数列的综合应用考点与题型归纳

数列的综合应用考点与题型归纳

考点一 数列在实际问题与数学文化问题中的应用

[典例] (1)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①

，头圈一尺三②

.逐节多三分③

，逐圈少分三④

.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )

A ．72.705尺

B ．61.395尺

C ．61.905尺

D ．73.995尺

(2)(2018·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a 元后，他的账户中一共有________元；到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．

[解析] (1)因为每相邻两节竹节间的长度差为0.03尺，设从地面往上每节竹长分别为a 1，a 2，a 3，…，a 30，所以数列{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d 1＝0.03为公差的等差数列．又由题意知竹节圈长，每后一圈比前一圈细0.013尺，设从地面往上每节圈长分别为b 1，b 2，b 3，…，b 30，则数列{b n }是以b 1＝1.3为首项，以d ＝－0.013为公差的等差数列．所以一蚂蚁 往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为S 30＝⎝⎛⎭

⎫30×0.5＋30×292×0.03＋

⎣⎡⎦

⎤30×1.3＋30×292×(－0.013)＝61.395.故选B.

(2)依题意，2019年1月1日存款a 元后，账户中一共有a (1＋p )＋a ＝(ap ＋2a )(元)． 2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4]

1－(1＋p )

＝a

p [(1＋p )5－(1＋p )] ＝a

p

[(1＋p )5－1－p ]．

[答案] (1)B (2)ap ＋2a a

p [(1＋p )5－1－p ]

[解题技法]

[题组训练]

1．(2019·贵阳适应性考试)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )

A.7

6钱 B.56钱

C.23

钱 D ．1钱

解析：选D 因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，即丙所得为1钱，故选D.

2．(2018·安徽知名示范高中联考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )

A ．a ，b ，c 成公比为2的等比数列，且a ＝50

7

B ．a ，b ，c 成公比为2的等比数列，且c ＝50

7

C ．a ，b ，c 成公比为12的等比数列，且a ＝50

7

D ．a ，b ，c 成公比为12的等比数列，且c ＝50

7

解析：选D 由题意可得，a ，b ，c 成公比为12的等比数列，b ＝12a ，c ＝1

2b ，故4c ＋2c ＋

c ＝50，解得c ＝50

7

.故选D.

3．(2019·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t 倍．下列选项

中，与t 值最接近的是( )

A ．11

B ．13

C ．15

D ．17

解析：选B 设鱼原来的质量为a ，饲养n 年后鱼的质量为a n ，q ＝200%＝2，则a 1＝a (1＋q )，a 2＝a 1⎝⎛⎭⎫1＋q 2＝a (1＋q )⎝⎛⎭⎫1＋q 2，…，a 5＝a (1＋2)×(1＋1)×⎝⎛⎭⎫1＋12×⎝⎛⎭⎫1＋122×⎝⎛⎭⎫1＋123＝405

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a ≈12.7a ，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B. 考点二 等差数列与等比数列的综合计算

[典例] (2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式； (2)求e a 1＋e a 2＋…＋e a n . [解]

(1)设{a n

}的公差为d .

因为a 2＋a 3＝5ln 2，所以2a 1＋3d ＝5ln 2.

又a 1＝ln 2 ，所以d ＝ln 2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. (2)因为e a 1＝e ln 2＝2，e a n

e a n －1＝e a n －a n －1＝e ln 2＝2，

所以数列{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 所以e a 1

＋e a 2

＋…＋e a n

＝2×(1－2n )

1－2

＝2n ＋1－2.

[解题技法] 等差数列与等比数列综合计算的策略

(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．

(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{a n }为等差数列⇒{aa n }(a >0且a ≠1)为等比数列；{a n }为正项等比数列⇒{log a a n }(a >0且a ≠1)为等差数列．

[题组训练]

1．已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝