2009-Part6浙江大学 电气学院 电磁场数值计算 课件
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浙江大学《大学物理》课件电磁波
B 0 磁场 D H t
H B
电磁场与电磁波
H E t
E H t
E H E t t t
电磁波除了具有能量，还有动量
w 动量密度为 ，能产生辐射压力 光压 c
分析书上例15.2，重点注意能量是如何进入电容器的！
电磁场与电磁波
电磁波谱
电磁场与电磁波
作业： 15-3 15-5 15-8 15-11 15-14
H y H H x H z i j k t t t t
电磁场与电磁波
电磁波中 E 与 H 方向性关系 H E t
H x Ez Ey 0 y z t H y Ex Ez 0 x t z H z Ey Ex 0 x y t
电磁场与电磁波
有关电场和磁场的规律总结如下：
D dS q0 S 静电场 LE dl 0
B dS 0 S 静磁场 LH dl I
一、位移电流 全电流： 变化的磁场产生涡旋电场 d L Ei dl dt 那么，变化的电场能否产生磁场呢？下面来研究电容器的充 放电过程：
电磁场与电磁波
对S1与S 2的边界L作为积分回路，则安培 环路定理有 对S1 : H dl I 对S 2 : H dl 0
L L
电磁场与电磁波
传导电流在通过电容器时不连续！ 但可以发现，两极板的电场是随着传导电流的变化而变化， 而且在数值上与传导电流的大小有重要关系： dq 平行板电容器中D , D D S q,同时电流I , 故有 dt d D dq I dt dt Maxwell将电位移通量的变化看作一种新的等效电流------位 移电流，同时引入全电流的概念，全电流在任何情况下都连 续！
电磁场课件
v
v
a b
γ
b
a
ε
U0
A组 B组
U0
v 解：对于 B 组，设金属球带电 Q。由高斯定理，可知：E =
Q 4πεr
2
v er
U0 =
∫Байду номын сангаас
R2
R1
v v 1 ⎞ Q ⎛ 1 ⎜ ⎟ − E ⋅ dr = ⎜ 4πε ⎝ R1 R2 ⎟ ⎠
C ε = G γ
4πεR1 R2 Q ， C =U = R −R 0 2 1
总的静电能量为
q 4πε 0 R
E ( R) =
q 4πε 0 R
2
=
U R
U2 =(
q 4πε 0 R
)2 = R2 E 2
We =
导体球受力
1 1 qϕ = qU 2 2
=
1 (4πε 0 RU )U 2
F=
∂We ∂g
ϕ k =常数
=
∂We ∂R
U k =常数
2 2 = 2πε 0U 2 = ⎢ ε 0 E ⎥ (4πR ) 2 ⎦ ⎣
（2）求电容器的电容； （3）假设将电容器接到电压为 V 电源上，并且电容器内介 质被部分的拉出电容器，忽略边缘效应，求介质受到的作用力的大小和方向。 2-18 比较恒定电流的电场与静电场的异同点，证明当两种导电介质内流有恒定电流时， tanθ 2 σ 2 = ， 其中 σ 1 和 σ 2 分别为两种介质的电导率。 分界面上电场力线的曲折满足 tanθ 1 σ 1 2-19 证明在试用 A 表示一个沿 z 方向的均匀恒定磁场 B0，写出 A 的两种不同表示式， 证明二者之差为无旋矢量场。 2-20 电阻、电容和电感是电路理论中基本元件，它们反应的是什么特性参数，表达了导 电介质和导体系统的什么性质。
[工学]2009-Part2浙江大学 电气学院 电磁场数值计算 课件_OK
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(a j
bj x
cj
y
)u
e j
(am bm x cm y)ume ]
Nieuie
N
ej u
e j
Nme ume
2021/8/25
16
1）单元剖分
C. 单元上的插值函数
2.有限元法(2D)
Nke (k i, j, m)
称为形状函数 shape function, trial function
A. 加权余量法（weighted residual method) 根据权函数的不同，可以有 （1）点匹配法
wl i (r ri )
Dirac 函数
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26
2.有限元法(2D)
2）伽辽金有限元法（Galerkin Finite element method)
A. 加权余量法（weighted residual method) 根据权函数的不同，可以有 （1）点匹配法
即
wl Rdxdy wl Rdl 0
(l 1, 2, , N )
wl为一组选定的独立函数—权函数（weighting function)。
uˆ
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23
2.有限元法(2D)
2）伽辽金有限元法（Galerkin Finite element method)
A. 加权余量法（weighted residual method)
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2.有限元法(2D)
2）伽辽金有限元法（Galerkin Finite element method)
B .伽辽金有限元法（Galerkin Finite element method) （1）加权余数表示
浙江大学电磁学课件-第一章-静电场
U 1 4 0
p rˆ r2
p ql
等位面 --电位相等的点构成的曲面
等位面性质
(a) 等位面与电力线（电场强度）处处正交 因为电场沿等位面作功为零
q0Edl cos 0, / 2
(b) 等位面密集的地方电场强度大 设两相邻等位面垂直距离为：n
Q
| U || P E dl | En
S
侧面
E e 与 r 成反比 2 0 r
例题4: 求均匀带正电无限大平面薄板 的场强，板的电荷面密度为 e
解: 如何选高斯面？
E e 2 0
与 r 无关
§1.4 电位、电位梯度
静电场力是保守力 -- 做功与路径无关 证明：
(1) 单个点电荷
dA F dl
F cos dl F KN F K' N'
静电场的环路定理 E dl 0
L
Q P E dl E dl E dl 0
P
Q
L
电力线不能闭合，否则 E dl 0
L
电位差
U PQ
WPQ q0
Q E dl
P
WPQ是电场从P到Q做的功，
注意，电位差与积分路径无关!
选一参考点，可定义某点P的电位，例如
P
2 0 r
与 r 成反比！（如何简单论证？）
请注意：电场是矢量！
对称性分析、微元法、矢量运算、 积分是电磁学的典型思路
电场分布，特别是其与 r 的关系 如何随带电体变化是典型结论
例如，无穷大带电平面板的场强 分布是常数
带电体在电场中所受力、力矩及其运动
例题４：电偶极子在均匀电场中 所受力、力矩及其运动
U (P) P E dl E dl
工程电磁场数值分析概述解读PPT学习教案
• 主要缺点：适用的范围非常有限，仅有极少数的 问题可以直接求解。
• 解析法主要用于理论分析，获取简单、但具有典 型意义问题的解答，建立概念，得到定性理解。
第18页/共26页
数值法（离散法）：
• 数值法的基本思想是，把求解的场域划分成许多 细小的网格（剖分），网格与网格之间通过网格边 边界和节点连结在一起。以节点上的场量值（或位 函数值）为待求未知量，根据函数满足的微分方程 确定节点未知场量之间的关系，这种关系用代数方 程来描述。每个未知量建立一个代数方程，所有的 代数方程联立得到代数方程组，求解得到节点上的 函数值。只要节点足够密，这些节点上的函数值就 能很好的反映场的分布（离散解） 。
定量
第17页/共26页
积分法 分离变量法 镜 像 法 、 电 轴法 微分方程法
保角变换法
••••
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
••••
数学模拟法 物理模拟法
••••
解析法：求解偏微分方程的经典方法
• 分离变量法、格林函数法、积分变换法等。 • 主要优点：解是精确的；具有一定的普适性，当 问题中的某些参数变化时不必重新求解；具有明确 的解析表达式，能够反映参数之间的依赖关系；解 连续可微。
各种新型电磁装置的设计都离不 开场的分析。
新型电机包括其控制，完全是个场的问题。没有场的概念，
第8页/共26页
是不可能的。——马志源
电磁兼容问题、集成电路设计、
回旋加速器磁铁的 三维有限元分析
第9页/共26页
1. 为什么要做电磁场的分析
第10页/共26页
第11页/共26页
2. 电磁场分析所要解决的问题
作业：
1. 翻一翻电磁场理论基础方面的 书，熟悉有关的数学符号，特 别是“三度”（梯度、散度、 旋度）的概念；
• 解析法主要用于理论分析，获取简单、但具有典 型意义问题的解答，建立概念，得到定性理解。
第18页/共26页
数值法（离散法）：
• 数值法的基本思想是，把求解的场域划分成许多 细小的网格（剖分），网格与网格之间通过网格边 边界和节点连结在一起。以节点上的场量值（或位 函数值）为待求未知量，根据函数满足的微分方程 确定节点未知场量之间的关系，这种关系用代数方 程来描述。每个未知量建立一个代数方程，所有的 代数方程联立得到代数方程组，求解得到节点上的 函数值。只要节点足够密，这些节点上的函数值就 能很好的反映场的分布（离散解） 。
定量
第17页/共26页
积分法 分离变量法 镜 像 法 、 电 轴法 微分方程法
保角变换法
••••
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
••••
数学模拟法 物理模拟法
••••
解析法：求解偏微分方程的经典方法
• 分离变量法、格林函数法、积分变换法等。 • 主要优点：解是精确的；具有一定的普适性，当 问题中的某些参数变化时不必重新求解；具有明确 的解析表达式，能够反映参数之间的依赖关系；解 连续可微。
各种新型电磁装置的设计都离不 开场的分析。
新型电机包括其控制，完全是个场的问题。没有场的概念，
第8页/共26页
是不可能的。——马志源
电磁兼容问题、集成电路设计、
回旋加速器磁铁的 三维有限元分析
第9页/共26页
1. 为什么要做电磁场的分析
第10页/共26页
第11页/共26页
2. 电磁场分析所要解决的问题
作业：
1. 翻一翻电磁场理论基础方面的 书，熟悉有关的数学符号，特 别是“三度”（梯度、散度、 旋度）的概念；
电磁场数值分析课件
湖北工业大学研究生考试答题纸考试科目工程电磁场数值计算研究生姓名陈天丽学号120130104任课教师邹玲教授学院、专业电气与电子工程学院成绩二0一四年6 月19日《工程电磁场数值计算》课程学习总结这一学期的工程电磁场数值计算学完了，在老师的教导下以及与同学的课堂交流中我学习了很多很多东西，接下来我将从以下七个方面来总结以下这一学期我们学习的东西。
1.高斯消元法 1.1高斯消元法概念高斯消除法是求解线性代数方程组最古老的方法之一。
它不仅容易在计算机上实现，同时，又是构造其他方法的基础。
基本思想：按序逐次消去未知量，把原来的方程化为等价的三角形方程组，或者说，用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为简单三角形矩阵；然后按相反方向顺序向上回代求解方程组。
一．下面以一个例子来说明高斯消除法的计算过程。
123123123234 6 (1)352 5 (2)433032 (3)x x x x x x x x x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 将上述方程写成矩阵形式23463525433032⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）以第一行为基底，消元：12121132*==k k k 131311422*===k k k （2）第二行减去第一行乘以12*k21211112332()02**=+∙=+⨯-=k k k k222212123153()22**=+∙=+⨯-=k k k k23231312324()42**=+∙=+⨯-=-k k k k221312356()42**=+∙=+⨯-=-p p k k（3）同理，第三行减去第一行乘以13*k31311113442()02**=+∙=+⨯-=k k k k32321213433()32**=+∙=+⨯-=-k k k k333313134304()222**=+∙=+⨯-=k k k k331334326()202**=+∙=+⨯-=p p k p变形后矩阵变为234600.544032220⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（4）同理，以第二行为基地，消元：232322360.5*-===-k k k 323212233(3)0.5()00.5**=+∙=--⨯-=k k k k 33331313322(4)()20.5**=+∙=--⨯-=-k k k k331323320(4)()40.5**=+∙=--⨯-=-p p k k再次变形后的矩阵为234600.544004﹣﹣﹣2﹣⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的方程为1232340 (1)++=x x x 230.54 4 (2)-=-x x 32 4 (3)-=-x解得3212813x x x ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩二.有限元的方程组的求解方法归纳：13121110112223202122001020300n n n n n n n n n k k p k k p k k k k p k k k k ϕϕϕ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦高斯法如下：以第一行为基底消元：11ij ijp p k *=1111j jk k k *=第二 行减去第一行乘12k *第n 0行减去第一行乘01n k *同理有如下通式111111ii i i i p p p k p p k k **=-∙=-∙111111j ij ij j jij i k k k k kk k k **=-∙=-∙1.2列主元消除法一．基本实例 二．基本思想 给出增广矩阵111211,1212222,112,1a ，b =n n n n n n nnn n a a a a a a a A aa a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦用增广矩阵表示方程组，在增广矩阵上进行计算，其计算步骤是： （1） 选1,111a max i i i na ≤≤=，交换第1行和第1i ，然后进行消元得，()()()()()()()()()()()()()()111111121n 1,1111111212222,11111n12,1a ，b =n n n n nn n n a a a a a a a A a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2） 选()21,1i22a max i i n a ≤≤=，交换第2行和第2i ，然后进行消元，得()()22，b A ⎡⎤⎣⎦依次类推，每次消元前都要换行取最大的列元素为主元 三.列主元消去法技巧和注意在消元过程中适当选取主元素是十分必要的。
ZJU工程电磁场与波实验指导课件
球半径 R=5cm 线匝数N=131匝 材料：环氧树脂 （ 0） • 结构特征： 精心缠绕的线匝 模拟了铅垂方向具有 均匀线匝密度分布的 磁通球的设计要求 • • •
实验原理
球形载流线圈自感系数 L
2 2 L πN 0 R I 9
2 B dS 0 H1 π R sin S
序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 坐标 r （cm） （ = 0） −5 −4 感应电势法 测试线圈的感应电势 E （10-3V） 按式(1-6)计算的磁感应强度 B （10-4T = Gs）
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
5
实验任务
磁通球轴线上磁感应强度 B 的分布
ⅱ) 霍耳效应法测磁感应强度 B
序 号 1 2 3 4 坐标（r，） （cm，rad） “北极”（交流激磁 I = 1 A） “北极”（直流激磁 I = 1 A） “赤道”（交流激磁 I = 1 A） “赤道”（直流激磁 I = 1 A） 霍耳效应法 实测值 Bav （10-4T = Gs） 计算的磁感应强度 B （10-4T = Gs） 提示：参考式 (1-3)和式(1-8) 提示：参考式 (1-3)和式(1-8) 提示：参考式 (1-2)和式(1-8) 提示：参考式 (1-2)和式(1-8)
Wm
1 2 LI 2
Wm f h
I Const
1 2 dL I Mg 2 dh
h L ln 2h L 0 aN 2 ln 2 0 R R
2Mgh I L0
N=250匝 盘状线圈 铝质导板 内径R1 = 31 mm 外径R2 = 195 mm 厚度h = 12.5 mm 质量M= 3.1 kg 厚度b = 14 mm 电导率 3.82107 S/m
实验原理
球形载流线圈自感系数 L
2 2 L πN 0 R I 9
2 B dS 0 H1 π R sin S
序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 坐标 r （cm） （ = 0） −5 −4 感应电势法 测试线圈的感应电势 E （10-3V） 按式(1-6)计算的磁感应强度 B （10-4T = Gs）
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
5
实验任务
磁通球轴线上磁感应强度 B 的分布
ⅱ) 霍耳效应法测磁感应强度 B
序 号 1 2 3 4 坐标（r，） （cm，rad） “北极”（交流激磁 I = 1 A） “北极”（直流激磁 I = 1 A） “赤道”（交流激磁 I = 1 A） “赤道”（直流激磁 I = 1 A） 霍耳效应法 实测值 Bav （10-4T = Gs） 计算的磁感应强度 B （10-4T = Gs） 提示：参考式 (1-3)和式(1-8) 提示：参考式 (1-3)和式(1-8) 提示：参考式 (1-2)和式(1-8) 提示：参考式 (1-2)和式(1-8)
Wm
1 2 LI 2
Wm f h
I Const
1 2 dL I Mg 2 dh
h L ln 2h L 0 aN 2 ln 2 0 R R
2Mgh I L0
N=250匝 盘状线圈 铝质导板 内径R1 = 31 mm 外径R2 = 195 mm 厚度h = 12.5 mm 质量M= 3.1 kg 厚度b = 14 mm 电导率 3.82107 S/m
art1浙江大学电气学院电磁场数值计算
7
一、 概述
电磁场正问题数值分析
1. 电磁场数值分析
对于描述电磁现象普遍规律的电磁场微分（积分）方 程， 通过某种方法和运算，将原微分（积分）方程转 化为离散的代数方程，然后利用高性能的计算机直接 求解代数方程，得到原问题在一系列离散点上的数值 解。
差分/差商—代替微分/微商 有限求和—代替积分
December 2, 2009
Jv
EjB
•B0
•D
December 2, 2009
18
一、 概述
电磁场正问题数值分析
4. 数学模型
1） Maxwell’s equation—constitutive relations
D E B H Jc E
BD Jc
EHE
高频条件下上述媒质特性参数将为复数
December 2, 2009
December 2, 2009
3
电磁场数值分析
2 课程的主要内容
➢电磁场逆问题的分析、计算方法
概述 全局优化算法 表面响应模型 矢量（多目标）优化算法 鲁棒优化问题
December 2, 2009
4
电磁场数值分析
2 课程的主要内容
➢上机作业 利用有限元法计算典型工程电磁场问题 编制典型优化算法源程序
December 2, 2009
5
电磁场数值分析
3 总体安排
➢电磁场正问题 4次课 ➢电磁场逆问题 3次课 ➢上机作业 1次课
December 2, 2009
6
电磁场数值分析
4 考核方法
➢上机作业50%+期末考试 50% 利用有限元法计算典型工程电磁场问题 编制典型优化算法源程序
Decembe
电磁场课件
数值计算
数值计算是通过计算机进行数值计算的方法，可以解决各种复杂的电磁场问题，如电磁 散射、电磁感应等。
矩量法与高频近似方法
矩量法
矩量法是一种将连续的电磁场问题离散化为 一系列矩量项的方法，通过矩量项之间的相 互作用得到电磁场的解。
高频近似方法
高频近似方法是一种在高频情况下对电磁场 问题进行近似求解的方法，如RayleighSommerfeld方法等。
03
电磁场与纳米技术的 结合
纳米技术与电磁场的结合可以实现纳 米级的信息传输和能量转换，有望在 能源、医疗等领域实现创新。
电磁场在环保和可持续发展中的作用
电磁场在污染治理中的应 用
电磁场可以用于处理环境污染问题，如废水 、废气等，通过电磁场的作用，可以实现废 物的有效处理和资源的回收利用。
电磁场在节能减排中的应 用
电磁场可以用于生物组织工程，通过调节电磁场的分布和 强度，可以实现对生物组织的刺激和引导，有望在组织修 复和再生方面发挥重要作用。
CHAPTER 06
附录：电磁场实验及案例分析
电磁场实验操作指南
实验1：电磁感应实验
通过观察电磁感应现象，理解法拉第电磁感应定律和楞次定律。
学生需要使用实验器材，如电源、线圈、磁铁等，进行实验操作，并观察实验结果。通过改变实验条件 ，如改变磁铁的极性或电源的电压，学生可以深入理解法拉第电磁感应定律和楞次定律。
03
学生需要了解电磁场对生物体可能产生的影响，包括热效应和非热效应。通过 研究相关文献和实验数据，学生可以讨论电磁场对生物体的影响及其安全阈值 ，并提出可行的防护措施。
THANKS
[ 感谢观看 ]
CHAPTER 02
电磁场的基本原理
库伦定律与高斯定理
数值计算是通过计算机进行数值计算的方法，可以解决各种复杂的电磁场问题，如电磁 散射、电磁感应等。
矩量法与高频近似方法
矩量法
矩量法是一种将连续的电磁场问题离散化为 一系列矩量项的方法，通过矩量项之间的相 互作用得到电磁场的解。
高频近似方法
高频近似方法是一种在高频情况下对电磁场 问题进行近似求解的方法，如RayleighSommerfeld方法等。
03
电磁场与纳米技术的 结合
纳米技术与电磁场的结合可以实现纳 米级的信息传输和能量转换，有望在 能源、医疗等领域实现创新。
电磁场在环保和可持续发展中的作用
电磁场在污染治理中的应 用
电磁场可以用于处理环境污染问题，如废水 、废气等，通过电磁场的作用，可以实现废 物的有效处理和资源的回收利用。
电磁场在节能减排中的应 用
电磁场可以用于生物组织工程，通过调节电磁场的分布和 强度，可以实现对生物组织的刺激和引导，有望在组织修 复和再生方面发挥重要作用。
CHAPTER 06
附录：电磁场实验及案例分析
电磁场实验操作指南
实验1：电磁感应实验
通过观察电磁感应现象，理解法拉第电磁感应定律和楞次定律。
学生需要使用实验器材，如电源、线圈、磁铁等，进行实验操作，并观察实验结果。通过改变实验条件 ，如改变磁铁的极性或电源的电压，学生可以深入理解法拉第电磁感应定律和楞次定律。
03
学生需要了解电磁场对生物体可能产生的影响，包括热效应和非热效应。通过 研究相关文献和实验数据，学生可以讨论电磁场对生物体的影响及其安全阈值 ，并提出可行的防护措施。
THANKS
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CHAPTER 02
电磁场的基本原理
库伦定律与高斯定理
电磁场课件精选
r I r H 2 = −∇ϕm 2 = eφ ( ρ > R2 ) 2πρ
注: 零磁位的选择比零电位 宽松. 宽松
∴ U mAP = ∫ H ⋅ dl = ∫) + ∫
A AC
补充例题2 有一个载电流I的无限长直导线 的无限长直导线, 补充例题 有一个载电流 的无限长直导线 求图中 A, P两点磁压 两点磁压. 两点磁压 r I r eα , 解: 注意到 H = 2πr 并且磁压计算中的积分 与路径无关, 与路径无关 因此选择 如图所示便于计算的 积分路径， r 积分路径，得 π r
球形电容器的内外半径分别是R 例 球形电容器的内外半径分别是 1=5cm, R2= U 10cm, 加有电压 = 100V .电容器中有两层均匀 介质,其分界面也是同心球面. R0 介质,其分界面也是同心球面 半径 = 8cm ,电 −10 −9 γ1 = 解质的电导率分别是 10 S/ m,γ2 =10 S/ m ,求球 面间的电流密度,场强和电位. 面间的电流密度,场强和电位 r I r r r I r E1 = er ( R1 ≤ r ≤ R0 ) Q J = γE = er 4πγ1r 2 r 4πr 2 I r E = e (R ≤ r ≤ R )
①
利用两种媒质分界面上的衔接条件: 利用两种媒质分界面上的衔接条件:
B22 = B11 或 µ 1 H 21 = µ 2 H 22
②
联立①②， 联立①②，得 ①②
r ∴ H 21 =
µ2 I r eφ ( µ1 + µ 2 )πρ
r B21 =
r H 22 =
µ1µ 2 I r eφ ( µ1 + µ 2 )πρ
r r r ∴ A = A1 + A2 L + r12 + L2 r2 r µ0 I = ln{ . }e z 2π L + r22 + L2 r1
注: 零磁位的选择比零电位 宽松. 宽松
∴ U mAP = ∫ H ⋅ dl = ∫) + ∫
A AC
补充例题2 有一个载电流I的无限长直导线 的无限长直导线, 补充例题 有一个载电流 的无限长直导线 求图中 A, P两点磁压 两点磁压. 两点磁压 r I r eα , 解: 注意到 H = 2πr 并且磁压计算中的积分 与路径无关, 与路径无关 因此选择 如图所示便于计算的 积分路径， r 积分路径，得 π r
球形电容器的内外半径分别是R 例 球形电容器的内外半径分别是 1=5cm, R2= U 10cm, 加有电压 = 100V .电容器中有两层均匀 介质,其分界面也是同心球面. R0 介质,其分界面也是同心球面 半径 = 8cm ,电 −10 −9 γ1 = 解质的电导率分别是 10 S/ m,γ2 =10 S/ m ,求球 面间的电流密度,场强和电位. 面间的电流密度,场强和电位 r I r r r I r E1 = er ( R1 ≤ r ≤ R0 ) Q J = γE = er 4πγ1r 2 r 4πr 2 I r E = e (R ≤ r ≤ R )
①
利用两种媒质分界面上的衔接条件: 利用两种媒质分界面上的衔接条件:
B22 = B11 或 µ 1 H 21 = µ 2 H 22
②
联立①②， 联立①②，得 ①②
r ∴ H 21 =
µ2 I r eφ ( µ1 + µ 2 )πρ
r B21 =
r H 22 =
µ1µ 2 I r eφ ( µ1 + µ 2 )πρ
r r r ∴ A = A1 + A2 L + r12 + L2 r2 r µ0 I = ln{ . }e z 2π L + r22 + L2 r1
工程电磁场数值计算第5章课件
5.4 线性静态场中的 FEM方程
5.4.3 轴对称泊松场之二 在给定量为 J =Jφeφ 的前提下，待求量即为 A（r）=A(ρ,z) =A(ρ,z)eφ BVP： 等价变分问题 ： 泊松方程的定解问题 一阶FEM：令
5.5.1 平行平面磁场或轴对称磁场 令待求量为 A( r ) =A( x,y) =Az(x,y)ez 或 A( r ) =A(ρ,z) =Aφ(ρ,z)eφ ，则由 平行平面磁场 轴对称磁场 统一的 BVP （表5-2）
5.2 变分原理 5.2.1 泛函. 变分问题 （1）两点间最短连线问题
（2）最速降线问题
（3）短程线（测地线）问题 （4）等周问题 5.2.2 变分法的基本概念. 变分问题 （1）最简泛函的变分问题 一次变分： 泛函增量为
5.5 非线性磁场中的 FEM方程
[K(u)] {u} = {P}
平行平面磁场
轴对称磁场
非线性磁场 FEM 方程
5.6 FEM 前、后处理的基础技术
5.6.1 自动剖分技术 RQAMG （规则平面域）
CAMG（圆形、扇形、中空圆形域）
AMG （无限的三角元逐次细分）
极值函数解： 设极值函数解为 y = y (x) 令 y + y= y +(x) , 则 J [y + y] = J [y +] = J [y (x, )]＝ ( ) 故 J [y (x )]＝ ( ) = min ，对应于函数取极值的必要条件，可知应有 今 故 而 J
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.7 时谐电磁场中的 FEM方程
5.7.1 涡流场 2D平行平面涡流场：
式中，
5.7.2 波导场
TE波：
TM波：
电磁场课件电磁场与电磁波第三章__静态电磁场及其边值问题的解
n × (E1 − E2 ) = 0 ⇔ E1t = E2t
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl
电磁场数值方法_矩量法6
1 ( X) jk X(r )G (r , r ) 2 X(r )G (r , r ) dV k V 1 jk X(r )G (r , r ) 2 2 X(r )G (r , r ) dV k V
ln ρ n 2 An n (r ) ln ρ n A 2 n
r Tn r Tn
ln：三角形 Tn+ 和 Tn 的共同边 An+: 三角形Tn+ 的面积 An: 三角形Tn 的面积
ln An n (r ) ln An
电流用 RWG 基函数展开
J s (r ) I n n (r )
n 1
N
ln 边对应的电流分量为 Inn(r) 保证了所有三角形的边上电流的连续性
电磁场数值算法
6
三维积分方程的矩量法求解
矩阵方程
1 J n ˆ 0 H inc (r ) n ˆ ˆ Einc (r ) ˆ 00 J s ˆ 0 ˆ n 0 J s n n n s 2
电磁场数值方法 （C041007，2014年秋季学期）
矩量法 VI
王薪 wang90@
三维散射问题积分方程模型
E(r ) r V Einc (r ) J s M s r Vo 0 1 H (r ) r V H inc (r ) M s J s r Vo 0
EFIE MFIE
2
三维导体散射的表面积分方程
避免内部谐振问题的方法：采用 CFIE
EFIE MFIE ˆ Einc (r ) ˆ 00 J s n n r So r So
ln ρ n 2 An n (r ) ln ρ n A 2 n
r Tn r Tn
ln：三角形 Tn+ 和 Tn 的共同边 An+: 三角形Tn+ 的面积 An: 三角形Tn 的面积
ln An n (r ) ln An
电流用 RWG 基函数展开
J s (r ) I n n (r )
n 1
N
ln 边对应的电流分量为 Inn(r) 保证了所有三角形的边上电流的连续性
电磁场数值算法
6
三维积分方程的矩量法求解
矩阵方程
1 J n ˆ 0 H inc (r ) n ˆ ˆ Einc (r ) ˆ 00 J s ˆ 0 ˆ n 0 J s n n n s 2
电磁场数值方法 （C041007，2014年秋季学期）
矩量法 VI
王薪 wang90@
三维散射问题积分方程模型
E(r ) r V Einc (r ) J s M s r Vo 0 1 H (r ) r V H inc (r ) M s J s r Vo 0
EFIE MFIE
2
三维导体散射的表面积分方程
避免内部谐振问题的方法：采用 CFIE
EFIE MFIE ˆ Einc (r ) ˆ 00 J s n n r So r So
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f ( x ) c j H j ( x x j )
j 1
N
其中 c j 为常系数。
January 6, 2010
7
9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
A. 基本原理
严格说来，由于大部分的全支撑（globally supported）RBF 基函数 不满足正定性的要求，上式中右侧的插值函数需增加多项式项。但 在实际应用时，尤其是在电磁场逆问题应用中，一般均采用上式所 示的插值公式构造函数 f 的表面响应模型。
23
9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
C.常用径向基函数及其优、缺点
（2）Numerical Experiments—Observations 一般应用中，通常选择 MQ 函数作为重构的基函数。
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9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
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1
9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
1）基本原理
A. Why
前面的进化算法在解决很多实际问题时都取得了较好的计算效果， 但这些成果往往是以增大计算量和计算时间为代价的。其共同缺点 就是收敛速度比较慢。尽管人们对这些算法进行了系列的研究和改 进，提高了算法的收敛速度。但是，对于电磁场的逆问题的分析和 计算，由于每步迭代中都需进行若干次电磁场数值计算，因此这些 算法所需的计算时间，尤其是对于三维电磁场逆问题的分析和计 算，有时是难以接受的。而随着要解决的实际工程问题的日趋复 杂，这一弱点显得尤为突出。因此，电磁场逆问题（优化问题）的 求解计算，迫切需要一种新的、有效的全局优化算法。
25
9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
D. MQ径向基函数中形状参数h的选择
在处理实际优化问题时，为了得到最佳的重构函数，必须考 虑 h 的取值问题，也就是在处理不同的优化问题时，怎样才能 自动得到其最佳 h 值的问题。为此，这里介绍一种简单的方 法，即 “排除运算” （exclusion algorithm）
January 6, 2010
2
9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
1）基本原理
B. How
表 面 响 应 模 型 （ Response surface model 或 methodology ， 简 称 RSM）和随机优化算法的结合，为解决实际工程电磁场逆问题的 快速分析和计算提供了一种新的可供选择的方法。
January 6, 2010 21
9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
C.常用径向基函数及其优、缺点
（2）Numerical Experiments—Observations b.采用式（3）和式（4）的基函数重构的函数图 象与原函数图象吻合得比较好。但由于式（3）和 式（4）的基函数中都有两个参数待定，因此对于 不同的目标函数，重构时调节参数的过程相对来 说比较复杂。
20
9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
C.常用径向基函数及其优、缺点
（2）Numerical Experiments—Observations a.式（1）和式（2）给出的基函数比较简单，但采用这两种 基函数重构的函数图形与原函数之间的差别比较大，尽管随着 采样点数的增加，重构函数对原函数的逼近度有所改善，但是 这种重构函数精度的改进是以增加计算量和存储空间为代价 的，尤其是在优化变量的维数大于 3 后，这一问题尤为突出。 因此在优化变量的维数比较少，并且目标函数的表达式较为简 单时，可以选用式（1）和式（2）所定义的基函数。
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3
9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
1）基本原理
B. How
首先将决策变量空间离散为一系列采样点，并利用数值计算方法计 算出目标/约束函数在这些采样点的函数值；然后根据目标/约束函 数在这些采样点的函数值，利用一定的表面响应模型重构目标/约 束函数；最后，应用某一优化算法，对重构的优化问题进行寻优计 算，得到原问题的近似解。由于表面响应模型方法仅在计算采样点 上的目标/约束函数函数值时需要进行电磁场的数值计算，因此与 传统的分析方法相比，这种方法的计算效率大大提高。显然，表面 响应模型法的计算精度，主要取决于所采用的表面响应模型的精 度。
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6
9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
A. 基本原理
对于 f R ，如果给定其在一些列采样点 x j ( j 1,2,, N ) 上的 函数值 f j ，其基于 RBF 基函数 H 的近似表达式（插值函数）为
13
9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
C.常用径向基函数及其优、缺点
（1）常用的 RBF 包括： 当 0.5 时，式（3）所示的 RBF 称为 multiquadrics (MQ) 函数。重 构函数的性质取决于所采用的 RBF。不同的 RBF 得到的重构函数 （插值函数）并不完全相同。
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9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
C.常用径向基函数及其优、缺点
（2）Numerical Experiments—Observations c.在相同数量采样点的情况下，MQ 函数是其中性能最好的 一个。
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9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
A. 基本原理
为确定系数 c j ，现将函数 f 在点 xi 上坐标和函数值 fi 分别代入 原式的左、右两侧，有
fi c j H j ( xi x j )
j 1
N
2
h) 重构的数学函数
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9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
C.常用径向基函数及其优、缺点
（2）Numerical Experiments—Numerical results
January 6, 2010
采用基函数 H ( r )
January 6, 2010
采用基函数 H (r ) r 重构的数学函数
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9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
C.常用径向基函数及其优、缺点
（2）Numerical Experiments—Numerical results
采用基函数 H (r ) e
2）基于径向基函数的表面响应模型
C.常用径向基函数及其优、缺点
（1）常用的 RBF 包括：
H (r ) r
（1） （2） （3） （4）
H (r ) e r
2
H (r ) (r 2 h) (0 1) 1 H (r ) 2 ( 0) ( r h)
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9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
D. MQ径向基函数中形状参数h的选择
Alotto P, Gaggero M, Molinari G. et al., A "design of experiment" and statistical approach to enhance the "generalized response surface" method in the optimization of multi -minima problems, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 33, pp. 1896-1899, 1997.
2）基于径向基函数的表面响应模型
D. MQ径向基函数中形状参数h的选择
在现有的文献中，参数 h 通称为形状参数。顾名思义， h 的 取值将会影响 MQ 函数重构所得的函数的形状。当 h 的取值 比较小时，其重构函数的曲线比较尖，函数图象不够平滑； 当 h 的取值变大时，重构的曲线逐渐变得平滑。
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January 6, 2010
r2
重构的数学函数
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9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
C.常用径向基函数及其优、缺点
（2）Numerical Experiments—Numerical results
采用基函数 H (r ) (r
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1 重构的数学函数 2 ( r h)
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9.表面响应模型(RSM-surrogate model)
2）基于径向基函数的表面响应模型
C.常用径向基函数及其优、缺点
（2）Numerical Experiments—Numerical results
January 6, 2010
采用基函数 MQ 重构的数学函数
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