基于MATLAB的牛头刨床传动机构仿真

东北大学
研究生考试试卷
考试科目：用Matlab的Simulink进行机械仿真
课程编号：y09581015
阅卷人：邹平
考试日期：2012.7.1
姓名：王鑫
学号：1170124
注意事项
1．考前研究生将上述项目填写清楚
2．字迹要清楚，保持卷面清洁
3．交卷时请将本试卷和题签一起上交
东北大学研究生院
基于MATLAB 的牛头刨床传动机构仿真
摘要：根据牛头刨床传动机构的闭环矢量方程推导出各构件的位移、速度、加速度的表达式，并将其转化为适用于MATLAB 仿真的矩阵数学模型，以该矩阵的数学模型编制相应的M 函数仿真模块，最后建立仿真模型，并对仿真结果的相容性误差加以分析。

借助于MATLAB 软件可以方便地实现机构性能分析和动态仿真，从而提高设计及分析效率。

关键词：牛头刨床机构；仿真；MATLAB
1.系统仿真模型选取
本文选取机械原理教材[3]中常见的习题牛头刨床传动机构来进行Simulink 仿真。

已知75,300,100,150,280AB CD DE AC CF l mm l mm l mm l mm l mm =====，牛头刨床传动机构的示意图如图1所示。

图1 牛头刨床传动机构示意图
牛头刨床传动机构的矢量环如图2所示。

其中各个矢量与上图相对应为：
1212345,,,,,,R AB R CB R CD R DE R AC R CF ======其中21R 表示滑块B 在摇杆CD 上的位移，另外相应的初始角度为00011130,60,168θθθ=-==。

图2 传动机构的矢量环
2.系统仿真模型建立
从上图可以看出牛头刨床传动机构中有两个闭环矢量，所以牛头刨床传动机构的闭环矢量方程为：
1421R R R =+ （1） 2356R R R R +=+ （2）
将上述两个矢量方程分别分解到x 和y 坐标轴上，可以分别得到闭环矢量方程（1），（2）的分解表达式。

闭环矢量方程的分解表达式（1）：
11212
114212cos cos sin sin r r r r r θθθθ=⎧⎨
=+⎩ （3） 闭环矢量方程的分解表达式（2）：
22336
2
2335cos cos sin sin r r r r r r θθθθ+=⎧⎨
+=⎩ （4） 分别对上面两个表达式对时间求一阶导数，分别有：
1112122212
1112122212
sin sin cos cos cos sin r r r r r r ωθωθθωθωθθ-=-+⎧⎨
=+⎩ （5） 2223336
22
2333sin sin cos cos 0r r r r r ωθωθωθωθ--=⎧⎨
+=⎩ （6）
写成矩阵形式为：
21222111212221111sin cos sin cos sin cos r r r r r θθωωθθθωθ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（7） 333221336222sin 1sin cos 0cos r r r r r θωωθθωθ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （8）
分别对（3）、（4）两个表达式对时间求二阶导数，写成矩阵形式，则分别有：
22
212
221111112122212222
212
22111111121222122sin cos sin +cos cos 2sin cos sin cos sin +sin 2cos r r r r r r r r r r r θθααθωθωθωθθθαθωθωθωθ-⎡⎤
--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（9） 2
233322222
23332
336222222333sin 1sin cos cos cos 0cos sin sin r r r r r r r r r θααθωθωθθαθαθωθ⎡⎤---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（10） 3.运动学仿真
利用MATLAB 进行仿真分析，主要包括两个步骤：首先编制计算所需的函数模块，然后利用其仿真工具箱Simulink 建立仿真系统框图，设定初始参数进行仿真分析。

3.1 编制计算函数
曲柄AB 为原动件,根据式（9），编制闭环矢量1的加速度M 函数compacc1.m 如下：
function [x]=compacc1(u)
%u(1)=alpha-1,u(2)=omega-1,u(3)=omega-2,u(4)=r21,u(5)=v21 (6)=thera-1, % u(7)=theta-2 r1=75;
a=[u(4)*cos(u(7)) sin(u(7));u(4)*sin(u(7)) -cos(u(7))];
b=[r1*u(1)*cos(u(6))-r1*u(2)^2*sin(u(6))-2*u(5)*u(3)*cos(u(7))+u(4)*u(3)^2*sin(u(7));
r1*u(1)*sin(u(6))+r1*u(2)^2*cos(u(6))-2*u(5)*u(3)*sin(u(7))-u(4)*u(3)^2*cos(u(7))]; x=inv(a)*b;
根据式（10），编制闭环矢量2的加速度M 函数compacc2.m 如下： function [x]=compacc2(u)
%u(1)=alpha-2,u(2)=omega-2,u(3)=omega-3,u(4)=theta-2,u(5)=theta-3 r2=300; r3=100;
a=[-r3*cos(u(5)) 0;r3*sin(u(5)) 1];
b=[r2*u(1)*cos(u(4))-r2*u(2)^2*sin(u(4))-r3*u(3)^2*sin(u(5)); -(r2*u(1)*sin(u(4))+r2*u(2)^2*cos(u(4))+r3*u(3)^2*cos(u(5)))]; x=inv(a)*b;
3.2 建立仿真运动框图
建立仿真运动框图，如图3所示。

图3 运动仿真框图
3.3 建立初始条件
在仿真运行之前，必须为积分器建立适当的初始条件。

假设主动件曲柄AB以1800r/min(188.5rad/s)的速度旋转，其他初始条件见表1。

表1 匀速仿真的初始条件
积分器初始条件
θ1/rad -0.5236
θ2/rad 1.0472
θ3/rad 2.93
r21/mm 129.9
r6/mm 52.37
ω2/rad·s-10
ω3/rad·s-10
v21/mm·s-114137
v6/mm·s-10
其中ω2，ω3，v21，v6通过式（7），式（8）在MATLAB中编程求得。

3.4 仿真的实现
由于曲柄的转速为188.5rad／s，因此每转动一周的时间为0．033s，设置仿真时间为0.07s，进行仿真。

可以用以下命令得到滑块的加速度，速度，位移随时间的变化曲线：plot(tout,simout(:,4))，plot(tout,simout(:,5))，plot(tout,simout(:,6))。

得到滑块的加速度，速度，位移随时间变化曲线如图4,5,6所示。

由滑块的位移曲线图可以看出牛头刨床的具有的急回特性。

3.5 相容性误差检验
定义误差矢量如下：
E=R1+R2+R3-R4-R5-R6-R2 （11）E的模是一个表示仿真有效程度的标量。

编写M文件comperr.m,嵌入到仿真框图中，进行仿真，仿真结果如图7所示。

可以看到相容性误差很小，且呈递减趋势。

comperr.m 程序清单如下：
function e=comperr(u)
%u(1)=theta-1,u(2)=r21,u(3)=theta-2,
%u(4)=theta-3,u(5)=r6
r1=75;
r2=300;
r3=100;
r4=150;
r5=280;
ex=r1*sin(u(1))+r4+r2*sin(u(3))+r3*sin(u(4))-r5-u(2)*sin(u(3));
ey=r1*cos(u(1))+r2*cos(u(3))+r3*cos(u(4))-u(5)-u(2)*cos(u(3));
e=norm([ex; ey]);
图4 滑块的加速度随时间变化仿真曲线图图5 滑块的速度随时间变化仿真曲线图
图6 滑块的位移随时间变化仿真曲线图图7 滑块的均方根误差随时间变化仿真曲线图
4.结论
利用MATIAB强大的计算功能、仿真功能和结果的可视化等各项优势，可以很直观地看到牛头刨床传动机构运动参数的变化规律。

通过仿真直观地揭示了曲柄以匀角速度运动的情况下，滑块的位移，速度，加速度运动规律和其具有的急回特性，这对以后的设计与优化很有帮助。

参考文献：
[1] 约翰·F·加德纳．机构动态仿真:使用MATLAB和SIMULINK[M]．西安交通大学出版社，2002．
[2] 薛定宇,陈阳泉．基于MATLAB/Simulink的系统仿真技术与应用[M]．清华大学出版社，2011．
[3]孙恒，陈作模．机械原理[M].高度教育出版社，2006．
[4] 李新成，樊琳，张振. 摆动导杆机构的Matlab运动学仿真[J].机械研究与应用，2008．
[5] 曲秀全．基于Matlab/Simulink平面连杆机构的动态仿真[M]．哈尔滨工业大学出版社，2007．。