物理学(王铭)量子基础习题解答

解
不确定关系的概念。 不确定关系的概念。
第5页
一、选择题 5. 已知粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为： 1 3π x ψ ( x) = ⋅ cos ( −a ≤ x ≤ a )
a 2a
那么粒子在x=5a/6处出现的概率密度为[ A ] (A) 1 2a (B) 1 a (C) 1 a (D) 1 2a
解
由德布罗意波长可得粒子的动量，在求动能。 由德布罗意波长可得粒子的动量，在求动能。
p=
h
λ
p2 h2 E= = = ... = 3.29 ×10−21 J 2m 2mλ 2
第 13 页
二、填充题 7. 静质量为me的电子，经电势差U12为的静电场加速后，若不考虑 h 相对论效应，电子的德布罗意波长λ＝ 2m eU 。。
解
由实物粒子的德布罗意波长公式： 由实物粒子的德布罗意波长公式：
E h ν = , λ= h p
可知，两种粒子的动量相同。 可知，两种粒子的动量相同。
第3页
一、选择题 3. 若α粒子在磁感应强度为B的均匀磁场中沿半径为R的圆形轨道运 动，则粒子的德布罗意波长是[ A ]
h (A) 2eRB
Baidu Nhomakorabea
(B)
h eRB
解
电子在电场中加速，动能增加： 电子在电场中加速，动能增加：
E
1 2 1 2 p2 h mv0 − ( −eEd ) = mv = , λ= 2 2 2m p 1 2 h2 − mv0 2 2 ⇒ d = 2mλ = ... = 0.0963m eE
e
v0
d
第 16 页
三、计算题 2. 实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75eV的光子。 (1) 试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级？ (2) 受激发的氢原子向低能级跃迁时，可能发出哪几条谱线？请 画出能级图(定性)，并将这些跃迁画在能级图上。。
2 4
解 波函数的平方为
概率密度。 概率密度。在指 定区域的概率就 2 2 1 1 a a 是概率密度对该 = 2 4 sin π x d x = 2 a 4 sin π x d π x a ∫0 a π ∫0 a a a 区间的积分： 区间的积分： 21πx 1 2π x 14 a = − sin 0 = ... = 0.091 π 2 a 4 a
% = 1 = R( 1 − 1 ), n = 3,4,5L ν λ 22 n2
λmin λmax
1 1 1 R( 2 − 2 ) 2 ∞ =5 = 1 1 1 R( 2 − 2 ) 9 2 3
第2页
一、选择题 2．如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种 粒子的[ A ] (A) 动量相同。 (B) 能量相同。 (C) 速度相同。 (D) 动能相同。。
第 17 页
三、计算题 3.粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为： 2 nπ x ψ n ( x) = sin (0 < x < a)
a a
若粒子处于n＝1的状态，在区间0~a/4内发现粒子的概率是多 少 ?（提示： ∫ sin 2 xd x = 1 x − 1 sin 2 x + C ）
∫
−∞
解
第 15 页
三、计算题 1. 如图所示，一电子以初速度v0=6.0×106m/s逆着场强方向飞入 电场强度为E = 500V⋅m-1的均匀电场中，问该电子在电场中要飞 行多长距离d，可使得电子的德布罗意波长达到λ=1Å。(飞行过 程中，电子的质量认为不变，即为静止质量me = 9.11×10-31kg ， 基本电荷e = 1.60×10-19C )
hν + (−3.4eV) = 6.63 ×10−34 × 6.15 ×1014 (J) − 3.4eV = −0.85eV
第9页
二、填充题 3. 氢原子基态的电离能是 −13.6 eV。电离能为 ＋0.544 eV的激发 态氢原子，其电子处在n＝ 5 的轨道上运动。
解
氢原子基态的能量为− 氢原子基态的能量为−13.6eV，因此电离能也是这个值。 ，因此电离能也是这个值。 电离能为0.544 eV的能级的量子数可由下式计算： 的能级的量子数可由下式计算： 电离能为 的能级的量子数可由下式计算
解
波函数的平方就是概率密度。 波函数的平方就是概率密度。
3π 5a 1 5a 1 ψ = ⋅ cos( ⋅ ) = − 2a 6 a 2a 6 5a 1 P =ψ 2 = 6 2a
第6页
一、选择题 6．氢原子中处于3d量子态的电子，描述其量子态的四个量子数(n, l, ml , ms)可能取的值为[ D ] (A) (3，1，1，－1/2) (B) (1，0，1，－1/2) (C) (2，1，2，1/2) (D) (3，2，0，1/2)
第 18 页
∫
1 a 4 0
ψ 1 ( x )ψ
* 1
( x )d x = ∫
1 a 4 0

2 π x sin dx a a
2
第 19 页
−13.6eV −13.6eV = = 5.44eV 2 2 n 5
第 10 页
二、填充题 4. 根据量子力学理论，氢原子中电子的角动量在外磁场方向上的 投影为 Lz = ml h ，当角量子数l＝2时， Lz 的可能取值 为 0, ± h, ± 2h 。
解
★副量子数 l: l=0，1，2，3…(n-1) ， ， ， ★磁量子数 ml： ml =0, ±1, ± 2, … ±l
e 12
解
用德布罗意波长公式计算。 用德布罗意波长公式计算。
h h h λ= = = p 2me Ek 2me eU12
第 14 页
二、填充题 v * 8. 设描述微观粒子运动的波函数为 ψ (r , t ) ，则 ψψ 表示 概率密度 ； v ψ (r , t ) 须满足的条件是 单值、连续、 ；其归一化 单值、连续、有限 ∞ 条件是 。 ψψ *dV = 1
(C)
1 2eRB
1 (D) eRBh
解
α粒子带两个正电荷，质量为4，就是 核。 粒子带两个正电荷，质量为 ，就是He核
v2 qvB = m ⇒ mv = qBR R h h h λ= = = p qBR 2eBR
第4页
一、选择题 h 4. 关于不确定关系 ∆x ⋅∆p ≥ h h = 有以下几种理解： 2π (1) 粒子的动量不可能确定。 (2) 粒子的坐标不可能确定。 (3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定。 (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。 其中正确的是： [ C ] (A) (1)、(2) (B) (2)、(4) (C) (3)、(4) (D) (4)、(1)
解
四个量子数决定电子的量子态： 四个量子数决定电子的量子态： ★主量子数 n: n=1，2，3… ， ， ★副量子数 l: l=0，1，2，3…(n-1) ， ， ， 对应s、 、 、 对应 、p、d、f … ★磁量子数 ml： ml =0, ±1, ± 2, … ±l ★自旋磁量子数 ms ：ms=±1/2 ±
Lz = 0, ± h, ± 2h
第 11 页
二、填充题 5. 多电子原子中，电子的排列遵循 能量最小 和 原理。
泡利不相容
原理
解
第 12 页
二、填充题 6. 若中子的德布罗意波长为2Å，则它的动能为 3.29 ×10−21J 。 (普朗克常量h=6.63×10−34J·s ，中子质量mp=1.67 ×10−27kg )。
第7页
二、填充题 1. 被激发到n＝3的状态的氢原子气体发出的辐射中, 有 可见光谱线和 2 条非可见光谱线。
1
条
解
氢原子发光特点， 的激发态可以产生3条谱线 条谱线： 氢原子发光特点， n＝3 的激发态可以产生 条谱线： n＝3 → n＝2 巴耳末系，可见光。 n＝3 → n＝1 莱曼系，不可见光。 n＝2 → n＝1 莱曼系，不可见光。
第8页
二、填充题 2. 在氢原子光谱的巴耳末线系中有一频率为6.15×1014Hz的谱线， 它是氢原子从能级Ek＝ −0.85 eV跃迁到能级Ek ＝ −3.4 eV而 发出的。(普朗克常量h=6.63×10−34J·s )
解
氢原子发光：巴耳末系是末态为 ＝ 的状态， 氢原子发光：巴耳末系是末态为 n＝2 的状态，即能量为 3.4eV的能级 的能级。 −3.4eV的能级。 再由发光频率求出高能态的能量： 再由发光频率求出高能态的能量：
解
（1）由氢原子能级情况求解： ）由氢原子能级情况求解：
−13.6eV + 12.75eV= − 85eV = −13.6eV ⇒ n=4 2 n
条谱线： 从 n＝4 的激发态可以产生 条谱线： ＝ 的激发态可以产生6条谱线 n＝4 → n＝3、2、1，共3条。 ＝ ＝ 、 、 ， 条 n＝3 → n＝2、1，共2条。 ＝ ＝ 、 ， 条 n＝2 → n＝1，一条。 ＝ ＝ ，一条。 图略） （图略）
量子力学基础
习题解答
第1页
一、选择题 1. 根据玻尔氢原子理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之 比为[ A ] (A) 5/9 (B) 4/9 (C) 7/9 (D) 2/9
解
由巴耳末公式，该线系中最小波长对应于 由巴耳末公式，该线系中最小波长对应于n= ∞， 最大波长对应n= 。 最大波长对应 3。