第四章连续体
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' 2
l l l l ' x ,U 2 0，x ,U 2 A2 2 4 2 4 x 3l 3l ' ,U 2 A2 4 4
显然第 n 个振型有 n-1 个节点。对每一阶主振动都 求出一个固有频率，对第 n 阶主振动有
n un x, t A sin x sin nt n l 系统的自由振动是 n 阶主振动的叠加
U n x A sin
' n
n
a
' x An sin
n a x n ' An sin x l a l
画出振型图，就是各点的振幅。 1阶
1 U1 x A sin
' 1
x
l
l l x , U1 A1' 2 2
2阶
2 x 2 U 2 x A sin l
0
a
x B cos
'
a
x
U ' x A'
'
a
cos
'
a
x B'
a
sin
a
x
U 0 0 A
U ' l B'
a
A' 0
a
sin
a
l0
B' 不恒为零，所以 sin a l 0
sin
a
l 0
l
a
n , n 0,1, 2...
六个任意数由初、边界条件决定. 典型边界条件: （1）简支（铰支）点 简支（铰支）点横向位移、弯矩为零：
Y x, t 0, x 0或
y x, t M x, t EI 0, x 0或 2 x
2
(2)固支点 固支点处转角、位移均被锁住，为零
y y x, t 0 x x, t 0
代入波动方程以后有
2 u '' u '' T t U x U x T t 2 2 ， x t
2
a TU UT
2 ''
''
T 2U a T U
''
''
左边仅是时间的函数，右边仅是空间坐标的函数， 若使它们相等只有等于一个常数设为
'' T '' U a2 T U
N A x A x E EA x u x
由牛顿第二定律
2u N N x A x dx 2 N dx N dx t x x u E A x x x
纵向刚性位移。
4.2 圆轴扭转 假设: 1） 每一横截面， 绕通过截面形心的轴线转动 一个角度， 截面保持平面; 2） 截面上每一个点都转 动相同的角度。 扭转振动位移用 表示。 由材料力学可知
M t GJ p x
G
——剪切弹性模量，
J p ——截面的极惯性矩
由达朗贝尔原理
M t 2 Mt dx M t J p 2 dx 0 x t
以杆左端为坐标原点建立坐标系，在坐标为 x 处 取一微元段 dx ，在任一时刻 t，微元段两端的位移 和截面内力如下： 在 x 处，截面位移为 u x, t ，在 x dx 处位移
u u u u dx dx dx 为 的绝对变形为 x ，应变 x 则 x 。
在 x 截面上内力为
2 2 GJ p 2 J p 2 x t
2 2 G 2 2 a 2 2 2 t x x
a——剪切波在杆内传播速度 边界条件： 1）固定端
x, t 0, x 0,
转角为零
2）自由端 x, t 0, x 0, x
第四章
连续弹性体的振动
实际的工程结构实质都是由连续分布的质量和连续分布的刚 度所组成，在一定条件下简化成离散的多自由度系统，是必要的 合理的。但在某些条件下用连续模型描述更合理。例如细长飞行 器（导弹，火箭结构） ，细长比大于 4 时可用连续的变截面梁模型 描述，小于 4 时可用弹簧质量块模型描述。 本章的连续体建模，都假设结构是线弹性体，材料力学特性 是各向同性、均质的。主要的力学模型为杆、梁、板、壳等。主 要研究直杆的纵向振动、圆轴扭转振动，梁的横向振动以及薄板 的横向振动等常用的典型情况。
4 y d4y T (t ) 4 4 x dx
4 d 2T d y 2 Y x 2 a T t 4 0 dt dx
d y 1 dT 2 4 Y x dx T t dt
a
2
4
2
a 2 d 4Y d 2T 2 4 2 Ydx Tdt d 2T 2 T 0 2 dt
T '' T 0
U
''
a
2
U 0
只有 为负数才能确定振动运动，所以不妨设为
2 ，这样有
T T 0
'' 2
U U 0 a
''
2
T t C sin t
U x Asin x B cos x a a
扭矩为零
（3）弹性支承
k
, t GJp ,t X
(4) 右端有一惯性圆盘，则有
2 J o 2 , t Jpd ,t t x J 圆盘对称轴转动惯量
o
4.3 梁的弯曲振动
4.3.1 梁的横向振动微分方程 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10） ， 有纵向对称平面。振动运动过程中，假设： 1）梁的轴向位移可以忽略 2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略 3） 变形时满足平面假设， 并忽略剪力引起的变形
中截面上的 x 点，取微元段为
M(x,t), Q(x,t)
Q Q( x dx, t ) Q( x, t ) dx x
M ( x d x , ) t Q M ( x , ) t x dx
外载：q( x, t ) 为分布载荷，在一个微段内可假设为均 匀分布的，即可化为 q( x, t )dx 惯性力：已知单位长度的质量
y x, t M Q( x, t ) M x, t EI x 2 x x ,
2
2 2 y 2 y EI ( x) 2 ( x) A( x) 2 q( x, t ) 2 x x t
4.3.2 梁的自由振动分析
则有
u x, t T t U x
' ' A sin x B cos x sin t a a
' ' A , B , , 为待定常数，由边界条件和初始条 这里
件确定。 其中 U x 相当于在 x 处截面（质点）的振动的 振幅，则 U x 也称振型函数。
4 y 2 y EI 4 A 2 0 x t
2 y EI 4 y 0 2 4 t A x
4 2 y y 2 a 0 2 4 t x 采用分离变量的求解思路,
,
y x, t Y x T t
2 y d 2T Y ( x) 2 2 t dt
x 0或
（3）自由端 力与力矩均为零
2 y M EI 2 0 x
M 3 y Q EI 3 0 x x
x 0,
x 0,
（4）梁端有弹性支承 弹性梁端剪力等于弹性恢复力 , 弹性恢复力与 位移正向相反， 右端截面的剪力也与位移正向相反, 梁端弯矩为零.
2 y 3 y EI 3 , t k y , t EI 2 , t 0 x x ,
n a n l
代入振型函数为
' U n x Bn cos
n
a
' x Bn cos
n x l
对应的第 n 阶主振动为
n un x, t B cos x sin nt n l 注意： 可以为零，与两端固定不同，当 0 时
' n
' U x Bn ，意味着各点振幅完全一样，对应杆的
几种典型的边界条件 （1） 固定端 该处纵向位移为零。
u x, t 0 ， x 0, l 。
（2） 自由端 该处横向内力为零。
u N EA 0 x ， x
即
0, l
u x, t 0 x ， x
0, l
(3) 弹性支承 杆的一端是弹性支承， 设为右端。 此处轴向内力 等于弹性力。
m x A x x
，
2 y x, t m x dx f x, t 2 则微元段上的惯性力为 t ，
且在微段上可认为惯力是均布的。 外载和惯性力均可认为是作用在中点上
达朗贝尔原理：
Q Q( x, t ) q( x, t )dx (Q( x, t ) dx) f ( x, t ) 0 x Q q ( x, t )dx dx f ( x, t ) x Q 2 y ( x) A( x) 2 q ( x, t ) x t
u x, t ( A sin
'
a
x B cos
'
a
x) sin t
u 0, t B sin t 0
'
' sin t B 由于 不恒为零，故定有 0
u l , t A sin
'
a
l sin t
' n
n u x, t A sin x sin nt n l n 1 ' B 其中 n 与 n 由初始条件确定。
' n
4.1.3 两端自由
u x, t dU 0 x x 0 dx ，也就是， x l
U x A sin
'
x 0 x l
对于等截面的杆，由同种材料构成的
A x A
， x
u u A 2 EA 2 t x
2 2
2 2u E 2u u 2 a 2 2 t x x 2
该方程为一维波动方程， a 为纵波在杆内的传播速 度。方程可用分离变量的方法求解
u x, t U x T t
同理，由于 A 和 sin t 都不恒为零，所以有
'
sin
l
a
Biblioteka Baidu0
边界条件确定了频率方程，频率是未知的。
l
a 0 舍去（导致振型函数为零，不振动） 。所以
n a n (n 1, 2,3...) l
有无数多个频率，对每一频率有一个主振型函数。 如对 n 有
0, , 2 ,3 ,... n ( n 1, 2,3...)
自由振动的解为：
T (t ) Ci sin(t )
d 4Y 2 d 4Y 4 Y k Y 0 4 2 4 dx a dx Y ( x) A sin(kx) B cos(kx) Csh(kx) Dch(kx)
y( x, t ) { A sin(kx) B cos(kx) Csh(kx) Dch(kx)}sin(t )
u l , t EA ku l , t x （4）惯性载荷 一端有一质量块。此处轴向内力等于惯性力。
u l , t 2u l , t EA M x t 2
4.1.2 两端固定
u 0, t u l , t 0
分别代入解表达式
4.1 直杆的纵向自由振动 4.1.1 直杆纵向振动微分方程 假设： 1） 杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为 平面， 横截面上各点， 在轴向上以相同的位移运动。 2） 纵向运动过程中， 略去杆的纵向伸缩而引起的横 向变形。 对任一横截面的纵向位移 u 都可写成关于 x 和 t 的函数 u x, t
l l l l ' x ,U 2 0，x ,U 2 A2 2 4 2 4 x 3l 3l ' ,U 2 A2 4 4
显然第 n 个振型有 n-1 个节点。对每一阶主振动都 求出一个固有频率，对第 n 阶主振动有
n un x, t A sin x sin nt n l 系统的自由振动是 n 阶主振动的叠加
U n x A sin
' n
n
a
' x An sin
n a x n ' An sin x l a l
画出振型图，就是各点的振幅。 1阶
1 U1 x A sin
' 1
x
l
l l x , U1 A1' 2 2
2阶
2 x 2 U 2 x A sin l
0
a
x B cos
'
a
x
U ' x A'
'
a
cos
'
a
x B'
a
sin
a
x
U 0 0 A
U ' l B'
a
A' 0
a
sin
a
l0
B' 不恒为零，所以 sin a l 0
sin
a
l 0
l
a
n , n 0,1, 2...
六个任意数由初、边界条件决定. 典型边界条件: （1）简支（铰支）点 简支（铰支）点横向位移、弯矩为零：
Y x, t 0, x 0或
y x, t M x, t EI 0, x 0或 2 x
2
(2)固支点 固支点处转角、位移均被锁住，为零
y y x, t 0 x x, t 0
代入波动方程以后有
2 u '' u '' T t U x U x T t 2 2 ， x t
2
a TU UT
2 ''
''
T 2U a T U
''
''
左边仅是时间的函数，右边仅是空间坐标的函数， 若使它们相等只有等于一个常数设为
'' T '' U a2 T U
N A x A x E EA x u x
由牛顿第二定律
2u N N x A x dx 2 N dx N dx t x x u E A x x x
纵向刚性位移。
4.2 圆轴扭转 假设: 1） 每一横截面， 绕通过截面形心的轴线转动 一个角度， 截面保持平面; 2） 截面上每一个点都转 动相同的角度。 扭转振动位移用 表示。 由材料力学可知
M t GJ p x
G
——剪切弹性模量，
J p ——截面的极惯性矩
由达朗贝尔原理
M t 2 Mt dx M t J p 2 dx 0 x t
以杆左端为坐标原点建立坐标系，在坐标为 x 处 取一微元段 dx ，在任一时刻 t，微元段两端的位移 和截面内力如下： 在 x 处，截面位移为 u x, t ，在 x dx 处位移
u u u u dx dx dx 为 的绝对变形为 x ，应变 x 则 x 。
在 x 截面上内力为
2 2 GJ p 2 J p 2 x t
2 2 G 2 2 a 2 2 2 t x x
a——剪切波在杆内传播速度 边界条件： 1）固定端
x, t 0, x 0,
转角为零
2）自由端 x, t 0, x 0, x
第四章
连续弹性体的振动
实际的工程结构实质都是由连续分布的质量和连续分布的刚 度所组成，在一定条件下简化成离散的多自由度系统，是必要的 合理的。但在某些条件下用连续模型描述更合理。例如细长飞行 器（导弹，火箭结构） ，细长比大于 4 时可用连续的变截面梁模型 描述，小于 4 时可用弹簧质量块模型描述。 本章的连续体建模，都假设结构是线弹性体，材料力学特性 是各向同性、均质的。主要的力学模型为杆、梁、板、壳等。主 要研究直杆的纵向振动、圆轴扭转振动，梁的横向振动以及薄板 的横向振动等常用的典型情况。
4 y d4y T (t ) 4 4 x dx
4 d 2T d y 2 Y x 2 a T t 4 0 dt dx
d y 1 dT 2 4 Y x dx T t dt
a
2
4
2
a 2 d 4Y d 2T 2 4 2 Ydx Tdt d 2T 2 T 0 2 dt
T '' T 0
U
''
a
2
U 0
只有 为负数才能确定振动运动，所以不妨设为
2 ，这样有
T T 0
'' 2
U U 0 a
''
2
T t C sin t
U x Asin x B cos x a a
扭矩为零
（3）弹性支承
k
, t GJp ,t X
(4) 右端有一惯性圆盘，则有
2 J o 2 , t Jpd ,t t x J 圆盘对称轴转动惯量
o
4.3 梁的弯曲振动
4.3.1 梁的横向振动微分方程 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10） ， 有纵向对称平面。振动运动过程中，假设： 1）梁的轴向位移可以忽略 2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略 3） 变形时满足平面假设， 并忽略剪力引起的变形
中截面上的 x 点，取微元段为
M(x,t), Q(x,t)
Q Q( x dx, t ) Q( x, t ) dx x
M ( x d x , ) t Q M ( x , ) t x dx
外载：q( x, t ) 为分布载荷，在一个微段内可假设为均 匀分布的，即可化为 q( x, t )dx 惯性力：已知单位长度的质量
y x, t M Q( x, t ) M x, t EI x 2 x x ,
2
2 2 y 2 y EI ( x) 2 ( x) A( x) 2 q( x, t ) 2 x x t
4.3.2 梁的自由振动分析
则有
u x, t T t U x
' ' A sin x B cos x sin t a a
' ' A , B , , 为待定常数，由边界条件和初始条 这里
件确定。 其中 U x 相当于在 x 处截面（质点）的振动的 振幅，则 U x 也称振型函数。
4 y 2 y EI 4 A 2 0 x t
2 y EI 4 y 0 2 4 t A x
4 2 y y 2 a 0 2 4 t x 采用分离变量的求解思路,
,
y x, t Y x T t
2 y d 2T Y ( x) 2 2 t dt
x 0或
（3）自由端 力与力矩均为零
2 y M EI 2 0 x
M 3 y Q EI 3 0 x x
x 0,
x 0,
（4）梁端有弹性支承 弹性梁端剪力等于弹性恢复力 , 弹性恢复力与 位移正向相反， 右端截面的剪力也与位移正向相反, 梁端弯矩为零.
2 y 3 y EI 3 , t k y , t EI 2 , t 0 x x ,
n a n l
代入振型函数为
' U n x Bn cos
n
a
' x Bn cos
n x l
对应的第 n 阶主振动为
n un x, t B cos x sin nt n l 注意： 可以为零，与两端固定不同，当 0 时
' n
' U x Bn ，意味着各点振幅完全一样，对应杆的
几种典型的边界条件 （1） 固定端 该处纵向位移为零。
u x, t 0 ， x 0, l 。
（2） 自由端 该处横向内力为零。
u N EA 0 x ， x
即
0, l
u x, t 0 x ， x
0, l
(3) 弹性支承 杆的一端是弹性支承， 设为右端。 此处轴向内力 等于弹性力。
m x A x x
，
2 y x, t m x dx f x, t 2 则微元段上的惯性力为 t ，
且在微段上可认为惯力是均布的。 外载和惯性力均可认为是作用在中点上
达朗贝尔原理：
Q Q( x, t ) q( x, t )dx (Q( x, t ) dx) f ( x, t ) 0 x Q q ( x, t )dx dx f ( x, t ) x Q 2 y ( x) A( x) 2 q ( x, t ) x t
u x, t ( A sin
'
a
x B cos
'
a
x) sin t
u 0, t B sin t 0
'
' sin t B 由于 不恒为零，故定有 0
u l , t A sin
'
a
l sin t
' n
n u x, t A sin x sin nt n l n 1 ' B 其中 n 与 n 由初始条件确定。
' n
4.1.3 两端自由
u x, t dU 0 x x 0 dx ，也就是， x l
U x A sin
'
x 0 x l
对于等截面的杆，由同种材料构成的
A x A
， x
u u A 2 EA 2 t x
2 2
2 2u E 2u u 2 a 2 2 t x x 2
该方程为一维波动方程， a 为纵波在杆内的传播速 度。方程可用分离变量的方法求解
u x, t U x T t
同理，由于 A 和 sin t 都不恒为零，所以有
'
sin
l
a
Biblioteka Baidu0
边界条件确定了频率方程，频率是未知的。
l
a 0 舍去（导致振型函数为零，不振动） 。所以
n a n (n 1, 2,3...) l
有无数多个频率，对每一频率有一个主振型函数。 如对 n 有
0, , 2 ,3 ,... n ( n 1, 2,3...)
自由振动的解为：
T (t ) Ci sin(t )
d 4Y 2 d 4Y 4 Y k Y 0 4 2 4 dx a dx Y ( x) A sin(kx) B cos(kx) Csh(kx) Dch(kx)
y( x, t ) { A sin(kx) B cos(kx) Csh(kx) Dch(kx)}sin(t )
u l , t EA ku l , t x （4）惯性载荷 一端有一质量块。此处轴向内力等于惯性力。
u l , t 2u l , t EA M x t 2
4.1.2 两端固定
u 0, t u l , t 0
分别代入解表达式
4.1 直杆的纵向自由振动 4.1.1 直杆纵向振动微分方程 假设： 1） 杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为 平面， 横截面上各点， 在轴向上以相同的位移运动。 2） 纵向运动过程中， 略去杆的纵向伸缩而引起的横 向变形。 对任一横截面的纵向位移 u 都可写成关于 x 和 t 的函数 u x, t