最新一次函数知识点(全)教学内容
一次函数知识点
一、函数与变量
常量与变量的概念:
我们在现实生活中所遇到的一些实际问题,存在一些数量关系,其中有的量永远不变,同时也出现了一些数值会发生变化的两个量,且这两个量之间相互依赖、密切相关.
在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量.
在某一变化过程中,有两个量,例如x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有惟一的值与之对应,其中x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数.
在一些变化过程中,还有一种量,它的取值始终保持不变,我们称之为常量.例如:圆的面积S 与圆的半径r 存在相应的关系:2πS r =,这里π表示圆周率;它的数值不会变化,是常量,S 随着r 的变化而变化,r 是自变量,S 是因变量;
◆ “y 有唯一值与x 对应”是指在自变量的取值范围内,x 每取一个确定值,y 都唯一的值
与之相对应,否则y 不是x 的函数.
◆ 判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式,还要满足上述确定的对应关系.x 取
不同的值,y 的取值可以相同. 例如:函数2(3)y x =-中,2x =时,1y =;4x =时,1y =.
◆ 函数不是数,它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系,函数本质就是变量间的对
应关系.
数学上表示函数关系的方法通常有三种:
⑴解析法:用数学式子表示函数的方法叫做解析法.譬如:30S t =,2S R π=. ⑵列表法:通过列表表示函数的方法.
⑶图象法:用图象直观、形象地表示一个函数的方法.
关于函数的关系式(即解析式)的理解:
● 函数关系式是等式. 例如4y x =就是一个函数关系式.
● 函数关系式中指明了那个是自变量,哪个是函数.
通常等式右边代数式中的变量是自变量,等式左边的一个字母表示函数. 例如:y x =是自变量,y 是x 的函数.
● 函数关系式在书写时有顺序性.
例如:31y x =-+是表示y 是x 的函数,若写成13
y x -=
就表示x 是y 的函数. ● 求y 与x 的函数关系时,必须是只用变量x 的代数式表示y ,得到的等式右边只含x 的代数式.
自变量的取值范围:
很多函数中,自变量由于受到很多条件的限制,有自己的取值范围,例如y =
自变量x 受到开平方运算的限制,有10x -≥即1x ≥;
当汽车行进的速度为每小时80公里时,它行进的路程s 与时间t 的关系式为80s t =;这里t 的实际意义影响t 的取值范围t 应该为非负数,即0t ≥.
在初中阶段,自变量的取值范围考虑下面几个方面:
⑴根式:当根指数为偶数时,被开方数为非负数.
⑵分母中含有自变量:分母不为0.
⑶实际问题:符合实际意义.
函数图象:函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的.
描点法画函数图象的步骤:⑴列表; ⑵描点; ⑶连线.
函数解析式与函数图象的关系:
⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上;
⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式.
二、一次函数及其性质
● 知识点一 一次函数的定义
一般地,形如y kx b =+(k ,b 是常数,0k ≠)的函数,叫做一次函数,当0b =时,
即y kx =,这时即是前一节所学过的正比例函数. ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式.
⑵当0b =,0k ≠时,y kx =仍是一次函数.
⑶当0b =,0k =时,它不是一次函数.
⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数.
● 知识点二 一次函数的图象及其画法
⑴一次函数y kx b =+(0k ≠,k ,b 为常数)的图象是一条直线.
⑵由于两点确定一条直线,所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时,只要先描出两个点,再连成直线即可.
①如果这个函数是正比例函数,通常取()00,,()1k ,两点; ②如果这个函数是一般的一次函数(0b ≠),通常取()0b ,,0b k ??- ???,,即直线与两坐标轴的交点.
⑶由函数图象的意义知,满足函数关系式y kx b =+的点()x y ,在其对应的图象上,这个图象就是一条直线l ,反之,直线l 上的点的坐标()x y ,满足y kx b =+,也就是说,直线l 与y kx b =+是一一对应的,所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l :y kx b =+,有时直接称为直线y kx b =+.
● 知识点三 一次函数的性质
⑴当0k >时,一次函数y kx b =+的图象从左到右上升,y 随x 的增大而增大;