第一节定积分的概念

求曲边梯形的面积A的具体做法： (1)分割 在(a,b)内插入n–1个分点
把区间[a,b]分成n个小区间
记每一个小区间
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的长度为
过每个分点xi(i=1,2,…,n)作y轴的平行线，将曲 边梯形分割成n个小曲边梯形.
我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变力作功的问 题.
引例2 变力做功
计算步骤 (1)分割
以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总 和的极限.由此引入定积分的概念.
二、定积分的概念
定义
定积分(简称积分)
其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b 叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间.
根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述：
三、定积分的存在定理
定理6.1
定理6.2
曲线
、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数
f(x)在区间[a,b]上的定积
分，即
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之 功等于函数F(s)在[a,b]上的定积分，即
如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积.
关于定积分的概念，还应注意两点:
(1)定积分
是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)
及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有
(2)在定积分 的定义中，总假设 ，为了
今后的使用方便，对于
时作如下规定：
定积分的几何意义：
如果在[a,b]上
，则
x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.
一、引入定积分概念的实例
引例1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数f(x)在区间[a,b](a<b)上非负且连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b
及x轴围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧y=f(x)称为曲边，线段ab称为底边.
问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.
在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，
如果在[a,b]上
，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边
梯形位于x轴的下方，则定积分
在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反
数.
如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分
在几何上表示介
于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.