线性代数证明题
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4. 设
A 、
B 都是n 阶对称矩阵，并且B 是可逆矩阵，证明：11AB B A --+是对称矩阵.
证明：因为
A 、
B 为对称矩阵，所以B B A A T T ==,
11111
1
1
1
1
1
()()()()()T T T
T T
T
T AB B A AB B A B A A B B A AB AB B A
----------⇒+=+=+=+=+
则矩阵11AB B A --+ 是对称矩阵。
5. 设
n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1
*n -A =A
.
证明：因为
*AA =A E
⑴当
0A =时，*0AA =.
用反证法：假设
*0A ≠，则知*A 可逆，
在等式*
O AA
=左右两边同时右乘()
1
*-A ，得到O A =，
于是*
O A =，这与假设矛盾，
可知当
0A =时, 有1
*0n -A ==A
；
⑵ 当
0A ≠时，在等式*AA =A E 两边同时取行列式，得
**n
A A =AA =A E =A
两边同时约去
A
，得
1
*n -A =A
.
6. 设向量b 能由321,,ααα这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组321,,ααα线性无关。 证明：（反证法）如果321,,a a a 线性相关，则有一组不全为0的系数321,,λλλ使332211a a a λλλ++=0 （1），
由已知设332211αβαβαβ++=b
，结合（1）式得
333222111)()()(0a a a b b λβλβλβ+++++==+ （2）
由于321,,λλλ不完全为零，则11λβ+，22λβ+，33λβ+与321,,βββ不同，这与b 表示法惟一相矛盾，故向量组321,,ααα线性无关。
7. 设321,,ααα是
n 阶方阵A 的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123βααα=++，证明：β
不是
A 的特征向量。
证明：假设
()123123112233A A A A A A βλββααααααλαλαλα=⇒=++=++=++，
又：
123112233A λβλαλαλαβλαλαλα=++==++
从而：
()()()1122330λλαλλαλλα-+-+-=，
由于特征值各不相等，所以321,,ααα线性无关，
所以的
1231230λλλλλλλλλλ-=-=-=⇒===，矛盾。故β
不是
A 的特征向量。
8.已知向量组123,,a a a 线性无关，1122b a a =+，2233b a a =+，3134b a a =+，证明向量组123,,b b b 线性无关.
证明 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
()()123123201,,,,130,014b b b a a a B AK ⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
记，
设0Bx
=，以B AK =代入得()0A Kx =，
因为矩阵
A 的列向量组123,,a a a 线性无关，知0Kx =的系数行列式250K =≠，知齐次线性方程组 0Kx =只有零解0x =。
所以，齐次线性方程组0Bx
=只有零解0x =，故矩阵B 的列向量组123,,b b b 线性无关。
9.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解；（2）η0，η1，η2线性无关。 证 由假设A η0=b ，A ξ1=0，A ξ2=0.
（1）A η1=A （η0+ξ1）=A η0+A ξ1=b ，同理A η2= b ， 所以η1，η2是Ax=b 的2个解。 （2）考虑k 0η0+k 1η1+k 2η2=0， 即 （k 0+k 1+k 2）η0+k 1ξ1+k 2ξ2=0.
则k 0+k 1+k 2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。 所以 k 1ξ1+k 2ξ2=0.
又由Ax=0的一个基础解系, 所以，ξ1，ξ2线性无关，所以k 1=k 2=0，从而 k 0=0 . 故η0，η1，η2线性无关。
10.设
A 是n 阶矩方阵，E 是n 阶单位矩阵，E A +可逆，且1()()()f A E A E A -=-+。
证明（1） (())()2E f A E A E ++=；
（2） (())f f A A =。 证明 ：（1）
1(())()[()()]()
E f A E A E E A E A E A -++=+-++1()()()()()()2E A E A E A E A E A E A E -=++-++=++-=
（2）
1(())[()][()]f f A E f A E f A -=-+
由（1）得：11
[()]()2
E
f A E A -+=+，代入上式得
11111
(())[()()]()()()()()
222
f f A E E A E A E A E A E A E A E A --=--++=+--++