20.4课题学习最短路径问题
八年级上册 课题学习《最短路径问题》说课稿
课题学习《最短路径问题》说课稿各位领导、专家、同仁们大家好：今天我说课的的内容是：人教八年级上册第13章第四节课题学习最短路径问题。
下面我将从：教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法、学法、教学手段、教学过程、板书设计、反思十个方面展开我的说课。
一、教材分析：本节课的内容是在学习了轴对称图形及两点之间线段最短知识的基础上学习的最短路径问题。
同时为我们今后解决坐标系下线段和最短的问题打下基础。
所以本节课的学习既是对前面所学知识的应用又为今后学习新知识做了铺垫，起到了呈上起下的作用。
二、学情分析1、已有的知识与能力：八年级学生已经学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”这些关于距离最短问题的解决依据。
也初步接触了逻辑推理证明的方法。
2、未接触的知识能力：由于八年级学生首次遇到线段和最小，所以无从下手，另外证明两条线段和最小时要选取另外一点，学生想不到、不会用，所以利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短是本节课的难点。
3.综合能力方面：八年级学生这一阶段的学生思维能力发展较快,自我意识增强,有较强的求知欲和表现欲,在情感方面他们能进行自我教育。
经过一年多新课程理念的熏陶及实践,学生已有了初步的自主学习、合作探究的能力,但部分学生存在不自信,羞于表现等思想顾虑,但又希望能得到他人的肯定。
因此我的教学目标分了三层,照顾不同程度的学生。
在教学活动中尽量让他们参与到活动中来,减少他们的恐惧感,通过学生间的合作学习,降低他们的学习难度,使各层次的学生都有所收获,使他们体验到成功的喜悦。
通过以上教材与学情分析我制定了本节课教学目标：三、教学目标：1、知识与能力目标：（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
（2）能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“直线”，把实际问题抽象为数学问题。
2、过程与方法目标：（1）使学生经历提出问题——合作探究——动手操作——组间对比——理论证明——解决问题的过程。
2022年人教版八年级上《 课题学习 最短路径问题》精品课件
的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮
水再回家，所走的最短距离是 1000 米.
C
D 河
A
B
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上， 点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当 PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
y
B
A
O
P
x
B'
5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
讲授新课
角平分线的判定
问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么
结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言：
A D
C
P
∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
猜想:
O
E
B
P
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
E
B
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
知识总结
u 判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件 （：1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上. u应用格式：
第十三章 轴对称
课题学习 最短路径问 题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
导入新课
复习引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
《课题学习最短路径问题》的教学反思
《课题学习最短路径问题》的教学反思最短路径问题是新人教版的八年级教材内容，是新增加的内容，因此，在备课的过程中难以找到相关的课件或者习题，对于这部分内容的教学，怎样才能讲的透彻，是个值得深入钻研的问题，上了这一节课我有以下几点体会：一：教师要合理安排一节课的组织教学、检查复习、教学新知、巩固练习、课堂小结和布置作业等课堂教学环节的顺序和时间分配。
在一堂课中，要特别精心用好前20分钟左右的“黄金”教学时间，用于讲解新知、重点、难点内容，忌用黄金时间“去炒隔天的夹生饭”，保证学生有充分时间去当堂自学、练习、巩固新知，确保学生的主体地位。
这节课我先从学生身边的数学问题入手，“你从教室到操场有两条路可以走，你会选择走哪条？”“为什么要走这条，走这条路有什么优势？”让学生体会到了数学就在我们身边，为什么要学习最短路径。
这让学生引起了很大的学习兴趣，提高了学生的学习积极性。
二：课堂结构的安排，要主次分清，快慢得当。
教学中，要根据教学内容的深度、难度和学生的认知水平，合理分配时间段，合理把握教学节奏，有的课可合适加快节奏，有的课则需放慢节奏，有的内简易少花时间，有的内容则应多花时间；对于这一堂课而言，各个教学环节可有例外的节奏，开始时的基础训练，可以紧锣密鼓，营造一种热闹的气氛；使学生尽快集中思维，进入状态，当学生探得新知，总结规律时，则应放慢节奏。
特别是对于两点在直线的同侧时，要在直线上找一点使得它到两点的距离和最短，我让学生自己找一个点的对称点，并提出问题：你是怎样想到要找对称点的？它起了什么作用？“让学生解决这个问题，给学生足够的时间和空间进行探索，对于分散教学难点起了很大的作用，收到了很好的教学效果。
因此，一堂课内应视需要，时而似快马奔腾，时而似闭庭信步，使学生的思维有张有弛，快慢相间，提高效率。
三：“少”是相对于“多”而言的，“精”是相对于“杂”或“粗”而言的，所谓精讲，就是教师在充分把握教材、大纲和学生学习情况的基础上，讲解精辟透彻，画龙点睛，抓住实质和关键，讲在点子上。
初中数学_课题学习最短路径问题教学设计学情分析教材分析课后反思
课题学习最短路径问题教学过程设计一）创设情景引出课题学生完成导学单上两个复习题（1）作对称点的问题（2）蚂蚁怎么爬路程最短的问题。
师生共同评价后引出课题。
设计意图：通过复习，引导学生回忆作对称点的方法，“两点之间，线段最短”的结论，转化的数学思想，为后面的学习打下良好的基础。
二）引导探究合作交流1、出示实际问题：七年级课后练习河流变短问题设计意图：以实际问题形式来学生的探究学习兴趣。
2、两点不共面问题：正方体表面两点不共面，蚂蚁爬行最短路径，用一张白纸折成圆柱体解决表面的最短路径问题。
设计意图：让学生归纳当两点不共面时如何解决最短路径问题。
3、两点同侧类问题：（1）老师先抛出两点异侧的问题。
牧马人从家出发，到一条笔直的河边去饮马，然后到草地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？设计意图：分析两点在一线同侧类最短路径问题的解决方法：4、小组合作完成糖在内部的圆柱体中蚂蚁吃糖问题。
设计意图：在合作完成过程中让学生进一步体会最短路径作法，提高了学生的逻辑思维能力。
老师的引导，小组的合作，再次体现了老师的主导性，学生的主体性。
5、与数学几何图形相联系，利用几何图形本身的对称性，解决最短路径问题。
小结：学生回顾前面的探究过程，小结各种最短路径问题怎么解决？设计意图：让学生养成反思的好习惯，积累解决问题的方法，再次体会转化的数学思想。
三）巩固训练学以致用学生独立完成导学单上两个练习题，之后师生共同交流完成。
设计意图：让学生进一步巩固解决此类最短路径问题的方法，达到举一反三的作用，同时也培养了学生独立思考能力。
四）课堂小结回顾反思学生各抒己见，相互补充谈收获。
设计意图：学生谈收获，可提高他们的归纳概括能力及语言表达能力。
五）完成作业能力提升设计意图：再次应用本节课所学的方法去解决生活中的此类最短路径问题，提升学生能力，完成教学目标。
课题学习最短路径问题教学学情分析本节课是生活中经常遇到的最短路径问题，从一开始简单的河流变短问题，让学生从实际的生活中得到数学的知识，体验发现问题的乐趣，激发学习的兴趣，再次联系八年级数学轴对称问题，安排实际的问题让学生独立解决，加深知识的运用，在学习素材的选取和学习活动的安排上，更突出从学生的生活实际出发，使学生感受到数学就在自己身边，学习数学是为自己所用，是必要的，从而调动学习数学、探讨数学知识的欲望。
最短路径问题 课件
知识点1：两点在直线异侧时的最短路径问题 【例1】 如图1-13-30-1，在直线l上找一点P，使得 PA+PB的和最小.
解：答图13-30-1,点P即为所求.
知识点2：两点在直线同侧时的最短路径问题 【例2】 如图1-13-30-3,已知直线l和l外两点A,B， 点A,B在l同侧，求作一点P，使点P在直线l上，并且 使PA+PB最短．
解：如答图13-30-6，作点A的对称点A′， 连接A′B，与直线l相交于点C，连接AC， 点C即为所求．
6. 如图1-13-30-9，正方形网格中每个小正方形边 长都是1．在直线l上找一点P，使PB+PC的值最小.
略.
7. 如图1-13-30-10，在平面直角坐标系中，点 A（4，4），B（2，-4）．在y轴上求作一点P，使 PA+PB的值最小.（不写作法，保留作图痕迹）
略.
8. 如图1-13-30-11，∠XOY内有一点P，请在射线OX上 找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．
解：如答图13-30-7,作点P关于OX对称的点 P1，关于OY对称的点P2，连接P1P2，交OX， OY于点M，N，则M,N两点即为所求．
9. 如图1-13-30-12，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边 上的高，P是AB边上的一点，请在高AD上找一点E， 使得△PEB的周长最短．
解：作图略, 作点A关于直线l的对称点A′， 连接A′B与直线l交于点P， 则P点即为所求．
4. 如图1-13-30-7，直线l旁有两点A，B，在直线上 找一点CA，B两点的距离相等．
解：如答图13-30-5,点C,点D即为所求.
5. 如图1-13-30-8，l为某河流的南岸线，一天傍晚 某牧童在A处放牛，欲将牛牵到河边饮水后再回到家 B处，牧童想以最短的路程回家．请你在找中画出牛 饮水C的位置．
【教学设计】 课题学习 最短路径问题
课题学习最短路径问题一、内容和内容解析1．内容利用轴对称研究某些最短路径问题.2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.二、目标和目标解析1.教学目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识．2. 教学目标解析学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用.教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（C点除外）都成立本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．四、教学过程设计1．创设问题情境问题1 如图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？说说你的理由.师生活动：学生回答问题，说出理由：两点之间，线段最短.【设计意图】让学生回顾“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备．问题2：如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？师生活动：学生回答，连接AB，线段AB与l的交点即为泵站修建的位置．【设计意图】让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫．2．将实际问题抽象为数学问题问题3 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC 的和最小？【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念．3．解决数学问题问题4 如图，点A，B 在直线l 的同侧，在直线l上找到一点C，使AC 与BC 的和最小？师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.如果学生有困难，教师可作如下提示：（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持?（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点吗？师生共同完成作图，如下图.作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．【设计意图】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.4．证明AC +BC “最短”问题4 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线l 上任取一点（与点C 不重合），连接AC′，BC′，．由轴对称的性质知，，．∴，．在△中，，∴．即AC +BC 最短．追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点（与点C但不重合）？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？师生活动：学生回答，相互补充.【设计意图】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.5．巩固练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．师生活动:学生分析解题思路，独立完成画图，教师适时点拨.【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．6．归纳小结教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.7．布置作业：教科书复习题13第15题．五、目标检测设计某实验中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的能力.。
《课题学习 最短路径问题》导学案
13.4 课题学习最短路径问题1.能说出轴对称的相关概念及其性质.2.能利用轴对称变换解决日常生活中的最短路径问题.3.重点:利用轴对称变换解决日常生活中的最短路径问题.阅读教材P85至P87,解决下列问题:1.在连接两点的线中,线段最短.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.这样的问题,我们称为最短路径问题.2.如图1,如果要在直线l上找一点,使其到点A和点B的距离之和最短,则可连接AB ,与l的交点即为所求,根据是两点之间,线段最短.3.如图2,在直线l的同侧有两点A,B,若要在直线l上找一点C,使其到点A,点B的距离之和最短.受上一题的启发,我们可以考虑在直线l的另一侧找一个点B',使直线l上的任一点C到点B和点B'的距离始终相等.因此,只需作出点B关于直线l的对称点B' ,根据轴对称的性质,可知CB=CB' ,于是连接AB',与直线l的交点C即为所求的点.4.如图3,在直线l上另外再找一点C',连接AC'、B'C'、BC'、CB'.因为点B与点B'关于直线l对称,所以BC=B'C ,BC'=B'C' .在△AB'C'中,因为AC'+B'C'>AB' ,从而得AC'+B'C'>AC+BC ,即点C到A、B的距离之和最短.5.问题2可类似地解决,考虑将两条直线平移后重合,从而将问题转化为前面的知识进行解决.如图4,将点A沿与a垂直的方向平移河宽的距离,连接A'B,交直线b于点N,作MN⊥b,线段MN 即为桥的位置.【归纳总结】在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.【预习自测】已知点A、点B分别在直线l的两侧,在直线l上找一点,使这点到点A、点B的距离之和最短,这样的点有(A)A.唯一一点B.两点C.三点D.无数点互动探究1:如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同旁,为了方便灌溉作物,要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两池,问该站建在河边哪一点,可使所修的渠道最短,试在图中画出该点(不写作法,但要保留作图痕迹)解:如图.互动探究2:见教材P93“复习题13”第15题.解:如图.【方法归纳交流】“两线段之和最短”的数学模型就是作已知两点中的一个点关于某条直线的对称点,连接对称点与另一个点,与直线的交点就是要确定的位置.互动探究3:(方法指导:分别作C、D关于OA、OB的对称点)某班举行文艺晚会,桌子摆成两条直线(如图中的AO,BO),AO桌面上摆满桔子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C处的学生小明想先拿桔子再拿糖果,然后坐到空座位D上.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?解:设计路线如下:见《导学测评》P29。
人教版八年级数学上册《课题学习 最短路径问题(第2课时)》示范教学设计
课题学习最短路径问题（第2课时）教学目标1．利用平移、轴对称解决最短路径的问题，进一步感悟化归思想．2．将实际问题抽象成几何图形的过程中，培养学生用符号语言和图形语言表达数学问题的能力．教学重点利用平移、轴对称解决最短路径的问题．教学难点体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想．教学过程知识回顾上节课我们研究了两类最短路径问题：1．点A，B在直线l异侧：2．点A，B在直线l同侧：【师生活动】教师提出问题，学生作答．【设计意图】通过复习已研究过的最短路径问题，为引出本节课的课题“造桥选址问题”作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）【师生活动】教师提问：1．这是一个实际问题，想一想可以把它抽象为怎样的数学问题？学生思考并回答：可以把河的两岸看成两条平行线a和b（如图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M．当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？教师提问：2．问题是否可以转化？学生回答：由于河岸宽度是固定的（MN长度固定），当AM＋NB最小时，AM＋MN ＋NB最小．所以问题可以转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM +NB最小．教师提问：3．能否通过图形的变化将问题转化为之前研究过的问题呢？教师提示：可以考虑将问题转化为两点在直线异侧，连接A，B两点，与直线的交点即为N．依据：两点之间，线段最短．根据提示，学生思考并回答：将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．所以问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？教师提问：4．这是我们上节课讲的哪种类型？问题应该怎样解决？学生回答：这是我们研究的两点在直线异侧时求最短路径问题．在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的．教师提问：5．试着说一下作图过程．学生独立思考后，尝试画图，寻求符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充．作法：（1）将A沿与河岸垂直的方向平移到A′，使AA′的长度等于桥长；（2）连接A′B，交直线b于点N，点N即为所求；（3）过N作NM⊥a于M，线段MN即为桥的位置．此时从A到B的路径AMNB最短．教师提问：6．你能试着证明一下吗？师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书．证明：在直线b上任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，连接AM′，A′N′，N′B，由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′．所以AM＋NB＝A′N＋NB＝A′B，AM′＋N′B＝A′N′＋N′B．由“两点之间，线段最短”可知：A′B＜A′N′＋N′B，即AM＋NB＜AM′＋N′B，即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．【归纳】在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．【设计意图】通过证明得出新知，让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．二、典例精讲【例题】已知线段a，点A，B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．【师生活动】教师分析：先在直线l上取PQ＝a（如图），连接AP，QB，AB，此时在四边形APQB中，线段PQ和线段AB的长度是固定的，所以当AP＋QB最小时，四边形APQB的周长最小．学生根据分析尝试说出作图过程，教师板书．【答案】作法：（1）将点A沿直线l的方向平移到A′，使得AA′＝a；（2）作A′关于直线l的对称点A′′；（3）连接A′′B，与直线l交于一点Q，Q即为所求点；（4）在点Q左侧取点P，使得PQ＝a，P即为所求点．连接AP，AB，所得四边形APQB的周长最小．【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．课堂小结板书设计一、将军饮马问题（复习）二、造桥选址问题。
课题学习最短路径问题优秀教学案例20人教版八年级数学上册
（五）作业小结
在作业小结环节，我会布置一些相关的练习题，让学生通过练习来巩固和加深对最短路径问题的理解。同时，我会鼓励学生在日常生活中注意观察和思考最短路径问题，将所学知识运用到实际生活中。
最后，我会对学生的学习成果进行评价，给予积极的反馈和鼓励，帮助他们建立自信心和自尊心。通过这样的教学内容与过程，我期望学生能够全面理解和掌握最短路径问题的知识和技能，培养他们的问题解决能力和团队合作能力。
在课堂讨论环节，我鼓励学生积极参与，分享自己的解题思路和心得。针对学生提出的问题，我耐心解答，帮助他们克服困难，深入理解最短路径问题的本质。通过这种方式，学生不仅掌握了最短路径问题的解决方法，还培养了团队协作和沟通能力。
在课后作业环节，我布置了相关的练习题，让学生巩固所学知识。同时，我要求学生在日常生活中注意观察和思考最短路径问题，将所学知识运用到实际生活中，提高解决实际问题的能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
在本章节的教学中，我期望学生能够掌握最短路径问题的基本概念和解决方法。他们应该能够理解最短路径在实际生活中的应用，并能够运用所学的知识解决一些实际问题。此外，我还希望学生能够掌握图论中的基本概念，如顶点、边和图等，并能够运用这些概念来解决问题。
为了达到这个目标，我将在课堂上通过讲解和示例，帮助学生理解和掌握最短路径问题的解决方法。我会使用实际生活中的问题来引导学生思考和探索，使他们能够将所学的知识应用到实际情境中。同时，我还将会提供一些练习题和作业，让学生通过实践来巩固和加深对最短路径问题的理解。
（二）过程与方法
在教学过程中，我将以学生为中心，注重培养学生的思维能力和解决问题的能力。我会鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己的解题思路和心得。通过小组合作和交流，学生将能够学会倾听和理解他人的观点，培养团队合作和沟通能力。
初中八年级数学教案-课题学习 最短路径问题-公开课比赛一等奖
课题学习最短路径问题【教学目标】1．了解最短路径问题。
掌握解决最短路径问题的方法。
2．通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力。
3．通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心。
【教学重难点】最短路径的选择。
【课时安排】2课时。
【第一课时】【教学过程】一、情景导入。
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。
同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径。
二、思考探究，获取新知。
问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。
牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。
设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。
联想：如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短两点之间，线段最短。
连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求。
如果我们能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为上面的情况。
作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质可以得到CB′=CB。
连接AB′，与直线l相交于点C。
则点C即为所求。
学生小组合作交流。
三、巩固练习。
1．如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）。
【第二课时】【教学过程】一、造桥选址问题。
问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。
桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。
）（1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。
《课题学习最短路径问题》教学设计八年级数学（上册）
《课题学习最短路径问题》教学设计八年级数学（上册）教学目标：1.会用轴对称变换确定最短路径；会根据“两点之间，线段最短”进行简单的逻辑推理。
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟图形类比转化的思想。
3.掌握几何变换在实际问题中应用的方法，并积累经验。
4.体验数学活动的探索性和创造性，培养独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。
教学重难点：重点：用轴对称变换解决实际问题中的最短路径问题。
难点：体会图形的变化在解决实际问题中的作用，感悟图形类比转化的思想。
教学过程：一、创设情境，提出问题1.谈话激趣：同学们，在生活中，我们遇事往往都想走捷径，但又有人常说成功路上没有捷径，说到“捷径”让我想到几个常用的数学名词：“最短”“最小值”，同学们你们能否回想一下，我们都学习过哪些关于最短的数学问题呢？2.复习引入：星期六，岳東霖在打篮球，家长打电话说有急事要他赶回家，有三条回家路线供他选择。
A点是篮球场，B点是岳東霖的家，连接A、B两点的所有连线中，你猜他会选哪条路回家呢？为什么？回顾总结：“两点之间，线段最短”3.引申提问：现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得AC+BC的距离最短？连接AB,与直线l相交于一点C.“两点之间，线段最短”能否能将点B“移”到l 的另一侧B′处，即点A、B’分别是直线l同侧的两个点，满足CB 与CB′的长度相等？师生活动：教师引导学生利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点。
4.小结：我们把像两点之间线段最短、垂线段最短等这样的问题统称为“最短路径问题”。
今天我们就一起来研究一类新的最短路径问题——将军饮马。
【设计意图：从学生已经学过的知识和日常生活经验入手，思考、操作、感悟、归纳，为进一步丰富、完善知识结构奠定基础。
】二、师生互动，探究问题----“将军饮马”观看视频，出示问题：将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？思考：你能根据题意把他转化成数学模型吗？--转化为数学问题（师生活动:引导学生尝试画图探究）探究1.当点C在直线 l 的什么位置时，AC+BC最短？（1）讨论交流：如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，你能在直线l上找一点C，使得AC+BC最短吗？（2）画图感知：师生在互动中利用轴对称作图；出点B关于直线l的对称点B′，明确不同的选点，“线段和”会不同。
人教版数学八年级上册《课题学习——最短路径问题》课件
感悟新知
解：如图13 .4 -4，(1)作点A 关于直 线l1 的对称点A′； (2)作点B 关于直线l2 的对称点B′； (3)连接A′B′，分别与直线l1，l2相交 于C，D 两点，连接AC，BD，则沿 路线A → C → D → B 走才能使总路 程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
感悟新知
知识点 1 最短路径问题
知1－讲
类型
问题
作法
最小值
一 线 两
点 型
两点 在直 线异
侧
在直线l 上找 一点P，使PA
＋PB 最小
连接AB，与直 线l 的交点即为
点P
PA＋PB 的最小值 为AB的
值
感悟新知
类型
问题
作法
知1－讲
最小值
两点
一 线 两
知1－练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感悟新知
知1－练
3-1.如图，AB 是∠ MON内部的一条线段，在∠ MON 的两 边OM，ON 上分别取点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
感悟新知
知1－练
(1)如果居民小区A，B 在主干线l 的两侧，如图13.4-1，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
解：如图13 .4 -1，
连接AB，与l 的 交点即为所求的
分支点M.
感悟新知
知1－练
(2)如果居民小区A，B 在主干线l 的同侧，如图13.4-2，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
新人教版八年级数学上【教案】课题学习 最短路径问题
新人教版八年级数学上【教案】课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题【教学目标】教学知识点能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.能力训练要求在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.【教学重难点】重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.【教学过程】一、创设情景引入课题师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.(板书)课题学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.二、自主探究合作交流建构新知追问1:观察思考,抽象为数学问题这是一个实际问题,你打算首先做什么?活动1:思考画图、得出数学问题将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2:尝试解决数学问题问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的问题2 如图,什么位置时,AC 与CB的和最小?师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充教师可作如下提示如果学生有困难,作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B';(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求.如图所示:问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?教师展示:证明:如图,在直线l 上任取一点C'(与点C 不重合),连接AC',BC',B'C'.由轴对称的性质知,BC =B'C,BC'=B'C'.AC +BC= AC +B'C = AB',AC'+BC'= AC'+B'C'.在?AC'B'中,AC'+B'C'>AB',当只有在C点位置时,AC+BC最短.方法提炼:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4练习如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径.基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR 的和最小”.问题5 造桥选址问题如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢?思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法)1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.教师:上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?问题解决:如图,平移A到A,使AA等于河宽,连接AB交河岸于N.作桥MN,此时111路径AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥MN,连接AM,BN,AN. 由平移性质可111111 知,AM=AN,AA=MN=MN,AM=AN. AM+MN+BN转化为AA+AB,而111111111AM+MN+BN 转化为AA+AN+BN. 在?ANB中,由线段公理知AN+BN>AB.11111111111111因此AM+MN+BN> AM+MN+BN,如图所示: 1111三、巩固训练)基础训练 (一1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB'的交点.2.如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)如图,问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+QB.桥MN和PQ在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧.平移的方法有三种:两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处,PQ平移到B点处.)变式训练 (二如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.(1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂?(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?(三)综合训练茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?图a 图b四、反思小结(1)本节课研究问题的基本过程是什么?(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法?你还有哪些收获?五、作业布置课本93页第15题.。
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3、如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a
的同侧，为了方便灌溉作物， 要在河边建一
个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站
建在河边什么地方， 可使所修的渠道最短，
试在图中确定该点。
B.4、如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，
在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。 行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。” 诗中隐含着一个有趣的数学问题．
（二）新课探究
例1、古时候有位将军，每天从训练点A 地出发回到家中B地，都要经过一条笔 直的小河l，而将军的马每天要到河边喝 水，请问他怎么走才能使路程最短？
（二）新课探究
最短路径问题
黄石市第十七中学 胡思珂
（一）复习导入
1、说说学习的轴对称图形有什么特点？ 观察说说图中有相等的线段吗？
沿对称轴折叠可以完全重合，对应 线段长度相等。对称点到对称轴上 的点的距离相等。
（一）复习导入
2、观察下面图形，从A地到B地，哪条路 最短，为什么？
两点之间，线段最短。
（二）新课探究
A
·B
C
l
B′
（三）课堂训练
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q
Q
P
P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
l
P
M
l
D
2.如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一 点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于 直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或 方法是( D ) A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
联想：
如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？
B
A
l
C
B
两点之间，线段最短.
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
利用什么知识可以实现转化目标？
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B A
l
C
B′
在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此， 线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.
证明：如图.
在直线 l 上任取另一点C′ ，
B
连接AC′ ∵直线 l
是、点BCB′、、BB′′的C对′ ．称轴，A
l
点C、C′在对称轴上，
C′ C
∴BC=B′C，BC′=B′C′．
∴AC+BC=AC+B′C=AB′．
在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
B′
∴AC+BC < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
解决“两点一线”型最短路径问题的方法：
异侧: 连接两点，与直线 的交点即为所求的点；
同侧: 作其中某一点关于 直线的对称点，对称点与另 一点的连线与直线的交点即 为所求的点．
则点P的坐标是( C )
A．(－2，0)
B．(4，0)
C．(2，0)
D．(0，0)
B′
5、如图，在直角三角形ABC中，角A=30 度，角C为直角，且BC=1，MN为AC的 垂直平分线，设P为直线MN上任一点， PB+PC的最小值为多少？
总结归纳：
在解决最短路径问题时，我们 通常利用轴对称变换，把较复杂的 问题转化为容易解决的问题——两 点之间，线段最短。从而作出最短 路径的选择。
例2、后来将军将家搬到了河对岸，如 图所示，但回家前将军仍然要去河边饮 马，请问怎样走才能使路程最短？
B A
l
分析：
B B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题
分析
1、描述行走的路线？
2、求全程路程最短问题转 化成求什么？
3、用数学语言描述一下现 在需要解决的问题。
1、从A点到C点，再到B点。 2、求线段AC+BC的和的最小值。 3、设C为直线l上的一个动点，上面的问 题转化为：当点C在 的什么位置时，AC与 CB的和最小。