2017年清华大学能力测试题

2017年清华大学能力测试题（回忆版）说明：考试时间为90分钟，原卷4040道题均为不定项选择题．这里收录的是

回忆版试题，故部分选择题选项为空白．

1．在圆周的十等分点A1,A2,⋯,A10A1,A2,⋯,A10中取出四个点，可以围成的梯形的个数为()()

A．6060

B．4040

C．3030

D．1010

2．过圆OO外一点CC作圆OO的两条切线，切点分别为M,NM,N，过点CC作圆OO的割线交

圆OO于B,AB,A两点，点QQ满足∠AMQ=∠CNB∠AMQ=∠CNB，则下列结论正确的是

()()A．△AMQ△AMQ与△MBC△MBC相似

B．△AQM△AQM与△NBM△NBM相似

C．△AMN△AMN与△BQM△BQM相似

D．△AMN△AMN与△BNQ△BNQ相似

3．已知方程kx=sinxkx=sin⁡x在区间(−3π,3π)(−3π,3π)内有55个实数解

x1,x2,x3,x4,x5x1,x2,x3,x4,x5且x1

A．x5=tanx5x5=tan⁡x5

B．29π12

C．x2,x4,x5x2,x4,x5成等差数列

D．x1+x2+x3+x4+x5=0x1+x2+x3+x4+x5=0

4．已知函数f(x)={x,4x3−3x,x⩾a,x

A．若f(x)f(x)有两个极值点，则a=0a=0或12

B．若f(x)f(x)有极小值点，则a>12a>12

C．若f(x)f(x)有极大值点，则a>−12a>−12

D．使f(x)f(x)连续的aa有33个取值

5．空间直角坐标系O−xyzO−xyz中，满足0⩽x⩽y⩽z⩽10⩽x⩽y⩽z⩽1的点(x,y,z)(x,y,z)围成的体积是()()

A．1313

B．1616

C．112112

D．1212

6．圆OO的半径为33，一条弦AB=4AB=4，PP为圆OO上任意一点，则AB−→−⋅BP−→−AB →⋅BP→的最大值为()()

A．3232

B．11

C．22

D．44

7．集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，从中取出三个元素构成集合AA的子集，且所取得的三个数互不相邻，这样的子集个数为()()

A．5656

B．6464

C．7272

D．8080

8．已知zz是实部虚部均为正整数的复数，则()()

A．Re(z2−z)Re(z2−z)被22整除

B．Re(z3−z)Re(z3−z)被33整除

C．Re(z4−z)Re(z4−z)被44整除

D．Re(z5−z)Re(z5−z)被55整除

9．椭圆x2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1(a>b>0a>b>0)，直线l1:y=−12xl1:y=−12x，直线

l2:y=12xl2:y=12x，PP为椭圆上任意一点，过点PP作PM∥l1PM∥l1且与直线l2l2交于点MM，作PN∥l2PN∥l2且与直线l1l1交于点NN，若|PM|2+|PN|2|PM|2+|PN|2为定值，则()() A．ab=2ab=2

B．ab=3ab=3

C．ab=2ab=2

D．ab=3ab=3

10．已知z1,z2z1,z2为实部虚部都为正整数的复数，则|z1+z2||z1⋅z2|−−−−−−√

|z1+z2||z1⋅z2|()()

A．有最大值22

B．无最大值

C．有最小值2√2

D．无最小值

11．已知函数f(x)=sinx⋅sin2xf(x)=sin⁡x⋅sin⁡2x，则()()

A．f(x)f(x)有对称轴

B．f(x)f(x)有对称中心

C．f(x)=af(x)=a在(0,2π)(0,2π)上的解为偶数个

D．f(x)=79f(x)=79有解

12．已知实数x,yx,y满足5x2−y2−4xy=55x2−y2−4xy=5，则2x2+y22x2+y2的最小值是()() A．5353

B．5656

C．5959

D．22

13．已知△ABC△ABC的三个内角A,B,CA,B,C的对边分别为a,b,ca,b,c，且满足

{bcosC+(a+c)(bsinC−1)=0,a+c=3√,{bcos⁡C+(a+c)(bsin⁡C−1)=0,a+c=3,则△ABC△ABC()()

A．面积的最大值为33√163316

B．周长的最大值为33√2332

C．B=π3B=π3

D．B=π4B=π4

14．两个半径为11的球的球心之间的距离为dd，包含两个球的最小的球的体积为VV，则limd→+∞Vd3=limd→+∞Vd3=()()

A．4π34π3

B．π6π6

C．π12π12

D．2π32π3

15．椭圆x24+y29=1x24+y29=1与过原点且互相垂直的两条直线的四个交点围成的菱形的面积可以是()()

A．1616

B．1212

C．1010

D．1818

16．（选项不全）已知a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8是

1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,4,5,6,7,8的一个排列，满足

a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6+a8a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6+a8的排列的个数为()()

A．46084608

B．

C．

D．

17．甲乙丙丁四个人背后有44个号码，赵同学说：甲是22号，乙是33号；钱同学说：丙是22号，乙是44号；孙同学说：丁是22号，丙是33号；李同学说：丁是11号，乙是33号．他们每人都说对了一半，则丙是几号()()

A．11

B．22

C．33

D．44

18．已知函数f(x)=sin3x+2cos3x2sin2x+cos2xf(x)=sin3⁡x+2cos3⁡x2sin2⁡x+cos2⁡x，若n∈N∗n∈N∗，则∫2nπ0f(x)dx∫02nπf(x)dx的值()()

A．与nn有关

B．00

C．11

D．22

19．函数f(x)=[2x]−2[1x]f(x)=[2x]−2[1x]的值域()()

A．{0}{0}

B．{0,1}{0,1}

C．{0,1,2}{0,1,2}

D．{1,2}{1,2}

20．已知正整数m,nm,n满足m∣2016m∣2016，n∣2016n∣2016，mn∤2016mn∤2016，则(m,n)(m,n)的个数为()()

A．916916

B．917917

C．918918

D．919919

21．正方形ABCDABCD所在的平面内有一点OO，使得△OAB,△OBC,△OCD,△ODA△OAB,△OBC,△OCD,△ODA为等腰三角形，则OO点的不同位置有()()