2017年清华大学能力测试题

2017年清华大学能力测试题（回忆版）说明：考试时间为90分钟，原卷4040道题均为不定项选择题．这里收录的是回忆版试题，故部分选择题选项为空白．1．在圆周的十等分点A1,A2,⋯,A10A1,A2,⋯,A10中取出四个点，可以围成的梯形的个数为()()A．6060B．4040C．3030D．10102．过圆OO外一点CC作圆OO的两条切线，切点分别为M,NM,N，过点CC作圆OO的割线交圆OO于B,AB,A两点，点QQ满足∠AMQ=∠CNB∠AMQ=∠CNB，则下列结论正确的是()()A．△AMQ△AMQ与△MBC△MBC相似B．△AQM△AQM与△NBM△NBM相似C．△AMN△AMN与△BQM△BQM相似D．△AMN△AMN与△BNQ△BNQ相似3．已知方程kx=sinxkx=sin⁡x在区间(−3π,3π)(−3π,3π)内有55个实数解x1,x2,x3,x4,x5x1,x2,x3,x4,x5且x1<x2<x3<x4<x5x1<x2<x3<x4<x5，则()()A．x5=tanx5x5=tan⁡x5B．29π12<x5<5π229π12<x5<5π2C．x2,x4,x5x2,x4,x5成等差数列D．x1+x2+x3+x4+x5=0x1+x2+x3+x4+x5=04．已知函数f(x)={x,4x3−3x,x⩾a,x<a,f(x)={x,x⩾a,4x3−3x,x<a,则()()A．若f(x)f(x)有两个极值点，则a=0a=0或12<a<112<a<1B．若f(x)f(x)有极小值点，则a>12a>12C．若f(x)f(x)有极大值点，则a>−12a>−12D．使f(x)f(x)连续的aa有33个取值5．空间直角坐标系O−xyzO−xyz中，满足0⩽x⩽y⩽z⩽10⩽x⩽y⩽z⩽1的点(x,y,z)(x,y,z)围成的体积是()()A．1313B．1616C．112112D．12126．圆OO的半径为33，一条弦AB=4AB=4，PP为圆OO上任意一点，则AB−→−⋅BP−→−AB →⋅BP→的最大值为()()A．3232B．11C．22D．447．集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，从中取出三个元素构成集合AA的子集，且所取得的三个数互不相邻，这样的子集个数为()()A．5656B．6464C．7272D．80808．已知zz是实部虚部均为正整数的复数，则()()A．Re(z2−z)Re(z2−z)被22整除B．Re(z3−z)Re(z3−z)被33整除C．Re(z4−z)Re(z4−z)被44整除D．Re(z5−z)Re(z5−z)被55整除9．椭圆x2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1(a>b>0a>b>0)，直线l1:y=−12xl1:y=−12x，直线l2:y=12xl2:y=12x，PP为椭圆上任意一点，过点PP作PM∥l1PM∥l1且与直线l2l2交于点MM，作PN∥l2PN∥l2且与直线l1l1交于点NN，若|PM|2+|PN|2|PM|2+|PN|2为定值，则()() A．ab=2ab=2B．ab=3ab=3C．ab=2ab=2D．ab=3ab=310．已知z1,z2z1,z2为实部虚部都为正整数的复数，则|z1+z2||z1⋅z2|−−−−−−√|z1+z2||z1⋅z2|()()A．有最大值22B．无最大值C．有最小值2√2D．无最小值11．已知函数f(x)=sinx⋅sin2xf(x)=sin⁡x⋅sin⁡2x，则()()A．f(x)f(x)有对称轴B．f(x)f(x)有对称中心C．f(x)=af(x)=a在(0,2π)(0,2π)上的解为偶数个D．f(x)=79f(x)=79有解12．已知实数x,yx,y满足5x2−y2−4xy=55x2−y2−4xy=5，则2x2+y22x2+y2的最小值是()() A．5353B．5656C．5959D．2213．已知△ABC△ABC的三个内角A,B,CA,B,C的对边分别为a,b,ca,b,c，且满足{bcosC+(a+c)(bsinC−1)=0,a+c=3√,{bcos⁡C+(a+c)(bsin⁡C−1)=0,a+c=3,则△ABC△ABC()()A．面积的最大值为33√163316B．周长的最大值为33√2332C．B=π3B=π3D．B=π4B=π414．两个半径为11的球的球心之间的距离为dd，包含两个球的最小的球的体积为VV，则limd→+∞Vd3=limd→+∞Vd3=()()A．4π34π3B．π6π6C．π12π12D．2π32π315．椭圆x24+y29=1x24+y29=1与过原点且互相垂直的两条直线的四个交点围成的菱形的面积可以是()()A．1616B．1212C．1010D．181816．（选项不全）已知a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8是1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,4,5,6,7,8的一个排列，满足a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6+a8a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6+a8的排列的个数为()()A．46084608B．C．D．17．甲乙丙丁四个人背后有44个号码，赵同学说：甲是22号，乙是33号；钱同学说：丙是22号，乙是44号；孙同学说：丁是22号，丙是33号；李同学说：丁是11号，乙是33号．他们每人都说对了一半，则丙是几号()()A．11B．22C．33D．4418．已知函数f(x)=sin3x+2cos3x2sin2x+cos2xf(x)=sin3⁡x+2cos3⁡x2sin2⁡x+cos2⁡x，若n∈N∗n∈N∗，则∫2nπ0f(x)dx∫02nπf(x)dx的值()()A．与nn有关B．00C．11D．2219．函数f(x)=[2x]−2[1x]f(x)=[2x]−2[1x]的值域()()A．{0}{0}B．{0,1}{0,1}C．{0,1,2}{0,1,2}D．{1,2}{1,2}20．已知正整数m,nm,n满足m∣2016m∣2016，n∣2016n∣2016，mn∤2016mn∤2016，则(m,n)(m,n)的个数为()()A．916916B．917917C．918918D．91991921．正方形ABCDABCD所在的平面内有一点OO，使得△OAB,△OBC,△OCD,△ODA△OAB,△OBC,△OCD,△ODA为等腰三角形，则OO点的不同位置有()()A．11B．55C．99D．131322．已知所有元素均为非负实数的集合AA满足∀ai,aj∈A∀ai,aj∈A，ai⩾ajai⩾aj，均有ai+aj∈Aai+aj∈A或ai−aj∈Aai−aj∈A，且AA中的任意三个元素的排列都不构成等差数列，则集合AA中的元素个数可能为()()A．33B．44C．55D．6623．已知关于zz的方程z2017−1=0z2017−1=0的所有复数解为zizi(i=1,2,⋯,2017i=1,2,⋯,2017)，则∑i=1201712−zi∑i=1201712−zi()()A．是比2017220172大的实数B．是比2017220172小的实数C．是有理数D．不是有理数24．已知复数x,yx,y满足x+y=x4+y4=1x+y=x4+y4=1，则xyxy的不同取值有()()种．A．00B．11C．22D．4425．已知函数f(x)f(x)满足f(m+1,n+1)=f(m,n)+f(m+1,n)+nf(m+1,n+1)=f(m,n)+f(m+1,n)+n，f(m,1)=1f(m,1)=1，f(1,n)=nf(1,n)=n，其中m,n∈N∗m,n∈N∗，则()()A．使f(2,n)⩾100f(2,n)⩾100的nn的最小值是1111B．使f(2,n)⩾100f(2,n)⩾100的nn的最小值为1313C．使f(3,n)⩾2016f(3,n)⩾2016的nn的最小值是1919D．使f(3,n)⩾2016f(3,n)⩾2016的nn的最小值是202026．已知f(x)f(x)是(0,+∞)(0,+∞)上连续的有界函数，g(x)g(x)在(0,+∞)(0,+∞)上有g(x)=max0⩽n⩽xf(n)g(x)=max0⩽n⩽xf(n)，以下结论正确的有()()A．g(x)g(x)是有界函数B．g(x)g(x)是连续函数C．g(x)g(x)是单调递增函数D．g(x)g(x)不是单调递减函数27．（选项不全）已知对任意实数xx，均有acosx+bcos3x⩽1acos⁡x+bcos⁡3x⩽1，下列说法正确的是()()A．|a−2b|⩽2|a−2b|⩽2B．|a+b|⩽1|a+b|⩽1C．|a−b|⩽2√|a−b|⩽2D．28．55人中每两个人之间比一场，若第ii个人胜xixi(i=1,2,3,4,5i=1,2,3,4,5)场，负yiyi场(i=1,2,3,4,5i=1,2,3,4,5)场，则()()A．x1+x2+x3+x4+x5x1+x2+x3+x4+x5为定值B．y1+y2+y3+y4+y5y1+y2+y3+y4+y5为定值C．x21+x22+x23+x24+x25x12+x22+x32+x42+x52为定值D．y21+y22+y23+y24+y25y12+y22+y32+y42+y52为定值29．若存在满足下列三个条件的集合A,B,CA,B,C，则称偶数nn为“萌数”：(1)集合A,B,CA,B,C为集合M={1,2,3,4,⋯,n}M={1,2,3,4,⋯,n}的33个非空子集，A,B,CA,B,C两两之间的交集为空集，且A∪B∪C=MA∪B∪C=M；(2)集合AA中的所有数均为奇数，集合BB中的所有数均为偶数，所有的33的倍数都在集合CC中；(3)集合A,B,CA,B,C所有元素的和分别为S1,S2,S3S1,S2,S3，且S1=S2=S3S1=S2=S3．下列说法正确的是()()A．88是“萌数”B．6060是“萌数”C．6868是“萌数”D．8080是“萌数”30．已知非零实数a,b,c,A,B,Ca,b,c,A,B,C，则“ax2+bx+c⩾0ax2+bx+c⩾0与Ax2+Bx+C⩾0Ax2+Bx+C⩾0的解集相同”是“aA=bB=cCaA=bB=cC”的()()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件31．（选项不全）一个人投篮命中率为2323，连续投篮直到投进22个球时停止，则他投篮次数为44的概率是()()A．427427B．C．D．32．已知0<P(A)<10<P(A)<1，0<P(B)<10<P(B)<1，且P(A|B)=1P(A|B)=1，则()()A．P(A¯¯¯¯|B¯¯¯¯)=0P(A¯|B¯)=0B．P(B¯¯¯¯|A¯¯¯¯)=1P(B¯|A¯)=1C．P(A∪B)=P(A)P(A∪B)=P(A)D．P(B¯¯¯¯|A)=1P(B¯|A)=133．（选项不全）已知实数x,yx,y满足{(x−1)(y2+6)=x(y2+1),(y−1)(x2+6)=y(x2+1),{(x −1)(y2+6)=x(y2+1),(y−1)(x2+6)=y(x2+1),则()()A．(x−52)2+(y−52)2=12(x−52)2+(y−52)2=12B．x=yx=yC．有44组解(x,y)(x,y)D．34．（选项不全）在△ABC△ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinCsin2⁡A=sin2⁡B+sin⁡Bsin⁡C，则()()A．A<π3A<π3B．B<π3B<π3C．D．35．已知Q(x)=a2017x2017+a2016x2016+⋯+a1x+a0Q(x)=a2017x2017+a2016x2016+⋯+a1x+a0，对任意x∈R+x∈R+均有Q(x)>0Q(x)>0成立．若ai∈{−1,1}ai∈{−1,1}(i=0,1,2,⋯2017i=0,1,2,⋯2017)，则a0,a1,a2,⋯,a2017a0,a1,a2,⋯,a2017中取值为−1−1的项数最多为()()A．10061006B．10071007C．10081008D．10091009参考答案与解析1．A．按梯形互相平行的对边的端点角标奇偶性是否相同分类，底边可能为A1A10,A2A9,A3A8,A4A7,A5,A6A1A10,A2A9,A3A8,A4A7,A5,A6中的两条，也可能为A2A10,A3A9,A4A8,A5A7A2A10,A3A9,A4A8,A5A7中的两条，减去构成平行四边形的情况，得到不同的梯形个数为(C25+C24−4)×5=60.(C52+C42−4)×5=60.2．BC．根据弦切角定理和圆周角定理，有∠CMB=∠MAB=∠MNB,∠CNB=∠BMN=∠BAN.∠CMB=∠MAB=∠MNB,∠CNB=∠BMN=∠BAN. 3．ABD．如图．选项A，直线y=kxy=kx与曲线y=sinxy=sin⁡x在x=x5x=x5时相切，于是有{kx5=sinx5,k=cosx5,{kx5=sin⁡x5,k=cos⁡x5,从而可得x5=tanx5x5=tan⁡x5．选项B，考虑直线y=xy=x与曲线y=tanxy=tan⁡x在区间(2π,5π2)(2π,5π2)内的公共点，由于tan29π12=tan5π12=2+3√<29π12,tan⁡29π12=tan⁡5π12=2+3<29π12,于是x5∈(29π12,5π2)x5∈(29π12,5π2)．选项C，若x2,x4,x5x2,x4,x5构成等差数列，则x5=3x4x5=3x4，接下来证明方程组{kx=sinx,k⋅3x=sin3x,{kx=sin⁡x,k⋅3x=sin⁡3x,无非零实数解．事实上，第二个方程即3kx=3sinx−4sin3x,3kx=3sin⁡x−4sin3⁡x,将第一个方程代入即得．于是选项C错误．选项D，根据对称性，该选项正确．4．CD．对于选项A，若f(x)f(x)有两个极值点，则a=0a=0或a>12a>12，所以选项A错误；对于选项B，当a=0a=0时，x=0x=0是函数f(x)f(x)的极小值点，所以选项B错误；对于选项C，正确；对于选项D，使f(x)f(x)连续的aa有33个取值：−1,0,1−1,0,1，所以选项D正确．5．B．考虑到满足0⩽x,y,z⩽10⩽x,y,z⩽1的点(x,y,z)(x,y,z)所围成的体积为11，再根据对称性，可得满足题意的点的体积为该体积的1616．6．D．考虑BP−→−BP→在AB−→−AB→方向上投影的数量即可．7．A．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}{1,2,3,4,5,6,7,8}中选出三个数a,b,ca,b,c(a<b<ca<b<c)，则a,b+1,c+2a,b+1,c+2即符合题意，因此C38=56C83=56为所求．8．BD．令z=a+biz=a+bi，则对于选项A，有Re(z2−z)=a2−b2−a=a(a−1)−b2,Re(z2−z)=a2−b2−a=a(a−1)−b2,于是当bb为奇数时，2∤Re(z2−z)2∤Re(z2−z)，选项A错误；对于选项B，有Re(z3−z)=a3−3ab2−a=(a−1)⋅a⋅(a+1)−3ab2,Re(z3−z)=a3−3ab2−a=(a−1)⋅a⋅(a+1)−3ab2,于是3∣Re(z3−z)3∣Re(z3−z)，选项B正确；对于选项C，有Re(z4−z)=a4−6a2b2+b4−a,Re(z4−z)=a4−6a2b2+b4−a,取4∣a4∣a，bb为奇数，则必然有4∤Re(z4−z)4∤Re(z4−z)，选项C错误；对于选项C，有Re(z5−z)=a5−10a3b2+5ab4−a,Re(z5−z)=a5−10a3b2+5ab4−a,根据费马小定理，有a≡a5(mod5)a≡a5(mod5)，5∣Re(z5−z)5∣Re(z5−z)，选项D正确．9．C．设M(2m,m)M(2m,m)，B(2n,−n)B(2n,−n)，则P(2(m+n),m−n)P(2(m+n),m−n)，根据题意，|PM|2+|PN|2|PM|2+|PN|2为定值，因此|OM|2+|ON|2=|PM|2+|PN|2=5(m2+n2)|OM|2+|ON|2=|PM|2+|PN|2=5(m2+n2)为定值．另一方面，有4(m+n)2a2+(m−n)2b2=1,4(m+n)2a2+(m−n)2b2=1,即(4a2+1b2)(m2+n2)+(8a2−2b2)mn=1,(4a2+1b2)(m2+n2)+(8a2−2b2)mn=1,从而可得a=2ba=2b．10．BD．设z1,z2,z1+z2z1,z2,z1+z2对应的点分别为A,B,CA,B,C，则|z1+z2||z1⋅z2|−−−−−−√=OC2OA⋅OB−−−−−−−−√=OA2+OB2+2OA⋅OB⋅cosθOA⋅OB−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=OAOB+OBOA+2cosθ−−−−−−−−−−−−−−−−√.|z1+z2||z1⋅z2|=OC2OA⋅OB=OA2+OB2+2OA⋅OB⋅cos⁡θOA⋅OB=OAOB+OBOA+2cos⁡θ.令z1=1+iz1=1+i，z2=n+niz2=n+ni，当n→+∞n→+∞时，原式的值趋于无穷大；令z1=n+iz1=n+i，z2=1+niz2=1+ni，当n→+∞n→+∞时，原式的值趋于2√2，且原式的值必然大于2√2，于是原式既没有最大值也没有最小值．11．AB．对于选项A，x=0x=0是f(x)f(x)的一条对称轴；对于选项B，(π2,0)(π2,0)是f(x)f(x)的一个对称中心；对于选项C，当a=0a=0时，f(x)=af(x)=a在(0,2π)(0,2π)上的解为x=π2,π,3π2x=π2,π,3π2，共33个；对于选项D，考虑到sinx⋅sin2x=2sin2xcosx=212⋅2cos2x(1−cos2x)(1−cos2x)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√⩽43√9<79,sin⁡x⋅sin⁡2x=2sin2⁡xcos⁡x=212⋅2cos2⁡x(1−cos2⁡x)(1−cos2⁡x)⩽439<79,于是f(x)f(x)的最大值小于7979，方程f(x)=79f(x)=79无解．12．A．考虑到5+λ(2x2+y2)=(5+2λ)x2−4xy+(λ−1)y2,5+λ(2x2+y2)=(5+2λ)x2−4xy+(λ−1)y2,令右侧的判别式Δ=16−4(5+2λ)(λ−1)=0,Δ=16−4(5+2λ)(λ−1)=0,解得λ=−3λ=−3或λ=32λ=32．于是有5−3(2x2+y2)=−(x+2y)2⩽0,5−3(2x2+y2)=−(x+2y)2⩽0,进而可得2x2+y2⩾532x2+y2⩾53，且等号当x=−2yx=−2y时取得．因此2x2+y22x2+y2的最小值为5353．13．AC．根据题意，有bcosC+3√bsinC−(a+c)=0,bcos⁡C+3bsin⁡C−(a+c)=0,应用正弦定理，有sinBcosC+3√sinBsinC−sin(B+C)−sinC=0,sin⁡Bcos⁡C+3sin⁡Bsin⁡C−sin⁡(B+C)−sin⁡C=0,即sinC⋅[2sin(B−π6)−1]=0,sin⁡C⋅[2sin⁡(B−π6)−1]=0,于是B=π3B=π3，选项C正确，选项D错误；由于S△ABC=12acsinB⩽3√4⋅(a+c2)2,S△ABC=12acsin⁡B⩽34⋅(a+c2)2,进而可得当a=ca=c时，△ABC△ABC的面积取得最大值为3√4⋅(3√2)2=33√1634⋅(32)2=3316，选项A正确；根据余弦定理，有b2=a2+c2−2accosB=(a+c)2−3ac⩾3−3⋅(a+c2)2=34,b2=a2+c2−2accos⁡B=(a+c)2−3ac⩾3−3⋅(a+c2)2=34,于是△ABC△ABC周长的最小值为33√2332，选项B错误．14．B．包含两个球的最小的球的半径为d2+1d2+1，于是limd→+∞Vd3=4π3(d2+1)3d3=π6.limd→+∞Vd3=4π3(d2+1)3d3=π6.15．B．设四个交点的坐标分别为(r1cosθ,r1sinθ)(r1cos⁡θ,r1sin⁡θ)，(−r1cosθ,−r1sin θ)(−r1cos⁡θ,−r1sin⁡θ)，(−r2sinθ,r2cosθ)(−r2sin⁡θ,r2cos⁡θ)，(r2sinθ,−r2cosθ)(r2sin⁡θ,−r2cos⁡θ)，则(r1cosθ)2a2+(r1sinθ)2b2=1,(r2sinθ)2a2+(r2cosθ)2b2=1,(r1cos⁡θ)2a2+(r1sin⁡θ)2b2=1,(r2sin⁡θ)2a2+(r2cos⁡θ)2b2=1,于是1r21+1r22=14+19=1336,1r12+1r22=14+19=1336,从而菱形的面积2r1r22r1r2的取值范围为[14413,12][14413,12]．16．A．其中包含11的一组数必然为(1,2,7,8),(1,3,6,8),(1,4,6,7),(1,4,5,8)(1,2,7,8),(1,3,6,8),(1,4,6,7),(1,4,5,8)中的一组，因此所有符合题意的排列数为4⋅2⋅A44⋅A44=4608.4⋅2⋅A44⋅A44=4608.17．C．甲是22号，乙是44号，丙是33号，丁是11号．18．B．考虑到f(x+π)=−f(x)f(x+π)=−f(x)．19．B．问题即函数g(x)=[2x]−2[x]g(x)=[2x]−2[x]，x≠0x≠0的值域．考虑到函数g(x)g(x)是周期为11的函数，因此只需考虑在x∈(0,1]x∈(0,1]上的值域．事实上，我们有g(x)=⎧⎩⎨0,1,0,x∈(0,0.5),x∈[0.5,1),x=1,g(x)={0,x∈(0,0.5),1,x∈[0.5,1),0,x=1,于是所求的值域为{0,1}{0,1}．20．C．由于2016=25⋅32⋅72016=25⋅32⋅7，设m=2x1⋅3y1⋅7z1m=2x1⋅3y1⋅7z1，n=2x2⋅3y2⋅7z2n=2x2⋅3y2⋅7z2，其中x1,x2,y1,y2,z1,z2x1,x2,y1,y2,z1,z2均为整数，且0⩽x1,x2⩽50⩽x1,x2⩽5，0⩽y1,y2⩽20⩽y1,y2⩽2，0⩽z1,z2⩽10⩽z1,z2⩽1．根据题意，有x1+x2⩾6x1+x2⩾6或y1+y2⩾3y1+y2⩾3或z1+z2⩾2z1+z2⩾2．考虑问题的反面，(m,n)(m,n)的个数为[(5+1)(2+1)(1+1)]2−21⋅6⋅3=918.[(5+1)(2+1)(1+1)]2−21⋅6⋅3=918. 21．C．如图，可能的点必然至少为两条轨迹的公共点，逐一考察即可．22．B．显然0∈A0∈A．对于选项A，设A={0,a1,a2}A={0,a1,a2}，则a2−a1=a1a2−a1=a1，于是0,a1,a20,a1,a2成等差数列，不符合题意，因此选项A错误；对于选项B，取A={0,1,3,4}A={0,1,3,4}即可，因此选项B正确；对于选项C，设A={0,a1,a2,a3,a4}A={0,a1,a2,a3,a4}且a1<a2<a3<a4a1<a2<a3<a4，于是由0<a4−a3<a4−a2<a4−a10<a4−a3<a4−a2<a4−a1可得a4−a3=a1,a4−a2=a2,a4−a1=a3,a4−a3=a1,a4−a2=a2,a4−a1=a3,于是0,a2,a40,a2,a4成等差数列，不符合题意，因此选项C错误；对于选项D，设A={0,a1,a2,a3,a4,a5}A={0,a1,a2,a3,a4,a5}且a1<a2<a3<a4<a5a1<a2<a3<a4<a5，与选项C的处理方式类似，可得a1+a4=a2+a3=a5.a1+a4=a2+a3=a5.考虑到a3+a4>a5a3+a4>a5，且a2,a3,a4a2,a3,a4不构成等差数列，于是a4−a3=a1a4−a3=a1，这样就有a2=2a1a2=2a1，即0,a1,a20,a1,a2构成等差数列，不符合题意，因此选项D错误．23．AC．令x=12−zx=12−z，则z=2−1xz=2−1x，于是由z2017=1z2017=1可得(2x−1)2017−x2017=0,(2x−1)2017−x2017=0,即(22017−1)x2017−2017⋅22016⋅x2016+⋯−1=0,(22017−1)x2017−2017⋅22016⋅x2016+⋯−1=0,于是x1+x2+⋯+x2017=2017⋅2201622017−1>20172.x1+x2+⋯+x2017=2017⋅2201622017−1>20172.24．C.设xy=mxy=m，则1=x4+y4=(x+y)4−4xy(x2+y2)−6x2y2=(x+y)4−4xy[(x+y)2−2xy]−6x2y2=1−4m(1−2m)−6m2=2m2−4m+1,1=x4+y4=(x+y)4−4xy(x2+y2)−6x2y2=(x+y)4−4xy[(x+y)2−2xy]−6x2y2=1−4m(1−2m)−6m2=2m2−4m+1,于是m=2m=2或m=0m=0．25．AC．根据题意，有f(1,n)f(2,n)f(3,n):1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,⋯,:1,3,7,13,21,31,43,57,73,91,111,⋯,:1,3,8,18,35,61,98,148,⋯,f(1,n):1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,⋯,f(2,n):1,3,7,13,21,31,43,57,73,91,111,⋯,f(3,n):1,3,8,18,35,61,98,148,⋯,设an=f(2,n)an=f(2,n)，bn=f(3,n)bn=f(3,n)，则有递推公式an=2n+an−1,bn=n−1+an−1+bn−1,an=2n+an−1,bn=n−1+an−1+bn−1,于是可得an=n2−n+1,bn=n+16(n−1)n(2n−1),an=n2−n+1,bn=n+16(n−1)n(2n−1),因此使得an⩾100an⩾100的nn的最小值为1111；使得bn⩾2016bn⩾2016的nn的最小值为1919．26．ABD．27．ABC．根据题意，有∀m∈[−1,1],ma+(4m3−3m)b⩽1.∀m∈[−1,1],ma+(4m3−3m)b⩽1.分别令m=±12m=±12，可得12(a−2b)⩽1,−12(a−2b)⩽1,12(a−2b)⩽1,−12(a−2b)⩽1,从而选项A成立；分别令m=±1m=±1，可得a+b⩽1,−(a+b)⩽1,a+b⩽1,−(a+b)⩽1,从而选项B成立；分别令m=±12√m=±12，可得12√(a−b)⩽1,−12√(a−b)⩽1,12(a−b)⩽1,−12(a−b)⩽1,从而选项C成立；28．AB．根据题意，有x1+x2+x3+x4+x5=y1+y2+y3+y4+y5,x1+x2+x3+x4+x5=y1+y2+y3+y4+y5,且有x21+x22+x23+x24+x25=y21+y22+y23+y24+y25,x12+x22+x32+x42+x52=y12+y22+y32+y42+y52,但(x1+x2+x3+x4+x5)+(y1+y2+y3+y4+y5)=20(x1+x2+x3+x4+x5)+(y1+y2+y3+y4+y5)=20为定值，而(x21+x22+x23+x24+x25)+(y21+y22+y23+y24+y25)(x12+x22+x32+x42+x52)+(y12+y22+y32+y42+y52)不为定值．例如可以取(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,2,2,2,2),(4,3,2,1,0)(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,2,2,2,2),(4,3,2,1,0)，则平方和分别为2020和3030，不为定值．注最后的构造中，前者为55阶有向完全图中所有箭头都为逆时针方向；后者为55阶有向完全图中55个顶点编号分别为1,2,3,4,51,2,3,4,5，其中所有方向均从较小数指向较大数．29．ACD．集合MM中所有元素的和为SM=n2+n2,SM=n2+n2,考虑到3∣SM3∣SM，于是n=6k,6k+2n=6k,6k+2，其中k∈N∗k∈N∗．当n=6kn=6k时，集合MM中所有33的倍数之和大于13SM13SM，于是集合CC中的所有元素之和大于13SM13SM，不符合题意．接下来考虑n=6k+2n=6k+2的情形．当n=6k+2n=6k+2时，SM=18k2+15k+3SM=18k2+15k+3．现将集合MM中33的倍数挑选出来作为集合C0C0，然后将剩下的奇数构成集合A0A0，剩下的偶数构成集合B0B0．由于集合MM 中的奇数之和x1x1和偶数之和y1y1满足{x1+y1=18k2+15k+3,y1−x1=3k+1,{x1+y1=18k2+15k+3,y1−x1=3k+1,于是x1=9k2+6k+1x1=9k2+6k+1，y1=9k2+9k+2y1=9k2+9k+2．类似可求得集合C0C0中奇数之和x2=3k2x2=3k2，偶数之和y2=3k2+3ky2=3k2+3k．这样就有集合A0,B0,C0A0,B0,C0的元素之和分别为SA0SB0=x1−x2=6k2+6k+1,=y1−y2=6k2+6k+2,SA0=x1−x2=6k2+6k+1,SB0=y1−y2=6k2+6k+2,接下来只要从集合A0A0中选出若干个和为kk的元素，从集合B0B0中选出若干个和为k+1k+1的元素，把这些元素放入集合C0C0中就得到了符合题意的集合A,B,CA,B,C．从而可得kk 是奇数．综上所述，n=12m−4n=12m−4，其中m∈N∗m∈N∗为nn为“萌数”的必要条件．不难验证选项A，C，D均符合题意．注解答中得到的必要条件并不是充分的，比如当m=2m=2时，2020并不是”萌数“．30．D．不充分的例子：(a,b,c)=(1,1,2)(a,b,c)=(1,1,2)，(A,B,C)=(1,1,3)(A,B,C)=(1,1,3)；不必要的例子：(a,b,c)=(1,1,−1)(a,b,c)=(1,1,−1)，(A,B,C)=(−1,−1,1)(A,B,C)=(−1,−1,1)．31．A．所求概率为C23(23)(1−23)2⋅23=427.C32(23)(1−23)2⋅23=427.32．BC．即集合BB为集合AA的子集．33．AB．原方程组即{y2−5x+6=0,x2−5y+6=0,{y2−5x+6=0,x2−5y+6=0,两式相加即得选项A正确；两式相减可得(x−y)(x+y+5)=0,(x−y)(x+y+5)=0,而直线x+y+5=0x+y+5=0与圆(x−52)2+(y−52)2=12(x−52)2+(y−52)2=12相离，当x=yx=y时，可以解得(x,y)=(2,2),(3,3)(x,y)=(2,2),(3,3)，因此选项B正确，选项C错误；34．B．根据题意，有sinBsinC=sin2A−sin2B=sin(A+B)⋅sin(A−B),sin⁡Bsin⁡C=sin2⁡A−sin2⁡B=sin⁡(A+B)⋅sin⁡(A−B),于是A=2BA=2B，从而选项B正确．35．C．令x=1x=1，可得a0,a1,a2,⋯,a2017a0,a1,a2,⋯,a2017中取值为−1−1的项数不超过10081008；可以构造项数为10081008的例子：Q(x)=x2017−x2016+x2015−x2014+⋯+x3−x2+x+1.Q(x)=x2017−x2016+x2015−x2014+⋯+x3−x2+x+1.。