几种构造辅助函数的方法及应用

几种构造辅助函数的方法及应用

许生虎

（西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070）

摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求

辅助函数的几种方法及在解题中的作用。

应用。

2. 构造辅助函数的七中方法

2.1“逆向思维法”

例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()⎰=2

1

21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，

使()()

θθθf f -='.

证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数.

将()()

θθθf f '变为()()0='⋅+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '⋅+='=,可考虑

辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F

(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式;

(3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;

(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.

例2: ()[]()

(),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设 分析: ()()ξξξf a

b f '⋅-= 可令 ()()()x f x b x F a -=

证明: 作辅助函数 ()()()x f x b x F a

-=

例3：设函数()()x g x f ,在[]上连续，b a ,且()(),1==a g b g 在()b a ,内()()x g x f ,可导,且()()()0,0≠'≠'+x f x g x g .试证明: ()∍∈∃,,,b a ηξ ()()()()[]η

ξξξηξe g g e f f '+='' 分析:欲证等式

将ηξ和均看作变量,则上式写成

辅助函数可取：x x e x x g e x ==)()()(ψϕ

证明：),()(x g e x x ⋅=ϕ令则由题设可知],[)(),(b a x g x f 在上满足柯西中值定理，于是，使得),,(b a ∈∃ξ

因为1)()(==b g a g

由图1知：)()()

,0[1x x f x ϕ≥+∞∈∀有 即：

111()()()()f x f x f x x x '≥+- (1)

即：切线总在曲线的下方（几何意义）. 由图2知：..

122121k k l l k k >则的斜率和分别表示和由

即： 证明：方法一：有分析及（1）知

取10,x x x ==时()()()()00f f x f x x '≥+-

即：

方法二：由（2）知，令00=x ，则(2)式变为

再次引进辅助函数，

则)(x F 递增， .0)(≥'⇒x F

即：

2.5微分方程法

所谓“微分方程法”是指遇到诸如“求证存在),(b a ∈ξ，使得)]([)(ξξϕξf f ，='”之类的问题时，可先解微分方程),(y x y ϕ='，得其通解：c y x G =),(，则可构造辅助函数

).,()(y x G x F =

例5 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且,0)(≠x f ),,(b a x ∈,0)()(==b f a f 若 证明：对k x f x f b a R k ='∈∃∈∀)()(),,(,使

ξ. 分析：将结论中的ξ换成x ，得可分离变量的微分方程：

此法适用于从结论中可分离出常数部分的命题，构造出辅助函数)(x F 的具体步骤如下：

（1） 从结论中分离出常数部分，将它令为k ；

（2） 做恒等变化，是等式（或不等式）一端为a 及f(a)构成的代数式，另一端为b

和f(b)构成的代数式；

（3） 分析端点a,b 的表达式是否为对称式或轮换式。若是将端点改为x ，相应的函

数值f(a)(或f(b))改为f(x)，则关于x,f(x)的表达式即为索求的辅助函数

F(x).

例6： 内可导，上连续，在在设),(],[)(,0b a b a x f a b >>

即 2)()()()()(ξ

ξξξf f a b ab a bf b af -'⋅=--. 亦即

)]()()[()]()([2ξξξξf f a b ab a bf b af -'-=- 2.7 弧弦差法

利用弧弦差来构造辅助函数，称为弧弦差构造函数法。微分中值定理的相关证明就采

用种方法]2[，现以拉格朗日中值定理为例：(原定理叙述略)

题 7：内可导，上连续，在在),(],[)(b a b a x f 有向线段x NM 是的函数，设直线AB 的方程为).(x L y =

则 )()()()()(a x a

b a f b f a f x L ---+= 由于点N M ,的纵坐标分别为).(),(x L x f

6）29

Xu Shenghu

(Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070 )

Abstract: On the basis of studying and analyzing mathematical, some methods about

construction of auxiliary are proposed. By the property of the function ’s graph and mean-value theorem of integrals, combined with the example, some