20.4课题学习最短路径问题

联想：
如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？
B
A
l
C
B
两点之间，线段最短.
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
利用什么知识可以实现转化目标？
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
3、如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a
的同侧，为了方便灌溉作物， 要在河边建一
个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站
建在河边什么地方， 可使所修的渠道最短，
试在图中确定该点。
B.
a
A.
C
B1
知2－练
4、如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，
在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，
A
·B
C
l
B′
（三）课堂训练
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q
Q
P
P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
l
P
M
l
D
2.如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一 点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于 直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或 方法是( D ) A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
例2、后来将军将家搬到了河对岸，如 图所示，但回家前将军仍然要去河边饮 马，请问怎样走才能使路程最短？
B A
l
分析：
B B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题
分析
1、描述行走的路线？
2、求全程路程最短问题转 化成求什么？
3、用数学语言描述一下现 在需要解决的问题。
1、从A点到C点，再到B点。 2、求线段AC+BC的和的最小值。 3、设C为直线l上的一个动点，上面的问 题转化为：当点C在 的什么位置时，AC与 CB的和最小。
则点P的坐标是( C )
A．(－2，0)
B．(4，0)
C．(2，0)
D．(0，0)
B′
5、如图，在直角三角形ABC中，角A=30 度，角C为直角，且BC=1，MN为AC的 垂直平分线，设P为直线MN上任一点， PB+PC的最小值为多少？
总结归纳：
在解决最短路径问题时，我们 通常利用轴对称变换，把较复杂的 问题转化为容易解决的问题——两 点之间，线段最短。从而作出最短 路径的选择。
B A
l
C
B′
在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此， 线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.
证明：如图.
在直线 l 上任取另一点C′ ，
B
连接AC′ ∵直线 l
是、点BCB′、、BB′′的C对′ ．称轴，A
l
点C、C′在对称轴上，
C′ C
∴BC=B′C，BC′=B′C′．
∴AC+BC=AC+B′C=AB′．
在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
B′
∴AC+BC < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
解决“两点一线”型最短路径问题的方法：
异侧: 连接两点，与直线 的交点即为所求的点；
同侧: 作其中某一点关于 直线的对称点，对称点与另 一点的连线与直线的交点即 为所求的点．
最短路径wk.baidu.com题
黄石市第十七中学 胡思珂
（一）复习导入
1、说说学习的轴对称图形有什么特点？ 观察说说图中有相等的线段吗？
沿对称轴折叠可以完全重合，对应 线段长度相等。对称点到对称轴上 的点的距离相等。
（一）复习导入
2、观察下面图形，从A地到B地，哪条路 最短，为什么？
两点之间，线段最短。
（二）新课探究
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。 行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。” 诗中隐含着一个有趣的数学问题．
（二）新课探究
例1、古时候有位将军，每天从训练点A 地出发回到家中B地，都要经过一条笔 直的小河l，而将军的马每天要到河边喝 水，请问他怎么走才能使路程最短？
（二）新课探究