定点补码加减法规则共16页文档
3.1 定点数的加减法运算
河南科技大学
定点补码加减运算的逻辑实现
明德
博学
日新
笃行
Fs
F
加法器
1←F
X→F
Xs
X
&A
0 1 寄存器 CPX
&C F→X
Y F
+
&&
B Y→F
Ys
Y 0 1 寄存器
补码加法运算器
河南科技大学
定点补码加减运算的逻辑实现
明德
博学
日新
笃行
Fs
F
加法器
1←F
X→F
Xs
X
&A
0 1 寄存器 CPX
&C F→X
因为：
当两个正数相加结果为负，或者两个负数相加结果为正时一定发生了溢出。
河南科技大学
溢出及其判别方法
明德
博学
日新
笃行
3. 溢出的判别方法 2）通过最高数据位产生的进位C1和符号位CS产生的进位进行
判断
溢出= CS C1
说明：该方法是在第一种方法的基础上经过进一步分析得出的。
河南科技大学
溢出及其判别方法
明德
博学
日新
笃行
3. 溢出的判别方法 3）采用“变形补码”（也称双符号位补码）的方法进行判断
a）变形补码 用两个二进制数表示符号位的补码，称为变形补码。其中用“00”表
示正数，“11”表示负数，数值部分与普通补码一致。 例如：X=+1001，则[X]补=0 1001 [X]变补=00 1011
Y=-1001， 则[Y]补=1 0101 [Y]变补=11 0101
[X]补=0. 1 0 1 1 + [Y]补=1. 1 0 1 1
2.2 定点加减运算
3.移位功能的实现
在计算机中，通常移位操作由移位寄 存器来实现，但也有一些计算机不设置专 门的移位寄存器，而在加法器的输出端加 一个移位器。移位器是由与门和或门组成 的逻辑电路（实际是一个多路选择器）， 可以实现直传（不移位）、左斜一位送 （左移一位）和右斜一位送（右移一位） 的功能。
移位器逻辑电路
两正数相加，当最高有效位产生进位 （C1=1）而符号位不产生进位（Cs=0）时，发 生正溢；两负数相加，当最高有效位不产生进 位（C1=0）而符号位产生进位（Cs=1）时，发 生负溢。故溢出条件为
溢出= Cs C1+CsC1=Cs⊕C1
2.溢出检测方法（续）
⑶采用变形补码（双符号位补码）
叫做在真双符符，号两位个的符情号况位下都，作把为左数边的的一符部号分位参S加s1 运算。这种编码又称为变形补码。
双符号位的含义如下：
Ss1Ss2=00 结果为正数，无溢出 Ss1Ss2=01 结果正溢 Ss1Ss2=10 结果负溢 Ss1Ss2=11 结果为负数，无溢出 当两位符号位的值不一致时，表明产生溢 出，溢出条件为
溢出=Ss1⊕Ss2
2.2.4 基本的二进制加/减法器
教材 P31 图2.3
Y
附： 带符号数的移位和舍入操作
一、 带符号数的移位操作
1.原码的移位规则 不论正数还是负数，在左移或右移时，
符号位均不变，空出位一律以“0”补入。 负数的原码移位前后结果为： 左移：移位前有：1 X1 X2 … Xn-1 Xn 移位后有：1 X2 X3 … Xn 0 右移：移位前有：1 X1 X2 … Xn-1 Xn 移位后有：1 0 X1 … Xn-2 Xn-1
采用一个符号位检测溢出时，当 XXss==YYss==01，，SSss==10时时，，产生产负生溢。正 溢 ； 当
计算机系统 补码加减法运算
进位
A + B= 01010
3. 反码加减法的硬件配置
A、B 均 n+1 位
1. 移码表示法
定义 [x]移 = 2n + x（2n＞x ≥ 2n）
x 为真值，n 为 整数的位数
移码在数轴上的表示
0
2n 2n+1–1
+ [B]补 = 1 . 1 0 1 1
– 0.0101
[A]补 + [B]补 = 1 0 . 0 1 1 0 = [A + B]补 0.0110
∴A+B= 0.0110
例 ３.19 设 A = –9，B = –5
求 [A+B]补 解： [A]补 = 1 0 1 1 1
+ [B]补 = 1 1 0 1 1
+ [-B]补 = 1 0 1 0 1
[A]移 + [-B]补 = 1 0 0 0 0
3. 移码加减法的硬件配置
A、B 均 n+1 位
3.2.2 加减法运算的溢出处理(补码运算） 当运算结果超出机器数所能表示的
范围时，称为溢出。显然，两个异号数 相加或两个同号数相减，其结果是不会 溢出的。仅当两个同号数相加或者两个 异号数相减时，才有可能发生溢出的情 况，一旦溢出，运算结果就不正确了， 因此必须将溢出的情况检查出来。 今以4位二进制补码正整数加法运算为 例说明如下：
101101
⑥-14+1= -13 10010
+00001 10011
在上例中，①、②、⑤和⑥得出正确结 果，③和④为溢出。
•今以fA,fB表示两操作数(A、B)的符号位， fS为结果的符号位。符号位fA、fB直接参 与运算，它所产生的进位以Cf表示。在 以2n+1为模的运算中符号位有进位，并不 一定表果C=Cf, 运算结果正确，其中C为数值最高位的 进位，Cf为符号位的进位。如果C≠Cf， 则为溢出，所以溢出条件=C Cf。例3.11 中的③和④即为这种情况。其逻辑电路 见图3.2。
定点加、减法运算
计算机组成原理 定点加、减法运算
符号位: 00 结果>0 11 结果<0 01 溢出 10 溢出
符号位异号溢出(用异或电路判断
计算机组成原理 定点加、减法运算
练习: X=-0.1101 Y=-0.1011 求[X+Y]补 和[X-Y]补
计算机组成原理 定点加、减法运算
[X]补=11.0011 [Y]补=11.0101 [X+Y]补=10.1000 [X-Y]补= 11.1110
计算机组成原理
计算机组成原理 定点加、减法运算
1、二进制的补码加、减法运算 1.1、公式:
[X]补+[Y]补=[X+Y]补 [X]补- [Y]补=[X-Y]补
计算机组成原理 定点加、减法运算
1.2、课堂练习
X=0.11011 Y=0.00011 X=-0.11011 Y=-0.00011
[X]补=
[X+Y]补=0.11110
[X+Y]补=1.00010
[X-Y]补= 0.11000
[X-Y]补=1.01000
计算机组成原理 定点加、减法运算
2、溢出问题 2.1、溢出概念 课堂练习:
X=0.1011 Y=0.1100 [X]补= [Y]补= [X+Y]补= [X-Y]补=
X=-0.1101 Y=-0.1011 [X]补= [Y]补= [X+Y]补= [X-Y]补=
(溢出)
计算机组成原理
计算机组成原理 定点加、减法运算
X=0.1011 Y=0.1100 [X]补=0.1011 [Y]补=0.1100 [X+Y]补=1.0111 × [X-Y]补= 1.0111
X=-0.1101 Y=-0.1011 [X]补=1.0011 [Y]补=1.0101 110
补码加减法运算
[-y]补=0.0110
[x]补 + [-y]补
[x-y]补
计算机组成原理
1.0 0 1 1 0.0 1 1 0 1.1 0 0 1
∴x －y = - 0.0111
6
溢出及与检测方法
1.概念
在定点小数机器中,数的表示范围为|ｘ|<1。在运算过程中如出现大于1
的现象,称为 “溢出”。
下溢
上溢
机器定点小数表示
T通常采用一个 “与非”门或一 个“或非”门的 时间延迟来作为 度量单位。
20
(1)对一位全加器(FA)来说，Si的时间延迟为6T(每级异或门延迟3T)； Ci＋1的时间延迟为5T。
Ci+1
Si
≥1
=1
&
&
=1
计算机组成原理
Ci
Ai Bi
21
(2)n位行波进位加法器的延迟时间ta为： 考虑溢出检测时，有： ta＝n·2T＋9T＝(2n＋9)T
发生溢出的原因，是因为运算结果超出编码所能表示的数字大小。 两个正数相加: 结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢； 两个负数相加：结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。
计算机组成原理
7
例：x=+0.1011, y=+0.1001, 求x+y。
解：
[x]补=0.1011
[y]补=0.1001
计算机组成原理
补码加减法运算
2020年5月26日
计算机组成原理
1
补码加减法运算
1.原码加/减法运算
加法规则： 先判符号位，若相同，绝对值相加，结果符号不变; 若不同，则作减
法， |大| - |小|，结果符号与|大|相同。 减法规则：
除法补码加减交替法
商
0.0000
1 1
10 10
100 100
1 0 01 10011
说明
异号做加法 同号上“1”
[x]补 = 1.0101 [y]补 = 0.1101 [–y]补 = 1.0011
1
+[–y]y]补
异号上“0”
1
∴
[
x y
]补=
1.0011
+[y]补 同号上“1”
则
x y
= – 0.1101
1 末位恒置“1”
补码加减交替法的运算规则
• 运算规则
– 符号位参加运算，除数和被除数均用双符号位补码表示； – 第一步的运算
• 被除数与除数同号，被除数减去除数； • 被除数与除数异号，被除数加上除数；
– 后续步骤的运算
• 余数与除数同号，商上1，余数左移一位减去除数； • 余数与除数异号，商上0，余数左移一位加上除数。
– 重复步骤③ ，包括符号位在内，共做n＋1步。
• 如果对商的精度没有特殊要求，一般可采用“末位恒置1” 法，此法操作简单，易于实现，且最大误差仅为2-n 。
2024年11月20日星期三
1
例8.设 x = – 0.1011，y = 0.[11xy01]，补求
并还原真值。
被除数(余数)
1.0101 0.1101 0.0010 0.0100 1.0011 1.0111 0.1110 0.1101 1.1011 1.0110 0.1101 0.0011 0.0110
补码加减法运算(计算机组成原理)课件
补码加减法运算在计算机中的局限性
符号位处理
在补码加减法中，符号位需要单独处理，增加了计算的复杂性。
对负数运算的支持有限
虽然补码表示法可以处理负数，但对于某些复杂的负数运算（如乘 除法），可能需要额外的处理方法。
缺乏直观性
补码表示法和人类常用的十进制表示法不同，导致初学者难以理解 。
04
补码加减法运算的 实例分析
对于计算机专业的学生和研究者来说 ，掌握补码加减法是学习计算机组成 原理和深入了解计算机体系结构的基 础。在此基础上，可以进一步探索其 他数值表示和运算方法。
在实际应用中，如何优化补码加减法 的运算速度和精度，以及如何将其更 好地应用于各种不同领域，是值得进 一步研究的问题。同时，随着量子计 算等新型计算技术的发展，数值运算 的方法和原理也可能会发生变化，需 要保持关注和学习。
溢出及其处理
溢出的概念
在进行补码加减法运算时，如果结果超出了数据类型的表 示范围，就会产生溢出。溢出会导致计算结果的错误。
溢出的判断
判断是否溢出可以通过检查运算结果的符号位和最高位（进位） 来实现。如果符号位和最高位（进位）不同，则说明产生了溢出
。
溢出的处理
处理溢出的方法有多种，包括检测溢出后进行相应的处理、采用 有符号数乘除法等方法。在实际应用中应根据具体情况选择合适
补码加法运算的实例
假设有两个补码表示的二进制数X和Y，其中X=+1010，Y=-0101，则X+Y=+1010+(0101)=+0101，因为结果的符号位为0，所以结果为正数，即X+Y=+5。
补码的减法运算
补码减法运算的规 则
在进行补码减法运算时，首先 将减数取反加1得到相应的正 数，然后将这个正数与被减数 相加，最后根据结果的符号位 确定结果的符号，正数符号位 为0，负数符号位为1。
计算机组成原理课件第二章补码加减法运算
23
并行加法器进位链
C1 = A1B1+(A1⊕B1)C0=G1+P1C0
C2 = A2B2+(A2⊕B2) C1=G2+P2C1 =G2+P2(G1+P1C0) =G2+P2G1+P2P1C0
其结论也适用于定点整数。
例: x＝0.1001, y＝0.0101, 求 x＋y。
解:
[x]补＝0.1001, [y]补＝0.0101
[x]补 ＋ [y]补
[x＋y ]补
0. 1 0 0 1 0. 0 1 0 1 0. 1 1 1 0
所以
x＋y＝＋0.1110
例: x＝＋0.1011, y＝－0.0101, 求 x＋y。
随之扩大，既能判别是否溢出，又能指出结果的符号。
双符号位法也称为“变形补码”或“模4补码” 。 定点小数变形补码定义：
x
[x]补=
4+x
0 x<1 -1 x<0
（mod 4)
字长n+2定点整数，变形补码定义：
[x]补=
x 2n+2+ x
n
0 x<2
（mod 2 n+2
)
-2 nx<0
采用变形补码后数的表示： • 任何小于1的正数： 两个符号位都是“0”，即 00.x1x2...xn; • 任何大于-1的负数：两个符号位都是“1”，即 11.x1x2…xn
2.补码加法运算
补码加法的公式:
[ x ]补＋[ y ]补＝[ x＋y ]补
《补码加减法运算》课件
方向调整结果的符号位。
补码减法运算规则
01
02
03
符号位参与运算
在补码减法中，符号位也 需要参与运算，正数和负 数的补码表示形式不同。
借位处理
在进行补码减法时，如果 最高有效位不够减，则需 要从符号位借位。
溢出判断与处理
与补码加法类似，如果结 果的符号位发生变化，则 说明发生了溢出，需要进 行溢出处理。
补码加减法运算规
02
则
补码加法运算规则
01
符号位参与运算
补码加法中，符号位需要参与运算，正数和负数的补码表示形式不同，
正数的补码就是其本身，负数的补码是其绝对值加1取反。
02
溢出判断
在补码加法中，如果结果的符号位发生变化，则说明发生了溢出。
03
溢出处理
当发生溢出时，需要将溢出位加到结果的最高有效位上，同时根据溢出
精度提升
随着数值精度的需求不断提 高，补码表示法的精度也将 得到进一步提升，以适应更 高精度的计算需求。
应用领域拓展
随着数字化时代的到来，补 码加减法运算将在更多领域 得到应用，如人工智能、物 联网、云计算等新兴领域。
THANKS.
综合运算电路的基本结构
综合运算电路的工作原理
由加法器和减法器组成，可以实现加法和 减法运算。
根据运算需求选择加法器或减法器进行运 算，输出结果。
综合运算电路的优点
可以实现多种运算，灵活性高。
综合运算电路的缺点
电路设计复杂，需要优化电路结构以降低 功耗和提高运算速度。
总结与展望
05
补码加减法运算的意义和作用
溢出处理
判断方法
通过观察运算结果的符号位和最高有效位的变化来判断是否发生了溢出。
定点运算
定点运算定点加法、减法在上篇文章中计算机组成原理：数据与文字的表示方法，我们已经介绍了数的补码表示法，负数用补码表示后，就可以和正数一样来处理。
这样，运算器里只需要一个加法器就可以了，不必为了负数的加法运算，再配一个减法器。
定点数的加法、减法，实际上就是补码加法、减法。
补码加法补码加法运算基本公式：∙定点整数：[x+y]补[x+y]补 = [x]补[x]补 + [y]补[y]补（mod 2n+12n+1）∙定点小数：[x+y]补[x+y]补 = [x]补[x]补 + [y]补[y]补（mod 22）简单来说，只需将符号位和数值部分一起参与运算，并且将符号位产生的进位丢掉即可证明：（1）证明依据：补码的定义若定点整数的补码形式为x = x n xn x n−1xn−1x n−2xn−2……x1x1x0x0（x n x n 为符号位），则补码表示的定义是：（2）证明思路：分三种情况。
1. x、y均为正值（ｘ﹥0，ｙ﹥0）2. x、y一正一负（ｘ﹥0，ｙ﹤0 或者ｘ<0，ｙ>0）3. x、y均为负值（ｘ<0，ｙ<0）证明定点小数的补码加法：（定点整数的证明类似，此处不再证明）1、ｘ﹥0,ｙ﹥0[x]补[x]补 + [y]补[y]补 = x+y = [x+y]补[x+y]补（mod 22）2、ｘ﹥0,ｙ﹤0 （ｘ<0，ｙ>0 的证明与此类似）根据定义[x]补[x]补 = x，[y]补[y]补 = 2+y所以[x]补[x]补 + [y]补[y]补 = x+2+y = 2+（x+y）这个地方要考虑进位的问题。
当x+y>0 时，2+(x+y) > 2 ，进位 2 必丢失；故[x]补[x]补 + [y]补[y]补 = x+y = [x+y]补[x+y]补（mod 2）当x+y<0 时，2+(x+y) < 2 ；故[x]补[x]补 + [y]补[y]补 = 2+（x+y）= [x+y]补[x+y]补（mod 2）3、ｘ<0,ｙ<0根据定义[x]补[x]补 = 2+x，[y]补[y]补 = 2+y所以[x]补[x]补 + [y]补[y]补= 2+x+2+y= 2+（2+x+y）= 2+ [x+y]补[x+y]补（mod 2）= [x+y]补[x+y]补注：不懂mod 2 的可以转至上一篇计算机组成原理：数据与文字的表示方法查看补码的推导定点数补码加法举例补码减法补码减法运算基本公式：∙定点整数：[x−y]补[x−y]补 = [x]补[x]补 - [y]补[y]补 = [x]补[x]补 + [−y]补[−y]补（mod 2 n+12n+1）∙定点小数：[x−y]补[x−y]补 = [x]补[x]补 - [y]补[y]补 = [x]补[x]补 + [−y]补[−y]补（mod 2 2）证明：只需要证明[−y]补[−y]补 = - [y]补[y]补已证明[x+y]补[x+y]补 = [x]补[x]补 + [y]补[y]补故[y]补[y]补 =[x]补[x]补 + [y]补[y]补 - [x]补[x]补 = [x+y]补[x+y]补 - [x]补[x]补又[x−y]补[x−y]补 = [x+(−y)]补[x+(−y)]补 = [x]补[x]补 + [−y]补[−y]补故[−y]补[−y]补 = [x−y]补[x−y]补 - [x]补[x]补可得[y]补[y]补 + [−y]补[−y]补= [x+y]补[x+y]补 + [x−y]补[x−y]补 - [x]补[x]补 - [x]补[x]补= [x+y+x−y]补[x+y+x−y]补 - [x]补[x]补 - [x]补[x]补= [x+x]补[x+x]补 - [x]补[x]补 - [x]补[x]补= 0即证。
(完整版)补码的加
一.补码的加、减运算在计算机中，通常总是用补码完成算术的加减法运算。
其规则是：[X+Y]补= [X]补+ [Y]补，[X-Y]补= [X]补- [Y]补= [X]补+ [-Y]补这表明，有了补码表示的被加（减）数和加（减）数，要完成计算补码表示的二数之和或二数之差，只需用二数的补码直接执行加减运算即可，符号位与数值位同等对待，一起参加运算，若运算结果不溢出，即不超出计算机所能表示的范围，则结果的符号位和数值位同时为正确值。
此外，还可以看到，实现减运算时，用的仍是加法器线路，把减数的负数的补码送加法器即可。
在有了一个数的补码之后，求这个数的负数的补码，是简单地把这个数的补码逐位取反再在最低位加1即可得到。
例如，[Y]补=101101，则[-Y]补=010011，这大大简化了加减运算所用的线路和加减运算的实现算法。
下面的问题是如何检查加减运算中的溢出问题。
通常有三种表述方式（说法）：(1) 两个符号相同的补码数相加，如果和的符号与加数的符号相反，或两个符号相反的补码数相减，差的符号与减数的符号相同，都属于运算结果溢出。
这种判别方法比较复杂，要区别加还是减两种不同运算情况，还要检查结果的符号与其中一个操作数的符号的同异，故很少使用；(2) 两个补码数相加减时，若最高数值位向符号位送的进位值与符号位送向更高位的进位值不相同，也是运算结果溢出。
(3) 在采用双符号位（如定点小数的模4补码）运算时，若两个符号位的得值不同（01或10）则是溢出。
01表明两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为"上溢"；10表明两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为"下溢"；双符号位的高位符号位，不管结果溢出否，均是运算结果正确的符号位，这个结论在乘法运算过程中是很有实际意义的。
请注意，在采用双符号位的方案中，在寄存器和内存储器存储数据时，只需存一位符号，双符号位仅用在加法器线路部分。
2补码加减法运算
(1)单符号位检测方法1 (1)单符号位检测方法1 单符号位检测方法
设两数符号位分别为 S1、S2 和数符号位 SC
x 0 y 0
FA
z 0
溢出逻辑表达式为： 溢出逻辑表达式为：
V ＝S 1 S 2 S c + S 1 S 2 S c
判断电路
判断 电路
V
计算机组成原理
9
（2）单符号位检测方法2 单符号位检测方法2 符号位进位C 最高位进位C 符号位进位Cf，最高位进位Cn
∵ [x＋y]补＝[x]补＋[ y]补 令 y = －x (mod 2)
∴ [0]补 ＝[x]补 + [ －x]补 故 ＝－[ [－x]补＝－[ x]补 (mod 2)
减法运算化为加法完成。关键是求 减法运算化为加法完成。关键是求[-Y]补
计算机组成原理 5
例: 解:
＝＋0.1101, ＝＋0.0110, x＝＋0.1101, y＝＋0.0110, 求 x－y。 [x]补＝0.1101 [ y]补＝0.0110 [ -y]补＝1.1010 [x]补 ＋[ - y ] 补 [ x －y ] 补 0.1 1 0 1 1.1 0 1 0 1 0.0 1 1 1
13
双符号数溢出检测
0 0 .1 0 1 0 1 + 0 0 .0 1 0 0 0 0 0 .1 1 1 0 1
正常结果
1 1 .1 0 1 0 1 + 1 1 .1 1 0 0 0 1 1 1 .0 1 1 0 1
符号位进位舍去， 符号位进位舍去，正常结果
0 0 .1 0 1 0 1 + 0 0 .1 1 0 0 0 0 1 .0 1 1 0 1
计算机组成原理
16
补码加减法运算(计算机组成原理)页PPT文档
证明：
∵
令
∴
故
[x＋y]补＝[x]补＋[ y]补 y= － x
(mod 2)
[0]补 ＝[x]补 + [ － x]补
[－x]补＝－[ x]补
(mod 2)
减法运算要设法化为加法完成。
计算机组成原理
5
例: x＝＋0.1101, y＝＋0.0110, 求 x－y。
解: 例：
[x]补＝0.1101 [ y]补＝0.0110 [ -y]补＝1.1010
[x]补 1. 0 0 1 1
+ [y]补 1. 0 1 0 1
[x+y]补 0. 1 0 0 0
两个负数相加的结果成为正数，这同样是错误的。
计算机组成原理
8
发生错误的原因，是因为运算结果超出编码所能表示的数字大小。 两个正数相加: 结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢； 两个负数相加：结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。
解：
。
[x]补=0.1011 [x]补
+ [y]补 [x+y]补
[y]补=0.1001 0. 1 0 1 1 0. 1 0 0 1 1. 0 1 0 0
两个正数相加的结果成为负数，这显然是错误的
例：x= -0.1101, y= -0.1011, 求x+y。
解：
[x]补=1.0011
[y]补=1.0101
计算机组成原理
2
2.补码加法运算 补码加法的公式:
[ x ]补＋[ y ]补＝[ x＋y ]补 (mod 2)
特点：不需要事先判断符号，符号位与码值位一起参加运算。 符号位相加后若有进位，则舍去该进位数字。
在模2意义下,任意两数的补码之和等于该两数之和的补码。 这是补码加法的理论基础。
补码加减法运算规则
补码加减法运算规则
补码加减法运算规则如下：
1. 加法运算规则：将两个数的补码相加，然后舍去最高位进位。
2. 减法运算规则：对于减法运算，实际上是加上被减数的补码，即将减数的补码取反，再加上1，然后与被减数的补码相加，最后舍去最高位进位。
3. 溢出判断：当补码相加或相减得到了一个超出了原数据表示范围的结果时，就判定为发生了溢出。
例如，若计算机采用8位二进制表示补码，则当两个正数相加得到的结果大于127（01111111）或两个负数相减得到的结果小于-128（10000000）时，就会发生溢出。
总之，补码加减法运算规则是实际编程过程中十分重要的基础知识。