数学概念学习的错误类型综述

数学概念学习的错误类型综述

孙偲文

摘要：数学概念是客观事物的本质属性在思维中的反映。学生对概念理解掌握的如何，直接影响学生的学习质量。那么，弄清数学概念学习的错误类型就显得尤为重要，经过对学生的错误剖析，大致数学概念学习的错误类型可以分为以下六个方面：（1）用日常生活的概念代替数学概念，（2）用头脑形成的形象概念代替数学概念，（3）用数学概念的表象特征代替本质特征而产生的假性理解，（4）用旧的概念学习新的概念形成的惯性错误，（5）在旧概念思维领域学习新的概念，（6）用不恰当的推广去产生新的概念等。

关键词：数学概念；错误类型；学习过程

数学概念的学习是一切数学知识学习和形成的基础，由于众多原因，学生在学习数学概念时容易出现各种错误。一些研究者如舍瓦列夫、孜科娃通过课堂观察、实验、作业等方式，记录了学生学习代数、几何概念时所犯的大量错误。斯涅普坎从学生感知特点出发，认为“非本质特征的泛化，错误的概括”是错误概念产生的主要原因，要避免这种错误，“在未区分事物的本质特征和避开非本质特征之前，是不可能对事物进行归纳的”。我国目前的数学教育学书籍中也列举了学习概念时出现的问题，如概念内涵的扩大或缩小，用非本质属性替代本质属性等。本文将系统分析几种数学概念学习的错误类型，会对学生的错误的发现和纠正产生一定的帮助。

一，数学概念学习的错误类型

1.用日常生活的概念代替数学概念

1.1分析

儿童的日常生活经验是进一步学习的基础，许多数学概念都是从日常生活概念中抽象发展而成．然而，由于日常概念的宽泛性、易变性、多义性，容易对学生学习抽象的数学概念造成错误的理解．由于学生在接触某数学概念之前，与之相联的日常概念可能早已在他们的意识中潜在地存在着，因而有些错误几乎是根深蒂固的．孜科娃认为：“术语的生活意义有时跟它们的科学意义基本上是一致的，但有时的科学意义就完全不同．这些术语意义的一致或不一致，它们对于掌握几何概念的过程就有不同的影响．”

1.2举例

（1）“垂直”概念，在日常生活中，通常是以地平面为参照．学生在学习几何概念“互相垂直”时，就会以日常的“垂直”概念代替“互相垂直”概念．

（2）用日常概念“角”来代替数学概念“角”时，学生在理解“平角”就会出现许多错误．

2.用头脑形成的形象概念来代替数学概念

2.1分析

数学概念意象中有许多意象是通过学生自己的言语符号描述的．这种描述介于实验、实例与概念定义之间，具有“形象”性．分析表明，学生在描述一个概念时，他是通过一个实例、实物、图形，运用自己的语言组织的．他实际上是将概念定义进行“异化”处理，有时尽管他能口述概念定义，但在内部表征概念时，仍用个人的语言．学生在表述概念时的语言是一种图、 符号的混合描述， 而非明确的定义． 在这个环节中，学生对于描述的语言、符号使用不准确就容易造成概念错误，包括模糊、遗漏、增补、修正、变异等错误．

2.2举例

（1）整式概念在学生的不完善表征中，可以是“几个单项式，代数和，不能有分母⋯”等描述，因而他们在判别一个式子是否为整式时，依据这些描述， 就会发生各种错误． 对

问题 “代数式A. 2

a -；B .322

b a +；C .b a 12+；D. 0 不是整式的是”的回答为（共 96 人）A ：2%，B ：25%，C ：38%，D ：35%．这个结果表明，学生对整式概念的理解是借助于“形象描述”进行的，并没有把握其本质属性．由于 B 、D 与所描述的“整式形象”有差异，因而被许多同学排除在外． 而 C 与他们心中描述的“形象”较近，因而仍有 62%的同学认为它是整式．

（2） 我们通常是利用图形的直观性， 借助对曲边梯形面积的讨论， 向学生揭示定积分概念的产生和形成， 学生似乎易于接受。但若是询问他们：当[][]d c b a ,,⊂时，是否有()()dx x f c d dx x f a b ⎰⎰≥成立？有不少人会认为以上不等式是成立的。这就是由于直观思维和感知意象支持的概念认知（面积图形），造成学生忽视()0≥x f 这一概念应用上的特殊性（前提条件）和逻辑性，从而产生的错误判断。

（3）()()()dx x f c b dx x f a c dx x f a b ⎰⎰⎰+=这一定积分性质的学习。 从表面上看， 学生似乎都能轻松地接受该性质的表述，但实际应用时，却有不少人受到习惯性思维的影响， 根据性质表述的字面含义去认定点c 是区间[]b a ,的点（即b c a <<）， 这样的附加条件自然会造成他们在理解与应用上的限制和错误。 事实上， 我们知道点c 对于区间[]b a ,的位置是任意的。

3.用数学概念的表象特征代替本质特征而产生的假性理解

3.1分析

数学概念学习中的假性理解是介于正确理解和错误理解之间的, 对概念只是简单的记

忆和表面的理解, 虽能复述, 但却没有达到抓住概念的本质特征, 也未深刻理解更没有形成应用的能力的水平状态. 这种假性理解的状态是一种非稳定的状态, 既可能升华为真正的理解, 也可能退化形成错误的概念, 所以对其加以认真仔细的研究, 对合理调控教学进程, 恰当评估学生水平是大有帮助的.

数学概念应当是由概念意象和概念定义构成的完整的整体．概念定义是概念本质属性的形式化的精确揭示，因而是运用与表征的最佳形式．然而，理论与实践已从多方面揭示，学生的概念意象与概念定义在大多数情况下是相分离的，在运用与表征数学概念时，更多地 依赖于概念意象，而将概念定义“束之高阁” ，有时甚至认为概念定义是与这个概念无关的一种东西．也就是说：在学生内部表示中，大多数的概念的形式化定义与概念本质是相脱离的．这种脱离导致了许多错误的产生，尤其是那些以检测概念定义为主要目标的问题，错误产生就更为明显。

对实例的各种特征进行概括，抽象出本质属性，是数学概念定义最为关键的一步．然而在各种特征纷呈杂至的实例（即使是正例）面前，学生能准确地概括相关特征，并抽象出本质属性是非常困难的．这里一方面是，会将新的无关特征当作本质属性；另一方面是，脱离具体背景，只保留其抽象本质属性而形成概念的定义，思维的升华，学生是难以接受的，有时甚至是排斥的．在进行概括时，学生出现的错误包括以下几个方面．一是，发生扩展，即将非本质特征作为本质特征进行概括．二是，发生遗漏，即所概括的只是概念的部分本质特征．三是，发生异化，即对本质特征加以修正、改变，使概念发生歪曲．

3.2举例

（1）直角三角形的概念，将“位置在下的角为直角”的属性加入．这样就会导致概念受到限制．

（2）认为有中心的封闭曲线即为圆，形如 02=++c bx ax 的方程是一元二次方程．这样会使概念范围扩大．

（3）认为菱形是对角线相等的平行四边形．

（4）例如函数的奇偶性概念, 隐含了定义域关于0=x 对称这一条件, 而学生在学习时,其注意力往往只在判别()x f 与()x f -的关系上，从而造成假性理解.

（5）如对于函数()()1

11-+-=x x x x f 学生只注意到()x f 与()x f -成立， 而没有注意到其定义域是11<≤-x , 并不具备作为奇函数或偶函数的必要条件, 从而产生判断失误.

4.用旧的概念学习新的概念形成的惯性错误

4.1分析

数学概念学习具有阶段性、层次性，学生学习概念时从一个阶段向另一阶段，从一个层次向另一个层次转化时，其认知阶段与层次并非与之同步转变，会出现认知滞后或超前现象．这样就形成数学概念学习中的认知差异．这种认知与概念发展的差异容易造成数学概念学习的错误。

由于原有的思维定势， 已形成的概念表象、 网络等的作用，当概念学习从一个阶段转