广义积分被积函数的极限
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Key words
则
.
证明因为 在上满足李普希茨条件，
由引理2知 在 上一致连续.
又 收敛，
由定理1
.
推论2若 收敛， 在 时可导且存在 ，使得
，
则Байду номын сангаас
.
证明由于函数 在 上可导，且 有
（其中 为常数）.
由引理3知 在 上一致连续.
又由无穷积分 收敛，
由定理1
.
定理1不仅告诉我们收敛的广义积分的极限 为零的充要条件，而且用它我们可以判定某些函数在无穷区间上不一致连续.如 收敛，但 ，则 在 上不一致连续.若直接证明 在 上不一致连续是很困难的.
广义积分被积函数的极限
顾敏康01830535
（徐州师范大学数学系徐州221116）
摘要本文讨论了广义积分 的被积函数 当 时的极限情况，这里我总结出了几个 的条件.
关键词广义积分;被积函数;极限
由文献[1]知无穷积分 收敛，则有当 时 是否成立？反之是否成立？结果答案都是否定的.例如 不存在，但 收敛，而 ，但 发散.由此可见，这一结果和数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的。广义积分和级数之间有内在的联系，而在这一点上两者不一样，所以一个自然的问题就是广义积分的被积函数在什么样的条件下极限存在且当 时为零.
定理2若 收敛，且 当 时， 非负单调递减，
则
证明因为 且单调递减，
由极限存在定理，当 时 存在极限，不妨设
则由极限的性质有 若 有 使得
由极限的保号性有 当 时
于是
此与 收敛矛盾，从而
即
例2对定义在 上的函数 显然 在 上是非负单调递减的，由于
故 收敛，
由定理2
和定理2对称的有下述结果：
推论3若 收敛，且存在 当 时 非正单调递增，
引理1若函数 在 连续，且 ，
则函数 在 上一致连续.
证明已知 ，即 ， ， ，有
.
已知 在 上连续,根据一致连续性定理,则 在 一致连续,即 有
.
于是 都有
.
故函数 在 上一致连续.
引理2若函数 在区间 满足李普希茨条件，即 ，有 ，其中是常数，
则 在 上一致连续.
证明 解不等式
得
取 于是 则 有
The Limit of The Generalized Integral’s integrand
Gu Minkang 01830535
（Department of Mathematics Xuzhou Normal Univesity, Xuzhou, 221116）
AbstractIn this paper, the author discusses the limit of the integrand of generalized integral when thevariable tends to the infinity, and sums several conditions which make the limit be zero as variable tending to the infinity.
故函数 在 上一致连续.
引理3若函数 在 上可导，且 有 其中 为常数，则 在 上一致连续.
证明因为 在 上可导，对 ，
则 在 上连续，在 内可导，
所以
从而
.
由引理2知 在 上一致连续.
定理1 在 上连续， 收敛，则 的充分必要条件是 在 上一致连续.
证明由引理1必要性显然.
充分性已知 在 上一致连续，则 （不妨设 ），对 ，当 时，有
则
.
证明方法与过程同上.
最后再给出收敛的广义积分被积函数趋于零的一个必要条件.
定理3若函数 在 上有连续的导数， 和 都收敛，
则
证明由于 有连续的导数，则
由 收敛知 存在，
不妨设
若 不妨设 取 则存在 ，当 时，有
从而
这与 收敛矛盾.
所以
例3对定义在 上的函数 显然在 上有连续的导数，对无穷积分
由于
所以 收敛.
同样可以说明 也收敛.
由定理3知
参考文献
[1]刘玉链,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1996:265-266.
[2]吕凤,刘玉链.数学分析习题课讲义[M].东北师范大学出版社,1993:142-144.
[3]华东师范大学数学系.数学分析（第二版上）[M].北京:高等教育出版社,2001:36-37.
.
又因为 收敛，故对上述的 ， 当 时有
对 使 且 ，于是有
，
从而
=
=
，
即 .
于是 时有 ,
所以 .
例1对定义在 上的函数 ,显然它在 上连续,对无穷积分 ,已知函数 在区间 连续, ,有
,
所以无穷积分 收敛 .
于是 也收敛.
又显然 ,
由引理1知 在 上一致连续.
推论1若 收敛, 在 上满足李普希茨条件，
则
.
证明因为 在上满足李普希茨条件，
由引理2知 在 上一致连续.
又 收敛，
由定理1
.
推论2若 收敛， 在 时可导且存在 ，使得
，
则Байду номын сангаас
.
证明由于函数 在 上可导，且 有
（其中 为常数）.
由引理3知 在 上一致连续.
又由无穷积分 收敛，
由定理1
.
定理1不仅告诉我们收敛的广义积分的极限 为零的充要条件，而且用它我们可以判定某些函数在无穷区间上不一致连续.如 收敛，但 ，则 在 上不一致连续.若直接证明 在 上不一致连续是很困难的.
广义积分被积函数的极限
顾敏康01830535
（徐州师范大学数学系徐州221116）
摘要本文讨论了广义积分 的被积函数 当 时的极限情况，这里我总结出了几个 的条件.
关键词广义积分;被积函数;极限
由文献[1]知无穷积分 收敛，则有当 时 是否成立？反之是否成立？结果答案都是否定的.例如 不存在，但 收敛，而 ，但 发散.由此可见，这一结果和数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的。广义积分和级数之间有内在的联系，而在这一点上两者不一样，所以一个自然的问题就是广义积分的被积函数在什么样的条件下极限存在且当 时为零.
定理2若 收敛，且 当 时， 非负单调递减，
则
证明因为 且单调递减，
由极限存在定理，当 时 存在极限，不妨设
则由极限的性质有 若 有 使得
由极限的保号性有 当 时
于是
此与 收敛矛盾，从而
即
例2对定义在 上的函数 显然 在 上是非负单调递减的，由于
故 收敛，
由定理2
和定理2对称的有下述结果：
推论3若 收敛，且存在 当 时 非正单调递增，
引理1若函数 在 连续，且 ，
则函数 在 上一致连续.
证明已知 ，即 ， ， ，有
.
已知 在 上连续,根据一致连续性定理,则 在 一致连续,即 有
.
于是 都有
.
故函数 在 上一致连续.
引理2若函数 在区间 满足李普希茨条件，即 ，有 ，其中是常数，
则 在 上一致连续.
证明 解不等式
得
取 于是 则 有
The Limit of The Generalized Integral’s integrand
Gu Minkang 01830535
（Department of Mathematics Xuzhou Normal Univesity, Xuzhou, 221116）
AbstractIn this paper, the author discusses the limit of the integrand of generalized integral when thevariable tends to the infinity, and sums several conditions which make the limit be zero as variable tending to the infinity.
故函数 在 上一致连续.
引理3若函数 在 上可导，且 有 其中 为常数，则 在 上一致连续.
证明因为 在 上可导，对 ，
则 在 上连续，在 内可导，
所以
从而
.
由引理2知 在 上一致连续.
定理1 在 上连续， 收敛，则 的充分必要条件是 在 上一致连续.
证明由引理1必要性显然.
充分性已知 在 上一致连续，则 （不妨设 ），对 ，当 时，有
则
.
证明方法与过程同上.
最后再给出收敛的广义积分被积函数趋于零的一个必要条件.
定理3若函数 在 上有连续的导数， 和 都收敛，
则
证明由于 有连续的导数，则
由 收敛知 存在，
不妨设
若 不妨设 取 则存在 ，当 时，有
从而
这与 收敛矛盾.
所以
例3对定义在 上的函数 显然在 上有连续的导数，对无穷积分
由于
所以 收敛.
同样可以说明 也收敛.
由定理3知
参考文献
[1]刘玉链,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1996:265-266.
[2]吕凤,刘玉链.数学分析习题课讲义[M].东北师范大学出版社,1993:142-144.
[3]华东师范大学数学系.数学分析（第二版上）[M].北京:高等教育出版社,2001:36-37.
.
又因为 收敛，故对上述的 ， 当 时有
对 使 且 ，于是有
，
从而
=
=
，
即 .
于是 时有 ,
所以 .
例1对定义在 上的函数 ,显然它在 上连续,对无穷积分 ,已知函数 在区间 连续, ,有
,
所以无穷积分 收敛 .
于是 也收敛.
又显然 ,
由引理1知 在 上一致连续.
推论1若 收敛, 在 上满足李普希茨条件，