教师基本功比赛----=常州市武进区初中数学教师解题竞赛试题及参考答案

武进区初中数学教师解题竞赛试题

命题人：于新华

一、选择题（每题6分）

1、如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是 （ ）

A 、直角三角形

B 、钝角三角形

C 、锐角三角形

D 、不能唯一确定

2、如图，正比例函数)0(＞k kx y =与反比例函数x

y 1

=

的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，若△ABC 的面积为S ，则 （ ）

A 、S ＝1

B 、S ＝2

C 、S ＝3

D 、S 的值不确定

3、某工厂第二季度比第一季度的产值增长了x ％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x ％。则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ）

A 、2x ％

B 、1＋2 x ％

C 、（1＋x ％）x ％

D 、（2＋x ％）x ％

4、设P ＝121220022001++，Q ＝1

21220032002++，则P 与Q 的大小关系是 （ ）

A 、P ＞Q

B 、P ＝Q

C 、P ＜Q

D 、不能确定

5、边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有 （ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个

6、如果1x 、2x 是两个不相等的实数，且满足1200312

1=-x x ，1200322

2=-x x ，那

么21x x 等于 （ ）

A 、2003

B 、－2003

C 、1

D 、－1

7、若实数x ，y 满足条件0622

2

=+-y x x ，则x y x 22

2++的最大值是 （ ）

A 、14

B 、15

C 、16

D 、不能确定 8、如图1，图中平行四边形共有的个数是 （ ） A 、40 B 、38 C 、36 D 、

30

A

B C

D

P

A

B

C

D

（图1） （图2） （图3）

9、如图2，矩形ABCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于 （ ）

A 、152

B 、143

C 、132

D 、108

10、如图3，若PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB ＝4，PD ＝3，则AD ·DC 等于 （ ）

A 、6

B 、7

C 、12

D 、16

二、填空题（每题6分）

11、△ABC 中，AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高为3，则BC 边的长为＿＿＿＿。 12、锐角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则c 边的取值范围是＿＿＿＿（用不等式表示）。 13、若a ＋2b －3c ＝4,5a －6b ＋7c ＝8，则9a ＋2b －5c ＝＿＿＿＿。

14、一个游泳池的形状如下面左边第一个图所示，现在以固定的流量向游泳池内注水，那么能够大致表示水高h 与时间t 的关系应是在下面右边六个图像中的＿＿＿（填标号）。

15、已知锐角△ABC 中，∠A ＝60°，BD 和CE 都是△ABC 的高。如果△ABC 的面积为12，那么四边形BCDE 的面积为＿＿＿＿。

三、解答题（每题12分）

16、已知：不论k 取什么实数，关于x 的方程16

32=--+bk

x a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，试求a 、b 的值。

17、如图，在直角坐标系xOy 中，已知A （12,0），B （0,9），C （3,0），D （0,4），Q 为线段AB 上一动点，OQ 与过O 、C 、D 三点的圆交于点P 。问OP ·OQ 的值是否变化？证明你的结论。

18、请设计一种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形。画出必要的示意图，并附以简要的文字说明。

A B

C

D

am时，只付基本费8

19、某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量3

am时，除了付同上的基本费和损耗费外，超元和定额损耗费c元（c≤5）；若用水量超过3

m付b元的超额费。

过部分每13

根据上表的表格中的数据，求a、b、c。

20、在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素对应相等，这两个三角形也未必全等。

⑴试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长。

⑵为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）。

武进区初中数学教师解题竞赛试题参考答案

11、4或2 12、53＜＜c 13、24 14、⑵ 15、9 三、解答题

16、解：把x ＝1代入原方程并整理得（b ＋4）k ＝7－2a

要使等式（b ＋4）k ＝7－2a 不论k 取什么实数均成立，只有⎩

⎨⎧=-=+0270

4a b

解之得 2

7

=

a ，4-=

b 17、解：点Q 在线段AB 上运动的过程中，OP ·OQ 的值是不变的。

证明如下：连结DC 、PC

∵ 3

1

==OA OD OB OC ，∠COD ＝∠BOA ＝Rt ∠ ∴ △COD ∽△BOA ∴ ∠1＝∠A

∵ O 、C 、P 、D 四点共圆 ∴ ∠1＝∠2 ∴ ∠2＝∠A

∵ ∠POC ＝∠AOQ ∴ △POC ∽△AOQ

∵

OA

OP

OQ OC = ∴ OP ·OQ ＝OC ·OA ＝36 18、解：如图，在AD 边上任取一点N ，使点N 不是边AD 的中点。分别作出线段AN 、DN 的中点1O 、2O ，把△AB 1O 绕点1O 旋转180°得△NM 1O ，再把△CD 2O 绕点2O 旋转180°得△MN 2O 。这样由△MN 1O 、△MN 2O 以及四边形1O BC 2O 拼成了一个△MBC ，显然这个三角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形。

就是说，只要把当初的正方形ABCD 沿B 1O 、C 2O 剪两刀，则得到的三块图形就可以如图所示地拼成一个符合题意的三角形。

A B

C

D

O O M

N

1

2