二阶行列式与逆矩阵1 PPT

= = =
9 -5
0
解 因为
D=27 D1=81 D2=-108 D3=-27 D4=27
提示
2 1 -5 1
D=
1 -3 02
0 -6 -1 2
=27
1 4 -7 6
2 1 -5 8
D4 =
1 0
-3 2
09 -1 -5
=27
1 4 -7 0
Baidu Nhomakorabea
克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xj=Dj/D(j=1 2 n)。
0 -6 -1 2
=81
0 4-7 6
克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xj=Dj/D(j=1 2 n)。
2x1 x2 -5x3 x4 = 8
例1
解线性方程组
x1 x1
-3x2 x2
4x2
- x3 -7x3
-6x4 2x4 6x4
= = =
9 -5
例1
求二阶矩阵 A=ac
b d
的逆阵
解
因为|A|=ad-bc
A* =
d -c
-ab
所以当|A|0时 有
A-1
=
|
1 A|
A*
=
ad
1 -bc
d -c
-ab
提示 A11=d A12=-c A21=-b A22=a
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A-1 = 1 A* | A|
例
2
求方阵 A=132
D1 D
x2
=
D2 D
xn
=
Dn D
其中Dj (j=1 2 n)是把系数行列式D中第j列的元素a1j a2j anj对应地换为方程组的常数项b1 b2 bn后所得到的n 阶行列式。
克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解 xj=Dj/D(j=1 2 n)。
例
2
求方阵 A=132
2 2 4
133 的逆阵
解 由|A|=20 得知A-1存在，因为
A*=
2 -3
2
6 -6
2
-54 -2
所以
A-1
=
|
1 A|
A*
=
1 2
2 -3
2
6 -6
2
--245
=
-
1 3 2 1
3 -3
1
--5221
二、行列式的乘法定理
定理3 设A、B为n阶矩阵，那么|AB|=|A||B|.
A21 A22
An1 An2
A1n A2n Ann
称为矩阵A的伴随矩阵。
引理 若A*为矩阵A的伴随矩阵，那么AA*=A*A=det(A)I.
定理2
矩阵A可逆的充要条件是|A|0；且当A可逆时，有
A-1 = 1 A* | A|
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A-1 = 1 A* | A|
2x1 x2 -5x3 x4 = 8
例1
解线性方程组
x1 x1
-3x2 x2
4x2
- x3 -7x3
-6x4 2x4 6x4
= = =
9 -5
0
解 因为
D=27 D1=81 D2=-108 D3=-27 D4=27 所以 所给方程组的唯一解为
x1
=
D1 D
=
3
x2
=
D2 D
=
-4
2 2 4
133 的逆阵
解 由|A|=20 得知A-1存在 因为
提示
A*=
2 -3
2
6 -6
2
-54 -2
A1321
=
-42242113333==-264
A1A232=2 =--321
113 23
13==-365
A3213 = -12321322442==-22
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A-1 = 1 A* | A|
二阶行列式 与逆矩阵
之前介绍的矩阵求逆的方法有： （1）待定系数法； （2）初等变换。
本节介绍（1）用伴随矩阵求逆的方法； （2）行列式运算的一些性质（乘法定理）； （3）解线性方程组的克莱默法则。
一、伴随矩阵与矩阵的逆 n阶行列式det(A)的各元素的代数余子式Aij所构成的矩阵：
A11 A12
推论1 A和B 是两个n阶矩阵，如果A不可逆，则AB和BA都不可逆。
推论2
若AB=I(BA=I) 则A可逆，且B=A-1， 这是因为AB=I由推论1，因而A-1存在。于是
B=IB =(A-1A)B=A-1(AB)=A-1I=A-1
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A-1 = 1 A* | A|
2x1 x2 -5x3 x4 = 8
例1
解线性方程组
x1 x1
-3x2 x2
4x2
- x3 -7x3
-6x4 2x4 6x4
= = =
9 -5
0
解 因为
D=27 D1=81 D2=-108 D3=-27
提示
2 1 -5 1
D=
1 -3 02
0 -6 -1 2
=27
1 4 -7 6
2 18 1
D3 =
1 0
-3 9 2 -5
-6 2
=-27
140 6
克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xj=Dj/D(j=1 2 n)。
2x1 x2 -5x3 x4 = 8
例1
解线性方程组
x1 x1
-3x2 x2
4x2
- x3 -7x3
-6x4 2x4 6x4
0
解 因为
D=27 D1=81 D2=-108
提示
2 1 -5 1
D=
1 -3 02
0 -6 -1 2
=27
1 4 -7 6
2 8 -5 1
D2 =
1 0
9 -5
0 -6 -1 2
=-108
1 0 -7 6
克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xj=Dj/D(j=1 2 n)。
a2nxn annxn
= =
b2 bn
(3.5)
a11 a12 a1n 行列式 D = a21 a22 a2n 称为方程组(3.5)的系数行列式。
an1 an2 ann
❖克拉默法则
如果线性方程组(3.5)的系数行列式D不等于零 则方程组 (3.5)有唯一解
x1
=
推论1 设A1，A2，……，Ar都是n阶矩阵，则 | A1A2……Ar |=|A1||A2|……| Ar |.
推论2 A可逆，则|A-1|=|A|-1.
三、 克拉默法则
本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组
的求解问题。
a11x1 a12x2 a1nxn = b1
aan211xx11aan222xx22
2x1 x2 -5x3 x4 = 8
例1
解线性方程组
x1 x1
-3x2 x2
4x2
- x3 -7x3
-6x4 2x4 6x4
= = =
9 -5
0
解 因为
D=27 D1=81
提示
2 1 -5 1
D=
1 -3 02
0 -6 -1 2
=27
1 4 -7 6
8 1-5 1
D1 =
9 -5
-3 2