逆矩阵的概念

• 若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在 逆矩阵,且 (AB)-1=B-1A-1
4.二阶矩阵满足消去律的条件 • 已知 A, B, C 为二阶矩阵,且 AB=AC ,若矩阵 A 存 在逆矩阵,则 B=C
思考：若二阶矩阵A 存在逆矩阵, 且 BA=CA , 那么 B = C一定成立吗？
课后巩固： 1.设 A,B 可逆，下列式子不正确的是（
对于二阶矩阵 A,B 若有 AB=BA=E 则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵. 通常记 A的逆矩阵为 A-1 思考： A的逆矩阵有多少个？ 逆矩阵的唯一性： 若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B, 则逆矩阵是唯一的.
例题2、 用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆
矩阵,若存在把它求出来;若不存在,说明理由.
a b A= c d
课堂小结
则
ad -bc 0 （1）A可逆的充要条件是： （2）当 ad -bc 0 时，则
d ad bc -1 A c ad bc b ad bc a ad bc
3.二阶矩阵乘法的逆矩阵
sin （顺时针） cos
4 旋转变换
5 投影变换 6 切变变换
cos sin
sin cos sin （逆时针） cos
1 0 0 0
0 0 0 1
1 0 1 0
1 k 0 1
(AB)-1=A-1B-1
例题4、 试从几何变换角度求矩阵AB的逆矩阵:
(1) 1 0 A 0 1 1 0 A 0 2 0 1 B 1 0 1 1 B 2 0 1
(2)
4.二阶矩阵满足消去律的条件
上节课遗留的一个问题： 对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律? • 已知 A, B, C 为二阶矩阵,且 AB=AC ,若 矩阵 A 存在逆矩阵,则 B=C
• 2.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的 两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换. • 3.矩阵乘法的简单性质.
1）.矩阵乘法不满足交换律； 2）.矩阵乘法不满足消去律；
3）.矩阵乘法满足结合律. 即：(AB)C=A(BC) 什么条件下可以 满足消去律呢?
例题1、
• 对于下列给出的变换对应的矩阵A,是否存 在矩阵B使得连续进行两次变换(先TA后TB) 的结果与恒等变换的结果相同?
(1) 0 1 A 1 0 1 (2) B 2 0 1 (4) D 1 0 1 0 0
0 1 (3) C 1 0
问题：试问怎样的矩阵A存在A-1
结论： 当一个矩阵表示的是平面上向量到向量 的一一映射时，它才是可逆的。 例如:例题2中矩阵D对应的变换不是一一映射， 故不存在逆矩阵。
1 1 1 ( AB ) A B A.
1 1 ( A ) A C.
）
1 1 1 ( AB ) B A B.
2 1 1 2 ( A ) ( A ) D.
2.关于 y 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是
0 1 3.矩阵 1 1 的逆矩阵为
1 1 4.A＝ 0 1 1 3 2 2 3 1 ，则 2 2
证明： Q 矩阵A存在逆矩阵 \ A A = E 于是
- 1
B = ( A- 1 A )B = A- 1 ( AB ) = A- 1 ( AC )
= ( A- 1 A )C = C
1.逆矩阵的概念 对于二矩阵 A,B 若有 AB=BA=E 则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵. 通常记 为 A-1 若二阶矩阵 A可逆,则逆矩阵是唯一的. 2.逆矩阵的求法： 几何变换法 待定矩阵法 对于二阶矩阵
2 0 ; (5)F= 0 1
0 ， 1
6.已知
A＝
1 3 2 2 2 ，B＝ 3 1 0 2 2
2 2 x y 1在 ( AB)1 变换作用下的图形。 求圆
复习回顾：几种常见的平面变换
1 恒等变换
2 伸压变换 3 反射变换
1 0 E 0 1 k 0 0 1
1 0 0 1
1 0 0 k
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 0 1 1 0 1 0
a b 结论：一般地，对于二阶可逆矩阵 A= (ad -bc 0) c d
d ad bc -1 A c ad bc b ad bc a ad bc
它的逆矩阵为
练习 2：
3 1 1 1． A＝ 4 2 ，问 A 是否可逆？若可逆，求 A 。
A =
1
5.从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵， 若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由：
1 0 1 0 1 0 ; (2)B= ; (3)C= 0 0 ; （1）A= 0 1 0 1
1 1 ; (4)D= 0 1
二阶矩阵的乘法AB表示先后实施两 次几何变换。
问题：
那么连续实施两次几何变换的 逆变换是什么呢？
即：(AB)-1=？
3.二阶矩阵乘法的逆矩阵
• 若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩阵,且 (AB)-1=B-1A-1
推广：(ABC)-1=C-1B-1A-1 注意:两个矩阵的次序不可以颠倒，一般地
2.逆矩阵的求法
方法1：几何变换法 方法2：待定矩阵法
5 1 例题3、 求矩阵 A 的逆矩阵. 7 3
练习 1： 用待定矩阵法求解
1 1 A＝ 2 4
的Fra Baidu bibliotek矩阵
2.逆矩阵的求法
方法1：几何变换法 方法2：待定矩阵法
5 1 例题3、 求矩阵 A 的逆矩阵. 7 3
1 0 k 1
二阶矩阵的乘法
• 1. 二阶矩阵的乘法：
a11 a12 b11 b12 a11 b11 a12 b21 a11 b12 a12 b22 a a b b a b a b a b a b 21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22
(1) 以x轴为反射轴作反射变换; (2) 绕原点逆时针旋转600作旋转变换; (3) 横坐标不变,沿y轴方向将纵坐标伸为原来的 2倍作伸压变换; (4) 沿y轴方向,向x 轴作投影变换; (5) 纵坐标y不变,横坐标依纵坐标的比例增加, 且(x,y) (x+2y,y) 的切变变换.
逆矩阵的概念
1.逆矩阵的概念
2 1 1 A 2．A＝ 4 2 ，问 A 是否可逆？若可逆，求 。
a b 补充：对于二阶矩阵 A= 则 c d
（1）A可逆的充要条件是： ad -bc 0 （2）当 ad -bc 0 时，则
d ad bc -1 A c ad bc b ad bc a ad bc