第一节定积分的概念
高等数学 第5章 第一节 定积分的概念
定积分存在的两个充分条件:
定理1 设 f ( x) 在区间 [a, b]上连续, 则 f ( x)在区间 [a, b] 上可积. 定理2 设 f ( x)在区间 [a, b] 上有界， 且只有有限个间断点,则
f ( x)在区间 [a, b]上可积.
6
定积分的几何意义
y y f (x)
A
o xa xb x
lim
n
6n 2
3
10
1 i n
i
},
0,
n
A lim 0 i1
f ( i )xi
An
x xn1 nxn b
3
2. 变速直线运动的路程
设物体作直线运动,
已知速度 v v(t )是时间间隔 [T1 ,T2 ]上 的
连续函数, 且 v(t ) 0, 计算在这段时间内物体所经过的路程。
匀速直线运动：
路程=速度×时间.
(1) 分割
T1 t0 t1 ti1 ti tn T2 ,
v( i )
ti ti ti1
(i 1,2,, n)
(2) 近似代替
si v( i )t i
T1
i
T2
t t0 t1 t2 ti1 ti tn1 tn
(3) 求和 (4) 取极限
s
n i 1
s
i
n v(
i 1
i )t i
每 个小区间的长度 xi xi xi1 (i 1,2,n).
2
（2）近似代替
y Ai f (i )xi
(i 1,2,, n)
（3）求和
y f (x)
A1 A2
Ai
A
n i 1
Ai
n
第一节 定积分的概念和性质 定积分问题举例1
Ai f ( i )xi
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1 n
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{ x1 , x2 , xn }
趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为 A lim f ( i )xi
0
i 1
n
实例2 （求变速直线运动的路程）
（1）分割
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2 t i t i t i 1 si v ( i )t i
部分路程值
某时刻的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度
（2）求和
s v ( i )t i
i 1
n
（3）取极限 max{t1 , t 2 ,, t n } 路程的精确值 s lim v ( i )t i
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是 时 间 间 隔 [T1 , T2 ] 上t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且
v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
把区间 [a , b] 分成 n 个小区间 [ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
y
在每个小区间 [ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
o a
x1
x i 1 x i
i
x n1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， ( i ) 为高的小矩形面积为 f
o
a
b
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
定积分的概念与性质
x
区间长度为: xi xi xi 1 , i 1,2,
,n
将曲边 梯形AabB 分成 n 个小曲边梯形,
si 表示第 i 个小曲边梯形的面积, 用s 表示曲边梯形 AabB 的面积, 则有: n s s1 s2 sn si
i 1
(2)近似求和 在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i ( xi 1 i xi ),
n
当 0 时,和 总有共同的极限 I ,则称 I 为函数 b f ( x ) 在 [a , b] 上的定积分, 记为 f ( x )dx , 即
b
a
f ( x )dx I lim f ( i )xi
0
i 1
n
a
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
s
i 1
n
i
si v ( i )t i
并作和:
( i 1,2, , n)
i
sn
v( )t
i 1 i n
n
则有 s sn v ( i )t i
i 1
n
(3)求极限 记 max{t i }, 当 0 时, 1 i n 有： s lim v ( i )t i
匀速直线运动: s v t 变速直线运动：
O
v(t )
T1
.
T2
.
t
用类似的方法解决如下： (1)分割
OT
1
t0
t1 t 2
ti
t i 1 tn T2
t
用 si 表示第 i 个小时间段行驶的距离, 则 s (2)近似求和 在每个时间段 [t i 1 , t i ] 上任取一时刻 i ,
第一节定积分的概念与性质
第五章定积分5.1 定积分的概念与性质数学与统计学院武忠祥12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分bx x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ3) 合knk kx f ∆∑=1)(ξ≈A1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ3) 合knk kx f ∆∑=1)(ξ≈A 4) 精},,max{21n x x x d ∆∆∆= knk kd x f ∆∑=→1)(lim ξ=A两个问题的共性：1) 求解具有同样特征的量2) 解决问题的思想方法和步骤相同3) 都归结为同样数学结构的和式极限的计算体现在两个方面：(1)都是分布在区间上的量，且对区间具有可加性；(2)量是非均匀分布在区间上的.思想方法都是四步：分、匀、和、精，核心都是匀、精，在均匀分布时都采用积运算.都是乘积的和式的极限，只是函数的表示不同罢了.12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质1）定义（定积分）],,[b a 任意划分bx x x x x a n n =<<<<<=-1210 1）分],,[1k k k x x -∈ξ任取.)(k k x f ∆ξ做乘积2）匀3）合knk kx f ∆∑=1)(ξ时怎样选取怎样划分如果无论0,,],[→d b a k ξk nk kx f ∆∑=1)(ξ4）精趋于同一常数，⎰b adx x f )(knk k d x f ∆=∑=→)(lim 1ξ2 定积分的定义,],[)(上的有界函数是定义在设b a x f .],[)(上可积在则称b a x f=⎰b ax x f d )(k nk k d x f ∆∑=→1)(lim ξ；代替所以不能用不等价与）0,01→∞→+∞→→d n n d 注：2）两个任意性；.],[)()(3有关和仅与）b a x f dx x f ba⎰.],[称为积分区间b a 积分是处理均匀量的积运算在处理相应非均匀量中的发展⎰=baxx f A d )(⎰=batt v s d )(积分上限积分下限被积函数积分变量被积式积分和时，b a >⎰b a dx x f )(时，b a =0)(=⎰badx x f ②补充规定：①⎰-=abdxx f )(曲边梯形面积曲边梯形面积的负值1A2A 3A 2）定积分的几何意义abxyo)(x f y =,)(变号x f ⎰>ba dx x f x f )(,0)(A =⎰<b a dx x f x f )(,0)(A-=312)(A A A dx x f b a--=⎰x120.x d x ⎰例4 计算定积分3）定积分存在的条件可积的充分条件可积有界可积性计算上连续；在],[)()1b a x f .],[)()2断点上只有有限个第一类间在b a x f knk k bad x f dx x f ∆=∑⎰=→1)(lim )(ξ个子区间的右端点，则有12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质],[b a R 3.定积分的性质Riemann积分R b a R g f ∈∈βα,],,[,],[b a R g f ∈+βα⎰⎰⎰+=+ba b ab a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([βαβα1）线性性质：设，则且I Ic b a ∈,,2)对区间的可加性：设是有限闭区间，)(I R f ∈⎰⎰⎰+=b a ca b c dx x f dx x f dx x f )()()(且，则k b c k k k c a x f x f ∆+∆=∑∑)()(],[],[ξξk b a k x f ∆∑)(],[ξ证设,b c a <<。
定积分的概念
f ( i ) xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和式总趋于 确定的极限I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分， 记为
积分上限
b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f
(i )xi
积分和
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表 达 式
变 量
定积分的本质是一种特殊结构的和式的极限
曲边梯形面积A：
n
A lim 0 i1
f (i )xi
记为 b f x dx a
隔[T1 ,T2 ]内，v 的变化不大，可近似看作是
匀速运动问题。按照求曲边梯形面积的思 想。
思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上 速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到 路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求 得路程的精确值。
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ti ti ti1
sin xdx
1
A2
4
sin
xdx
所以
5
A sin xdx 4 sin xdx
1
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i1
f (i )xi
2. 定积分的几何意义
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
5.1 定积分的概念与性质
lim ( )Δ =
→0
=1
则称这个极限为函数()在区间[, ]上的定积分,记为
න ()d
第一节 定积分的概念与性质
定积分
第五章
即
积分上限
定积分
积分和
න ()d = = lim ( )Δ
积分下限
→0
=1
被积被
积分积
[, ]积分区间 函 变 表
[, ]
[, ]
( − )≤ න ()d ≤( − ) ( < )
证
∵ ≤()≤,
∴ න d≤ න ()d≤ න d ,
( − )≤ න () d≤( − ).
第一节 定积分的概念与性质
此性质可用于
估计积分值的
第五章
8. 定积分中值定理
如果 () 在区间[, ]上连续, 则至少存在一点 ∈ [, ], 使
න ()d = ( )( − )
证
设()在[, ]上的最小值与最大值分别为 , ,
1
න ()d≤
则由性质7可得 ≤
−
根据闭区间上连续函数介值定理, ∃ ∈ [, ], 使
= lim ( )
=
lim ( ) ⋅
→∞
− →∞
故它是有限个数的平均值概念的推广.
第一节 定积分的概念与性质
把区间[, ]分成个小区间,
[0 , 1 ], [1 , 2 ], ⋯ , [−1 , ], ⋯ , [−1 , ]
各个小区间的长度依次为
高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
高二数学-定积分概念-课件
0
( x f (t)dt)2
0
( x f (t)dt)2
0
0
依题意，在[0, x](x 0)上, f (t) 0, (x t) f (t) 0,
且(x t) f (t) 0,故
x
f (t)dt 0,
x
(x t) f (t)dt 0,
0
0
F(x) 0(x 0),从而F(x)在(0,)内单调增加。
(2) lim 4 sin n xdx 0. n 0
解： （利用积分中值定理）
(1)
1 2
xn
dx
n
(1 0)
(0 1)
0 1 x 1 2
2
原式 lim n 0.
n 2(1 )
(2)
4
sin
n
xdx
sin
n
(
0)
0
4
原式 lim sin n 0.
n 4
(0 )
n
n
(iii)求和： A Ai f (i )xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{ x1,xn}，则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )xi
1.定积分定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割： 在[a,b]内插入若干个分点a x0 xn1 xn b，
x
0
(1) (1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，且f (x) 0.证明
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x
第一节-定积分的概念与性质名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
第一节 定积分旳概念与性质
一、问题旳提出
y
B
C
我们平时在平面几何和立体几何
D
中学到旳都是非常规则旳图形，
A
C
如三角形、梯形、圆等等。
oa
Ex
b
它们旳面积计算都由公式给定，了解也相对简朴。但是， 现实中还会有另外某些图形，它们旳面积计算就无法由 给定旳公式给出。如右上图。这么旳图形面积应该怎么 计算呢？
n个小矩形旳面积和:
我们称
为黎曼和(Riemann Sums)
二、定积分旳定义
n
若f (x)是定义在闭区间[a ，b]上旳函数，假如
lim
n
i 1
Ai
存在，则f (x)在[a ，b]
上是可积分旳，称此极限值为f (x)在[a，b]上旳定积分。
b
n
a
f
( x)dx
lim
n
i 1
Ai
n
我们将 Ai A1 A2 .... An 称为黎曼和。
31
一般称F(x)是f(x)旳一种原函数
(2) 在计算定积分时，经常用符号
来表达
F(b)−F(a)，牛顿—莱布尼茨公式也能够写作
常见函数旳原函数
(1)0 的原函数＝__c_； (2)1 的原函数＝__x_＋__c___；
xα＋1
(3)xα 的原函数＝__α_＋__1___＋c(α≠－1，x>0)
初等数学背景下，曲线下旳面积(Area Under a Curve)是相当困难旳问题。但 是，利用定积分(The Definite Integral)解答，手到擒来
黎曼和 Riemann Sums
一分为二，n=2
高等数学 课件 PPT 第五章 定积分
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
微积分 第六章 第一节 定积分的概念与性质
b
b
| f ( x) |dx a f ( x)dx a | f ( x) | dx ,
b
b
即 | a f ( x)dx | a | f ( x) |dx .
23
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
于是 f (x) 单调增加, f ( x) f (0) 0，
x ln(1 x)， x 0 .
于是
1
1
x dx ln(1 x)dx .
0
0
25
性质5（估值定理）
设 M及m 分别是 f ( x) 在区间[a, b] 上的最大值及
最小值，则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a) .
a
a
进一步，若 f (x) g(x) ，且 f ( x) 和g(x) 不恒等，则有
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx .
证 令 h( x) g( x) f ( x) 即可.
22
b
b
推论2 | f ( x)dx | | f ( x) |dx (a b)
a
a
证 | f (x)| f (x) | f (x)| ,
f ( x)dx lim 0
i 1
f (i )xi
可直接得出.
18
b
b
b
性质2 (1) a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
b
b
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx
(k为常数)
证略.
大学微积分教材_第六章
定理1(微积分基本定理) 设函数 f ( x) 在[a, b]上连续,
构作积分上限函数
y y= f(x)
(x) x f(t)dt，x[a,b] a
G(x)
x
0a
x
第三节 微积分基本公式
用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍 计算定积分的新方法.
定理1(微积分基本定理) 设函数 f ( x) 在[a, b]上连续,
在 区 间 [a,b]上 至 少 存 在 一
个 点 ， 使 得 以 区 间 [ a ,b ] 为
底 边 ， 以 曲 线 yf(x )
为 曲 边 的 曲 边 梯 形 的 面 积
等 于 同 一 底 边 而 高 为 f()
b x的 一 个 矩 形 的 面 积 。
一般称 1
b
f(x)dx为连续函数f(x) 在[a,b]
（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）
性质2
b
b
k(fx)dxk f(x)dx
(k为常数)
a
a
性质1,2合称线性性质.
b
c
b
性质3 af(x)d xaf(x)d xcf(x)d x
说明：不论a, b, c的相对位置如何, 上式总成立.
例如, abc,
c
b
c
af(x)d xaf(x)d xbf(x)d x
b
a
（ 2） 当 ba时 ，f(x)d xf(x)d x.
a
b
5. 定积分的几何意义：
f(x)0,
b
f (x)dx A
曲边梯形的面积
a
f(x)0, bf(x)dxA曲边梯形的面积的负值 a
第一节 定积分的概念与性质
第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例设()y f x =在区间[],a b 非负、连续．由直线x a =、x b =、0y =及曲线()y f x =所围成的图形（如图所示）称为曲边梯形．在区间[],a b 中插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<= ，把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -它们的长度依次为1102211,,,.n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-∆=-在区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，则可按下式近似计算曲边梯形的面积A ：()()()()11221.nn n i i i A f x f x f x f x ξξξξ=≈∆+∆++∆=∆∑如记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆∆ ，则 ()01lim .ni i i A f x λξ→==∆∑二、定积分的定义定义 设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入1n -若干个分点 0121,n n a x x x x x b -=<<<<<=把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,,,n n x x x x x x - ，各个小区间的长度依次为1102211,,,.n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-∆=-在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作和()1.ni i i S f x ξ==∆∑记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆∆ ，如果当0λ→时，和S 的极限总存在，且闭区间[],a b 的分法及点i ξ的取法无关，那么称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()ba f x dx ⎰，即()()01lim ,nbiiai f x dx I f x λξ→===∆∑⎰ 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[],a b 叫做积分区间．如果()f x 在[],a b 上的定积分存在，那么就说()f x 在[],a b 上可积．定理1 设()f x 在区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积．定理2 设()f x 在区间[],a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[],a b 上可积． 定积分的几何意义．在[],a b 上()0f x ≥时，定积分()ba f x dx ⎰表示由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积；在[],a b 上()0f x ≤时，定积分()baf x dx ⎰表示由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积的相反数．在[],a b 上()f x 既取得正值又取得负值时，定积分()baf x dx ⎰表示x 轴上方图形面积减去下方图形面积所得之差．习题5-13.利用定积分的几何意义，证明下列等式：（1）121xdx =⎰；证 根据定积分的几何意义，定积分12xdx ⎰表示由直线2y x =、1x =及x 轴围成的图形的面积，该图形是三角形，底边长为1，高为2，因此面积为1，即12 1.xdx =⎰（2）4π=⎰；证 根据定积分的几何意义，定积分⎰表示的是由曲线y x 周、y轴围成的在第一象限内的图形的面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有.4π=⎰（3）sin 0xdx ππ-=⎰；证 由于函数sin y x =在区间[]0,π上非负，在区间[],0π-上非正．根据定积分的几何意义，定积分sin xdx ππ-⎰表示曲线[]()sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形1D 的面积减去曲线[]()sin ,0y x x π=∈-与x 轴所围成的图形2D 的面积，显然图形1D 与2D 的面积是相等的，因此sin 0.xdx ππ-=⎰（4）2202cos 2cos xdx xdx πππ-=⎰⎰．证 由于函数cos y x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上非负．根据定积分的几何意义，定积分cos xdxππ-⎰表示曲线c o s 0,2y x xπ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与x 轴所围成的图形1D 的面积加上曲线cos ,02y x x π⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与x 轴和y 轴所围成的图形2D 的面积，而图形1D 的面积和图形2D 的面积显然相等，因此2202cos 2cos .xdx xdx πππ-=⎰⎰。
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计算步骤 (1)分割
以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总 和的极限.由此引入定积分的概念.
二、定积分的概念
定义
定积分(简称积分)
其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b 叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间.
根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述：
一、引入定积分概念的实例
引例1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数f(x)在区间[a,b](a<b)上非负且连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b
及x轴围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧y=f(x)称为曲边，线段ab称为底边.
问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.
求曲边梯形的面积A的具体做法： (1)分割 在(a,b)内插入n–1个分点
把区间[a,b]分成n个小区间
记每一个小区间
的长度为
过每个分点xi(i=1,2,…,n)作y轴的平行线，将曲 边梯形分割成n个小曲边梯形.
我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变力作功的问 题.
引例2 变力做功
三、定积分的存在定理
定理6.1
定理6.2
在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，
如果在[a,b]上
，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边
梯形位于x轴的下方，则定积分
在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反
数.
如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分
在几何上表示介
于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
曲线
、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数
f(x)在区间[a线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之 功等于函数F(s)在[a,b]上的定积分，即
如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积.
关于定积分的概念，还应注意两点:
(1)定积分
是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)
及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有
(2)在定积分 的定义中，总假设 ，为了
今后的使用方便，对于
时作如下规定：
定积分的几何意义：
如果在[a,b]上
，则
x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.