个随机变量，其可能取值为0,1,2,…,n。
由于各次试验相互独立，故在n次试验中A发
生k次的概率
P( X k ) C p (1 p) , k 0,1,2,...,n
k n k
n k
19
定义2.1.4
若r.v.X满足:
k k P( X k ) Cn p (1 p)nk , k 0,1,2,...,n