第九章分布滞后和自回归模型
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Yt (a0 a1i a2i 2 ) X t i t
i 0
K K K i 0 i 0
a0 X t i a1 iX t i a2 i 2 X t i t
i 0
2 Z X Z iX Z i 0 t t i 若令 ，1t t i ， 2t X t i K
这种模型正是分析判断滞后效应的存在性及其 模式，研究经济行为、经济关系中滞后作用的 基本模型，称为“分布滞后模型” 。 理论上可以考虑有无限多滞后项的分布滞后模 型： Ct c0 c1It c2 It 1 c3 It 2 t 这种分布滞后模型通常称为“无限分布滞后模 型”，相比之下，只有有限个滞后项的分布滞 后模型则称为“有限分布滞后模型”。
二、分布滞后模型参数估计
用分布滞后模型研究滞后效应，进行预测分析 和评估政策效果之前，先要估计模型中的未知 参数。 分布滞后模型形式上与一般的多元线性回归相 似，但因为引进多个滞后变量和滞后期长度难 以确定，分布滞后模型的参数估计与一般多元 线性回归模型有所不同。 分布滞后模型的参数估计首先要解决的问题是 滞后长度确定，或者如何在未知滞后长度时估 计参数。
（二）先验约束估计
分布滞后模型参数估计的另一类方法， 是利用某种先验信息和经验设定分布滞 后模型的滞后模式，从而简化分布滞后 模型的函数形式，方便参数估计。这类 方法称为“参数约束法”。 最重要的参数约束法是阿尔蒙多项式法 和考伊克方法。
1. 阿尔蒙多项式法
适用于已知滞后长度，但滞后长度较长的有限 分布滞后模型。 这类模型的主要困难是参数数量较多，导致估 计困难。 基本思想：以滞后期i 的一个适当次数的多项 式，模拟分布滞后模型的系数。 可分别模拟单调下降、先升后降，以及循环变 化等不同的滞后效应类型。
一般可采用下列标准化表达式分别表示有限分 布滞后模型和无限分布滞后模型： 无限分布滞后模型：有无限多滞后项
Yt 0 X t 1 X t 1 2 X t 2 t
有限分布滞后模型：有限个滞后项
Yt 0 X t 1 X t 1 2 X t 2 K X t K t
本章结构
第一节 分布滞后模型
第二节 自回归模型 第三节 因果关系检验
第一节 分布滞后模型
一、经济中的滞后效应和分布滞后模型 二、分布滞后模型参数估计
（一）经济中的滞后效应
由于信息滞后、交易周期和心理因素等多方面 的原因，经济行为、政策的作用，经济变量之 间相互影响的效果，常常不是立即体现出来， 而是有时间延滞性或持续作用，会在以后一个 时期内逐步体现出来。 这种现象就是滞后效应。滞后效应在经济问题 中是普遍存在的。 例如人们获得后通常不会立即全部花掉，而是 会在以后一个阶段分次花费，因此收入对人们 消费的影响往往有时间滞后和持续的影响。
这种分布滞后模型的参数估计方法就是现式估 计法。这种参数估计方法只是普通最小二乘估 计的重复应用，易于掌握。 但现式估计法也有问题。首先滞后长度的确定 没有明确的标准、根据；其次是引进较多期滞 后会降低自由度，回归分析的有效性会降低； 第三是滞后变量之间的相关性可能引发共线性 问题；此外被认为有数据开采的嫌疑。
反过来说，当我们通过对具体问题滞后 效应的分析，初步判断滞后效应的变化 模式符合上述线性变化，先增后减二次 曲线变化，或其他高次曲线形态变化时， 就可以选定相应的m和滞后参数多项式。 一般来说，常见的滞后参数变化模式的 m在1到4之间。
确定了滞后参数多项式以后，将这些多 项式代入分布滞后模型进行变换。 以m＝2的情况为例。 2 a a i a i 把 i 0 1 2 代入前述分布滞后模 型，可得： K
其次是滞后效应的模式，对应于m，也 必须预先知道，这就很难以避免判断的 主观偏差。 最后上述变量变换会缩短样本长度，因 此并不能完全解决分布滞后模型参数估 计的自由度问题。 当样本容量并不是很大，滞后期长度较 长时，仍然无法得到有效的估计结果。
2. 考伊克方法
考伊克方法在一定程度上可以弥补阿尔蒙多项 式法的不足，解决其部分问题。 考伊克方法形式上是针对无限分布滞后模型： Yt 0 X t 1 X t 1 2 X t 2 t
K
K
则模型变为： Yt a0 Z0t a1Z1t a2 Z2t t Z1t 和 Z 2t 只是 X t及其各 很显然，上述 Z 0t 、 期滞后的线性组合，因此仍是非随机的 或与误差项无关。 因此可用OLS法对该式进行参数估计，得 到估计值
i 0
i 0
i 0
从另一个角度，滞后效应也可以反过来 理解为当期某指标受上期、再上期其他 某指标的影响。 例如上述消费滞后效应也可理解为，当 年消费不仅受到当年收入（40%）的影 响，而且受到上年收入（30%）、再上 年收入（20%）的影响。用公式表示就 是： Ct 0.4It 0.3It 1 0.2It 2
i a0 a1i 当m 1时，即： 2 当m 2 时，即： i a0 a1i a2i 等。其余依次类推。 不难看出，阿尔蒙多项式所设定的滞后 参数变化模式，根据所选择的多项式次 数m的不同，分别对应线性变化（衰 减），先增后减的二次函数变化，以及 较复杂的高次曲线变化等。衰减速度则 a1 等参数。 取决于a0 、
图9.2 考伊克方法参数衰减模式
k
3/ 4
1/ 4
1/ 2
滞后时间
考伊克方法模型设定的滞后参数模型， 与现实经济中许多滞后效应变化规律确 实是一致的，因此有重要的价值。 有了上述滞后参数变化模式，就可以对 分布滞后模型进行变换。 k 首先作考伊克变换，即把 k 0 代入模 型，得到： Yt 0 X t 0X t 1 02 X t 2 t
为了横向比较方便等原因，滞后效应也可以通 过滞后期长度、短期效应、中期相应、半效应 长度等进行衡量。 例如上述收入对消费滞后效应的滞后期长度， 也就是滞后效应的持续时间，总滞后效应完全 实现的时间，为2年。滞后的短期效应（当年 效果）为4/9，中期效应（当年加次年效果） 为7/9。半效应长度，也就是滞后效应过半的 时间长度，则在1年之内。
此外，在考虑一个解释变量对被解释变量的影 响和滞后作用（如收入对消费）以外，还可以 同时考虑其他解释变量对被解释变量的影响， 甚至同时考虑多个解释变量作用的滞后效应等。 分布滞后模型形式上是含有解释变量滞后项的 多元回归模型。 但分布滞后模型主要用来研究经济变量作用的 时间滞后效应、长期影响，以及经济变量之间 的动态影响关系，可用于评价经济政策的中长 期效果，属于动态计量分析的范畴。
设一个有限分布滞后模型为： Yt 0 X t 1 X t 1 K X t K t
也可以写成：
Yt i X t i t
i 0 K
阿尔蒙认为可以用如下i 的多项式模拟 i 的变化： i a0 a1i a2i 2 ami m
第九章 分布滞后和自回归模型
前言
前面各章基本上没有区别所用的数据究竟是时 间序列数据还是截面数据。但这两类数据在计 量经济分析中还是有明显差异的。 时间序列数据是经济运动动态过程的数量记录， 包含不同于横截面数据的特殊信息，可以进行 动态计量分析，但时间序列数据的内在联系也 可能给计量经济分析带来问题和困难。 本章介绍利用时间序列数据进行动态计量分析 的几个专题。下一章我们将对时间序列数据计 量分析的一些问题进行分析。
滞后效应对经济问题的影响非常重要。要准确 把握经济关系，特别是长期动态关系，避免预 测和决策偏差，必须重视这种滞后效应。 滞后效应可以直接通过滞后作用的描述来反映。 例如若某地消费者平均来说在获得20000元收 入后，会在当年消费掉8000元，下一年消费 6000元，再下一年又消费4000元，余下2000 元储蓄起来以备不时之需，那么意味着当年收 入一般对当年消费会产生40%的作用，对下年 消费会产生30%的作用，对再下年消费则有 20%的作用。
（二）分布滞后模型
已知存在滞后效应以及滞后效应的时间 长度和结构时，对滞后作用的分析预测 是比较简单的。 但现实中的问题常常是只知道可能存在 滞后效应，滞后效应是否确实存在，滞 后效应的持续长度，及其结构模式都是 未知的。
例如消费滞后效应问题可能是：
Ct c0 c1It c2 It 1 c3It 2 t
但由于一般来说随着滞后期的增加滞后效应总 是不断减小，滞后期很大的项非常接近0。因 此无限分布滞后模型与滞后长度较长的有限分 布滞后模型并没有很大差别，考伊克方法也可 处理有限分布滞后模型，特别是滞后长度较长 的有限分布滞后模型。
思路是：假设分布滞后模型中的未知参 数 k 都有相同的符号，并按照几何级数 k 0k衰减。其中 0 1 。 k 这种k 0 函数有以下基本特点： k 不变号； （1 ） k 是k的减函数； （2） （3） 越小，衰减速度越快，称为衰减率 （4）长期乘数有限。
最后，只需要把这些估计值代入滞后参数多项 式，就可以得到得到各个滞后参数的估计值：
ˆ a ˆ0 0 ˆ a ˆ0 a ˆ1 a ˆ2 1 ˆ a ˆ0 2a ˆ1 4a ˆ2 2
……
2 ˆ a ˆ ˆ ˆ2 K a K a K 0 1
阿尔蒙多项式法可以把需要估计的参数 数量减少到有限的几个，是解决滞后效 应较长的分布滞后模型参数较多困难的 有效方法。 但这种方法也有局限性。首先运用阿尔 蒙多项式法必须先知道分布滞后模型的 滞后长度，因为X变量变换为变量Z时K必 须是已知的。
该模型仍然含有无限多项，但其中的参 数已经只有3个了。只要我们再把模型滞 后一期得： 2 Yt 1 0 X t 1 0X t 2 0 X t 3 t 1
进一步得：
Yt Yt 1 (1 ) 0 X t ( t t 1 )
Ct c0 c1It c2 It 1 c3It 2 cK It K 1 t 或： c1 等 模型中的 c0 是反映基本消费的常数， 是反映滞后效应结构的系数，这些参数 的数值，是否显著都是未知的，需要根 据收入和消费数据通过计量分析估计。 有时反映滞后期长度的K也是未知的，也 需要通过分析确定。
Leabharlann Baidu
当然，消费者的消费行为一般不可能满足严格 函数关系，必然会因素随机因素干扰而有波动。 此外人们有维持消费水平相对稳定的倾向，在 收入很低时也会设法保持基本的生活水平，因 此会有不受收入直接影响的基本消费。 但上述公式反映了滞后效应的主要特征，只要 进一步了解了基本消费，以此为基础就可以对 消费发展的趋势和收入政策效果等作出有效的 预测和分析。
（一）现式估计法
现式估计法适用滞后长度不确定的分布滞后模 型。 为了解决滞后长度不定的困难，可以依次估计 有滞后效应变量的一期滞后、两期滞后……， 当发现滞后变量（加入的最多期滞后）的回归 系数在统计上开始变得不显著，或至少有一个 变量的系数改变符号（由正变负或由负变正） 时，就不再增加滞后期，把此前一个模型作为 分布滞后模型的形式，相应参数估计作为模型 的参数估计。
i 0
K K K i 0 i 0
a0 X t i a1 iX t i a2 i 2 X t i t
i 0
2 Z X Z iX Z i 0 t t i 若令 ，1t t i ， 2t X t i K
这种模型正是分析判断滞后效应的存在性及其 模式，研究经济行为、经济关系中滞后作用的 基本模型，称为“分布滞后模型” 。 理论上可以考虑有无限多滞后项的分布滞后模 型： Ct c0 c1It c2 It 1 c3 It 2 t 这种分布滞后模型通常称为“无限分布滞后模 型”，相比之下，只有有限个滞后项的分布滞 后模型则称为“有限分布滞后模型”。
二、分布滞后模型参数估计
用分布滞后模型研究滞后效应，进行预测分析 和评估政策效果之前，先要估计模型中的未知 参数。 分布滞后模型形式上与一般的多元线性回归相 似，但因为引进多个滞后变量和滞后期长度难 以确定，分布滞后模型的参数估计与一般多元 线性回归模型有所不同。 分布滞后模型的参数估计首先要解决的问题是 滞后长度确定，或者如何在未知滞后长度时估 计参数。
（二）先验约束估计
分布滞后模型参数估计的另一类方法， 是利用某种先验信息和经验设定分布滞 后模型的滞后模式，从而简化分布滞后 模型的函数形式，方便参数估计。这类 方法称为“参数约束法”。 最重要的参数约束法是阿尔蒙多项式法 和考伊克方法。
1. 阿尔蒙多项式法
适用于已知滞后长度，但滞后长度较长的有限 分布滞后模型。 这类模型的主要困难是参数数量较多，导致估 计困难。 基本思想：以滞后期i 的一个适当次数的多项 式，模拟分布滞后模型的系数。 可分别模拟单调下降、先升后降，以及循环变 化等不同的滞后效应类型。
一般可采用下列标准化表达式分别表示有限分 布滞后模型和无限分布滞后模型： 无限分布滞后模型：有无限多滞后项
Yt 0 X t 1 X t 1 2 X t 2 t
有限分布滞后模型：有限个滞后项
Yt 0 X t 1 X t 1 2 X t 2 K X t K t
本章结构
第一节 分布滞后模型
第二节 自回归模型 第三节 因果关系检验
第一节 分布滞后模型
一、经济中的滞后效应和分布滞后模型 二、分布滞后模型参数估计
（一）经济中的滞后效应
由于信息滞后、交易周期和心理因素等多方面 的原因，经济行为、政策的作用，经济变量之 间相互影响的效果，常常不是立即体现出来， 而是有时间延滞性或持续作用，会在以后一个 时期内逐步体现出来。 这种现象就是滞后效应。滞后效应在经济问题 中是普遍存在的。 例如人们获得后通常不会立即全部花掉，而是 会在以后一个阶段分次花费，因此收入对人们 消费的影响往往有时间滞后和持续的影响。
这种分布滞后模型的参数估计方法就是现式估 计法。这种参数估计方法只是普通最小二乘估 计的重复应用，易于掌握。 但现式估计法也有问题。首先滞后长度的确定 没有明确的标准、根据；其次是引进较多期滞 后会降低自由度，回归分析的有效性会降低； 第三是滞后变量之间的相关性可能引发共线性 问题；此外被认为有数据开采的嫌疑。
反过来说，当我们通过对具体问题滞后 效应的分析，初步判断滞后效应的变化 模式符合上述线性变化，先增后减二次 曲线变化，或其他高次曲线形态变化时， 就可以选定相应的m和滞后参数多项式。 一般来说，常见的滞后参数变化模式的 m在1到4之间。
确定了滞后参数多项式以后，将这些多 项式代入分布滞后模型进行变换。 以m＝2的情况为例。 2 a a i a i 把 i 0 1 2 代入前述分布滞后模 型，可得： K
其次是滞后效应的模式，对应于m，也 必须预先知道，这就很难以避免判断的 主观偏差。 最后上述变量变换会缩短样本长度，因 此并不能完全解决分布滞后模型参数估 计的自由度问题。 当样本容量并不是很大，滞后期长度较 长时，仍然无法得到有效的估计结果。
2. 考伊克方法
考伊克方法在一定程度上可以弥补阿尔蒙多项 式法的不足，解决其部分问题。 考伊克方法形式上是针对无限分布滞后模型： Yt 0 X t 1 X t 1 2 X t 2 t
K
K
则模型变为： Yt a0 Z0t a1Z1t a2 Z2t t Z1t 和 Z 2t 只是 X t及其各 很显然，上述 Z 0t 、 期滞后的线性组合，因此仍是非随机的 或与误差项无关。 因此可用OLS法对该式进行参数估计，得 到估计值
i 0
i 0
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从另一个角度，滞后效应也可以反过来 理解为当期某指标受上期、再上期其他 某指标的影响。 例如上述消费滞后效应也可理解为，当 年消费不仅受到当年收入（40%）的影 响，而且受到上年收入（30%）、再上 年收入（20%）的影响。用公式表示就 是： Ct 0.4It 0.3It 1 0.2It 2
i a0 a1i 当m 1时，即： 2 当m 2 时，即： i a0 a1i a2i 等。其余依次类推。 不难看出，阿尔蒙多项式所设定的滞后 参数变化模式，根据所选择的多项式次 数m的不同，分别对应线性变化（衰 减），先增后减的二次函数变化，以及 较复杂的高次曲线变化等。衰减速度则 a1 等参数。 取决于a0 、
图9.2 考伊克方法参数衰减模式
k
3/ 4
1/ 4
1/ 2
滞后时间
考伊克方法模型设定的滞后参数模型， 与现实经济中许多滞后效应变化规律确 实是一致的，因此有重要的价值。 有了上述滞后参数变化模式，就可以对 分布滞后模型进行变换。 k 首先作考伊克变换，即把 k 0 代入模 型，得到： Yt 0 X t 0X t 1 02 X t 2 t
为了横向比较方便等原因，滞后效应也可以通 过滞后期长度、短期效应、中期相应、半效应 长度等进行衡量。 例如上述收入对消费滞后效应的滞后期长度， 也就是滞后效应的持续时间，总滞后效应完全 实现的时间，为2年。滞后的短期效应（当年 效果）为4/9，中期效应（当年加次年效果） 为7/9。半效应长度，也就是滞后效应过半的 时间长度，则在1年之内。
此外，在考虑一个解释变量对被解释变量的影 响和滞后作用（如收入对消费）以外，还可以 同时考虑其他解释变量对被解释变量的影响， 甚至同时考虑多个解释变量作用的滞后效应等。 分布滞后模型形式上是含有解释变量滞后项的 多元回归模型。 但分布滞后模型主要用来研究经济变量作用的 时间滞后效应、长期影响，以及经济变量之间 的动态影响关系，可用于评价经济政策的中长 期效果，属于动态计量分析的范畴。
设一个有限分布滞后模型为： Yt 0 X t 1 X t 1 K X t K t
也可以写成：
Yt i X t i t
i 0 K
阿尔蒙认为可以用如下i 的多项式模拟 i 的变化： i a0 a1i a2i 2 ami m
第九章 分布滞后和自回归模型
前言
前面各章基本上没有区别所用的数据究竟是时 间序列数据还是截面数据。但这两类数据在计 量经济分析中还是有明显差异的。 时间序列数据是经济运动动态过程的数量记录， 包含不同于横截面数据的特殊信息，可以进行 动态计量分析，但时间序列数据的内在联系也 可能给计量经济分析带来问题和困难。 本章介绍利用时间序列数据进行动态计量分析 的几个专题。下一章我们将对时间序列数据计 量分析的一些问题进行分析。
滞后效应对经济问题的影响非常重要。要准确 把握经济关系，特别是长期动态关系，避免预 测和决策偏差，必须重视这种滞后效应。 滞后效应可以直接通过滞后作用的描述来反映。 例如若某地消费者平均来说在获得20000元收 入后，会在当年消费掉8000元，下一年消费 6000元，再下一年又消费4000元，余下2000 元储蓄起来以备不时之需，那么意味着当年收 入一般对当年消费会产生40%的作用，对下年 消费会产生30%的作用，对再下年消费则有 20%的作用。
（二）分布滞后模型
已知存在滞后效应以及滞后效应的时间 长度和结构时，对滞后作用的分析预测 是比较简单的。 但现实中的问题常常是只知道可能存在 滞后效应，滞后效应是否确实存在，滞 后效应的持续长度，及其结构模式都是 未知的。
例如消费滞后效应问题可能是：
Ct c0 c1It c2 It 1 c3It 2 t
但由于一般来说随着滞后期的增加滞后效应总 是不断减小，滞后期很大的项非常接近0。因 此无限分布滞后模型与滞后长度较长的有限分 布滞后模型并没有很大差别，考伊克方法也可 处理有限分布滞后模型，特别是滞后长度较长 的有限分布滞后模型。
思路是：假设分布滞后模型中的未知参 数 k 都有相同的符号，并按照几何级数 k 0k衰减。其中 0 1 。 k 这种k 0 函数有以下基本特点： k 不变号； （1 ） k 是k的减函数； （2） （3） 越小，衰减速度越快，称为衰减率 （4）长期乘数有限。
最后，只需要把这些估计值代入滞后参数多项 式，就可以得到得到各个滞后参数的估计值：
ˆ a ˆ0 0 ˆ a ˆ0 a ˆ1 a ˆ2 1 ˆ a ˆ0 2a ˆ1 4a ˆ2 2
……
2 ˆ a ˆ ˆ ˆ2 K a K a K 0 1
阿尔蒙多项式法可以把需要估计的参数 数量减少到有限的几个，是解决滞后效 应较长的分布滞后模型参数较多困难的 有效方法。 但这种方法也有局限性。首先运用阿尔 蒙多项式法必须先知道分布滞后模型的 滞后长度，因为X变量变换为变量Z时K必 须是已知的。
该模型仍然含有无限多项，但其中的参 数已经只有3个了。只要我们再把模型滞 后一期得： 2 Yt 1 0 X t 1 0X t 2 0 X t 3 t 1
进一步得：
Yt Yt 1 (1 ) 0 X t ( t t 1 )
Ct c0 c1It c2 It 1 c3It 2 cK It K 1 t 或： c1 等 模型中的 c0 是反映基本消费的常数， 是反映滞后效应结构的系数，这些参数 的数值，是否显著都是未知的，需要根 据收入和消费数据通过计量分析估计。 有时反映滞后期长度的K也是未知的，也 需要通过分析确定。
Leabharlann Baidu
当然，消费者的消费行为一般不可能满足严格 函数关系，必然会因素随机因素干扰而有波动。 此外人们有维持消费水平相对稳定的倾向，在 收入很低时也会设法保持基本的生活水平，因 此会有不受收入直接影响的基本消费。 但上述公式反映了滞后效应的主要特征，只要 进一步了解了基本消费，以此为基础就可以对 消费发展的趋势和收入政策效果等作出有效的 预测和分析。
（一）现式估计法
现式估计法适用滞后长度不确定的分布滞后模 型。 为了解决滞后长度不定的困难，可以依次估计 有滞后效应变量的一期滞后、两期滞后……， 当发现滞后变量（加入的最多期滞后）的回归 系数在统计上开始变得不显著，或至少有一个 变量的系数改变符号（由正变负或由负变正） 时，就不再增加滞后期，把此前一个模型作为 分布滞后模型的形式，相应参数估计作为模型 的参数估计。