北航惯性导航期末大作业
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惯性导航期末大作业
14171106 苗家语
1.平台式惯导系统,求导航坐标系n 系与计算机坐标系c 系的区别和转换矩阵,设c 系相对n 系的误差角为()x y z δθδθδθ
答:n 系与c 系误差角为:δϕθ-=x ,ϕδλθcos y =,
ϕδλθsin z =,三个欧拉角矩阵相乘,近似得到转换矩阵:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111z z x y x y c n C δθδθδθδθδθδθ
2.以四元数相乘的法则计算两个矢量P 和Q 的四元数相乘的结果。
答:矢量P =i a i a i a 332
211++ 矢量Q=i b i b i b 3
32211++ P·Q=- (b a b a b a 332211++) + ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛b b b a a a i i i 321321321= -P·Q + P ×Q 四元数A=→+P a 0 B=→
+Q b 0
则AB=→→→→→→⨯++++Q P Q P P b Q a b a 0000
3.某刚体沿自身k 轴旋转30°得到i'-j'-k'刚体,请分别在i-j-k 坐标系和i'-j'-k'坐标系给出v1=i+j+k 和v2=i'+j'+k'的关系。
答:在i-j-k 坐标系中
v2相当于v1绕k 轴旋转30°
q=cos15°+k sin15°
q v q v 112-= 在i'-j'-k'坐标中
v1相当于v2绕k 轴旋转-30°
q ’=cos15°- k sin15°=q 1-
所以q v q v 21
1-=
4.以3-1-2顺序定义欧拉角旋转,请采用四元数方法,计算载体的欧拉角(即已知载体初始姿态与地理坐标系重合),且已获得当前瞬时四元数q(t),求欧拉角。
答:不太会做
5.证明||||q *
1
q q =-
证明:四元数范数的定义为23
22212*qq ||q ||p p p +++==λ
得||
||q 1*
q q =
逆四元数定义为q
1q
1=- ||||q 1q *
1
q q ==- 证明完毕
6.求证两个矢量αβ
、, =1()21()2αβαβαβ
αβαββααβαββα⊗-⋅+⨯⋅=-⊗+⊗⨯=⊗-⊗
证明:第一个等式在第二题已经证明,将PQ 换成αβ即可。
βαβαβα ⨯+∙=⊗-得证
可以写出:αβαβαβ
⨯+∙=⊗- 两者相加可得: )(αββαβα
⊗+⊗=∙21- 两者相减可得 )(αββαβα
⊗⊗=⨯-21
7.求从(0°E , 0°N )地理坐标到(45°W , 45°N )地理坐标的转动四元数以及两个坐标系之间的转换方向余弦矩阵。
答:
由题可知:︒-=45x θ︒=45y θ0z =θ
转动镜像四元数可以写为: 2222q 1i -=
2222q 2j +=
1
3=q 合成转动四元数为:k j i q q q 212121-21321-+=
方向余弦矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10001000145-cos 45-sin 045-sin 45-cos 000145cos 045sin 01045sin 045cos )()()()(A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛21212222-22021-
21-22
8.地球自转角速度在以下三处地理坐标系(0°E , 30°N ),(30°E ,0°N ),(45°W ,30°S )的投影分量。
已知公式:
⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎩⎪⎨⎧=ϕωϕ
ωωωωωsin cos 0ie ie t iez t iey t iex t ie
其中ϕ为当地的纬度,ie ω为地球自转角速度。
(0°E , 30°N ) ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=ie ie t ie ωωω21230
(30°E ,0°N ) ⎪⎩
⎪⎨⎧=00ie t ie ωω
(45°W ,30°S ) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=ie ie t ie ωωω21-230