改进的跟踪微分器设计

收稿日期 : 2009 11 28.
。同时为了消除系统的抖振, 出现了
[ 8 10]
高阶滑模跟踪微分器
, 它不仅能够消除信号
跟踪的抖振现象 , 而且收敛速度快 , 但是在微分信 号输出过程中有抖振现象 , 并且噪声的干扰也比 较明显。
基金项目 : 863 国 家高技术研 究发 展 计 划项 目 ( 2007AA 041702) ; 机 器人 技 术及 系 统 国家 重 点实 验 室 基金 项 目 ( SK L RS200802A02) . 作者简介 : 葛连正 ( 1975- ) , 男 , 讲师 , 博士 . 研究方向 : 自动控制 . E mail: g elz@ hit. edu. cn 通信作者 : 李瑞峰 ( 1965- ) , 男 , 教授 , 博士生导师 . 研究方向 : 机器人控制 . E mail: lrf100@ hit. edu. cn
u( t) = 1 2
> 0 , 那么系统 ( 2) 是一个二阶滑模变结构控制系 统, 系统是渐近稳定的, 并且 y 收敛于零点。 证明 V = 取李亚普诺夫函数如下 : y + 2 =
2 2 3
y p / ( p+ 1) + p + 1 2y 2 1 2 2p y1
( p- 1) / ( p+ 1)
( 哈尔滨工业大学 机电工程学院 , 哈尔滨 , 150001)
摘 要 : 为了提高跟踪微分器的鲁棒性, 本文在深入分析非线性滑模跟踪微分器的基础上 , 利 用李亚普诺夫稳定性定理提出一种改进的二阶滑模非线性跟踪微分器 。该跟踪微分器综合了 线性跟踪微分器和非线性跟踪微分器的优点 , 可实现任意信号的跟踪和微分 , 并且结构简单、 易于实现。 最后对该跟踪微分器和超螺旋跟踪微分器进行了仿真, 结果验证了改进的二阶滑 模跟踪微分器能够有效削弱超螺旋跟踪微分器微分输出的抖振现象。 关键词 : 跟踪微分器 ; 鲁棒性; 二阶滑模 中图分类号 : T P273 文献标志码: A 文章编号: 1671 5497( 2011) 05 1439 05
-
4
y2 2 = 4
1
y1
( 2p+ 1) / ( p+ 1)
y1
1
( 2 p- 1) / ( p+ 1)
-
y2 2
( 5)
由于 p > 2,
、2 、3 、4 > 0, 从式 ( 5) 可以看
出 V > 0, V < 0, 满足李亚普诺夫稳定性定理 , 可 以保证系统在一定时间内到达平衡点 , 很明显由 V = 0, 可得 y 1 = y 2 = 0 。 二阶滑模变结构控制就是保证系统在有限时 间内到达滑动面 S, 并保持 S = 0 和 S = 0。 这里 取 S = y 1 , 通过上面的分析可发现, 系统满足李 亚普诺夫稳定性条件 , 从而保证 y 1 = y 2 = 0。 根 据式( 2) 可得在平衡点处 y 1 = y 1 = 0, 即 S = S = 0。 因此系统 ( 2) 是一个二阶滑模控制系统, 从 而定理 1 成立。 根据式( 1) ( 2) 可得到二阶滑模控制方程 U( t) = - F( t) w ( t) = 2 1
Abstract: T o improve t he robust ness of t racking dif ferent iato r, t he no nlinear sliding mode t racking diff erent iato r is analyzed in det ails in t his paper. T hen an im pro ved seco nd or der sliding m ode t racking diff erent iato r is present ed using L yapunov stability theory. Int eg rat ing t he char act erist ics of linear and no nlinear t racking dif ferentiat ors, t he propo sed t racking dif f erentiat or can tr ack and dif ferent iat e any signal; meanw hile, it s st ruct ure is simple and it is easy f or application. Numerical simulations are carried out on t his im pro ved t racking dif ferent iat or and on a super tw isting t racking diff erent iat or. Result s show t hat t he impr oved t racking diff er ent iat or can reduce t he chart ering of dif f erential signal. Key words: tr acking dif ferent iat or; robust ness; second order sliding m ode 目前常用的跟踪微分器可通过理想的微分传 递函数和低通滤波器来实现
Rw ( t)
Vy = [ y y2 2 1
3
y1 +
p / ( p+ 1)
2
y1
( p- 1) / ( p+ 1)
, y 2] =
( 9) 式中 :
3
= R ;
2
4
= R ; R 为大于零的常数。
y1 y1
sg n( y 1 )
3
由于非线性控制的原因, 非线性跟踪微分器 的微分输出在平衡点处有振动现象。因此在系统 ( 9) 的跟踪微分器基础上 , 采用如下 的自适应算
1440
吉林大学学报( 工学版)
1 2 1 2
第 41 卷 y1
3 ( 2p- 3) / p
针对上述问题 , 本文在分析滑模跟踪微分器 的基础上, 采用二阶滑模控制策略 , 设计了一种全 局渐近稳定的具有强鲁棒性的跟踪微分器。该跟 踪微分器综合了线性和非线性微分器的优点, 不 仅消除了滑模微分器的颤振现象, 而且具有良好 的动态响应和鲁棒性 , 兼顾了快速性和准确性的 要求 , 具有较强的滤波能力。
Design of an improved tracking differentiator
GE L ian zheng, CH EN Jian, LI Rui f eng
( School of M echatr onics E ngineer ing , H ar bin I nstitute of T echnolog y , H ar bin 150001 , China)
1
=
= 0, 即系统在
平衡点附近时, 线性环节起主要作用, 可以消除系 统的抖振。这时跟踪微分器可简化为 ( 11) 2 w ( t) = - R [ x - v( t) ] - Rw ( t ) 定理 2 假设 v ( t) 具有一 L ipschit z 常数 C, 取 p > 2 的偶数,
2 1
( 3)
对式 ( 3) 求导, 并且利用等式 y 可得到: V =
( p- 1) / ( p+ 1) 1
x - v( t)
p / ( p+ 1)
sgn [ x - v( t) ] + w ( t)
sg n( y 1 )
( 4)
w ( t) = -
[ x - v( t) ] ( p- 1) / (p+ 1 ) - R 2 [ x - v( t) ] -
1
二阶滑模控制器
滑模变结构控制是一种具有强鲁棒性的非线
性控制方法 , 它不仅应用于控制系统设计还可以 应用于参数观测和误差分析等领域
[ 11 12]
。但是变
结构的非连续控制能够引起系统的抖振 , 是阻碍 变结构控制应用的主要障碍。高阶滑模控制是消 除变结构控制抖振现象的一种有效方法 , 但是它 需要求取切换函数的高阶导数, 通常情况下难以 实现。所以本文采用常用的二阶滑模控制。 考虑如下不确定单输入单输出非线性系统 X = F( t) + U( t) ( 1)
y1
1 3
( p- 1) / ( p+ 1)
-
y1 -
4
y2
y1
( p- 1) / p
sgn ( y 1 ) -
第5期 法: 设 0<
葛连正 , 等 : 改进的跟踪微分器设计
(p - 1 )/ ( p+ 1)
1441
< 1, 当 x - v( t) >
时 , R = 0,
2
L 2: R =
2
S S
x x
p/ ( p+ 1)
sgn ( x ) + w ( t) 3
( p- 1) / ( p+ 1)
( 2)
y1 -
4
y2 , ,
w ( t) = -
( p- 1) / ( p+ 1)
x-
4
w ( t)
( 8)
取 y 1 = X , y = [ y 1 , y 2 ] , 可得到定理 1 。 如果取 p 2 的偶数 ,
[ 1]
析, 该跟踪微分器具有快速性和高精度的特点 , 并 可用于各种控制系统。滑模控制具有对干扰不敏 感的特点 , 因此出现了大量的滑模跟踪微分器的 设计方法
[ 6 7]
, 或者通过超前网
络或数值差分直接实现。但是, 如果已知的信号 是不连续的 , 或带有一定的随机噪声, 则直接微分 很难实现。为此 , 文献[ 2 4] 提出了非线性跟踪微 分器的概念 , 并研究了跟踪微分器的离散形式 , 提 高了微分器的动态响应和稳态精度。文献 [ 5] 给 出了一种非线性滑模跟踪微分器的设计方法及分
+ C, - C,
SS > 0 SS 0 ( 16)
即系统远离平衡点时 , 非线性环节起主要作用 , 使 之快速地趋近平衡点。这时跟踪微分器可简化为 u( t) = - 1 x - v( t ) p/ ( p+ 1) sgn [ x - v( t) ] + w ( t ) w ( t ) = - 2 [ x - v( t) ] 当 x - v( t) < 时 ,
第 41 卷
第5期
吉林大学学报( 工学版)
Jo urnal o f Jilin U niv ersity ( Engineering and T echno lo gy Edit ion)
V ol. 41
N o. 5
2011 年 9 月
S ept . 2011
改进的跟踪微分器设计
葛连正, 陈 健, 李瑞峰
X -
p/ ( p+ 1)
sgn ( X ) + w ( t)
4
X
( p- 1) / ( p+ 1)
3
X-
w ( t) ( 6)
式中 : 系统状态变量 X R; 系统控制输入 U( t) R; F( t) 为系统的不确定非线性项。 本文考虑的问题是闭环系统的稳定问题, 即 设计有限控制 U 使得系统的状态 X t 从某一初始 状态运动在有限时间内转移到平衡点, 即 : 使系统 X 0。 这里构造系统( 1) 的二阶滑模控制方程 y1 = y2 = 定理 1
1
,
2
3
4
因为 x = u( t) , 这样就能够根据 x 得到其导 数。跟踪微分器是这样的机构: 对它输入一信号 v( t ) , 它输 出 2 个信 号 z 1 和 z 2 , 其中 z 1 跟踪 v( t ) , z 2 = z 1 , 可作为 v( t ) 的近似微分。 采用由式( 8) 改进的二阶滑模控制器可保证 x = u( t ) , 为此对式 ( 8) 做改进 , 设计改进的二阶 滑模跟踪微分器如下 :
( p- 1) / ( p+ 1)
( p- 1) / ( p+ 1)
( 10)
2
假设初始条件为 S 0 = 0 , S 0 > 0, 根据式 ( 14) 可画出 S 、 S 的相平面图 ( 见图 1) 。从图中可以看 出, 在微分包含的任意点都趋于零点 , 即 : S S 0。 可得 : S = x - v( t ) 0, 即 x 0, 即 u( t) 0, v ( t) 。 S= v ( t) 。
1 2
百度文库
2
二阶滑模跟踪微分器
要得到信号 x 的微分 , 参考式 ( 1) 假设 F( t) = 0 , 可得到非线性系统 x = u( t) 式中 : u( t ) 为信号 x 的微分输出。 根据定理 1 可得到系统的跟踪微分器方程 u( t ) = 1 2
( 7)
y1 y1
p/ ( p+ 1)
sgn ( y 1 ) + y 2 T 3