奥数新讲义-一元二次方程-整数解问题

板块三 一元二次方程的整数解问题

【例 1】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件

的整数k 的值有_______个．

【解析】 5 当6k =时，得2x =；当9k =时，得3x =-，当9k ≠时，解得196x k =

-，269x k

=-， 当61,3,9k -=±±±时，1x 是整数，这时7,5,3,15,3k =-；当

91,2,3,6k -=±±±±时，2x 是整数这时10,8,11,7,12,15,3k =综上所述，

3,6,7,9,15k =时原方程的解为整数．

【变式】 已知关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a

有______个．

【解析】 5．当1a =时，1x =，当1a ≠时，122111

x x a ==--

-．

【例 2】 当m 为整数时，关于x 的方程()()2212110m x m x --++=是否有有理根？如果有，

求出m 的值；如果没有，请说明理由．

【解析】 若2n =△（n 为整数），则22(21)4m n -+= (21)(21)4n m n m +--+=

∵(21)n m +-与(21)n m --奇偶性相同，故只可能有(21)2(21)2n m n m +-=⎧⎨--=⎩或(21)2(21)2n m n m +-=-⎧⎨--=-⎩，解得210m -=此与m 为整数矛盾，故△不可能为完全平方数，方程不可能有有理根．

【变式】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，

求m 的值及方程的根．

【解析】 4(21)m =+△为完全平方数，又m 为440m <<的整数，则12m =或24。当12

m =时，116x =，226x =；当24m =时，338x =，452x =．