复变函数(第四版余家荣)ppt课件
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复变函数(第四版余家荣)4
如果函数 f ( x) 在 | x x0 | a 内有无限阶导数 , 则
其中 所以
当且仅当
复函数在一点的邻域内 能够展开成幂级数的条 件是什么？ 问题：
设 f ( z )在 U {z :| z z0 | R}内解析 . 则对任意 z U , 有
由于
z z 0
c
所以级数 所以级数
f ( z) 在上一致收敛于 . 所以 m 1 ( z z0 )
例 求函数
解 当1 | z | 2 时，
r2
r1
2
z0
1
R1
R2
问题： 关于 Laurent系数 an , 是否有
z
命题 设 f ( z )在 R1 | z z0 | R2 内解析 , 那么 f ( z )在 R1 | z z0 | R2 内的
Laurent 展式是唯一的 .
证明
设
1 在上有界，所以 此Laurent展式在 上一致收敛 . 由于 m 1 ( z z0 )
证明
r2
如果 2 ，则
r1
2
z0
1
R1
R2
z
因为
所以
在 2上一致收敛 . 由于 f ( )在 2 上有界， 所以
r2
在 2上一致收敛 .
r1
2
z0
1
R1
R2
如果 1 ，则
z
在 1上一致收敛 . 由此得
在 1上也一致收敛 . 所以
其中
由Cauchy积分定理得
n
定理 设
(1) f ( z ) 在区域 D内解析 ,
(2) 存在 f ( z ) 的零点构成的序列 {zn }, {zn }收敛于 z0 D.
第二章 复变函数(余家荣2014)资料
k 0
k0
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(二). 极限与连续(自学) １. 极限 (1). De1.2: 设 w f ( z ) 在E上确定,z0是E上的一个聚点,
C (常数),如果 0, ( ) 0, 使得当
z E and 0 | z z0 | 时 | f ( z ) | 恒成立，
z
w z
解：令 w u iv, z x iy, a ib
u x a v 作在同一个平面上， 它表示 z 平面内的一个平移，平移了 α 。
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结束
【例2】考虑映射 w z ( 0 C ).
第一次课
1. De1.1: 设E是复数 z 的集合, 如果存在一个法则 f , 使得 z x iy E, w u iv C 与之对应，则称
（其中 x, y, u, v R ） w 是 z 的复变函数, 记为 w f ( z ). 说明：① 以前理解函数总是单值的,实际上复变函数既有 单值函数，也有多值函数。 ② 如不特别声明，以后所提到的函数为单值函数。
③ 约定 E 表示简单曲线、区域、或闭区域。
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2. 将 z x iy, w u iv 代入 w f ( z ) 中得：
w f ( x iy) Re f ( z) i Im f ( z) ( x, y) i ( x, y) u ( x, y ) w u iv v ( x, y )
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【例4】考虑映射 w z 2 . 2 2 2 解: w ( x iy ) u( x, y) x y , v( x, y) 2 xy
k0
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(二). 极限与连续(自学) １. 极限 (1). De1.2: 设 w f ( z ) 在E上确定,z0是E上的一个聚点,
C (常数),如果 0, ( ) 0, 使得当
z E and 0 | z z0 | 时 | f ( z ) | 恒成立，
z
w z
解：令 w u iv, z x iy, a ib
u x a v 作在同一个平面上， 它表示 z 平面内的一个平移，平移了 α 。
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【例2】考虑映射 w z ( 0 C ).
第一次课
1. De1.1: 设E是复数 z 的集合, 如果存在一个法则 f , 使得 z x iy E, w u iv C 与之对应，则称
（其中 x, y, u, v R ） w 是 z 的复变函数, 记为 w f ( z ). 说明：① 以前理解函数总是单值的,实际上复变函数既有 单值函数，也有多值函数。 ② 如不特别声明，以后所提到的函数为单值函数。
③ 约定 E 表示简单曲线、区域、或闭区域。
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2. 将 z x iy, w u iv 代入 w f ( z ) 中得：
w f ( x iy) Re f ( z) i Im f ( z) ( x, y) i ( x, y) u ( x, y ) w u iv v ( x, y )
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【例4】考虑映射 w z 2 . 2 2 2 解: w ( x iy ) u( x, y) x y , v( x, y) 2 xy
复变函数课件章节
复变函数(第四版)课件 章节大纲
汇报人：
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添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
汇报人：
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01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
第一章-复数与复变函数PPT优秀课件
• 乘法
z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 1 y 2 y 1 x 2 )
• 除法
z1x1x2y1y2iy1x2x1y2
z 2021/62 /3
x2 2y2 2
x2 2y2 2
(z20 )
16
2. 复平面
一个复数 zxiy 本质上由一对 有序实数 (x, y) 唯一确定。可对应
2021/6/3
10
• 从20世纪30年代开始，我国数学家在单复 变和多复变函数方面，做过许多重要工作： 在四五十年代，华罗庚教授在调和分析、 复分析、微分方程等研究中，有广泛深入 的影响。在70年代，杨乐、张广厚教授在 单复变函数的值的分布和渐进值理论中得 到了首创性的重要成果。从80年代起，我 国数学工作者在数学的各领域中开展了富 有成果的研究工作。这些都受到国际数学 界的重视。建议大家多读一些数学史资料。
科的发展做出了贡献。
2021/6/3
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8
• 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很 多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上 有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应 有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复 变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，
就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他 在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面 的问题上也做出了贡献。
（2） |z1z2| |z1| |z2|
（3） ||z1| |z2| ||z1 z2|
z z （4）点 1 与点 2 的距离为
d (z 1 ,z2 ) |z 1 z2|(x 1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2
2021/6/3
19
复变函数(第四版余家荣)ppt课件
h '( z ) [ g ( f ( z ) g ) '( f ( ] z ) f '' ( z ) )
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17
反函数求导法则
设w 函 f(z) 数 在D 区 内域 解 f'(析 z) 0 ， ， 又 且 反
zf1(w)(w)
存在且为连续， 则有：
'(w) 1
1
f'(z)z(w) f'((w))
在 D 内 ? 解析 完整编辑ppt 吗
19
设
可微，则
首先设 h 为实数，得
令
得
再令
t 为实数，得
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20
令
得
由
得
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Cauchy-Riemann方程
21
定设 理函 f(z) u 数 (x ,y ) i(v x ,y )在D 区 内域 有 定义 z ， x i yD 在 可点 导，则
要求复 z变 xiy的 量函 f(z数 )满足下列条
(1) x R , f(x)ex;
(2) f (z)在C上解析；
( 3 ) z 1 ,z 2 C ,f( z 1 z 2 ) f( z 1 ) f( z 2 );
首先
f(z)f(xi)yexf(i)y,
设
f(i)yA (y)iB (y),
则
则得到一个单值函此数函，数称作幅角函一数个单的值分支.
如果此单值函数连则续称，其为幅角函数个的 连续一单值分支.
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53
设
则主值幅角函数 argz是
D上的一个连续单值分支 . 对每一个整数 k,
也是D上的一个连续单值分支 .
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反函数求导法则
设w 函 f(z) 数 在D 区 内域 解 f'(析 z) 0 ， ， 又 且 反
zf1(w)(w)
存在且为连续， 则有：
'(w) 1
1
f'(z)z(w) f'((w))
在 D 内 ? 解析 完整编辑ppt 吗
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设
可微，则
首先设 h 为实数，得
令
得
再令
t 为实数，得
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令
得
由
得
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Cauchy-Riemann方程
21
定设 理函 f(z) u 数 (x ,y ) i(v x ,y )在D 区 内域 有 定义 z ， x i yD 在 可点 导，则
要求复 z变 xiy的 量函 f(z数 )满足下列条
(1) x R , f(x)ex;
(2) f (z)在C上解析；
( 3 ) z 1 ,z 2 C ,f( z 1 z 2 ) f( z 1 ) f( z 2 );
首先
f(z)f(xi)yexf(i)y,
设
f(i)yA (y)iB (y),
则
则得到一个单值函此数函，数称作幅角函一数个单的值分支.
如果此单值函数连则续称，其为幅角函数个的 连续一单值分支.
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设
则主值幅角函数 argz是
D上的一个连续单值分支 . 对每一个整数 k,
也是D上的一个连续单值分支 .
复变函数-教学资料 51 20页PPT文档
5.1.1 切比雪夫不等式
我们已经知道，方差是用来描述一个随机 变量取值的分散程度的。
设随机变量 X 有数学期望 EX 和方差
DX，则对于任意给定的正数 0总有
P XE XD X 2
通常称该不等式为切比雪夫不等式.在实际应用
及理论上都很有用。为简便起见，下面就连续
定理2（切比雪夫定理）设随机变量
X1,X2, ,Xn, 相互独立，并且具有有限的数
学期望和方差：EXii, DXii2c
（c 为常数，i 1,2,3 ）前n个随机变量的
算术平均，记为 Y n ,
即
Yn
1 n
n
i1
Xi
则对于任意正数 0, 恒有
ln i mPYn1nin1EXi ln im P 1 ni n1Xi1 ni n1EXi 1.
术平均后的 Y n 的值，将比较紧密地集中在其数
学期望值 EYn附近。即说明算术平均值具有稳
定性。
定理3 （伯努利定理）设在 n 次独立试
验中事件 A 发生的次数为 n A ，在每次试验
中事件 A 发生的概率为 p ，则对于任意给定
的正数 0 ，恒有
ln im P
nA n
定理 2 的证明请读者参照定理1自行完成。
定理 2 中要求方差 DXii2c（c 为常
数， i 1,2,3 ），即 DXi 是一致有界的。
因此，当 n
无限增大时，DYnD1n
n in
充分大时，Yn
1 n
n i 1
Xi
的分布的分散程度是很小的。这表明，经过算
型随机变量 X 讨论其正确性。
设随机变量 X 的概率密度为 f x,
我们已经知道，方差是用来描述一个随机 变量取值的分散程度的。
设随机变量 X 有数学期望 EX 和方差
DX，则对于任意给定的正数 0总有
P XE XD X 2
通常称该不等式为切比雪夫不等式.在实际应用
及理论上都很有用。为简便起见，下面就连续
定理2（切比雪夫定理）设随机变量
X1,X2, ,Xn, 相互独立，并且具有有限的数
学期望和方差：EXii, DXii2c
（c 为常数，i 1,2,3 ）前n个随机变量的
算术平均，记为 Y n ,
即
Yn
1 n
n
i1
Xi
则对于任意正数 0, 恒有
ln i mPYn1nin1EXi ln im P 1 ni n1Xi1 ni n1EXi 1.
术平均后的 Y n 的值，将比较紧密地集中在其数
学期望值 EYn附近。即说明算术平均值具有稳
定性。
定理3 （伯努利定理）设在 n 次独立试
验中事件 A 发生的次数为 n A ，在每次试验
中事件 A 发生的概率为 p ，则对于任意给定
的正数 0 ，恒有
ln im P
nA n
定理 2 的证明请读者参照定理1自行完成。
定理 2 中要求方差 DXii2c（c 为常
数， i 1,2,3 ），即 DXi 是一致有界的。
因此，当 n
无限增大时，DYnD1n
n in
充分大时，Yn
1 n
n i 1
Xi
的分布的分散程度是很小的。这表明，经过算
型随机变量 X 讨论其正确性。
设随机变量 X 的概率密度为 f x,
复变函数(第四版)课件--章节3.2
二 复合闭路变形原理
柯西古萨定理的推广
当闭合曲线内部包围被积函数 的奇点，该积分通常不为零，但仍 有一定的规律可以研究。
1 闭路变形原理 2 复合闭路变形原理
1 闭路变形原理
1 ：设函数 (z) 在多连通域 内解析 灰色为奇点， f D ,
2：C （深蓝色）及 1（紫色） C 为 D 内的任意两条简单闭 曲线(逆时针方向为正 ), 3： C 及 C1 为边界的区域 以 D1（浅蓝色）全含于. D
y
0 2i 2i 0 4 i
C1
C2
o
1
x
1 例5 求 C ( z a )n dz , C为含 a 的任一简单闭路 , n 为整数 . a 解 因为 a 在曲线 内部,
C1
故可取很小的正数 ,
使 C1: z a 含在 Γ 内部,
1 在以 C C1 为边界的复连通域 ( z a )n 内处处解析 ,
第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函 数在 C 内有一个奇点 z0，该奇点在被积函数解 析式的分母。 高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积 分公式是高阶导数公式当 n=0 时的情形。
( n)
等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等 数学中函数泰勒级数里 (z-z0)n 的系数。
例 11
cos z 计算 dz 5 ( z 1) | z| 2
ez ez dz dz 2 2 2 2 ( z 1) ( z 1) | z i| 1 | z i| 1
e z /[(z i ) 2 ] e z /[(z i ) 2 ] dz dz 2 2 ( z i) ( z i) | z i| 1 | z i| 1 2i e 2i e 2 (2 1)! ( z i ) z i (2 1)! ( z i ) 2 z i
复变函数(第四版)课件--章节3.1
1)对于未指明方向的曲线z (t ) x(t ) iy(t )， 默认以参数t 增大的方向为正方向。
2)对于闭合曲线，默认以 逆时针方向为正。 例：闭合曲线，圆 z (t ) R cost iR sin t
其默认正方向是t 增大方向，同时也是逆 时针方向。
二 复变函数积分的定义
f (z
k 1
n
k
) Δ z k [u ( k , k ) iv ( k , k )](Δ xk i Δ yk )
k 1 n
n
[u ( k , k ) Δ xk - v( k , k ) Δ yk ] i [v( k , k ) Δ xk u ( k , k ) Δ yk ]
飞奔出教室
C C C C C
此法主要思路是利用自变量与函数的实部虚部x,y,u,v 的形式化为第二类曲线积分。相当于用横纵坐标。 详细证明如下:
详细证明：设复数 z k ( k , k ), Δ zk Δ xk i Δ yk ,
则:
n
f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y )
2
1
1 i
y x2
o
1
x
解(2)： 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 z ( t ) t (0 t 1),
于是 Re z t , dz dt ,
1到1+i直线段的参数方程为 z ( t ) 1 it (0 t 1),
于是 Re z 1, dz idt ,
定义：函数f(z)定义域为D，曲线C在D内， 起点A，终点B。 1）分割曲线C， A=z0,z1,...,zk-1,zk,...,zn=B
复变函数课件
7
学习方法
• 复变函数论作为一门学科，它不仅在内 容上与实变函数微积分有许多类似之处， 而且在研究问题的方面与逻辑结构方面 也非常类似 .但也有其自身的特点和研究 方法与研究工具，在学习过程中，应注 意与微积分理论的比较，从而加深理解， 同时也须注意复变函数本身的特点，并 掌握它自身所固有的理论和方法，抓住 要点，融会贯通.
(a , b) (c , d ) (ac bd , bc ad )
ac bd bc ad 2 2 ( a , b) ( c , d ) ( 2 2 , 2 2 ) , c d 0 c d c d
27
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铃
2 复平面
2.1 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以 用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平 面.
9
参考书目：
• [4] 余家荣，复变函数，高等教育出版社. 北京：高等教育出版社，2000.3 • [5] 庞学诚、梁金荣、柴俊编著，复变函 数，科学出版社，2003.9 • [6] 盖云英、邢宇明编，复变函数与积分 变换（中文版、英文版），北京：科学 出版社，2007.8
10
第一章 复数与复变函数
Ch 0 引言 复变函数课程简介
1
研究对象
• 复变函数就是自变量为复数的函数.复变 函数论是分析学的一个分支，故又称复 分析. • 其主要研究对象是解析函数 .
2
研究的主要内容
• 本课程主要讲授：单复变函数的一些基本知识， 以解析函数为研究对象，分别从导数、积分、 级数、残数、映射五个方面来刻画解析函数的 性质及其应用. • 首先从复数域开始，引入复变函数，再给出解 析函数的概念，再以它为研究对象，介绍解析 函数的导数、积分、解析函数的幂级数表示法， 解析函数的罗朗展式与孤立奇点，残数理论及 其应用.
复变函数(第四版)课件章节--4.4
cn =
1 2π i
∫
Γ2
c−n
1 = 2π i 1 = 2π i
f (ξ ) ∫Γ (ξ − a ) n +1 d ξ ( n = 0 ,1, 2 ,⋅ ⋅ ⋅) f (ξ ) ∫Γ1 (ξ − a ) − n +1 d ξ
f (ξ ) dξ n +1 (ξ − a )
1 f (ξ ) = ∫Γ (ξ − a) −n +1 dξ (n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅), 2πi
1 f (ζ ) cn = ∫ (ζ − z0 )n+1 dζ (n = 0, ± 1, ± 2,L) 2πi C
然后写出
f (z) =
n= −∞
∑ cn ( z − z0 ) Nhomakorabea∞
n
.
缺点: 计算往往很麻烦. 缺点 计算往往很麻烦
2. 间接展开法 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 优点 : 简捷 , 快速 .
| z −a |
< 1,
于是上从 上从可以展成一致收敛的级数 上从
f (ξ ) f (ξ ) ∞ ξ − z n −1 = ∑( z − a) . z − ξ z − a n =1
沿Γ1逐项求积分,两端同乘以
1 2πi
∞ c−n 1 f (ξ ) ∫Γ1 z −ξ dξ = ∑(z − a)n , (4.4.7) 2πi n=1 1 f (ξ ) c−n = ∫Γ (ξ − a ) − n+1 dξ ( n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅) (4.4.8) 2πi
Γ2 :| ξ − a |= ρ2 ,
复变函数第四版(第四章)
1 n 1) a n 1 e ; n
i
2) a n n cos in
}
[解] 1) 因
1 n 1 a n 1 e 1 cos i sin n n n n 1 1 an 1 cos , bn 1 sin . n n n n lim an 1, lim bn 0
第4章
级数
§4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数
}
n
n
n
任意给定e>0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-
a|<e在n>N时成立 则a称为复数列{an}当n时的 §4.1 ,复数项级数
极限, 记作
lim a n a
n
此时也称复数列{an}收敛于a.
(-1) n n n 1
(8i ) 8 , 由正项级数的比值审敛法知 n! n!
故原级数收敛 . 但因 n n
}
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数 序列,其中各项在区域D内有定义.表达式
f
n 1
n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) (4.2.1)
z
n
在圆 |
1
内收敛.
}
再证当
| z |
| z |
1
时, 级数
n0
cn z n
发散. 假设在
n0
圆 收敛. 在圆外再取一点 z1, 使|z1|<|z0|, 那么根据阿
复变函数第四版(第一章)
}
练习 求
的所有根.
[解] 因为 z3 8 所以
z 3 8 23 1 23 cos i sin
2cos
2k
3
zi
3sin
8
2k
30
(k 0,1,2)
于是原方程的所有根为
z0
2(cos
3
i sin
)
3
1 i
x1 y1
t ( x2 t( y2
x1 ), y1 ).
( t )
因此, 它的复数形式的参数方程为
z=z1+t(z2z1). (<t<+)
由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成
z=z1+t(z2z1). (0t1)
}
例3 求下列方程所表示的曲线:
1) | z i | 2;
i(i) (1 i)(1 i)
22 22
所以
Re( z) 3 , Im( z) 1 , z z ( 3)2 ( 1 )2 5 .
2
2
2
22
练习 设
z 1 2i 1 i
, 求 Re( z), Im( z)与z.
答案：Re( z) 1 , Im( z) 3，z 1 3 i.
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)
z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
练习 求
的所有根.
[解] 因为 z3 8 所以
z 3 8 23 1 23 cos i sin
2cos
2k
3
zi
3sin
8
2k
30
(k 0,1,2)
于是原方程的所有根为
z0
2(cos
3
i sin
)
3
1 i
x1 y1
t ( x2 t( y2
x1 ), y1 ).
( t )
因此, 它的复数形式的参数方程为
z=z1+t(z2z1). (<t<+)
由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成
z=z1+t(z2z1). (0t1)
}
例3 求下列方程所表示的曲线:
1) | z i | 2;
i(i) (1 i)(1 i)
22 22
所以
Re( z) 3 , Im( z) 1 , z z ( 3)2 ( 1 )2 5 .
2
2
2
22
练习 设
z 1 2i 1 i
, 求 Re( z), Im( z)与z.
答案：Re( z) 1 , Im( z) 3，z 1 3 i.
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)
z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
复变函数课件
§3.解析函数在无穷远点的性质 3.解析函数在无穷远点的性质
定义： 内解析, 称点∞为 f (z)的孤立奇点.
1 作变换 w = 把扩充z平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞ z 1 0 映射成扩充w平面上原点的去心邻域：<| w |< . R 又 f ( z ) = f ( 1 ) = ϕ ( w) .这样, 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞
tan
1 z k = 1 k + π 2
(k = 0,±1,±2,L)为本性奇点
z = 0为非孤立奇点；
§4.整函数与亚纯函数的概念 整函数与亚纯函数的概念 4.1 整函数 4.2 亚纯函数
4.1 整函数
定义：在整个复平面上解析的函数称为整函数。
设f ( z )为一整函数，则 f ( z )只以 z = ∞ 为孤立奇点，
且可设： f ( z ) =
∑
∞
n=0
c n z n (0 ≤| z |< +∞ ) (5.14)于是有
定理5.10 若 f (z ) 为一整函数，则 为一整函数， 定理 (1) z = ∞ 为的可去奇点的充要条件是f (z )为常数； 为常数； (2) z = ∞为 f (z )的 m 级极点的充要条件是f (z ) 是一 个m 次多项式. 次多项式 (3) z = ∞为的本性奇点的充要条件是 为的本性奇点的充要条件是(5.14)有无穷 有无穷 不等于零.(这样的整函数称为超越整函数 这样的整函数称为超越整函数) 多个 c n不等于零 这样的整函数称为超越整函数
定义 5.7 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯 函数。 亚纯函数可以表示成两个整函数的商,也可以 表示成部分分式(有理函数式)。
定义： 内解析, 称点∞为 f (z)的孤立奇点.
1 作变换 w = 把扩充z平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞ z 1 0 映射成扩充w平面上原点的去心邻域：<| w |< . R 又 f ( z ) = f ( 1 ) = ϕ ( w) .这样, 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞
tan
1 z k = 1 k + π 2
(k = 0,±1,±2,L)为本性奇点
z = 0为非孤立奇点；
§4.整函数与亚纯函数的概念 整函数与亚纯函数的概念 4.1 整函数 4.2 亚纯函数
4.1 整函数
定义：在整个复平面上解析的函数称为整函数。
设f ( z )为一整函数，则 f ( z )只以 z = ∞ 为孤立奇点，
且可设： f ( z ) =
∑
∞
n=0
c n z n (0 ≤| z |< +∞ ) (5.14)于是有
定理5.10 若 f (z ) 为一整函数，则 为一整函数， 定理 (1) z = ∞ 为的可去奇点的充要条件是f (z )为常数； 为常数； (2) z = ∞为 f (z )的 m 级极点的充要条件是f (z ) 是一 个m 次多项式. 次多项式 (3) z = ∞为的本性奇点的充要条件是 为的本性奇点的充要条件是(5.14)有无穷 有无穷 不等于零.(这样的整函数称为超越整函数 这样的整函数称为超越整函数) 多个 c n不等于零 这样的整函数称为超越整函数
定义 5.7 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯 函数。 亚纯函数可以表示成两个整函数的商,也可以 表示成部分分式(有理函数式)。
第二章 复变函数(余家荣2014)资料
z
z1
1
z1
z
1
复合而成，
因此 w
z1 1 是z关于单位圆的对称映射 z1
z
Argz1 Argz | z | 1 1 |z|
w z1
| z | 1 | z | 1
w z1
: 先求 z 关于单位圆的对称映射，再取共轭。
说明：①该映射将单位圆外的点映射到单位圆内，单位圆内的点 映射到单位圆外。 ②如果 z, w 都表示扩充复平面,则将 z 0, 映射成 w ,0
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4.关于无穷大,有下列极限 设E为区域或闭区间,且 z E . 以下省去 " z E ". (1). lim f ( z )
z z0
A 0, ( A), 0 | z z0 | , 时
| f ( z ) | A 恒成立.
f ( z) (2). lim z
第二章
§1 解析函数
解析函数
一.极限与连续性 二.导数· 解析函数
三.柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件
四.指数函数极限与连续性
五.多值函数导引:辐角函数
§2 初等函数 六.对数函数
七.幂函数
八.三角函数
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§1 解析函数
一. 极限与连续性 (一). 复变函数的定义
可导 可导 可导 解析
2) 不存在孤立的解析点
f (z) 在 z0 处 解析 解析
f (z) 在D内
例如 f (z)=|z| 在 z =0 处可导但是不解析
3) 使 f(z) 无意义的孤立点，是奇点。
目录
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复变函数ppt课件
1
(7) f (z) e z1
(z 1)2(z 2)2
(8) f (z) sinz3
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
0
f (z)在c所围成的区域内解析
c f (z)dz 未必为0 c所围成的区域内含有f (z)的奇点
由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
(1)
故
1
Re s[ f (z), z0 ] c1 2i
f (z)dz
c
(2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1 , z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
lim z z0
1 0,令 f (z)
1 f (z0 )
0，则z0是
1 的m级零点. f (z)
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
nm
1
lim z z0
f (z)
f (z)
(z z0 )m
g(z)
其 中: g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ,
g(z)在 z z0 内是解析函数且g(z0 ) 0.
例如：
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所以
由于
在整个复平面上连续， 但只在原点满 C足 R
条件， 所以 f(z)只在 z0处可而 导 处， 处不解析 .
.
例讨论函f(z数 )x2iy的可微性与 . 解析性
解
由 得
由u于 x,uy,vx,vy在整个复平 所面 f以 (z)在 上直 连 x 线 续 1 2
上可导， 但处处不解析 .
.
例 验证函数 并求其导数.
y
U (z0)
o
•z 0 •z 1
x
.
z0和 z是 Ar的 gz支 . 点
y
z•
•z 1
o
x
y
o
x
每一z 条 0和 z 连 的 接 简单 称 连 作 续 多 A曲 zr 的一条支割线. 在区C域 上Arzg能分出无限多值 个分 连.支 续
例设
单值分支 . 假设
argz是幅角A 函rzg数 的一个连
如果此单值函数连则续称，其为幅角函数个的 连续一单值分支.
.
设
则主值幅角函a数rgz是
D上的一个连续单值分支 .
对每一个整数 k,
也是D上的一个连续单值分支.
在D上可分出无限多个连单续值分支.
上沿 下沿
区域 D的边界是负实轴及原点
负实轴分上沿和下沿
主值幅角函数
可以连续延拓到负实轴上沿和下沿，
在上沿取值，在下沿取值 .
可微，则
首先设 h 为实数，得
令
得
再令
t 为实数，得
.
令
得
由
得
Cauchy-Riemann方程
.
定设 理函 f(z) u ( 数 x ,y ) i(v x ,y )在D 区 内域 有 定义 z ， x i yD 在 可点 导，则
（ 1）实u(部 x,y)和虚v(x部 ,y)在点 (x,y)处存在一阶 (2)u(x,y)和 v(x,y)满足 -黎 柯 曼 西 方 C R 程 方（ :程
A (y ) B '(y )A ,'(y ) B (y ),
.
所以， 因此，
A (y) co y,B s (y) siy,n
f(z)ex(cy osisiyn ).
定义
设zxiy,则复函数
称作复指数函数，记作
.
复指数函数的性质：
(1 )若 z x (y 0 )则 ,e z e x.
(2)
(3) ez处处解析(e， z)且 ez.
.
其中
满足条件
设
则
所以
.
其中
由于 所以
即
.
注：
.
定理 函f数 (z)u(x,y)iv (x,y)区D 域 内解析 条件是
(1) 实u部 (x,y)和虚 v(x,部 y)在区 D 内 域处处可 (2 )u (x,y)和 v(x,y)在 D 内 满足 -黎 柯 曼 :西 方程
u v u v
x y y x
当 时
.
时，
f(z)在区G中 域每一点连f(续 z)在 ， G内 则 连 称 续
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数 连续函数的复合函数为连续函数
.
例 求证 f(z)： arzg (z0)在整个复平 和面 负除 实去 数
域上连续， 上在 不负 连实 续数 。轴
解： 当z0 在负实数轴上时,有
对满 0|z足 z0|(0)的一 z，切 都有 | f(z)A|，
则称 A为函f(数 z)当z趋于 z0时的极限，记作 z l z 0 if( m z ) A 或 f( z ) A ( z z 0 )
.
时，
当
当
时，
当
时，
.
命题 设 当且仅当 证明 如果 则
使得当
则 时，
.
所以 反之，若 则 所以, 当
定义 对于任何复z数 ,规定
.
三角函数的性质
(1) 若 zxR,则 复 正 弦 函函 数数 和等 复于 余实 弦正 实余弦 . 函数
（2）cosz是偶函数，sinz是奇函数
证明
.
（3）cosz 和 sinz 是以 2π 为周期的周期函数:
证明
.
证明
.
证明
.
(6)
和
证明
在整个复平面上解析,且
.
推论 设函 f(z) 数 u(x,y)i(vx,y)在区 D 内 域 有 且满足
(1) 实部 u(x,y)和虚v(x部 ,y)在区D内 域存在一阶 导函数，
(2 )u (x,y)和 v(x,y)在 D 内 满足 -黎 柯 曼 :西 方程
u v u v
x y y x
则f(z)在区D域 内解 . 析
lim f(z0z)f(z0)
z 0
z
存在（为,并 有且 限等 的 A， 于 复则 复 数称 f数 ） (z)在 函 z0可 数微
或可 , A称 导为函 f(z数 )在z0的导数，记为
f '(z0)，或ddwzzz0,
即
f'(z0) lz i0m f(z0 zz)f(z0)，
.
定义 对任意 0， 的可以找到 一 ()使 个 , 得 正 0|zz0|时，有
.
思考题： 幅角函数
答：否.
在整个复平面上能否出分连续单值分支？
.
定义 设 是一个多值函数，
是 的任
意一个邻域, 是
内任一绕 一周的简单闭曲线. 在
上取一点 , 我们从与 对应的多个值中取出一个与其对应，
设为 , 让点 从 出发，沿 绕 一周，回到 , 对应
的值从 连续变化为 如果
则称 为
的一个支点.
计算
和
.
y
解
1 2
3 2
i
i
•
•
3 2
1 2
i•
z
o
x
例设
是Argz 在D上的一个连续单值 分支，满 arg足 10. 计f算 (1)和 f(4).
解
x
o 5 4 3 2 1
1
z
.
对数函数
定义 满足 ewz 方 (z0 )的 程复 w 称数 为 z的 复 对 数 记为 wLnz。 注意：由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周 期为2π的周期函数，所以对数函数必然是多值函数。
.
(7) 正弦函数 的零点为
余弦函数
的零点为
证明 由
即
得
.
(8 ) 对于
和
证明 设
都不成立. 在复平面上为无界函数 .
则
.
例 计算 解
.
定义 上述四个函数在各自的定义域内解析，且
定义
双曲正弦
双 幅角函数
对于
其中
是幅角主值：
如果对每一个非零复数 z , 我们选取其一个幅角与之对应， 则得到一个单值函此数函，数称作幅角函一数个单的值分支.
.
反函数求导法则
设w 函 f(z)在 数D 区 内域 解 f'(z 析 ) 0 ， ， 又 且 反
zf1(w)(w)
存在且为连续， 则有：
'(w) 1
1
f'(z)z(w) f'((w))
注：利用这些法则，我们可以计算常数、多项式 以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结 论基本相同。
.
例证明f(z)z处处不可. 微
第二章 复函数
1. 极限与连续性
§1.解析函数
单值函数：
对于 G 中的每个 z ，有唯一的 w 与其对应。
多值函数：
至少存在一个 z0 属于 G，与 z0 对应的 w 有 两个或两个以上。 .
yz
o
x
vw
o
u
.
.
复变函数极限的定义
设函 w f(数 z)在 z0 的空0心 |zz邻 0|域
内有 如定 果存 义 在 A (。 A 一 )， 个 使 复 得 0， 数 0,
y
v
o
x
o
u
若
则
将直线
映射成圆周
若
则
将直线
映射成射线
.
若
则
wez在宽度小2于的水平带形内是.一一的
wez将z平面上的{水 z： -平 Im 带 z形 }一对一地映
w平面上的去实 掉轴 原后 点剩 及下 负区 部.域 分构成
y
v
i
o
i
x
.
o
u
三角函数
由于Euler公式，对任何实数 y，我们有：
所以有
证明
由于
在复平面C上处处解析，
在平面上连续， 且满C足 R条件所， 以 在复平面C上处处解析，
.
§2.初等函数
1.指数函数 实指数函数的性质
(3)ex处处可微(e， x)且 ex.
（4）e x是单调增函数，且
.
指数函数的定义域的扩充
要求复 zx变 iy的 量函 f(z数 )满足下列条
(1) xR, f(x)ex;
az r0 g az r g az r0 g
所以
|arzgarzg0|，
即f (z)在z0连续。
.
例设
证明 limf (z)不存.在 z0
证明 设
则
所以
所以limf (z)不存.在 z0 .
2. 导数·解析函数
定义 设函w 数 f(z)在点 z0的某邻域内有 值定 函义 数
z0z是邻域内任意 果一 极点 限，如
.
定理 函f数 (z)u(x,y)iv (x,y)区D 域 内解析 条件是
(1) 实部 u(x,y)和虚v(x部 ,y)在区D内 域存在一阶 导函数，
由于
在整个复平面上连续， 但只在原点满 C足 R
条件， 所以 f(z)只在 z0处可而 导 处， 处不解析 .
.
例讨论函f(z数 )x2iy的可微性与 . 解析性
解
由 得
由u于 x,uy,vx,vy在整个复平 所面 f以 (z)在 上直 连 x 线 续 1 2
上可导， 但处处不解析 .
.
例 验证函数 并求其导数.
y
U (z0)
o
•z 0 •z 1
x
.
z0和 z是 Ar的 gz支 . 点
y
z•
•z 1
o
x
y
o
x
每一z 条 0和 z 连 的 接 简单 称 连 作 续 多 A曲 zr 的一条支割线. 在区C域 上Arzg能分出无限多值 个分 连.支 续
例设
单值分支 . 假设
argz是幅角A 函rzg数 的一个连
如果此单值函数连则续称，其为幅角函数个的 连续一单值分支.
.
设
则主值幅角函a数rgz是
D上的一个连续单值分支 .
对每一个整数 k,
也是D上的一个连续单值分支.
在D上可分出无限多个连单续值分支.
上沿 下沿
区域 D的边界是负实轴及原点
负实轴分上沿和下沿
主值幅角函数
可以连续延拓到负实轴上沿和下沿，
在上沿取值，在下沿取值 .
可微，则
首先设 h 为实数，得
令
得
再令
t 为实数，得
.
令
得
由
得
Cauchy-Riemann方程
.
定设 理函 f(z) u ( 数 x ,y ) i(v x ,y )在D 区 内域 有 定义 z ， x i yD 在 可点 导，则
（ 1）实u(部 x,y)和虚v(x部 ,y)在点 (x,y)处存在一阶 (2)u(x,y)和 v(x,y)满足 -黎 柯 曼 西 方 C R 程 方（ :程
A (y ) B '(y )A ,'(y ) B (y ),
.
所以， 因此，
A (y) co y,B s (y) siy,n
f(z)ex(cy osisiyn ).
定义
设zxiy,则复函数
称作复指数函数，记作
.
复指数函数的性质：
(1 )若 z x (y 0 )则 ,e z e x.
(2)
(3) ez处处解析(e， z)且 ez.
.
其中
满足条件
设
则
所以
.
其中
由于 所以
即
.
注：
.
定理 函f数 (z)u(x,y)iv (x,y)区D 域 内解析 条件是
(1) 实u部 (x,y)和虚 v(x,部 y)在区 D 内 域处处可 (2 )u (x,y)和 v(x,y)在 D 内 满足 -黎 柯 曼 :西 方程
u v u v
x y y x
当 时
.
时，
f(z)在区G中 域每一点连f(续 z)在 ， G内 则 连 称 续
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数 连续函数的复合函数为连续函数
.
例 求证 f(z)： arzg (z0)在整个复平 和面 负除 实去 数
域上连续， 上在 不负 连实 续数 。轴
解： 当z0 在负实数轴上时,有
对满 0|z足 z0|(0)的一 z，切 都有 | f(z)A|，
则称 A为函f(数 z)当z趋于 z0时的极限，记作 z l z 0 if( m z ) A 或 f( z ) A ( z z 0 )
.
时，
当
当
时，
当
时，
.
命题 设 当且仅当 证明 如果 则
使得当
则 时，
.
所以 反之，若 则 所以, 当
定义 对于任何复z数 ,规定
.
三角函数的性质
(1) 若 zxR,则 复 正 弦 函函 数数 和等 复于 余实 弦正 实余弦 . 函数
（2）cosz是偶函数，sinz是奇函数
证明
.
（3）cosz 和 sinz 是以 2π 为周期的周期函数:
证明
.
证明
.
证明
.
(6)
和
证明
在整个复平面上解析,且
.
推论 设函 f(z) 数 u(x,y)i(vx,y)在区 D 内 域 有 且满足
(1) 实部 u(x,y)和虚v(x部 ,y)在区D内 域存在一阶 导函数，
(2 )u (x,y)和 v(x,y)在 D 内 满足 -黎 柯 曼 :西 方程
u v u v
x y y x
则f(z)在区D域 内解 . 析
lim f(z0z)f(z0)
z 0
z
存在（为,并 有且 限等 的 A， 于 复则 复 数称 f数 ） (z)在 函 z0可 数微
或可 , A称 导为函 f(z数 )在z0的导数，记为
f '(z0)，或ddwzzz0,
即
f'(z0) lz i0m f(z0 zz)f(z0)，
.
定义 对任意 0， 的可以找到 一 ()使 个 , 得 正 0|zz0|时，有
.
思考题： 幅角函数
答：否.
在整个复平面上能否出分连续单值分支？
.
定义 设 是一个多值函数，
是 的任
意一个邻域, 是
内任一绕 一周的简单闭曲线. 在
上取一点 , 我们从与 对应的多个值中取出一个与其对应，
设为 , 让点 从 出发，沿 绕 一周，回到 , 对应
的值从 连续变化为 如果
则称 为
的一个支点.
计算
和
.
y
解
1 2
3 2
i
i
•
•
3 2
1 2
i•
z
o
x
例设
是Argz 在D上的一个连续单值 分支，满 arg足 10. 计f算 (1)和 f(4).
解
x
o 5 4 3 2 1
1
z
.
对数函数
定义 满足 ewz 方 (z0 )的 程复 w 称数 为 z的 复 对 数 记为 wLnz。 注意：由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周 期为2π的周期函数，所以对数函数必然是多值函数。
.
(7) 正弦函数 的零点为
余弦函数
的零点为
证明 由
即
得
.
(8 ) 对于
和
证明 设
都不成立. 在复平面上为无界函数 .
则
.
例 计算 解
.
定义 上述四个函数在各自的定义域内解析，且
定义
双曲正弦
双 幅角函数
对于
其中
是幅角主值：
如果对每一个非零复数 z , 我们选取其一个幅角与之对应， 则得到一个单值函此数函，数称作幅角函一数个单的值分支.
.
反函数求导法则
设w 函 f(z)在 数D 区 内域 解 f'(z 析 ) 0 ， ， 又 且 反
zf1(w)(w)
存在且为连续， 则有：
'(w) 1
1
f'(z)z(w) f'((w))
注：利用这些法则，我们可以计算常数、多项式 以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结 论基本相同。
.
例证明f(z)z处处不可. 微
第二章 复函数
1. 极限与连续性
§1.解析函数
单值函数：
对于 G 中的每个 z ，有唯一的 w 与其对应。
多值函数：
至少存在一个 z0 属于 G，与 z0 对应的 w 有 两个或两个以上。 .
yz
o
x
vw
o
u
.
.
复变函数极限的定义
设函 w f(数 z)在 z0 的空0心 |zz邻 0|域
内有 如定 果存 义 在 A (。 A 一 )， 个 使 复 得 0， 数 0,
y
v
o
x
o
u
若
则
将直线
映射成圆周
若
则
将直线
映射成射线
.
若
则
wez在宽度小2于的水平带形内是.一一的
wez将z平面上的{水 z： -平 Im 带 z形 }一对一地映
w平面上的去实 掉轴 原后 点剩 及下 负区 部.域 分构成
y
v
i
o
i
x
.
o
u
三角函数
由于Euler公式，对任何实数 y，我们有：
所以有
证明
由于
在复平面C上处处解析，
在平面上连续， 且满C足 R条件所， 以 在复平面C上处处解析，
.
§2.初等函数
1.指数函数 实指数函数的性质
(3)ex处处可微(e， x)且 ex.
（4）e x是单调增函数，且
.
指数函数的定义域的扩充
要求复 zx变 iy的 量函 f(z数 )满足下列条
(1) xR, f(x)ex;
az r0 g az r g az r0 g
所以
|arzgarzg0|，
即f (z)在z0连续。
.
例设
证明 limf (z)不存.在 z0
证明 设
则
所以
所以limf (z)不存.在 z0 .
2. 导数·解析函数
定义 设函w 数 f(z)在点 z0的某邻域内有 值定 函义 数
z0z是邻域内任意 果一 极点 限，如
.
定理 函f数 (z)u(x,y)iv (x,y)区D 域 内解析 条件是
(1) 实部 u(x,y)和虚v(x部 ,y)在区D内 域存在一阶 导函数，