数学建模灰色预测法
灰色理论关联度与预测,数学建模必备知识,很实用哦
X m {xm ( jm )} | jm 1, 2,..., nm} 比较序列
灰色关联分析3
设x0(k)为X0（为参考序列）的第k个数；xi(k) 为Xi（比较序列）的第k个数；
则比较序列Xi对参考序列X0的灰色关联度为：
(X0 ,
Xi )
1 n
n k 1
r(x0 (k),
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
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（3）后验差检验 a.计算原始序列标准差:
X 0 i X 0 2
S1
n 1
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b. 计算绝对误差序列的标准差：
0 i 0 2
S2
X 0 t ,
3
X 0 t ,...,
n
X 0 t
t1
t 1
t 1
t 1
目录
基本概念 灰色关联分析 灰色预测模型
灰色关联分析1
基本特征
建立的模型属于非函数形式的序列模型 计算方便易行 对样本数量多寡没有严格要求 不要求序列数据必须符合正态分布 不会产生与定性分析大相径庭的结论
n 1
c. 计算方差比：
C S2 S1
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d. 计算小误差概率：
P P 0i 0 0.6745S1
令: 则：
ei 0i 0 ， S0 0.6745S1 P Pei S0
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70
灰色关联分析3
灰色关联度的数学模型
X 0 {x0 ( j0 )} | j0 1, 2,..., n0} X1 {x1( j1)} | j1 1, 2,..., n1} X 2 {x2 ( j2 )} | j2 1, 2,..., n2}
数学建模-灰色预测模型(讲解
2 灰色系统的模型
在灰色系统理论中，把一切随机变量都看作灰色数，
即使在指定范围内变化的所有白色数的全体，对灰数处理 主要是利用数据处理的方法去寻求数据间的内在规律，通 过对已知数据列中的数据进行处理而产生新的数据列，以 此来研究寻求数据的规律性，这种方法称为数据的生成。
得到原始数据序列
7.3 销售额预测
注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我 们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解一阶常 微分方程。
7.2 灰色系统的模型
4.GM(1,1)的建模步骤 综上所述，GM(1,1)的建模步骤如下：
销售额预测
7.3 销售额预测
随着生产的发展、消费的扩大，市场需求通常总是 增加的，一个商店、一个地区的销售额常常呈增长趋 势. 因此，这些数据符合建立灰色预测模型的要求。
或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
7.2 灰色系统的模型
x(1) (5) x(1) (5) x(1) (4) 34 27 7， x(1) (4) x(1) (4) x(1) (3) 27 17 10， x(1) (3) x(1) (3) x(1) (2) 17 9 8， x(1) (2) x(1) (2) x(1) (1) 9 6 3， x(1) (1) x(1) (1) x(1) (0) 6 0 6. 归纳上面的式子得到如下结果：一次后减
1 灰色系统的定义和特点 2 灰色系统的模型 3 Sars 疫情 4 销售额预测 5 城市道路交通事故次数的灰色预测 6 城市火灾发生次数的灰色预测 7灾变与异常值预测
灰色预测模型
灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。
二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。
一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。
软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。
(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。
(整理)灰色预测法-
第7章 灰色预测方法 预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。
灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。
模型的选择不是一成不变的。
一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。
只有通过检验的模型才能用来进行预测。
本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。
7.1 灰数简介7.1.1 灰数一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用⊗表示大树的重量，便有[)∞∈⊗,0。
是一个确定的数。
海豹的重量在20~25公斤之间，某人的身高在1.8~1.9米之间，可分别记为 []25,201∈⊗，[]9.1,8.12∈⊗ 4． 连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。
某人的年龄在30到35之间，此人的年龄可能是30，31，32，33，34，35这几个数，因此年龄是离散灰数。
人的身高、体重等是连续灰数。
5． 黑数与白数当()∞∞-∈⊗,或()21,⊗⊗∈⊗，即当⊗的上、下界皆为无穷或上、下界都为讨论方便，我们将黑数与白数看成特殊的灰数。
6． 本征灰数与非本征灰数本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。
非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。
我们称此白数为相应灰数的白化值，记为⊗~，并用()a ⊗表示以a 为白化值的灰数。
如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格()100⊗的白化数，记为()100100~=⊗。
从本质上来看，灰数又可分为信息型、概念型、层次型三类。
灰色预测模型原理
灰色预测模型原理灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。
灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。
灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。
它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。
下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。
1. 灰色预测模型的原理灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。
其基本原理可以概括为以下五个步骤：（1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。
（2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。
（3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。
（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。
（5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。
2. 模型建立过程灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤：（1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。
（2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。
（3）求解灰色微分方程：根据所选的灰色微分方程，通过累加生成序列、求解参数等方法，得到模型的特征参数。
（4）模型的检验：根据已知数据的拟合程度和误差范围，评估所建立的灰色预测模型的准确性和可靠性。
（5）模型的应用与预测：利用已建立的模型进行未来数据的预测和分析，得出预测结果。
3. 应用案例灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用范围，以下是一些常见的应用案例：（1）经济领域：用于对经济指标、市场需求、价格变动等进行预测，为经济决策提供参考。
灰色预测模型GM(1-1)(精)
数学建模案例分析灰色预测模型GM(1,1)及其应用蠕变是材料在高温下的一个重要性能。
处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。
高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。
为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。
过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。
而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。
如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。
一、灰色预测模型GM（1,1）建模步骤如下：（1）GM（1,1）代表一个白化形式的微分方程：dX(1)+aX(1)=u （1） dt式中，a,u是需要通过建模来求得的参数；X(1)是原始数据X(0)的累加生成（AGO）值。
（2）将同一数据列的前k项元素累加后生成新数据列的第k项元素，这就是数据处理。
表示为：X不直接采用原始数据X(0)(1)(k)=∑X(0)(n) （2） n=1k建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。
（3）对GM（1,1），其数据矩阵为⎛-0.5[X(1)(1)+X(1)(2)] -0.5[X(1)(2)+X(1)(3)]B= -0.5[X(1)(N-1)+X(1)(N)]⎝向量YN=[X(0)(2),X(0)(3), ,X(0)(N)]T（4）作最小二乘估计，求参数a,u 1⎫⎪1⎪（3）⎪⎪1⎪⎭T-1Tˆ= ⎪α=(BB)BYN （4） u⎪⎝⎭⎛a⎫（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为ˆ(1)(t+1)=(X(0)(1)-u)e-at+u （5） Xaa这就是要建立的灰色预测模型。
【数学建模】灰色预测模型（预测）
【数学建模】灰色预测模型（预测）文章目录•一、算法介绍•o 1.灰色预测模型o 2.灰色系统理论o 3. 针对类型o 4. 灰色系统o 5. 灰色生成o 6. 累加生成o7. GM（1，1）模型o▪推导▪精度检验▪精度检验等级参照表•二、适用问题•三、算法总结•o 1. 步骤•四、应用场景举例•o 1. 累加生成o 2. 建立GM（1，1）模型o 3. 检验预测值•五、MATLAB代码•六、实际案例•七、论文案例片段（待完善）灰色预测模型主要针对数学建模问题中的一些小的子问题进行求解，如果想直接使用请跳转至——四、五另外之前看过一篇比较完整的【数学建模常用算法】之灰色预测模型GM，作者：張張張張视频回顾一、算法介绍1.灰色预测模型灰色预测模型(Gray Forecast Model)是通过少量的、不完全的的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断。
2.灰色系统理论灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测。
目前常用的一些预测方法(如回归分析等)，需要较大的样本，若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效。
灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具。
3. 针对类型灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于1982年提出并加以发展的。
二十几年来，引起了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展。
目前，在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与建模的重要方法之一。
特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用.4. 灰色系统灰色系统是黑箱概念的一种推广。
数学建模灰色预测法
灰色预测法
1 灰色预测理论
2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检 验和后验差检验。
（1）残差检验
ˆ 0 i , ˆ 1 i 累减生成 X ˆ 1 i , 并将 X 按预测模型计算 X
ˆ 0 i 的绝对误差序列及相 然后计算原始序列X 0 i 与 X
对误差序列。
原始数据进行生成处理来寻找系统变动
的规律，生成有较强规律性的数据序列，
然后建立相应的微分方程模型，从而预
测事物未来发展趋势的状况。
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• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一
特征量的时间。
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1灰色预测理论
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全明确的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界
来说是一无所知的，只能通过它与外界的
联系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下： 工业
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
数学建模用灰色系统预测未来的销售量
在市场经济条件下,影响药品市场销售量的因素很多，如何准确预测药品销售量，对药品生产厂家来说尤为重要。
没有确切的预测数字，药品生产数量不足，会发生缺货现象，失去销售机会而减少利润；如果生产过剩，一时销售不出去，造成药品积压占用流动资金，影响资金周转，也会造成经济损失。
因此，掌握一个较为准确的预测药品销售量的方法是很重要的。
常见的定量化预测方法，大多是应用“趋势外推”的思想，当历史资料较少而预测的时间跨度又较长时，往往遇到困难。
灰色系统预测模型-GM （1，1），近年来的应用实践表明，这种预测方法有较好的准确性和适应性。
根据2012年的各个月各个销售点的需求量来预测2013年的各个销售点的月需求量问题。
模型建立假设原始数据是：000(1)(2)......()x x x n 、希望的到观测值令 00(1)(2)......x n x n ++、、令11()()ki x k x i ==∑（k=2,3,...,n),称为原始数据的一次累加生成序列。
不难理解，非负序列经多次累加后的生成数列将表现出良好的指数增长特性。
由微积分学知道，一个随时间按指数规律变化的连续变量1()y x t =可以看作下列微分方程d y a y b d x+= （1） 的解：对该方程求解,将时间t 离散化，得： 10(1)[(1)]a kb b x k x ea a-+=-+（2）由的定义求原函数列的公式为： 011(1)(1)()x k x k x k +=+- （3）取k ≥n 的正整数，即可得所求预测值0(1),(2),........x n x n ++。
上述（1）、（2）、（3）构成所谓GM （1,1）预测模型。
模型中参数a 、b 由最小二乘法原理求得：1()TTa A A A Bb -⎛⎫= ⎪⎝⎭ （4）其中1111111[(1)(2)]121[(2)(3)]12............1[(1)()]12x x x x A x n x n ⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪-+ ⎪=⎪⎪ ⎪--+ ⎪⎝⎭00(2)(3)........()x x Bx n ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由（4）式求得a 、b 后，带入（2）式算出再由（3）式便可算出所求的预测值。
数学建模——灰色预测模型
数学建模——灰色预测模型灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。
它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。
灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。
该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。
灰色预测模型的基本思想：灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。
其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。
通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。
灰色预测模型的基本步骤：1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。
2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。
3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。
4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。
示例：用灰色预测模型预测销售量假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。
然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。
这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。
步骤：1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。
2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。
3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。
4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。
这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。
虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有用的预测工具。
灰色预测建模原理及应用
灰色预测建模原理及应用灰色预测建模是一种基于灰色系统理论的预测方法，它通过对已知数据进行灰色处理，利用数学模型进行预测分析，能够在数据不完全、信息不充分的情况下进行较为准确的预测，并被广泛应用于经济、环境、管理、工程等领域。
灰色预测的基本原理是通过对原始数据序列进行灰色处理，从而实现数据序列的规律性显现和可预测性增强。
灰色预测建模的基本步骤如下：1.序列建模：对原始数据序列进行建模，确定其特征方程。
主要有一阶、二阶、灰度关联度模型和灰色GM(1,1)模型等。
2.模型参数估计：根据确定的特征方程，通过最小二乘法等方法对模型参数进行估计，得到模型的数值解。
3.模型检验：对已建立的模型进行检验，判断模型的适用性及精度。
一般通过残差检验、相关系数检验等方法来评估模型。
4.预测和累加生成：通过模型预测得到待预测期的结果，并将预测结果与原始数据进行累加生成，得到预测序列。
灰色预测建模的特点是：省数据量、灰度信息充分、模型简单、适用性广泛。
应用方面，灰色预测建模主要有以下几个方面：1.经济方面：灰色预测可以用于经济指标预测，如GDP、消费指数、物价指数等。
通过对这些指标进行预测分析，可以指导政府采取相应的宏观调控政策。
2.环境方面：灰色预测可以应用于环境数据的预测，如空气质量指数、水质指标等。
通过对环境数据的预测，可以做到提前预警，并采取相应的控制措施，保护环境质量。
3.管理方面：灰色预测可以用于企业管理，如销售预测、库存预测、供应链管理等。
通过对企业数据进行预测，可以合理安排生产、销售和供应，提高企业的经济效益和竞争力。
4.工程方面：灰色预测可以应用于工程项目的进度和成本预测，如道路建设、房地产开发等。
通过对工程数据进行预测分析，可以及时发现问题，并采取相应的措施，保证项目的顺利进行。
总的来说，灰色预测建模是一种有效的预测方法，能够在数据不完全、信息不充分的情况下进行较为准确的预测，广泛应用于经济、环境、管理、工程等领域，对各行各业的发展和决策都具有重要作用。
数学建模-灰色预测模型ppt课件
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2 灰色系统的模型
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10
在灰色系统理论中，把一切随机变量都看作灰色数，
即使在指定范围内变化的所有白色数的全体，对灰数处理 主要是利用数据处理的方法去寻求数据间的内在规律，通 过对已知数据列中的数据进行处理而产生新的数据列，以 此来研究寻求数据的规律性，这种方法称为数据的生成。
为邻均值生成数，即等最新权版整理邻ppt 值生成数
15
2 灰色系统的模型
通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有 了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色 预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例7.1】 设原始数据序列
x ( 0 ) { x ( 0 ) ( 1 ) x ( 0 ) ( , 2 ) , x , ( 0 ) ( N ) } { 6 , 3 , 8 , 1 , 7 } 0
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3
1 灰色系统的定义和特点 2 灰色系统的模型 3 Sars 疫情 4 销售额预测 5 城市道路交通事故次数的灰色预测 6 城市火灾发生次数的灰色预测 7灾变与异常值预测
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4
1 灰色系统的定义和特点
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5
灰色系统的定义和特点
灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于 1982年提出并加以发展的。二十几年来，引起了不 少国内外学者的关注，得到了长足的发展。目前， 在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领 域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与 建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统 计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独 特的功效，因此得到了广泛的应用.在这里我们将简 要地介绍灰色建模与预测的方法.
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则关联系数定义为：
m in m inX ˆ0 k X 0 km a x m a xX ˆ0 k X 0 k (k )
X ˆ0 k X 0 km a x m a xX ˆ0 k X 0 k
A
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A
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记原始时间序列为：
X 0 X 0 1 , X 0 2 , X 0 3 ,X . 0 n ..
生成列为：
X 1 X 1 1 , X 1 2 , X 1 3 ,X . 1 n . .
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
A
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（3）灰色系统的应用范畴
• 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： • （1）灰色关联分析。 • （2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预
测….等等。 • （3）灰色决策。 • （4）灰色预测控制。
A
7
（4）灰色预测的四种常见类型
• 灰色时间序列预测
即用观察到的反映预测对象特征的时 间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时 间。
A
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3
1. 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全明确的。
A
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。
A
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（2）关联度
X0k 和 Xˆ 0k 的关联度为：
r 1 n k n k 1
A
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下：
工业 X 1 4 .8 ,5 4 .4 ,3 4 .3 ,2 4 .9 1
农业 X 2 (3.1 ,9 4.6 ,1 4.9 ,3 4.9 ) 4
运输业 X 3 3 .4 ,3 .3 ,3 .5 ,3 .5 商业 X 4 6 .7 ,6 .8 ,5 .4 ,4 .7
参考序列分别为 X1, X2 ，被比较序列为 X3, X 4 试求关联度。
A
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框架构成时点数列，然后建立模型预测该
定值所发生的时点。
A
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二、生成列
设已知数据变量组成序列X(0)，则我们可得 到数据序列
X 0 X 0 1 , X 0 2 , X 0 3 ,X . 0 n ..
为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰 色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据 处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
A
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（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。
➢累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
A
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累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
灰色预测法
王玉雷 河南工业大学理学院
A
1
在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方 程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精 确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散 的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性的 方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的方 法。
A
2
灰色预测法
1 灰色预测理论 2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
• 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为：
X 1 k X 0 k X 0 k 1
A
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三、关联度
关联度分析是分析系统中各因素关联程度 的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。
（1）关联系数
设 X ˆ 0 k X ˆ 0 1 , X ˆ 0 2 ,X . ˆ 0 . n .,
k
Xmk Xm1 i i1
A
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• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。
A
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➢累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
A
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（2）灰色预测法
灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的 系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间 有关的灰色过程进行预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异 程度，即进行关联分析，并对 原始数据进行生成处 理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数 据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测 事物未来发展趋势的状况。
• 畸变预测
即通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区 内。
A
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• 系统预测
通过对系统行为特征指标建立一组相互 关联的灰色预测模型，预测系统中众多变 量间的相互协调关系的变化。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 拓扑预测
将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻
找该定值发生的所有时点，并以该定值为
式中： X ˆ0kX0k 为第k个点 X0和 Xˆ 0 的绝对误差；
mm inX ˆin 0kX0k 为两级最小差；
mm axX a ˆ0x kX0k为两级最大差；
ρ称为分辨率，0<ρ<1, 若 越 小 ， 关 联 系 数 间
差 异 越 大 ， 区 分 能 力 越 强 。 一般取ρ=0.5；
对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数 前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。