7-高等数学实验-3

第3章一元函数积分法—设计性实验
2.某旅游景点准备在两个山顶间设置一缆车索道，已知两山顶 间相距200m。为施工方便，在两山顶中间依山势建有一个塔 ，塔顶与两山顶等高等距离。现在塔顶与山顶间悬挂索道， 允许索道在中间下垂10m，且两部分下垂部分一致。请计算在 这两个山顶间所用索道长度。 3.在钢线碳含量对于电阻的效应的研究中，得到以下数据：
∑r n
i =1
i
i
事实上，蛋糕边缘圆盘半径 那么当n→∞，H=1时 H W = kπ ∑ r n
n i =1
H S = 2π n
∑r +πr
i =1
n
2 1
r = r (h)Байду номын сангаас= 2 − (exp(2h) + exp(−2h)) / 5
2
(0<h<1)
i
→
kπ ∫ r 2 (h)dh
0
1
→ 0 此时，数学家的生日蛋糕问题就转化为求上面两个数值积 分。
由于蛋糕店从来没有做过这么大的蛋糕，蛋糕店的老板必须 要计算一下成本。这主要涉及两个问题的计算：一个是蛋糕 的质量，由此可以确定需要多少鸡蛋和面粉；另一个是蛋糕 表面积(底面除外)，由此确定需要多少奶油。 【实验方案】 首先分析一个圆盘形的单层蛋糕，如图所示，
图3-4 单层蛋糕
绕水平中心轴旋转而成，若高为(m)，半径为r(m)，密度为 (kg/m3)，则蛋糕的质量(kg)和表面积(m2)为 W = kπ r 2 H
第3章一元函数积分法—设计性实验
【实验方案】 每年付款数目相同，共10年，这是均匀现金流，付款总值 的现在值等于现价扣去首付。这类问题属于贴现问题，若 −0.04t 第t年还款为万元，则第t年还款的贴现值为 ae ，n年的 n −0.04 t 贴现值为 ∫0 ae dt 依题意：设每年付款A万元，则第t年付款的现在值， −0.06 t 由连续贴现公式应为A e ，因付款流总值为250万元， 即有
S = 2π r1 H / 2 + 2π r2 H / 2 + π r12 = π ( r1 + r2 ) H + π r12
以此类推，如果蛋糕是n层的，
图3-6 多层蛋糕
第3章一元函数积分法—设计性实验
每层高为H/n，半径分别为r1，r2，……，rn，则蛋糕的质量 和表面积为 H n 2
W = kπ
【实验内容】
一个数学家即将要迎来他九十岁生日，有很多 的学生要来为他祝寿，所以要定做一个特大蛋糕 。为了纪念他提出的一项重要成果——口腔医学的 悬链线模型，他的弟子要求蛋糕店的老板将蛋糕 边缘圆盘半径做成下列悬链线函： r= 2-(exp(2h)+exp(-2h))/5， 0<h<1(单位m)
第3章一元函数积分法—设计性实验
第3章一元函数积分法—验证性实验
【实验内容】 求下列函数的一个原函数 (1) 14
x
ex (2) 1+ ex
【实验过程】 1.（1）>> syms x; >> f=1/x^4; >> int(f,x) 运行结果： ans = -1/3/x^3 1 1 4 − 3 . 即函数 x 的一个原函数为 3 x
h ( 6) =
6 5 22 *6 − + ≈ 8.66( m) 3 5 15 3* 6
h(6) − h(1) = 8.66 − 1 = 7.66 > 6,
即种植树5年后，树高8.66m，比种植时的1m长高了7.66m，超 过至少生长6m的要求，种植此树有经济价值。
第3章一元函数积分法—设计性实验
【实验目的】 1.掌握求函数定积分的方法 2.会求变上限函数的导数和带有变上限函数的极限 【实验要求】 熟悉Matlab中求定积分的命令
第3章一元函数积分法—验证性实验
【实验内容】 1.求下列定积分 1 1 − x 2 dx （1） ∫0 【实验过程】 1.（1）>> 1. 1 >> syms x; >> f=sqrt(1-x^2); >> int(f,x,0,1) 运行结果： ans = 1/4*pi
第3章一元函数积分法—验证性实验
第二步：观察图形，求旋转体体积 >> syms x; >> f=x^4-x^6; >> V=int(f,x,0,1) 运行结果： V= 2/35*pi 2 π . 即所求旋转体的体积为
35
第3章一元函数积分法
设计性实验
实验一 树的高度问题 实验二 还款问题 实验三 生日蛋糕问题
第3章一元函数积分法—设计性实验
实验三 生日蛋糕问题
【实验目的】
1.应用数值积分方法，加深对积分概念的理解 2.通过实例学习用数值积分知识解决面积、体积计算等实际应 用问题 3.学习使用Matlab软件中有关积分计算的命令 【实验要求】 掌握积分概念，Matlab软件中有关积分计算的命令
第3章一元函数积分法—设计性实验
第3章一元函数积分法—设计性实验
如果蛋糕是双层圆盘的，如图所示：
S = 2π rH + π r 2
图3-5 双层蛋糕
绕水平中心轴旋转而成，每层高为H/2，下层蛋糕半径为r1， 上层蛋糕半径为r2，此时蛋糕的质量和表面积为
W = kπ r12 H / 2 + kπ r22 H / 2 = kπ ( r12 + r22 ) H / 2
2 2.求 y = x 与 y = x 所围图形绕轴旋转所成的旋转体的体积；
3
2.第一步：画出两曲线所围图形 >> x=linspace(-0.5,1.5,60); >> y1=x.^2;y2=x.^3; >> plot(x,y1,x,y2) 运行结果：
图3-2 函数 y = x 2 与y = x 3 所围图形
第3章一元函数积分法—设计性实验 思考与提高
1.某游乐场新建一个鱼塘，在钓鱼季节来临之际前将鱼放 入鱼塘，鱼塘的平均深度为6m，开始计划时每3m3有一条 鱼，并在钓鱼季节结束时所剩的鱼是开始的25％，如果一 张钓鱼证可以钓鱼20条，试问：最多可以卖出多少钓鱼证 ？鱼塘的平面图如图：
图3-7 鱼塘平面示意图
【实验过程】 >> syms t >> f=int(1.2+5*t^(-4)) f= 6/5*t-5/3/t^3 >> clear >> syms c >> c=solve('1.2-5/3+c-1','c') c= 1.4666666666666666666666666666667
第3章一元函数积分法—设计性实验
i =1
H S = 2π n
∑ ri + π r12
n
2π ∫ r (h)dh + π r (0)2
1
第3章一元函数积分法—设计性实验
【实验过程】 >> syms h >> r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5; >> quadl('pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5).^2',0,1) ans = 5.4171 >> r0=subs(r,h,0) r0 = 1.6000 >> quadl('2*pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5)',0,1)+pi*r0^2 ans = 16.0512 求得该数学家的生日大蛋糕的质量和表面积为 W =5.4171 (kg)，S=16.0512(m2)
第3章一元函数积分法—验证性实验
（2）>> syms x; >> f=exp(x)/(1+exp(x)); >> int(f,x) 运行结果： ans = log(1+exp(x))
ex x 即函数 x 的一个原函数为 ln (1 + e ) 1+ e
.
第3章一元函数积分法—验证性实验
实验二 定积分
第3章一元函数积分法—设计性实验
实验一 树的高度问题
【实验目的】 1.加深对积分概念的理解 2.使用积分理论解决实际问题 3.熟悉Matlab命令求不定积分，解数值方程 【实验要求】 掌握积分概念，Matlab软件中求不定积分命令
第3章一元函数积分法—设计性实验
【实验内容】 有一种快速生长的树，为了衡量它是否有种植的 经济价值（如作为木柴），人们要求该树在5年内 （t=6，在种植时已生长一年）至少生长6m，如果 树的生长速度为1.2+5t-4(m/年)，其中t为年数.若种 植时（t=1），树已有1m高，试问种植此树是否有 经济价值。
250 = ∫ Ae −0.06t dt
0 10
250 =
A A (1 − e −0.06*10 ) = * 0.4552, 0.06 0.06
得A=33.2447（万元），故每年应付款33.2447万元。
第3章一元函数积分法—设计性实验
【实验过程】 >> clear >> syms t A >> a=int(A*exp(-0.06*t),0,10) a= -50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A >> b=solve('-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A-250','A') b= -15/(exp(-3/5)-1)
实验二 还款问题
【实验目的】 1.加深了解一元函数积分法 2.定积分在经济数学中的实际应用 3.熟悉Matlab命令求定积分，解一元数值方程 【实验要求】 掌握定积分概念，Matlab软件求定积分
第3章一元函数积分法—设计性实验 【实验内容】
现购买一栋别墅价值300万元，若首付50 300 50 万元，以后分期付款，每年付款数目相同 。10年付清，年利率为6%，按连续复利计 算，问每年应付款多少？
第3章一元函数积分法—设计性实验
【实验方案】 树的高度，由题意可得 将t1代入，得 得
C= 22 15
5 h(t ) = ∫ (1.2 + 5t − 4 )dt = 1.2t − t −3 + C , 3
5 1 = 1.2 − + C 3
h(t ) = 6 5 22 t− 3 + , 5 15 3t
理工数学实验
第5.3章 一元函数积分法
第3章一元函数积分法
验证性实验
实验一 不定积分 实验二 定积分 实验三 定积分的应用
第3章一元函数积分法—验证性实验
实验一 不定积分
【实验目的】 1.掌握求函数的原函数的方法 1. 2.熟悉基本积分公式和积分方法 【实验要求】 掌握Matlab中积分命令int
第3章一元函数积分法—验证性实验
实验三 定积分的应用
【实验目的】 1.熟悉不定积分、定积分的求解过程 2.会求变上限函数的导数 3.掌握用定积分求平面图形面积、立体体积、曲线弧长以及 立体侧面积等应用 【实验要求】 掌握Matlab中求定积分的命令
第3章一元函数积分法—验证性实验
1.求由抛物线 x = 5y 2与 x = 1 + y 2 所围图形的面积A； 【实验过程】 1.第一步：画出积分区域的图形： >> y=linspace(-1,1,60); >> x1=5*y.^2;x2=1+y.^2; >> plot(x1,y,x2,y) 运行结果：
=
sin x x
第3章一元函数积分法—验证性实验
3.求下列极限 1 0 2 lim （1）x→0 x ∫sin x cos(t )dt ; 3.（1）>> syms x t; >> f=cos(t^2); >> int(f,t,sin(x),0); >> f1=diff(int(f,t,sin(x),0),x) >> f2=f1/1 >> limit(f2) 运行结果： ans = -1
;
第3章一元函数积分法—验证性实验
2.求变上限函数的导数 d x sin t （1） dx ∫0 t dt ; 2.（1）>> syms t x; >> y=sin(t)/t; >> diff(int(y,t,0,x),x) 运行结果： ans = sin(x)/x d x sin t dt 即 dx ∫0 t
x= 图3-1 抛物线 5y 2
x与 + y 2 =1
所围图形
第3章一元函数积分法—验证性实验
第二步：先观察曲线，再计算面积 >> syms y >> f=(1+y^2)-5*y^2; >> A=int(f,y,-0.5,0.5) 运行结果： A= 2/3 即所求平面图形的面积为2/3。
第3章一元函数积分法—验证性实验
碳含量x 电阻效应 y 0.10 15 0.30 18 0.40 19 0.55 21 0.70 22.6 0.80 23.8 0.95 26
试求其线性拟合曲线，并估计在碳含量的这一改变过程中对 电阻产生的总效应。