分段函数求导问题的多种解法

第一节 物质的量
……
一 阿伏伽德罗常数：
０．０１２ ㎏１２Ｃ 含有的碳原子数在数值上
等于阿伏伽德罗常数，用符号“Ｎ Ａ ”表 示，Ｎ ≈ ６ ． ０ ２ × １ ０ ２３ 摩 －１。
Ａ
二 摩尔：
摩尔是表示物质的量的单位，阿伏
伽德罗常数个粒子的集体就是 １ ｍ ｏ ｌ 。摩
尔简称摩，符号为 ｍ ｏ ｌ 。１ ｍ ｏ ｌ 任何粒子
集体中均约含有 ６．０２ × １０２３ 个粒子。
１ｍｏｌ Ｈ 中约含有 ６．０２ × １０２３ 个 Ｈ；
１ｍｏｌ Ｈ＋ 中约含有 ６．０２ × １０２３ 个 Ｈ＋；
１ｍｏｌ Ｈ 中约含有 ６．０２ × １０２３ 个 Ｈ ；
２
２
１ｍｏｌ Ｈ Ｏ 中约含有 ６．０２ × １０ ２３ 个 ２
Ｈ Ｏ。 ２
三 物质的量
体；２ｍｏｌ 水中含有 １２．０４ × １０２３ 个水分
子，１２．０４ × １０２３ 个水分子也组成了水分
子的一个较大的集体，２ ｍ ｏ ｌ 水分子就表
示含有 １ ２ ． ０ ４ × １ ０ ２３ 个水分子的集体；
３ｍｏｌ 水中含有 １８．０６ × １０２３ 个水分子，１８．
０６ × １０２３ 个水分子组成了水分子的一个更
内连续，在
内
０
可导，且极限
存在，则 在点 ｘ ０
可导，且
＝
。
证明：任取
，在
上
满足 Ｌａｇｒａｎｇｅ 中值定理的条件，则存在
存在，则称此极限
由
于
，对
－２８９－
基础及前沿研究 中国科技信息 ２００６ 年第 １６ 期 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ａｕｇ．２００６
摘 要 求分段函数在分段点处的导数，不能直接利 用求导公式或求导法则；但是可以借助其它 数学工具，如导数极限定理、泰勒公式等等， 将问题转化，进而得到求解该问题的多种方 法。 关键词 分段函数；导数；导数极限定理；泰勒公 式；解法 Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｔ’ｓ ｖｅｒｙ ｃｈａｌｌｅｎｇｉｎｇ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｏｆ ｐｉｅｃｅ－ｗｉｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｔ ｔｈｅ ｅｄｇｅ ｐｏｉｎｔｓ，ｂｕｔ ｗｅ ｃａｎ ｓｉｍｐｌｉｆｙ ａｎｄ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｌｉｍｉｔ ｔｈｅｏｒｅｍ，Ｔａｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｏｔｈｅｒ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｐｉｅｃｅ－ｗｉｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ；ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｌｉｍｉｔ ｔｈｅｏｒｅｍ；Ｔａｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ；ａｐｐｒｏａｃｈ
上式两边取极限，便得 同理可证
例 ３ 求分段函数 的导数．
解：首先易得 ，
下面利用导数极限定理，求 ： ∵
因此 在 ｘ ０ 处连续，又因
所以
＝ １ ，依据导数极限定
理得 在 ｘ ＝ ０ 处可导，且
＝１。
４．方法四 利用泰勒公式
［命题 ３］若函数 在点 ｘ０ 存在直至 阶 导数，则有
上述公式称为带有 Ｐ ｅ ａ ｎ ｏ 型余项的 Ｔ ａ ｙ ｌ ｏ ｒ 公式，命题的证明可以借助 Ｌ１Ｈｏｓｐｉｔａｌ 法则，具体证明方法参考文献 ［１］。
１．方法一 利用定义求导
［定义］设函数 在点ｘ０的某邻域内有定
义，如果极限
或
２ ．方法二 分别求左、右导数
［命题１］若函数 在点ｘ 的某邻域内有 ０
定义，则 存在的充要条件是
与
都存在，且
＝
，其
中，
所以 ＝ １ 。
３．方法三 利用导数极限定理
［命题 ２］（导数极限定理）设函数 在
点 ｘ 的某邻域
表ຫໍສະໝຸດ Baidu含有一定数目粒子的集体，通
常用符号“ｎ ”表示，单位是摩尔。
［讲解］
……
国际千克原器的质量是 １Ｋｇ ，千克是
表示质量的单位；１ ｍ ｏ ｌ 物质含有阿伏伽
德罗常数个微粒，摩尔是表示物质的量
的单位。１ Ｋ ｇ Ｈ ２Ｏ 、２ Ｋ ｇ Ｈ ２Ｏ 、３ Ｋ ｇ Ｈ ２ Ｏ 都表示质量的大小，同样地，１ ｍ ｏ ｌ
Ｈ Ｏ 、２ ｍ ｏ ｌ Ｈ Ｏ 、３ ｍ ｏ ｌ Ｈ Ｏ 都表示物
２
２
２
质的量的多少。那么，物质的量究竟是
什么？通过计算，我们知道 １ ｍ ｏ ｌ 水中含
有 ６．０２ × １０２３ 个水分子，６．０２ × １０２３ 个水
分子组成了水分子的一个集体，１ ｍ ｏ ｌ 水
分子就表示含有 ６．０２ × １０２３ 个水分子的集
值为 在点 ｘ 处的导数，记为 ０
；否
则称 在点 ｘ ０ 处不可导。
一般地，当分段函数为
求
。
形式时，常用定义
例 １ 求
在
点的导数。
解
：
由
定
义
＝
得
分别为 在点 ｘ 的左、右导数。 ０
利用左、右极限与极限之间的关系容
易证明上述结论成立，具体证明方法参考
文献［ ３ ］ 。
例 ２ 设
，
求。 解：因为
众所周知，求分段函数在分段点处 的导数，方法有别于其它函数，一般不能 直接利用求导公式或求导法则，但如果我 们应用与导数相关的一些命题和公式，就 可以将此问题转化或者变形，然后求解， 下面我们给出求解这类导数的四种方法。
大的集体，３ｍｏｌ 水分子就表示含有 １８．０６
× １ ０ ２３ 个水分子的集体。物质的量越多，
粒子集体中含有的粒子数目也就越多。
物质的量实际上表示含有一定数目粒子的
集体。
作者简介 贾莉萍（ １ ９ ７ ９ —） ，女，助教，主要从事 化学教学工作。
－２９０－
例 ４ 设
解：已知
参考文献 ［１］华东师范大学数学系．数学分析（上 册）．高等教育出版社．２００３ ［２］工科数学．第九卷专辑（上）．１９９３ ［３］朱弘毅．高等数学（上册）．上海科学技 术出版社．２００２ ［４］马知恩等．工科数学分析基础．高等教育 出版社．１９９９
上接第 ２８８ 页
［板书］
第三章 物质的量
分段函数 求导问题的多种解法
程黄金 陈伟 淮南联合大学 ２３２００１
Ｔｈｅ Ｓｅｖｅｒａｌ Ｓｏｌｖｅｎｔ ｉｎ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｏｆ Ｐｉｅｃｅ－ｗｉｓｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｃｈｅｎｇ Ｈｕａｎ－ｊｉｎ Ｃｈｅｎ Ｗｅｉ
Ｈｕａｉｎａｎ Ｕｎｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ａｎｈｕｉ Ｈｕａｉｎａｎ ２３２００１