运筹学 线性规划习题解析

k2=-1/2
X1+2x2=28
10.5
28
4x1+x2=42 X1+2x2=28 解得：x1=8,x2=10
x1
（2）如果原料甲增加到42吨，原最优解是否改变？
图解：
x2
42
21 k=-7/5
4x1+x2=42
4x1+x2=42 X1+2x2=42
解得：x1=6,x2=18
X1+2x2=42
10.5
42
x1
(3)如果每吨B产品的利润增加到15万元，原最优解 是否改变？
图解：x2
42
4x1+x2=42
最优解是x1+2x2=28 与x2轴的交点（0,14）
14 k=-7/15
X1+2x2=28
10.5
28
x1
（4）每吨B产品的利润在什么范围内变化，原最优 解才不会改变？
图解：
x2
42
-4<k<-1/2 14
第一章 线性规划
• 6、某皮革厂生产甲、乙两种皮带，生产 甲、乙皮带每条可获利分别为4元、3元。 但生产一条甲皮带是生产一条乙皮带所需 工时的2倍，如果全部生产乙皮带，该厂 每天可生产1000条，但皮革供应只够日产 800条（甲、乙两种皮带合计），甲、乙 皮带所用皮扣（一条一扣）每天分别只能 供应400个、700个。问如何安排生产，可 使该厂获利最大？
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第一章 线性规划
第一章 线性规划
• 1、某化工厂生产某项化学产品，每单位 标准重量为1000克，由A、B、C三种化学 物混合而成。产品组成成分是每单位产品 中A不超过300克，B不少于150克，C不少 于200克。A、B、C每克成本分别为5元、 6元、7元。问如何配置此化学产品，才能 使成本最低？
元，则本题的线性规划模型为：
max S=max(40x1+28x2+32x3+72x4+64x5+80x6)
x1+x2+x3+3x4+3x5+3x6≤850
2x1
+5x4
≤700
2x2 +5x4
≤600
3x3
+8x6≤900
x1，x2…x6≥0
第一章 线性规划
• 4、一家玩具公司制造三种玩具，每一种要求不同的制 造技术。高级的一种需要17个小时加工装配，8小时检 测，每台利润30元；中级的需2小时加工装配，半小时 检测，每台利润5元；低级的需半小时加工装配，10分 钟检测，每台利润1元。现公司可供利用的加工装配时 间为500小时，检测时间100小时。市场预测显示，对高 级、中级、低级玩具的需求量分别不超过10台、30台、 100台，试制定一个能够使总利润最大的生产计划。
• x1+x2+x3+x4=500 可以截得80cm钢管（3x1+2x2+x3）根，70cm钢管 （2x2+3x3+4x4）根，共有废料（60x1+10x3+20x4 ）cm 则可得： (3x1+2x2+x3):(2x2+3x3+4x4)=12:3 化简的： 3x1-6x2-11x3-16x4=0
min S=min(60x1+10x2+20x3) x1 + x2 + x3 + x4 = 500 3x1-6x2-11x3-16x4 = 0 x1，x2，x3 ,x4≥0
4x1+x2=42
解：由题设条件设生产甲、乙两种皮带分别为x1、Байду номын сангаас2根
max S=max(4x1+3x2) 2x1+x2≤1000
x1 +x2≤800 x1 ≤400
x2 ≤700 x1、x2≥0
交点：x1=200 x2=600
第一章 线性规划
• 7、某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产 品，制造A、B产品每吨所需要的各种原料 、可得利润以及工厂现有的各种原料数如 下表所示：
解：设配制此化学产品所需A、B、C三种化学 物分别为x1，x2，x3克，成本为S元，则由题意
可得本题的线性规划模型为：
min S=min(5x1+6x2+7x3) x1+x2+x3=1000 x1≤300 x2≥150 x3 ≥200 x1,x2,x3≥0
第一章 线性规划
• 2、某产品重量为150千克，用A、B两种 原料制成。每单位A原料成本为2元，每单 位B原料成本为8元。该产品至少需要含14 单位B原料，最多含20单位A原料。每单 位A、B原料分别重5千克、10千克，为使 成本最小，该产品中A、B原料应各占多少 ？
• 表中没有 填数的表示这 台机床不参加 生产这种产品。 现假设在某一 时间内，甲、 乙、丙、丁四台机床的最大工作能力分别为850、700、600、900工时， 问这一时段内，每种产品各应生产多少，才能使该厂总收入最大？
解：由题意可设产品A、B、C、D、E、F分别 生产x1，x2 ，x3，x4，x5，x6单位，总收入为S
解：设生产A、B两种产品分别为x1、x2单位
（1）在现有原料条件下，如何组织生产才能使利润最大 max S=max(7x1+5x2)
x1+2x2≤28 4x1 + x2 ≤42
x1，x2≥0
（1）在现有原料条件下，如何组织生产才能使 利润最大
图解：
x2
42
k=-7/5 14
4x1+x2=42
K1=-4
解：由题意可设该产品中A、B原料分别为x1， x2千克，总成本为S，则本题线性规划模型为：
min S=min(2x1+8x2) 5x1+10x2=150 x1≤20 x2≥14 x1,x2≥0
第一章 线性规划
• 3、设某工厂有甲、乙、丙、丁四台机床，生产A、B、C、D、E、F 六种产品。加工每一件产品所需要时间和每一件产品的单价如下表所 示：
解：由题意设生产高级、中级、低级玩具各为 x1，x2，x3台，总利润为S元，则由题意可得本
题的线性规划模型为：
• 由题意可得下表条件约束：
max S=max(30x1+5x2+x3)
17x1 + 2x2+1/2x3 ≤ 500 8x1+1/2x2+1/6x3 ≤ 100
x1 ≤ 10 x2 ≤ 30 x3 ≤ 100 x1,x2,x3≥0
第一章 线性规划
• 5、现有300cm长的钢管500根，需截成 70cm长和80cm长两种规格的成套材料。 每套由70cm的3根，80cm的12根组成。 问如何截管，可以使余料最少，套数最多 ？
解：由题设条件可得到1根300cm长的钢管有 以下几种分割方法：
设x1、x2、x3、x4分别代表四种方法分割 300cm的钢管的根数，S表示废料的总长度