微分几何复习题

第一章 曲线论

一、单项选择题

1、过点0r 且以非零向量a 为方向的直线方程为

A 、 00 =-⨯r a r

B 、0)(0 =⨯-r a r

C 、0)(0=⋅-a r r

D 、0)(0 =⨯-a r r 2、已知向量b a ⊥，则必有 ； A 、 0 =⋅b a B 、 b a λ= C 、0 =⨯b a D 、 0=⋅b a 3、设s , r 分别是可微的向量函数,则以下运算正确的是 ； A 、s r s r ⋅'='⋅)( B 、s r s r s r '⋅+⋅'='⋅ )( C 、s r s r ⨯'='⨯)( D 、r s r s s r '⨯+⨯'='⨯ )( 4、过0r 且垂直于非零向量n 的平面方程是

A 、0)(0=⋅-n r r

B 、 0)(0 =⨯-n r r

C 、n v r r =-0

D 、0)(0=⋅-r n r 5、设)(),(),(t u t s t r 分别是可微的向量函数,则='),,(u s r ； A 、u s r '⨯⋅ )( B 、u s r '⋅⨯ )( C 、)',','(u s r D 、),,(),,(),,(u s r u s r u s r '+'+'

6、单位向量函数)(t r 关于t 的旋转速度等于

A 、)('t r

B 、)(''t r

C 、)('t r

D 、 )(''t r

7、向量函数)(t r r

=具有固定方向的充要条件是 ； A 、1)(=t r B 、1)('=t r C 、 0)(')( =⨯t r t r D 、 o t r t r =⋅)(')(

8、向量函数)(t r r =具有固定长的充要条件是 ；

A 、0)(')(=⋅t r t r

B 、0)()(' =⨯t r t r

C 、1)(=t r

D 、1)('=t r

9、星形线t a y t a x 3

3sin ,cos ==上对应于t 从0到π的一段弧的长等于 ；

A 、a

B 、a 2

C 、a 3

D 、 a 6 10、已知向量b a //，则必有 ；

A 、 0 =⨯b a

B 、 b a λ=

C 、0 =⋅b a

D 、 0=⋅b a

11、在曲线的正常点处,曲线的切线和主法线所确定的平面是曲线上该点的 ；

A 、法平面

B 、切平面

C 、密切平面

D 、从切平面

12、平面曲线的曲率或挠率特征是 ；

A 、曲率0≡κ

B 、曲率∞≡κ

C 、挠率)0(≠=c c τ

D 、挠率0≡τ

13、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率都是 ；

A 、0

B 、1

C 、R

D 、R

1 14、如果一条曲线的密切平面固定，则此曲线是 ；

A 、平面曲线

B 、挠曲线

C 、一般螺线

D 、直线

15、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r

=，则曲线在任一点的单位切向量是 ；

A 、)(t r

B 、)(s r

C 、 dt r d

D 、 ds

r d 16、曲率恒等于零的曲线是 ；

A 、平面曲线

B 、直线

C 、挠曲线

D 、一般螺线

17、 圆柱螺线},sin ,{cos t t t r = ，在点π=t 的切线方程是 ；

A 、1101π-=-=+z y x

B 、1111π-=-=+z y x

C 、1

101z y x =-=+ D 、0=-+-πz y 18、对于一般螺线，下列命题成立的个数是 ；

① 切线和固定方向作固定角 ②主法线与一个固定方向垂直 ③曲率和挠率的比等于一个常数 ④副法线与一个固定方向作固定角

A 、二个

B 、三个

C 、四个

D 、五个

19、下列不是一般螺线性质的是 ；

A 、切线和固定方向作固定角

B 、主法线与一个固定方向垂直

C 、曲率和挠率的积等于一个常数

D 、副法线与一个固定方向作固定角

E 、曲率和挠率的比等于一个常数

20、如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么此曲线是 ；

A 、球面曲线

B 、圆

C 、平面曲线

D 、直线

21、空间曲线c 上正则点P 的切线和该点邻近点Q 的平面π，当点Q 沿曲线趋于点P 时，平面π的极限位置称为曲线的点的 ；

A 、密切平面

B 、法平面

C 、切平面

D 、从切平面

二、填空题

1、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r =，则曲线在任一点的单位切向量是 ；

2、 向量函数)(t r 是区间],[b a 上的连续函数,则=⎰])([x a

dt t r dx d ； 3、 直线{}t t t t r 3,2,)(= 的自然参数方程是 ；

4、设曲线参数方程)(s r r =，则参数s 是自然参数的充要条件是 ；

5、最贴近曲线的直线是 、最贴近曲线的平面是 ；

6、若空间曲线)(t r r =上的密切平面都垂直于一固定向量e ，则该曲线是 ；

7、空间曲线是直线的充要条件是 ；

8、若空间曲线)(t r r =满足0),,(=''''''r r r ，则该曲线是 ；

9、曲线)(t r r =上的点都是正常点，则必有 ；

10、曲线)(c 上所有点都是正常点时,则称该曲线)(c 为 .

11、空间曲线的自然方程是 ；