大学物理课件第一章

第一章 质点运动学

1．已知一质点的运动方程为2

2(2)r ti t j =+-

（SI 制）。(1) 求出1t s =，和2t s =时质点的位矢； (2) 求出1s 末和2s 末的速度； (3) 求出加速度。

解：（1）1t s =时 12r i j =+ ，2t s =时 242r i j =-

（2）质点的运动的速度22dr v i t j dt

==-

：1t s =时 122v i j =- ，

2t s =时 224v i j =- （3）质点运动的加速度2dv a j dt

=

=-

2.一质点沿y 轴作直线运动，其速度大小2

83y v t =+，单位为SI 制。质点的初始位置在y 轴正方向10m 处，试求：（1）2t s =时,质点的加速度；（2）质点的运动方程。 解：根据题意可知，0t s =时，1

08m s v -=，010m y = （1）

质点在2t s =时的加速度y a 为2

612ms

y y dv a t dt

-=

==

（2）

质点的运动方程y 为y dy v dt =，两边积分

2

10

(83)y

t

dy t dt =

+⎰

⎰

，因此 3108y t t =++

3.某质点在xoy 平面上作加速运动，加速度2

32(m /s )a i j =+ 。在零时刻的速度为零，位置矢量

05m r i =

。试求：

（1） t 时刻的速度和位矢；（2） 质点在平面上的轨迹方程。 解：（1）t 时刻的速度v 为(32)dv adt i j dt ==+

，积分得 0

(32)v

t

dv i j dt =

+⎰

⎰

因此 1

(32)m s

v ti tj -=+

； t 时刻的位矢r 为(32)dr vdt ti tj dt ==+

积分得

00(32)r

t

r dr ti tj dt =+⎰⎰ ，因此2222

013(32)(5)22r r t i t j t i t j =++=++

（2）由r 的表达式可得质点的运动方程

22

352x t y t ⎧

=+⎪⎨⎪=⎩

消去两式中的t ，便得轨迹方程 210

33y x =-

4.一汽艇以速率0v 沿直线行驶。发动机关闭后，汽艇因受到阻力而具有与速度v 成正比且方向相反的加速度a kv =-，其中k 为常数。求发动机关闭后，（1） 在时刻t 汽艇的速度；（2） 汽艇能滑行的距离。 解：本题注意根据已知条件在计算过程中进行适当的变量变换。

（1）因为dv a kv dt

=

=-， 可得

kdt v

dv -=，所以⎰⎰

-=

t

v

v kdt

v

dv 0

，

积分得 kt v v -=0

ln

，即：kt

e

v v -=0

（2）因为

dv dv ds dv v

kv dt

ds dt

ds

=

==-，所以 0

00

s

v dv k ds =-⎰⎰，0v ks =

发动机关闭后汽艇能滑行的距离为0v s k

=

。

如利用ds vdt =进行计算，t 的积分上下限取∞与0，可得同样结果。想一想其合理性。 5.一物体沿X 轴作直线运动，其加速度2

a kv =-，k 是常数。在0t =时，0v v =，0x =。 （1）求速率随坐标变化的规律；（2）求坐标和速率随时间变化的规律。 解：本题注意变量变换。 （1）

因为2

dv dv dx dv a v

kv dt

dx dt

dx

=

=

==-，所以 0

v x

v dv k dx v

=-⎰

⎰

得0

ln v kx v =-，即 0kx

v v e -=

（2）因为2

dv a kv dt

=

=-，所以0

2

v

t

v dv kdt v

=

-⎰

⎰可得 0

0/(1)v v

v kt =+

又因为 dx v dt

=

，所以

00

01

x t t v dx vdt dt v kt =

=

+⎰

⎰

⎰

，可得 01ln(1)x v kt k

=

+

6.已知质点作半径为0.10m R =的圆周运动，其角位置与时间的关系为3

24t θ=+(其中θ的单位为

rad ，t 的单位为s )。试求：（1）当2t s =时，角速度ω和角加速度；（2）当2t s =时，切向加速度

t a 和法向加速度n a 。

解：（1）质点的角速度及角加速度为2

12d t dt

θω=

=，24d t dt

ωα==

当2t s =时， 2

1

1

12248rad s rad s ω--=⨯= ， 2224248rad s rad s α--=⨯=

（2）质点的切向加速度和法向加速度为24t a R Rt α==，24144n a R Rt ω==

当2t s =时，2

2

240.12 4.8t a R m s

m s

α--==⨯⨯=

4

2

2

1440.12230.4n a m s

m s --=⨯⨯=

7．一球以30m.s -1的速度水平抛出，试求5s 钟后加速度的切向分量和法向分量。 解：由题意可知，小球作平抛运动，它的运动方程为 2

02

1 gt y t v x =

=

将上式对时间求导，可得速度在坐标轴上的分量为

gt

gt dt

d dt

dy v v t v dt d dt dx v y x ==

=

===

)2

1()(2

00

因而小球在t 时刻速度的大小为2

202

2)(gt v v v v y x +=

+=

故小球在t 时刻切向加速度的大小为