分类讨论型试题含答案-

多解型试题

分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.

例1（2005年黑龙江） 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．

分析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决.

解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE ＝25（m ）

由DE ∥FC 得，FC

ED

AC AE =

，得FC ＝24（m ） S △ABC =12 ×40×24=480（m 2） (2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S △ABC =1

2×64×24=768（m 2）

说明：本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。

练习一 1、（2005年资阳市）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）

A. 2a b +

B. 2a b -

C. 2a b +或2

a b - D. a+b 或a-b

2．（2005年杭州）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有( )

(A) 1条 (B) 2条 (C) 4条 (D) 8条

3（2005年潍坊市）已知圆A 和圆B 相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的 半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）．

A ．5cm

B ．11cm

C ．3cm

D ．5cm 或11cm

图1

图2

A

4.（2005年北京） 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD BD DC 2

·，则∠BCA 的度数为____________。 5、（2005年金华）直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，抛物线y ＝x 2－x －6与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C.如果点M 在y 轴右侧的抛物线上， S △AMO ＝2

3S △COB ，那么点

M 的坐标是 .

例题2（2005年金华）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝8，点E 是AB

边上的一点，AE ＝2 2. 过D ，E 两点作直线PQ ，与BC 边所在的直线MN 相交于点F. （1）求tan ∠ADE 的值； （2）点G 是线段AD 上的一个动

点，GH ⊥DE ，垂足为H. 设DG 为x ，四边形AEHG 的面积为y ，试写出y 与x 之间的函数关系式；

（3）如果AE ＝2EB ，点O 是直线MN 上的一个动点，以O 为圆心作圆，使⊙O 与直线 PQ 相切，同时又与矩形ABCD 的某一边相切. 问满足条件的⊙O 有几个？并求出其中一个圆的半径.

分析：分类讨论的思考方法广泛存在于初中数学的各知识点当中，数学中的许多问题由于题设交代笼统，要进行分类讨论；由于题情复杂，包含的内容太多，也要进行讨论。

解：（1）∵ 矩形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝8，AE ＝22， ∴ tan ∠ADE ＝AE AD ＝228＝24.

（2）∵ DE ＝AD 2＋AE 2＝82＋(22)2＝62， ∴ sin ∠ADE ＝AE ED ＝2262＝13，cos ∠ADE ＝AD ED ＝862＝22

3.

在Rt △DGH 中，∵ GD ＝x ， ∴ DH ＝DG ·cos ∠ADE ＝22

3

x ，

∴ S △DGH ＝12DG ·DH ·sin ∠ADE ＝12·x ·223x ·13＝29

x 2

.

∵ S △AED ＝12AD ·AE ＝1

2×8×22＝82，

∴ y ＝S △AED －S △DGH ＝82－

29

x 2

， 即y 与x 之间的函数关系式是y ＝－

29

x 2

＋8 2. （3）满足条件的⊙O 有4个.

以⊙O 在AB 的左侧与AB 相切为例，求⊙O 半径如下： ∵ AD ∥FN ，

∴ △AED ∽△BEF. ∴ ∠PFN ＝∠ADE.

∴ sin ∠PFN ＝sin ∠ADE ＝1

3.

∵ AE ＝2BE ，

∴ △AED 与△BEF 的相似比为2∶1， ∴ AD FB ＝1

2

，FB ＝4. 过点O 作OI ⊥FP ，垂足为I ，设⊙O 的半径为r ，那么FO ＝4－r. ∵ sin ∠PFN ＝OI FO ＝r 4－r ＝1

3

，

∴ r ＝1.

（满足条件的⊙O 还有：⊙O 在AB 的右侧与AB 相切，这时r ＝2；⊙O 在CD 的左侧与CD 相切，这时r ＝3；⊙O 在CD 的右侧与CD 相切，这时r ＝6）

说明：本题考查了三角函数、相似三角形的判定及性质，以及二次函数的有关知识，是一道涉及面较广，体现分类思想较明显的综合性题目。

练习二 1、（2005年河南）如图1，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,12=AC ,5=BC ,点M 在边AB 上，且6=AM .

(1)动点D 在边AC 上运动，且与点A ，C 均不重合，设x CD =

①设ABC ∆与ADM ∆的面积之比为y ，求y 与x 之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

②当x 取何值时， ADM ∆是等腰三角形？写出你的理由。

（2）如图2，以图1中的为一组邻边的矩形中，动点在矩形边上运动一周，能使是以为顶角的等腰三角形共有多少个（直接写结果，不要求说明理由）？

2．（2005年河南课改）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝2，DC ＝22，点P 在边BC 上运动(与B 、C 不重合)，设PC ＝x ，四边形ABPD 的面积为y 。 ⑴求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

⑵若以D 为圆心、1

2

为半径作⊙D ，以P 为圆心、以PC 的长为半径作⊙P ，当x 为何值

时，⊙D 与⊙P 相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD 的面积。

A B C D P