广义积分被积函数的极限
无穷限的广义积分.
cos
x 0
.
极限不存在
sin xdx
是发散的
若认为积分区间关于原点对称，被积函数为
奇函数，按定积分公式③计算就错了.
例3 计算广义积分 ex sin xdx . 0
解 先计算定积分 Aex sin xdx 0
A
0
e
x
sin
xdx
A 0
sin
xd
ex
ex
sin
x
A 0
A ex cos xdx
a
f xdx
lim Ft Fa F Fa； t
b
f xdx
Fb lim Ft Fb F ； t
f
xdx
lim
t
F
t
lim
t
F
t
F F .
（2）当
f x为奇函数时,
f
x
dx
不能按积
分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为
f
xdx
lim
A
B
A
f
xdx,
B
这里A与B是相互独立的.
3.例题
例1
计算广义积分
0 e
x
dx
.
解
0exdx
ex
0
1.
y
这个广义积分值的几
何意义是,当t
时，图5－7中阴影部
1
y ex
分向左无限延伸，但 其面积却有极限值1 .
t
ox
图5－7
例2 计算广义积分 sin xdx .
解
sin
xdx
0 sin
xdx
0
sin
xdx
积分区间为无穷区间的广义积分
存在，
记作：
，
即：
=
此时也就是说广义积分
收敛。如果上述即先不存在，则说广义积分
时虽然用同样的记号，但它已不表示数值了。
类似地，设函数 f(x)在区间(-∞，b]上连续，取 a<b.如果极限
. 发散，此
则此极限叫做函数 f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积分，
存在，
此时也就是说广义积分
如果广义积分
广义积分
在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的 积分，它们已不属于前面我们所学习的定积分了。为此我们对定积分加以推广，也就是———广义积分。 一：积分区间为无穷区间的广义积分
设函数 f(x)在区间[a,+∞)上连续，取 b>a.如果极限
则此极限叫做函数 f(x)在无穷区间[a,+∞）上的广义积分，
和
(-∞,+∞)上的广义积分，
记作：
，
即：
=
收敛。如果上述极限不存在，就说广义积分
. 发散。
都收敛，则称上述两广义积分之和为函数 f(x)在无穷区间
记作：
，
即：
=
上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分。
例题：计算广义பைடு நூலகம்分 解答：
广义积分
其中 c ∈ (a, b ).
例7 计算广义积分 解 ∵ lim
∫
a
0
dx a2 − x2
(a > 0).
收敛
x →a − 0
1 = +∞ , 2 2 a −x
. ∴ x = a 为被积函数的无穷间断点 瑕点） （
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
a −ε
dx 2 2 a −x
ε →0
b
b
a+ε
f ( x)dx = F( x) a
b
= lim F( x) a+ε = limε F(b) − F(a + ε )]b b−[ b ε →0+ ε →0+ lim ) ∫= f ((x)dx (= ε+ 0+)∫a f ( x)dx = F( x) a a F b − F a →0
+∞
其中a 其中 是任意实数 . 若设F ( x )是f ( x )的任一原函数
以后为了方便, 以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
+∞
例1 求 ∫ e−3xdx.
0
+∞
收敛
解
∫
+∞
0
e
−3 x
1 +∞ −3x dx = − ∫ e d(−3x) 3 0
1 −3x =− e 3 0
1 = [ lim ln(1 + x 2 ) − ln 1] 2 x → +∞
= +∞
xdx 思考： 发散？ 发散. 思考： ∫−∞ 1+ x2收敛or发散？ 发散
10广义积分
在 0 使得对任意 a a , b b ， f ( x)dx I ，则记
lim a f ( x)dx a
b
b
f ( x)dx 。否则称 f ( x)dx 发散。
a
b
注 10.1.2 ： 如 果 函 数 f : (a, b)
第 4 页 / 共 10 页
10.3 广义积分的收敛性 判断广义积分的收敛性是一个很重要的问题。由于广义积分是 Riemann 积分 随积分限变化时的极限，所以可以用判断函数收敛的办法来判断广义积分的 收敛性。 Cauchy 准则、 单调有界收敛定理、 夹逼定理是判定收敛的普遍方法， 对广义积分而言还有一个判别收敛的重要方法——比较法。 广义积分收敛的 Cauchy 准则 定理 10.3.1（广义积分收敛的 Cauchy 准则）
A A
lim
2A
sgn( x)dx lim A ，所以
A
x
sgn( x)dx 不收敛。
例 10.1.5：
0
e
dx 收敛当且仅当 0 。
第 2 页 / 共 10 页
解： e
0
A x
1 e A 1 A x , 0 , 0 ，所以 lim e dx 。■ dx 0 A A, 0 , 0
A f ( x)dx I
B
。
于是对任意 A, A (, min{ N , a}) ，
F ( A) F ( A)
A A
A
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
A B
广义积分
b
a
f ( x )dx
此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分 发散.
a
b b
3.定义 设 f ( x ) 在 [a, c) (c, b] 上连续,并且
lim f ( x ) ,如果 f ( x )dx和 f ( x )dx
c b
xc
a
c
同时收敛,则称它们的和为函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的瑕积分. 记作:
例10 求
3
1
x 1 x3
0
dx.
1 3
1 解 令 x t 则 x t dx t dt 3 1 2 6 1 1 x t 1 3 t dt 1 0 1 x 3 dx 0 3 2 (1 t ) 1 1 t (1 t ) dt 0 t (1 t ) 3 3 1 1 ( )( ) 1 2 1 1 1 2 . ( , ) 3 (1) 3 3 2 2
2
即瑕积分发散.
总结
定义及以下两个特殊广义积分: 无穷积分 1
1 dx p x
p 1 时收敛, p 1 时发散.
瑕积分
1
0
1 dx ( p 0) p x p 1 时收敛, p 1 时发散.
三. 函数 定义 广义积分 (r ) 0 x e dx (r 0)
1 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2
2 3
dt
2 2 ln 2
即广义积分收敛,值为 2 2 ln 2.
例5.讨论广义积分 0
解
1 i 因 xlm p 0 x
1
1 dx ( p 0) 的敛散性. p x
无穷限的广义积分
b
c
b
f ( x )dx
16
思考题
积分 ∫0
1
ln x dx 的瑕点是哪几点？ x −1
2010-1-4
广义积分(22)
17
思考题解答 积分 ∫0
1
ln x dx 可能的瑕点是 x = 0, x −1
x =1
ln x 1 = lim = 1, ∵ lim x →1 x x →1 x − 1
ln x ∵ lim =∞ x →0 x − 1
∴ x = 1 不是瑕点,
是瑕点,
∴ x=0
∴ ∫0
2010-1-4
1
ln x dx x −1
的瑕点是 x = 0.
广义积分(22) 18
2010-1-4 广义积分(22) 12
a −ε
1 例 6 证明广义积分 ∫0 q dx 当q < 1时收敛，当 x q ≥ 1时发散.
1
11 1 dx = ∫0 dx = [ln x ]1 = +∞ , 证 (1) q = 1, ∫0 q 0 x x ⎧+ ∞, q > 1 1− q 1 1 1 ⎡x ⎤ ⎪ ( 2) q ≠ 1, ∫ q dx = ⎢ ⎥ = ⎨ 1 ,q<1 0 x ⎣1 − q ⎦ 0 ⎪ ⎩1 − q 1 因此当q < 1时广义积分收敛，其值为 ； 1− q 当q ≥ 1时广义积分发散.
广义积分(22)
10
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上除点 c (a < c < b ) 外连 续，而在点 c 的邻域内无界.如果两个广义积分
∫a f ( x )dx 和 ∫c
b
c
b
f ( x )dx 都收敛，则定义
无穷区间上的广义积分.
b
a
f
(
x
)dx
.
或 b f ( x)dx F ( x) b F (b) lim F (a) F(b) F(a)
a
a
xa
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
例1 计算广义积分
例题
41
41
1) 0
x dx , 2) 0 x2 dx
解 1） 因为 lim 1 , 所以 1 在x 0的右邻域无界.
x2
1 x
2
dx
1 3
2
1 x 1
1 x
1
dx
1 3
ln
x
1
ln
x
1 2
1 3
lim
b
ln
b1 b2
ln 4
1 3
ln 4.
例题
例6
证明广义积分
1
1 xp
dx
当
p
1时收敛，
当 p 1时发散.
证
(1)
p
1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
ln
x
1
,
(2)
p
1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p1
b
f ( x)dx
a
0 a
或
b f ( x)dx F ( x) b lim F ( x) F (a)
a
a xb
3）设 f ( x)在[a,b]上除点c (a c b)外连续，
lim
xc
f
(x)
.则
b
a
f
( x)dx
高等数学@5-4反常积分
( x)dx
发散
.
y f (x)
s
a
b
x
b
定义
b
f ( x)dx lim f ( x)dx .
a a
右端极限存在,
则称 反 广常 义积分
b
f
( x)dx
收敛
,
否则
,
则称
b
f
( x)dx
发散
.
2
f ( x)dx
定义
0
f ( x)dx
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F (x)
F () F (a)
b
f (x) dx F (x)
f (x) dx F (x)
F (b) F () F () F ()
(a 0)
解.
x
3a 是
x 3a2
x
2
的无穷间断点
.
3a x dx
0
3a2 x2
( 3a)
3a2 x2
0
(0 3a) 3a . #
上限 (
3 a)
代入的含义是
lim
x( 3 a)
3a2 x2 .
13
例6.
1 1 1 x
解:
[ arctan x ]|0
[ arctan x ]|
0 22
思考:
分析:
原积分发散 !
第九讲广义积分
第九讲广义积分9 . 1 广义积分的概念广义积分也叫非正常积分或反常积分．它是相对正常积分（也就是定积分或叫黎曼积分）而提出的．我们知道，正常积分必须具备两个前提条件：一是积分区间必须是有限闭区间；二是被积函数必须是有界函数．但实际仁常常需要解决不满足上述条件的积分，这就是广义积分．它分为两类：无穷区间的广义积分（又叫无穷积分）和无界函数的广义积分（又叫瑕积分） .一、无穷区间的广义积分 1 ．定义设f 定义在[)+∞,a 上，且对任何有限区间[]u a ,， f 在其上可积，若极限()()⎰==∞→∞→u au u J u F dx x f lim lim 存在，称广义积分()⎰+∞adx x f 收敛，记为()⎰+∞=adx x f J ，否则称()⎰+∞adx x f 发散．同理可定义：()()⎰⎰-∞→∞-=buu bdx x f dx x f lim对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f ，其中a 为任意的实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时，称左边的无穷积分收敛． 注：对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f 类型，右边两无穷积分收敛是指：对两独立的极限()⎰-+∞→avv dx x f lim与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在，而不能认为是互有关联的极极()⎰-+∞→avv dx x f lim 与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在 · 一般地，称 ()⎰-+∞→auv dx x f lim 为()⎰+∞∞-dx x f 的柯西主值，记作()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..．无穷积分的敛散与它的柯西主值之间的关系如下： ( 1 ）若无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 收敛，则()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..必存在，且它们的值相等 · ( 2 ）若()⎰+∞∞-dx x f p V ..存在，但无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 未必收敛 · 例如：0lim ..==⎰⎰-+∞→+∞∞-a uv xdx xdx p V ，但⎰+∞∞-xdx 显然是发散的 ·2 ．等价定义 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对 0>∀ε，a A >∃当 M > A 时，恒有()ε<⎰+∞Mdx x f .3 ．柯西准则 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对0>∀ε，a A >∃，当 A A A >>12时，恒有()ε<⎰21A A dx x f4 ．绝对收敛和条件收敛 ( l ）绝对收敛：若()⎰+∞adx x f 收敛，称()⎰+∞adx x f 是绝对收敛的显然绝对收敛必收敛。
(整理)广义积分被积函数的极限
三、规划环境影响评价
4.建设项目环境影响评价文件的分级审批
1.依法评价原则；
The Limit of The Generalized Integral’s integrand
广义积分被积函数的极限
顾敏康01830535
（徐州师范大学数学系徐州221116）
摘要本文讨论了广义积分 的被积函数 当 时的极限情况，这里我总结出了几个 的条件.
关键词广义积分;被积函数;极限
由文献[1]知无穷积分 收敛，则有当 时 是否成立？反之是否成立？结果答案都是否定的.例如 不存在，但 收敛，而 ，但 发散.由此可见，这一结果和数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的。广义积分和级数之间有内在的联系，而在这一点上两者不一样，所以一个自然的问题就是广义积分的被积函数在什么样的条件下极限存在且当 时为零.
则
.
证明方法与过程同上.
最后再给出收敛的广义积分被积函数趋于零的一个必要条件.
定理3若函数 在 上有连续的导数， 和 都收敛，
则
证明由于 有连续的导数，则
由 收敛知 存在，
不妨设
若 不妨设 取 则存在 ，当 时，有
从而
这与 收敛矛盾.
所以
例3对定义在 上的函数 显然在 上有连续的导数，对无穷积分
由于
故函数 在 上一致连续.
引理3若函数 在 上可导，且 有 其中 为常数，则 在 上一致连续.
证明因为 在 上可导，对 ，
则 在 上连续，在 内可导，
所以
从而
.
由引理2知 在 上一致连续.
第四节 反常积分(广义积分)
f ( x)dx F ( x) F() F(a),F() lim F( x).
a
a
x
b
b
f ( x)dx F ( x)
F(b) F(),F() lim F( x).
x
f ( x)dx F ( x) F() F().
10
例
计算反常积分
1
dx x
2
.
解
1
dx x2
例 求 a 0
x3 a2
x2
dx
(a 0).
解 令x a sint, dx a cos tdt
原式
2
a
3
sin
3
t
a
cos
tdt
0 a2 a2 sin2 t
a3
2 sin3 tdt
2 a3
0
3
注 此反常积分经变量代换化成了定积分.
32
下面是无穷区间上无界函数的反常积分
例
1
1.计算
e
x
ln 2
dx x
解
e
1 x ln2
dx x
e
1 ln 2
dlnx x
1 ln x
e
1
19
2002年考研数学(二)填空3分
2.位于曲线 y xex (0 x )下方, x轴上方的
无界图形的面积是
解 A xexdx xdex
0
0
[ xe x e xdx] 1
设0
x
,
则
x dt 0 1 t2
1 x
dt
0 1 t2
(
C
).
( A)arctan x
(B)2arctan x
第四节 广义积分
1
lim t0 t
dx x2
tl im 0[x1]t1tl im 0[x1]1t
lim (11)lim (11)
t t 0
t 0
t
如果忽视了被积函数在积分区间内有瑕点
而作出
1 dx 1 x2
[
1 x
]11
2
就全错了。
1 ln x
y
1
y
1
பைடு நூலகம்
1 x2
x
ln x 1
(6) 1 x 2 d x
解： 1lnxx21dx1(1lnx)d(1x)
[1xlnx]1
1dx 1x x
xl im 1xlnx1[1x]1
1 lim 110
x x
y
x
x
(1
)dxa
0
x2 a2
(8)
dx
2a (x2 a2)32
(a0)
解：令 xasect d xasecttantd t
则
dx
π2
1 asecttantdt
2a(x2a2)32 π3a3tan3t
1 a2
π π
2 3
cos tdt sin 2 t
t0
1 t0
1 t0
⑶
1 d x
1 x 2
t
50
t2
50 40
解：被积函数 1 在区 x2
间 [1,1]上有无穷间断
点 x0，
f (x)
0 4
5
30 20 10
2
0
2
x
4 5
1
收敛的广义积分被积函数趋于零的条件
收敛的广义积分被积函数趋于零的条件在几何中，一个广义积分的收敛的条件是：
1. 积分边界的自由度必须为有限个；
2. 积分范围必须是可测量；
3. “非空极限”：积分趋于有限的值，即积分的值不会随着不断增加的积分范围而无限增长；
4. “可积性”：将积函数分解为实数和复数部分，得到两个可积函数；
5. “极限性”：对于所有可积函数，要求它们在某一范围内的积分趋于零；
6. “消失性”：积函数的积分值在积分范围的某一点处几乎为零；
7. “连续性”：积函数必须是连续的，即要求函数值在积分范围内都可以推算出来；
8. “可加性”：要求每个函数，都必须可以依据若干条件，分两部分或者更多部分，每部分积分独立可求。
高等数学广义积分
定义
设函数 f ( x ) 在区间 ( , ) 上连续,如
0
果广义积分 f ( x )dx 和 0
则 f ( x )dx 都收敛，
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( , )上的广义积分，记作 f ( x )dx .
f ( x )dx f ( x )dx 0
x
例
证明广义积分
1
1 dx 当 p 1 时收敛， p x
当 p 1时发散.
1 1 dx dx ( 1 ) p 1 , 证 1 x p 1 x ln x 1 , , p 1 1 p 1 x ( 2) p 1, dx 1 p 1 x , p1 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
例 解
计算反常积分
1
arctanx dx . 2 x
原式
1
1 arctanx d x
arctanx dx 2 1 x x(1 x ) 1
1 1 1 1 1 2 2 d x ( ) d x 2 2 1 4 2 1 x 2 (1 x 2 ) 4 2 x 1 x
1 x ln 2 4 2 1 x
2
1
1 ln 2 . 4 2
二. 无穷积分收敛的判别法
１.柯西收敛原理
无穷积分
a
f ( x )dx收敛的充要条件是:
e
广义积分收敛隐含被积函数趋于零的条件及其应用
广义积分收敛隐含被积函数趋于零的条件及其应用
在数学中，通过广义积分可以反应系统中物理量随时间变化的规律。
广义积分收敛是一种非常重要的概念，其隐含条件就是说，被积函数趋于零，这也是实际应用中必须满足的条件之一。
一般来说，被积函数的收敛性将取决于积分的收敛速度。
它的收敛速度通常取决于被积函数的变化率，即被积函数趋于零的速度。
因此，广义积分收敛的隐含条件就是被积函数在正无穷处趋于零。
在实际应用中，广义积分收敛的隐含条件可以用来解决一系列具有持续性的社会经济问题，例如资源的管理。
它的主要原理是：随着时间的推移，当被积函数趋于零时，资源的消耗率会随之减少，资源的使用效率也会提高，从而实现资源的高效分配。
在系统生态领域，广义积分收敛的隐含条件也是一个重要概念。
它会影响各要素在环境中的相互作用，其规律可以是系统由有序变化到无序，或有序变化到实际情况，以促进生态平衡并实现共生共荣。
总之，广义积分收敛的隐含条件对实际应用具有非常重要的意义，如解决社会经济问题和实现生态平衡等。
因此，在进行数学分析时，我们应该加以重视，以利用它以更有效的方式解决问题。
1广义积分的概念与计算
2019/7/10
主讲人：陈志勇副教授
宁波大学教师教育学院
1
§1 广义积分的概念与计算
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
2019/7/10
宁波大学教师教育学院
2
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线 及 x 轴所围成的开口曲
当k为何值时，这广义积分发散？又当k为何值时， 这广义积分取得最小值？
提示：
d x
2 x (ln x)k
d(ln x) 2 (ln x)k
当k 1时,
I
(k)
2
x
dx (ln x)k
(k
1 1)(ln
2)k
1
令 f (k) (k 1)(ln 2)k1, 求其最大值 .
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
2019/7/10
2019/7/10
宁波大学教师教育学院
14
例6. 证明广义积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
第9章广义积分
322第九章 广义积分引言在Riemann 积分（常义积分）中，有两个先决条件：1、被积函数有界；2、积分限有限。
上述两个条件，极大限制了常义定积分所能揭示的含义，限制了积分所能表达的自然现象，也就限制了定积分的应用范围，这就要求人们从更广的角度考虑积分理论。
事实上，从理论层面上看，当建立一套基本理论之后，人们会不断去掉各种条件的限制，尽可能扩大理论的外延，以便涵盖更多的东西，丰富其内涵。
因此，从理论上，提出Riemann 常义积分后，不可避免地考虑这样的问题：能否去掉上述两个限制条件？去掉上述两个条件后，会发生什么现象？从应用角度看：定积分的产生源于实践，用于解决人类改造自然过程中出现的实际问题，如计算面积、做功等。
但实践中，确实又涌现出更多的实际问题，要解决这些问题，必须突破上述两个限制条件。
如计算由万有引力定律导出物体脱离地球引力范围的最低速度—第二宇宙速度（0v =11.2Km/s ）时，需要计算克服地球引力F(r) 所做的功()RW F r dr +∞=-⎰，其中，F （r ）为物体在r 处所受的地球引力，R 为地球半径。
再如，封闭曲线所围的平面图形的面积能够用定积分计算，那么，诸如曲线y =、1y x =以x 轴为渐近线，因此，它们与x轴及直线x =0和x=1所围图形几乎是封闭的图形，这样的图形面积存在吗？如何计算？如果延用定积分理论，曲线y =与x 轴及直线x =0和x=1所围图形的面积应为1S =⎰。
显然，上面涉及到的两个积分都涉及到突破定积分两个条件的限制的问题，不再是常义（Riemann ）定积分。
因此，不论从实践上，还是从理论上，都要求我们突破Riemann 积分两个先决条件的约束，将Riemann 积分推广到一个新的高度。
这就是广义积分（反常积分）。
323§1 无穷限广义积分本节，我们突破常义积分的积分限有界的限制条件，引入无穷限广义积分的概念。
一、定义从定积分的几何意义――平面区域面积的计算谈起。
关于广义积分的被积函数为无穷小的判定准则
关于广义积分的被积函数为无穷小的判定准则
1、连续性条件（Continuity Condition）：要求被积函数f（x）在积
分区间［a，b］上是连续的。
2、可导性条件（Differentiability Condition）：被积函数若於积分区间［a，b］上可导，则这个条件称为可导性条件，即：要求存在函数f （x）的一阶导数f'（x），在积分区间［a，b］上连续可微。
3、无穷小性条件（Infinitesimality Condition）：被积函数在积分区间［a，b］上要求无穷小。
4、偶函数性条件（Even Function Condition）：若积分区间有两个端点，则要求被积函数在积分区间上是偶函数，即f（x） = f（-x）。
5、奇函数性条件（Odd Function Condition）：若积分区间有两个端点，则要求被积函数在积分区间上是奇函数，即f（x） = - f（-x）。
6、有界性条件（Boundedness Condition）：被积函数f（x）在积分区
间［a，b］上要求是有界函数。
7、可积性条件（Integrability Condition）：被积函数若在积分区间［a，b］上可积，则这个条件称为可积性条件，即理想情况下，被积函数f （x）是可积函数，在规定的积分区间［a，b］上连续可微，可分解，
大小形状是确定的。
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.
证明因为 在上满足李普希茨条件，
由引理2知 在 上一致连续.
又 收敛，
由定理1
.
推论2若 收敛， 在 时可导且存在 ，使得
，
则
.
证明由于函数 在 上可导，且 有
（其中 为常数）.
由引理3知 在 上一致连续.
又由无穷积分 收敛，
由定理1
.
定理1不仅告诉我们收敛的广义积分的极限 为零的充要条件，而且用它我们可以判定某些函数在无穷区间上不一致连续.如 收敛，但 ，则 在 上不一致连续.若直接证明 在 上不一致连续是很困难的.
定理2若 收敛，且 当 时， 非负单调递减，
则
证明因为 且单调递减，
由极限存在定理，当 时 存在极限，不妨设
则由极限的性质有 若 有 使得
由极限的保号性有 当 时
于是
此与 收敛矛盾，从而
即
例2对定义在 上的函数 显然 在 上是非负单调递减的，由于
故 收敛，
由定理2
和定理2对称的有下述结果：
推论3若 收敛，且存在 当 时 非正单调递增，
引理1若函数 在 连续，且 ，
则函数 在 上一致连续.
证明已知 ，即 ， ， ，有
.
已知 在 上连续,根据一致连续性定理,则 在一致连续,即 有
.
于是 都有
.
故函数 在 上一致连续.
引理2若函数 在区间 满足李普希茨条件，即 ，有 ，其中是常数，
则 在 上一致连续.
证明 解不等式
得
取 于是 则 有
所以 收敛.
同样可以说明 也收敛.
由定理3知
参考文献
[1]刘玉链,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1996:265-266.
[2]吕凤,刘玉链.数学分析习题课讲义[M].东北师范大学出版社,1993:142-144.
[3]华东师范大学数学系.数学分析（第二版上）[M].北京:高等教育出版社,2001:36-37.
故函数 在 上一致连续.
引理3若函数 在 上可导，且 有 其中 为常数，则 在 上一致连续.
证明因为 在 上可导，对 ，
则 在 上连续，在 内可导，
所以
从而
.
由引理2知 在 上一致连续.
定理1 在 上连续， 收敛，则 的充分必要条件是 在 上一致连续.
证明由引理1必要性显然.
充分性已知 在 上一致连续，则 （不妨设 ），对 ，当 时，有
广义积分被积函数的极限
顾敏康01830535
（徐州师范大学数学系徐州221116）
摘要本文讨论了广义积分 的被积函数 当 时的极限情况，这里我总结出了几个 的条件.
关键词广义积分;被积函数;极限
由文献[1]知无穷积分 收敛，则有当 时 是否成立？反之是否成立？结果答案都是否定的.例如 不存在，但 收敛，而 ，但 发散.由此可见，这一结果和数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的。广义积分和级数之间有内在的联系，而在这一点上两者不一样，所以一个自然的问题就是广义积分的被积函数在什么样的条件下极限存在且当 时为零.
The Limit of The Generalized Integral’s integrand
Gu Minkang 01830535
（Department of Mathematics Xuzhou Normal Univesity, Xuzhou, 221116）
AbstractIn this paper, the author discusses the limit of the integrand of generalized integral when thevariable tends to the infinity, and sums several conditions which make the limit be zero as variable tending to the infinity.
Key words
.
又因为 收敛，故对上述的 ， 当 时有
对 使 且 ，于是有
，
从而
=
=
，
即 .
于是 时有 ,
所以 .
例1对定义在 上的函数 ,显然它在 上连续,对无穷积分 ,已知函数 在区间 连续, ,有
,
所以无穷积分 收敛 .
于是 也收敛.
又显然 ,
由引理1知 在 上一致连续.
推论1若 收敛, 在 上满足李普希茨条件，
则
.
证明方法与过程同上.
最后再给出收敛的广义积分被积函数趋于零的一个必要条件.
定理3若函数 在 上有连续的导数， 和 都收敛，
则
证明由于 有连续的导数，则
由 收敛知 存在，
不妨设
若 不妨设 取 则存在 ，当 时，有
从而
这与 收敛矛盾.
所以
例3对定义在 上的函数 显然在 上有连续的导数，对无穷积分
由于