数学物理方程第六章 勒让德多项式
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3!
1
a5 = −
a7 = −
(n − 1)(n − 3)(n + 2)(n + 4) a
5!
7!
1来自百度文库
(n − 1)(n − 3)(n − 5)(n + 2)(n + 4)(n + 6) a
1
将这些值代入式(6.2.2) ,则得到了勒让德方程式(6.2.1)的解
⎡ n(n + 1) 2 n(n − 2)(n + 1)(n + 3) 4 ⎤ y = a 0 ⎢1 − x + x − L⎥ 2! 4! ⎣ ⎦ (n − 1)(n + 2) x 3 + (n − 1)(n − 3)(n + 2)(n + 4) x 5 − L⎤ ⎡ + a1 ⎢ x − ⎥ 3! 5! ⎣ ⎦
由于上式为恒等式,所以 x 的各次幂的系数必需都是零,所以
(k + 1)(k + 2)a k + 2 + [n(n + 1) − k (k + 1)]a k
得
=0
ak +2 = −
令 k = 0,2,4, L , 得
(n − k )(n + k − 1) a (k + 1)(k + 2) k
(k = 0,1,2,L)
2
d 2Θ + m2Θ = 0 dθ 2 dΦ ⎞ m2 1 d ⎛ ⎜ ⎟ ( ) n n sin + [ + 1 − ]Φ = 0 ϕ sin ϕ dϕ ⎜ dϕ ⎟ sin 2 ϕ ⎝ ⎠
式(6.1.4)的通解为
{6.1.4}
(6.1.5)
Θ(θ ) = C1 cos mθ + C 2 sin mθ
(6.2.3)
n(n + 1) a0 2! n(n − 2 )(n + 1)(n + 3) a4 = − a0 4! n(n − 2 )(n − 4 )(n + 1)(n + 3)(n + 5) a6 = − a0 6! M a2 = −
再令 k = 1,3,5, L , 得
a3 = −
(n − 1)(n + 2) a
2
(
)
n
n n! 1 1 n 2 − = x x2 ) ( ) ( 1 ∑ n n 2 n! 2 n! m =0 (n − m )!m!
−
在实际工作中,经常遇上 n 是非负数的情况,因此我们只在 n 是非负数这个前提下展开讨论。当 n 是整数时,由式(6.2.5)和式(6.2.6)可知, y1与y 2 中有一个是多项式,另一个是无穷级数。 为了便于给出这个多项式的表达式,我们将式(6.2.3)改写为
ak = −
(k + 2)(k + 1) a (n − k )(k + n + 1) k + 2
式中, y1 , y 2 分别表示级数式(6.2.5)和式(6.2.6) ; C1与C 2 为任意常数。 6.3 勒让德多项式
上面我们解出了勒让德方程式(6.2.1)的解,由级数式(6.2.5)和式(6.2.6)可知,当 n 不是整 数时, y1与y 2 都是无穷级数,它们在 x < 1 内绝对收敛,在 x = + 1 时趋向于无穷。
分离变量 θ , ϕ ,则有
−
1 d 2Θ 1 d ⎛ dΦ ⎞ ⎜ ⎟ = sin ϕ sin ϕ + n(n + 1) sin 2 ϕ ⎜ ⎟ 2 Θ dθ Φ dϕ ⎝ dϕ ⎠
此式的左端只于 θ 有关,因此只有二者均为常数时它们才能相等。由于式(6.1.1)在球坐标系下的一 切(单值)解都应是关于变量 θ 的周期函数,周期为 2 π ,因而 Θ 也是以 2 π 为周期的周期函数。与 我们在第 5 章讨论的一样,这个常数必需等于 m (m = 0,1,2, L) ,从而有
第6章
勒让德多项式
本章我们将研究勒让德多项式在解决数学物理方程定解问题中的一些应用。 首先应用分离变量法, 在球坐标系中对拉普拉斯方程进行分离变量,导出勒让德方程;并讨论这个方程的解法及解的有关性 质;指出勒让德方程在区间[-1,1]上的有界解构成了一类正交函数系—勒让德多项式。 6.1 勒让德方程的导出 在前面的章节里,我们利用格林函数研究了拉普拉斯方程
式中, C1 , C 2 为任意常数。 对式(6.1.5)进行整理,有
d 2Φ dΦ ⎡ m2 ⎤ ( ) n n + cot + + 1 − ϕ ⎢ ⎥Φ = 0 dϕ ⎣ dϕ 2 sin 2 ϕ ⎦
这个方程称为连带的勒让德方程。
(6.1.6)
为了表达上的方便,我们引入新的变量 x = cos ϕ 。由于 0 ≤ ϕ ≤ π ,所以 − 1 ≤ x ≤ 1 ,并记
将变量 R (r ), Y (θ , ϕ ) 分离,得
]R = 0
∂ ⎛ ∂Y ⎞ ∂ 2Y 1 d ⎛ 2 dR ⎞ 1 1 1 ⎜ ⎟ + 2 sin ϕ ⎜r ⎟=− [ 2 2 2 R dr ⎝ dr ⎠ Y r sin ϕ ∂ϕ ⎜ ∂ϕ ⎟ ⎝ ⎠ r sin ϕ ∂θ
]
上式左端只于 r 有关,右端只与 θ , ϕ 有关,所以二者都是常数时才能恒等。为了方便后续的讨论, 我们把这个常数写成 n(n + 1) 的形式(这里的 n 可以是实数,也可以是复数) ,于是有
(6.3.1)
式中, ⎢ ⎥ 表示不大于 的最大整数。式(6.3.1)被称为 n 次勒让德多项式(亦称为第一类勒让 2 2 德函数) 。 特别的,当 n=0,1,2,3,4,5 时分别有
⎡n⎤ ⎣ ⎦
n
P0 ( x ) = 1 P2 ( x ) =
P1 ( x ) = x 1 2 1 P3 ( x ) = 2 1 P4 ( x ) = 8 1 P5 ( x ) = 8
(6.2.5) (6.2.6)
显然,级数 y1 , y 2 都是勒让德方程式(6.2.1)的解,且 y1 与 y 2 是线性无关的。由达朗贝尔(比值)判 别法和式(6.2.6)的收敛区间为 x < 1 ,因此在 x < 1 内,勒让德方程式(6.2.1)的通解为
y = C1 y1 + C 2 y 2
2 2 2
(6.2.1)
的解为
y = ∑ ak x k
k =0
∞
(6.2.2)
,整理得 对上式求导,得出 y ′, y ′′ 的级数表达式,连同式(6.2.2)一齐代入式(6.2.1)
∑ {(k + 1)(k + 2)a
k =0
∞
k +2
+ [n(n + 1) − k (k + 1)]a k }x k = 0
d2y dy + 1− x2 dx dx 2
(
)
m dy ⎡ y (1 − x ) d − 2 x + ⎢n(n + 1) − dx 1− x dx
2 2 2 2
⎣
2
⎤ ⎥y = 0 ⎦
(6.1.7)
若 u (r , θ , ϕ ) 与 θ 无关,则由式(6.1.4)可知, Θ(θ ) 是常数,则 m = 0 。这时,式(6.1.7)简化为
a n −6 = −
2
n
一般说来,当 n − 2m ≥ 0 时,有
M
a n − 2 m = (− 1)
m
2
n
(2n − 2m )! m!(n − m )!(n − 2m )!
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )! (2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5) an 2 ⋅ 4 ⋅ 6(2n − 1)(2n − 3)(2n − 5)
M
为了形式上好看,并使所得的多项式在 x = 1 处值为 1,我们将任意常数 a n 的值取为
an =
(2n )! 2 2 n (n!)
=
1 ⋅ 3 ⋅ 5L (2n − 1) n!
(6.1.3)
R(r ) = Ar n + Br − (n +1)
式中,A,B 为任意常数。 式 (6.1.3) 中喊有两个自变量 θ , ϕ , 再次应用分离变量的方法, 令 Y (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ ) , 代入 (6.1.3) 式中,整理得
dΦ ⎞ 1 d ⎛ 1 d 2Θ ⎜ sin ϕ ⎟Θ + Φ + n(n + 1)ΘΦ = 0 dϕ ⎟ sin ϕ dϕ ⎜ sin 2 ϕ dθ 2 ⎝ ⎠
Pn ( x ) = ∑ (− 1)
m =0 ⎡n⎤ ⎢2⎥ ⎣ ⎦ m
若 n 是正偶数,由式(6.2.5)可得
y1 = ∑ (− 1)
m =0 n −1 2
n 2
m
2
n
若 n 是正奇数,由式(6.2.6)可得
y 2 = ∑ (− 1)
m =0
m
2
n
把这两个多项式统一写成
2
n
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
dy y (1 − x ) d − 2 x + n(n + 1) y = 0 dx dx
2 2 2
(6.1.8)
式(6.1.8)称为勒让德方程。一部分定解问题的求解,最后都归纳为勒让德方程的求解。 6.2 勒让德方程的求解
和求贝赛尔方程一样,我们设勒让德方程
y dy (1 − x ) d − 2 x + n(n + 1) y = 0 dx dx
(3x (5x
2
−1
) ) ) )
3
− 3x
4
(35x (63x
− 30 x 2 + 3
5
− 70 x 3 + 15 x
它们的图形如图 6-1 所示。
为了应用上的方便,我们将 Pn ( x ) 表示为
Pn ( x ) =
n 1 dn 2 ( x − 1) n n 2 n! dx
(6.3.2)
的形式。称式(6.3.2)为勒让德多项式的罗德里格斯(Rodrigues)表达式。该公式的证明如下。 证明:用二项式定理把 x − 1 展开,有
式中, a 0 , a1 为任意常数。若用 y1 , y 2 分别表示式(6.2.4)中的两个级数,即
(6.2.4)
n(n + 1) 2 n(n − 2 )(n + 1)(n + 3) 4 x + x −L 2! 4! (n − 1)(n + 2) x 3 + (n − 1)(n − 3)(n + 2)(n + 4) x 5 − L y2 = x − 3! 5! y1 = 1 −
(n = 1,2,L)
从而有
an−2 = −
(2n − 2)! n(n − 1) (2n )! =− n 2 n 2(2n − 1) 2 (n!) 2 (n − 1)!(n − 2 )!
2
n
an−4 = −
(2n − 4)! 2!(n − 2 )!(n − 4 )! (2n − 6)! 3!(n − 3)!(n − 6 )!
y = Φ (ϕ ) ,于是有
dΦ dy dx dy dy = = − sin ϕ = − 1− x2 dϕ dx dϕ dx dx
dΦ dy dx d ( − 1 − x 2 dy = = dx dϕ dx dϕ dx
将 x, y, 及 y 的导数代入式(6.1.6)中,整理得
) dx
dϕ
= −x
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
的求解问题。本节,在球坐标系下,我们应用分离变量的方法来处理拉普拉斯方程。在球坐标系中, 拉普拉斯方程为
1 ∂ ⎛ 2 ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u ⎜ sin ϕ ⎟+ 2 =0 ⎜r ⎟+ 2 2 ∂ϕ ⎟ r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin ϕ ⎜ ⎝ ⎠ r sin ϕ ∂θ
r2
d 2R dR + 2r − n(n + 1)R = 0 2 dr dr
(6.1.2)
∂Y ⎞ 1 ∂ 2Y 1 ∂ ⎛ ⎜ ⎟ sin ϕ + + n(n + 1)Y = 0 2 2 sin ϕ ∂ϕ ⎜ ∂ϕ ⎟ ⎝ ⎠ sin ϕ ∂θ
式(6.1.3)的解 Y (θ , ϕ ) 与半径 r 无关,故称之为球面函数,或简称为球函数。 式(6.1.2)是欧拉方程,其通解为
式中,0 ≤ ϕ ≤ π , 0 ≤ θ ≤ 2π 。 令式(6.1.1)的解为 u (r , θ , ϕ ) = R (r )Y (θ , ϕ ), 代入式(6.1.1) ,整理得
(6.1.1)
1 d ⎛ 2 dR ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂Y ⎞ 1 ∂ 2Y ⎜ ⎟ ϕ r Y + [ sin + ⎜ ⎟ 2 2 2 ∂ϕ ⎟ r 2 dr ⎝ dr ⎠ r 2 sin ϕ ∂ϕ ⎜ ⎝ ⎠ r sin ϕ ∂θ
(k ≤ n − 2)
这样,系数 a n − 2 , a n − 4 , L 都可以通过最高次项的系数 a n 来表示,即
an−2 = −
n(n − 1) an 2(2n − 1) n(n − 1)(n − 2 )(n − 3) an 2 ⋅ 4(2n − 1)(2n − 3)
an−4 = −
a n −6 = −
1
a5 = −
a7 = −
(n − 1)(n − 3)(n + 2)(n + 4) a
5!
7!
1来自百度文库
(n − 1)(n − 3)(n − 5)(n + 2)(n + 4)(n + 6) a
1
将这些值代入式(6.2.2) ,则得到了勒让德方程式(6.2.1)的解
⎡ n(n + 1) 2 n(n − 2)(n + 1)(n + 3) 4 ⎤ y = a 0 ⎢1 − x + x − L⎥ 2! 4! ⎣ ⎦ (n − 1)(n + 2) x 3 + (n − 1)(n − 3)(n + 2)(n + 4) x 5 − L⎤ ⎡ + a1 ⎢ x − ⎥ 3! 5! ⎣ ⎦
由于上式为恒等式,所以 x 的各次幂的系数必需都是零,所以
(k + 1)(k + 2)a k + 2 + [n(n + 1) − k (k + 1)]a k
得
=0
ak +2 = −
令 k = 0,2,4, L , 得
(n − k )(n + k − 1) a (k + 1)(k + 2) k
(k = 0,1,2,L)
2
d 2Θ + m2Θ = 0 dθ 2 dΦ ⎞ m2 1 d ⎛ ⎜ ⎟ ( ) n n sin + [ + 1 − ]Φ = 0 ϕ sin ϕ dϕ ⎜ dϕ ⎟ sin 2 ϕ ⎝ ⎠
式(6.1.4)的通解为
{6.1.4}
(6.1.5)
Θ(θ ) = C1 cos mθ + C 2 sin mθ
(6.2.3)
n(n + 1) a0 2! n(n − 2 )(n + 1)(n + 3) a4 = − a0 4! n(n − 2 )(n − 4 )(n + 1)(n + 3)(n + 5) a6 = − a0 6! M a2 = −
再令 k = 1,3,5, L , 得
a3 = −
(n − 1)(n + 2) a
2
(
)
n
n n! 1 1 n 2 − = x x2 ) ( ) ( 1 ∑ n n 2 n! 2 n! m =0 (n − m )!m!
−
在实际工作中,经常遇上 n 是非负数的情况,因此我们只在 n 是非负数这个前提下展开讨论。当 n 是整数时,由式(6.2.5)和式(6.2.6)可知, y1与y 2 中有一个是多项式,另一个是无穷级数。 为了便于给出这个多项式的表达式,我们将式(6.2.3)改写为
ak = −
(k + 2)(k + 1) a (n − k )(k + n + 1) k + 2
式中, y1 , y 2 分别表示级数式(6.2.5)和式(6.2.6) ; C1与C 2 为任意常数。 6.3 勒让德多项式
上面我们解出了勒让德方程式(6.2.1)的解,由级数式(6.2.5)和式(6.2.6)可知,当 n 不是整 数时, y1与y 2 都是无穷级数,它们在 x < 1 内绝对收敛,在 x = + 1 时趋向于无穷。
分离变量 θ , ϕ ,则有
−
1 d 2Θ 1 d ⎛ dΦ ⎞ ⎜ ⎟ = sin ϕ sin ϕ + n(n + 1) sin 2 ϕ ⎜ ⎟ 2 Θ dθ Φ dϕ ⎝ dϕ ⎠
此式的左端只于 θ 有关,因此只有二者均为常数时它们才能相等。由于式(6.1.1)在球坐标系下的一 切(单值)解都应是关于变量 θ 的周期函数,周期为 2 π ,因而 Θ 也是以 2 π 为周期的周期函数。与 我们在第 5 章讨论的一样,这个常数必需等于 m (m = 0,1,2, L) ,从而有
第6章
勒让德多项式
本章我们将研究勒让德多项式在解决数学物理方程定解问题中的一些应用。 首先应用分离变量法, 在球坐标系中对拉普拉斯方程进行分离变量,导出勒让德方程;并讨论这个方程的解法及解的有关性 质;指出勒让德方程在区间[-1,1]上的有界解构成了一类正交函数系—勒让德多项式。 6.1 勒让德方程的导出 在前面的章节里,我们利用格林函数研究了拉普拉斯方程
式中, C1 , C 2 为任意常数。 对式(6.1.5)进行整理,有
d 2Φ dΦ ⎡ m2 ⎤ ( ) n n + cot + + 1 − ϕ ⎢ ⎥Φ = 0 dϕ ⎣ dϕ 2 sin 2 ϕ ⎦
这个方程称为连带的勒让德方程。
(6.1.6)
为了表达上的方便,我们引入新的变量 x = cos ϕ 。由于 0 ≤ ϕ ≤ π ,所以 − 1 ≤ x ≤ 1 ,并记
将变量 R (r ), Y (θ , ϕ ) 分离,得
]R = 0
∂ ⎛ ∂Y ⎞ ∂ 2Y 1 d ⎛ 2 dR ⎞ 1 1 1 ⎜ ⎟ + 2 sin ϕ ⎜r ⎟=− [ 2 2 2 R dr ⎝ dr ⎠ Y r sin ϕ ∂ϕ ⎜ ∂ϕ ⎟ ⎝ ⎠ r sin ϕ ∂θ
]
上式左端只于 r 有关,右端只与 θ , ϕ 有关,所以二者都是常数时才能恒等。为了方便后续的讨论, 我们把这个常数写成 n(n + 1) 的形式(这里的 n 可以是实数,也可以是复数) ,于是有
(6.3.1)
式中, ⎢ ⎥ 表示不大于 的最大整数。式(6.3.1)被称为 n 次勒让德多项式(亦称为第一类勒让 2 2 德函数) 。 特别的,当 n=0,1,2,3,4,5 时分别有
⎡n⎤ ⎣ ⎦
n
P0 ( x ) = 1 P2 ( x ) =
P1 ( x ) = x 1 2 1 P3 ( x ) = 2 1 P4 ( x ) = 8 1 P5 ( x ) = 8
(6.2.5) (6.2.6)
显然,级数 y1 , y 2 都是勒让德方程式(6.2.1)的解,且 y1 与 y 2 是线性无关的。由达朗贝尔(比值)判 别法和式(6.2.6)的收敛区间为 x < 1 ,因此在 x < 1 内,勒让德方程式(6.2.1)的通解为
y = C1 y1 + C 2 y 2
2 2 2
(6.2.1)
的解为
y = ∑ ak x k
k =0
∞
(6.2.2)
,整理得 对上式求导,得出 y ′, y ′′ 的级数表达式,连同式(6.2.2)一齐代入式(6.2.1)
∑ {(k + 1)(k + 2)a
k =0
∞
k +2
+ [n(n + 1) − k (k + 1)]a k }x k = 0
d2y dy + 1− x2 dx dx 2
(
)
m dy ⎡ y (1 − x ) d − 2 x + ⎢n(n + 1) − dx 1− x dx
2 2 2 2
⎣
2
⎤ ⎥y = 0 ⎦
(6.1.7)
若 u (r , θ , ϕ ) 与 θ 无关,则由式(6.1.4)可知, Θ(θ ) 是常数,则 m = 0 。这时,式(6.1.7)简化为
a n −6 = −
2
n
一般说来,当 n − 2m ≥ 0 时,有
M
a n − 2 m = (− 1)
m
2
n
(2n − 2m )! m!(n − m )!(n − 2m )!
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )! (2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5) an 2 ⋅ 4 ⋅ 6(2n − 1)(2n − 3)(2n − 5)
M
为了形式上好看,并使所得的多项式在 x = 1 处值为 1,我们将任意常数 a n 的值取为
an =
(2n )! 2 2 n (n!)
=
1 ⋅ 3 ⋅ 5L (2n − 1) n!
(6.1.3)
R(r ) = Ar n + Br − (n +1)
式中,A,B 为任意常数。 式 (6.1.3) 中喊有两个自变量 θ , ϕ , 再次应用分离变量的方法, 令 Y (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ ) , 代入 (6.1.3) 式中,整理得
dΦ ⎞ 1 d ⎛ 1 d 2Θ ⎜ sin ϕ ⎟Θ + Φ + n(n + 1)ΘΦ = 0 dϕ ⎟ sin ϕ dϕ ⎜ sin 2 ϕ dθ 2 ⎝ ⎠
Pn ( x ) = ∑ (− 1)
m =0 ⎡n⎤ ⎢2⎥ ⎣ ⎦ m
若 n 是正偶数,由式(6.2.5)可得
y1 = ∑ (− 1)
m =0 n −1 2
n 2
m
2
n
若 n 是正奇数,由式(6.2.6)可得
y 2 = ∑ (− 1)
m =0
m
2
n
把这两个多项式统一写成
2
n
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
dy y (1 − x ) d − 2 x + n(n + 1) y = 0 dx dx
2 2 2
(6.1.8)
式(6.1.8)称为勒让德方程。一部分定解问题的求解,最后都归纳为勒让德方程的求解。 6.2 勒让德方程的求解
和求贝赛尔方程一样,我们设勒让德方程
y dy (1 − x ) d − 2 x + n(n + 1) y = 0 dx dx
(3x (5x
2
−1
) ) ) )
3
− 3x
4
(35x (63x
− 30 x 2 + 3
5
− 70 x 3 + 15 x
它们的图形如图 6-1 所示。
为了应用上的方便,我们将 Pn ( x ) 表示为
Pn ( x ) =
n 1 dn 2 ( x − 1) n n 2 n! dx
(6.3.2)
的形式。称式(6.3.2)为勒让德多项式的罗德里格斯(Rodrigues)表达式。该公式的证明如下。 证明:用二项式定理把 x − 1 展开,有
式中, a 0 , a1 为任意常数。若用 y1 , y 2 分别表示式(6.2.4)中的两个级数,即
(6.2.4)
n(n + 1) 2 n(n − 2 )(n + 1)(n + 3) 4 x + x −L 2! 4! (n − 1)(n + 2) x 3 + (n − 1)(n − 3)(n + 2)(n + 4) x 5 − L y2 = x − 3! 5! y1 = 1 −
(n = 1,2,L)
从而有
an−2 = −
(2n − 2)! n(n − 1) (2n )! =− n 2 n 2(2n − 1) 2 (n!) 2 (n − 1)!(n − 2 )!
2
n
an−4 = −
(2n − 4)! 2!(n − 2 )!(n − 4 )! (2n − 6)! 3!(n − 3)!(n − 6 )!
y = Φ (ϕ ) ,于是有
dΦ dy dx dy dy = = − sin ϕ = − 1− x2 dϕ dx dϕ dx dx
dΦ dy dx d ( − 1 − x 2 dy = = dx dϕ dx dϕ dx
将 x, y, 及 y 的导数代入式(6.1.6)中,整理得
) dx
dϕ
= −x
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
的求解问题。本节,在球坐标系下,我们应用分离变量的方法来处理拉普拉斯方程。在球坐标系中, 拉普拉斯方程为
1 ∂ ⎛ 2 ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u ⎜ sin ϕ ⎟+ 2 =0 ⎜r ⎟+ 2 2 ∂ϕ ⎟ r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin ϕ ⎜ ⎝ ⎠ r sin ϕ ∂θ
r2
d 2R dR + 2r − n(n + 1)R = 0 2 dr dr
(6.1.2)
∂Y ⎞ 1 ∂ 2Y 1 ∂ ⎛ ⎜ ⎟ sin ϕ + + n(n + 1)Y = 0 2 2 sin ϕ ∂ϕ ⎜ ∂ϕ ⎟ ⎝ ⎠ sin ϕ ∂θ
式(6.1.3)的解 Y (θ , ϕ ) 与半径 r 无关,故称之为球面函数,或简称为球函数。 式(6.1.2)是欧拉方程,其通解为
式中,0 ≤ ϕ ≤ π , 0 ≤ θ ≤ 2π 。 令式(6.1.1)的解为 u (r , θ , ϕ ) = R (r )Y (θ , ϕ ), 代入式(6.1.1) ,整理得
(6.1.1)
1 d ⎛ 2 dR ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂Y ⎞ 1 ∂ 2Y ⎜ ⎟ ϕ r Y + [ sin + ⎜ ⎟ 2 2 2 ∂ϕ ⎟ r 2 dr ⎝ dr ⎠ r 2 sin ϕ ∂ϕ ⎜ ⎝ ⎠ r sin ϕ ∂θ
(k ≤ n − 2)
这样,系数 a n − 2 , a n − 4 , L 都可以通过最高次项的系数 a n 来表示,即
an−2 = −
n(n − 1) an 2(2n − 1) n(n − 1)(n − 2 )(n − 3) an 2 ⋅ 4(2n − 1)(2n − 3)
an−4 = −
a n −6 = −