8连续周期信号的频域分析_第三节周期信号的频谱及其特点、第四节离散傅里叶级数
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信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
连续周期信号的频谱
2
2
x(t)
3 0
t
-3
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
C1
1 2
ej4 ,
C1
1 2
e j4 ,
C3 ej2 ,
Cn 0, n 1；n 3.
C3 e j2
连续周期信号的频谱
x(t)
3 0
t
-3
x(t) cos(0t 4) 2cos(30t 2)
C1
1 2
ej4 ,
C1
1 2
e j4 ,
C3 ej2 ,
C3 e j2
Cn 0, n 1；n 3.
| Cn |
幅度谱
1
1
1
1
2
2
30
0 0 0
30
n
4 相位谱
2
30
0
0 0
302Leabharlann 4连续周期信号的频谱
~x(t) A
Cn
A
T0
Sa( n0 )
2
Cn AT0
T0
O
T0
t
2
2
周期矩形信号的时域波形
2π
2π
0
0 2π T0
周期矩形信号的频谱
~x(t)
解：周期矩形信号在一个周期内的定义为：
A
A,
x(t)
0 ,
|t|
2
|t|>
2
1
Cn T0
T0 2
x(t)e jn0tdt
T0
2
1 T0
T0
2 A e jn0tdt
T0 2
T0
O
T0
t
2
2
第四章_周期信号频域分析
C n 1 T0
T0 t0
t0
* f (t )e j n 0 t dt C n
1 T0
T0 t0
t0
f (t )e -j n 0 t dt
* Cn C n .
注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是共轭偶对 称”。 1 利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。 -j n 0 t j n 0 t j n 0 t f (t ) C0 Cn e Cn e C0 (Cn e Cn e j n 0 t ) (4.10)
f (t ) bn sin(n0t )
n 1
图4-5 奇对称信号
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2) ，则称为半波 重叠信号。例如，图4-6。
Cn 1 T0 1 T0
T0 / 2
T0 / 2 T0 / 2
f (t )e jn0t dt
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
[ f (t ) cos(n0t ) jf (t ) sin(n0t )]dt
T0 / 2
f (t ) cos(n0t )dt.
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
周期信号f(t)的Fourier 级数和系数计算公式为：
f (t )
n
C e
n
j n 0 t
,
(4.5)
T0 t0
t0
* f (t )e j n 0 t dt C n
1 T0
T0 t0
t0
f (t )e -j n 0 t dt
* Cn C n .
注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是共轭偶对 称”。 1 利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。 -j n 0 t j n 0 t j n 0 t f (t ) C0 Cn e Cn e C0 (Cn e Cn e j n 0 t ) (4.10)
f (t ) bn sin(n0t )
n 1
图4-5 奇对称信号
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2) ，则称为半波 重叠信号。例如，图4-6。
Cn 1 T0 1 T0
T0 / 2
T0 / 2 T0 / 2
f (t )e jn0t dt
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
[ f (t ) cos(n0t ) jf (t ) sin(n0t )]dt
T0 / 2
f (t ) cos(n0t )dt.
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
周期信号f(t)的Fourier 级数和系数计算公式为：
f (t )
n
C e
n
j n 0 t
,
(4.5)
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
第四章周期信号傅里叶级数
2
f(t)1.5 S(anπ)conπ st()
n1 2
2
t
f (t) = f1(t) f2(t)
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f 2 (t )
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
f2(t)0.5n 1S(an2π)con2 π st()
t
说明：某些信号波形经上下或左右平移 后，才呈现出某种对称特性，也有某些 信号波形可以由我们熟悉的基本信号的 波形进行简单的计算得到。因此，我们 可以利用傅里叶性质简化傅里叶级数的 计算。教材P147例3.6、例3.7
n 1
C 0
C nejn0t C nejn0t
C nejn0t和 C nejn0t共 轭
n1
C02 ReC(nejn0t )
n1
令
Cn
an
jbn 2
由于C0是实的，所以b0=0，故
C0
a0 2
由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
f(t)a 2 0n 1anco n0 stn 1b nsinn0t
1(t e j n 0 t 00 e j n 0 td tt e j n 0 t 1 1 e j n 0 td )t
2 jn 0
1 1
00
(n1)2 (cons1)
0
2
T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
n ()
Cn
1
n1
n1
1
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
f(t)1.5 S(anπ)conπ st()
n1 2
2
t
f (t) = f1(t) f2(t)
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f 2 (t )
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
f2(t)0.5n 1S(an2π)con2 π st()
t
说明：某些信号波形经上下或左右平移 后，才呈现出某种对称特性，也有某些 信号波形可以由我们熟悉的基本信号的 波形进行简单的计算得到。因此，我们 可以利用傅里叶性质简化傅里叶级数的 计算。教材P147例3.6、例3.7
n 1
C 0
C nejn0t C nejn0t
C nejn0t和 C nejn0t共 轭
n1
C02 ReC(nejn0t )
n1
令
Cn
an
jbn 2
由于C0是实的，所以b0=0，故
C0
a0 2
由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
f(t)a 2 0n 1anco n0 stn 1b nsinn0t
1(t e j n 0 t 00 e j n 0 td tt e j n 0 t 1 1 e j n 0 td )t
2 jn 0
1 1
00
(n1)2 (cons1)
0
2
T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
n ()
Cn
1
n1
n1
1
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
周期信号傅里叶级数
07
分析公式 （正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式 （反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有 利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为 令 由于C0是实的，所以b0=0，故 由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数 连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
单击此处添加小标题
由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
单击此处添加小标题
01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式 功率谱
信号的平均功率为 包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。
分析公式 （正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式 （反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有 利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为 令 由于C0是实的，所以b0=0，故 由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数 连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
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由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
单击此处添加小标题
01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式 功率谱
信号的平均功率为 包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。
连续周期信号的傅里叶级数与频谱
连续周期信号的傅里叶级数与频谱
1.3
周期信号的功率、有效值和信号带宽
连续周期信号的傅里叶级数与频谱
1.3
周期信号的功率、有效值和信号带宽
信号与系统
信号与系统
1.1
傅里叶级数连续ຫໍສະໝຸດ 期信号的傅里叶级数与频谱连续周期信号的傅里叶级数与频谱
1.2
周期信号的频谱
1.信号频谱概念 联系信号频谱，从广义上说信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称 为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。
2.周期信号的频谱 这里所说周期信号的频谱，是专指周期信号各次谐波的幅值、相位随频率 的变化关系。
4.3 连续周期信号的频谱-
C1
1 2
e j4 ,
C1
1 2
e j4,
C3 e j2,
C3 e j2
Cn 0, n 1；n 3.
| Cn |
幅度谱
1
1
1
1
2
2
30 0 0 0
30
n
4 相位谱
2
30 0 0 0
30
2
4
连续周期信号的频谱
~x (t) A
Cn
Cn
A T0
...
...
1 1
t
40
40
2π
2π
0
A=1，T0=1/4， = 1/20， 0= 2/T0 = 8
0 2π T0
Cn 0.2Sa (n0 / 40) 0.2Sa (nπ / 5)
第一个零点出现在
2
40
8
2
2
3 x(t)
0
t
-3
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
C1
1 2
e j4 ,
C1
1 2
e j4,
C3 e j2,
Cn 0, n 1；n 3.
C3 e j2
连续周期信号的频谱
3 x(t)
0
t
-3
x(t) cos(0t 4) 2cos(30t 2)
1/ 2,
n0
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
~x (t)
Cn
4.3 连续周期信号的频谱-
衰减特性： 幅度频谱|Cn|随谐波n0增大时逐渐衰减，
并最终趋于零
Cn
A T0
2π
2π
0
0 2π T0
连续周期信号的频谱特性
有效带宽
~x (t) A
T0
O
T0
t
2
2
Cn
A T0
2π
2π
0
0 2π T0
通常将包含主要谐波分量的频率范围(0 ~ 2π/ )
Cn 0, n 1；n 3.
C3 e j2
连续周期信号的频谱
3 x(t)
0
t
-3
x(t) cos(0t 4) 2cos(30t 2)
C1
1 2
e j4 ,
C1
1 2
e j4,
C3 e j2,
C3 e j2
Cn 0, n 1；n 3.
~x (t) A
T0
O
T0
t
2
2
Cn
A
T0
Sa( n0 )
2
Cn
A T0
2π
2π
0
0 2π T0
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱特性
离散特性：周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成
Cn
A T0
2π
2π
0
0 2π T0
连续周期信号的频谱特性
连续周期信号的频谱
~x(t)
Cn e jn0t
周期信号傅里叶级数和频谱
变换表示式改写成三角函数的形式，即
第55页/共84页
f (t ) 1 F ( j )e jt d
2
1 F ( j ) e j[t ( )]d
2
1
2
F(
j )
cos[t
( )]d
j
1
2
频域分析将时间变量t转换成频率变量ω或f。 揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性 及其频率特性之间的密切关系 从而导出信号的频谱、带宽以及滤波、调制等 重要概念。
第6页/共84页
**结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。
f (t)
A0 2
A1 cos(t
1)
本章主要内容:
3.1 连续周期信号的傅里叶级数与频谱 3.2 连续非周期信号傅里叶变换与频谱 3.3 傅里叶变换的性质 3.4 LTI连续系统的频域分析 3.5 滤波器 3.6 采样器 3.7 调制器与解调器
第1页/共84页
从本章开始由时域转为变换域分析。 首先考虑傅里叶变换。
T T n
0
2
2
T
an 0
n 0,1 , 2 , 3,.......
第15页/共84页
bn
2 T
T
2 T
f (t)sinnt dt
2
2 T
2
0 T
2
(1)sinnt dt
1
0
cosnt
2 T
T
2 sinnt dt
0
T
2 1 cosnt 2
T n
T T n
第55页/共84页
f (t ) 1 F ( j )e jt d
2
1 F ( j ) e j[t ( )]d
2
1
2
F(
j )
cos[t
( )]d
j
1
2
频域分析将时间变量t转换成频率变量ω或f。 揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性 及其频率特性之间的密切关系 从而导出信号的频谱、带宽以及滤波、调制等 重要概念。
第6页/共84页
**结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。
f (t)
A0 2
A1 cos(t
1)
本章主要内容:
3.1 连续周期信号的傅里叶级数与频谱 3.2 连续非周期信号傅里叶变换与频谱 3.3 傅里叶变换的性质 3.4 LTI连续系统的频域分析 3.5 滤波器 3.6 采样器 3.7 调制器与解调器
第1页/共84页
从本章开始由时域转为变换域分析。 首先考虑傅里叶变换。
T T n
0
2
2
T
an 0
n 0,1 , 2 , 3,.......
第15页/共84页
bn
2 T
T
2 T
f (t)sinnt dt
2
2 T
2
0 T
2
(1)sinnt dt
1
0
cosnt
2 T
T
2 sinnt dt
0
T
2 1 cosnt 2
T n
T T n
3.2.1 周期信号的频谱周期信号的频谱分析——傅里叶级数
4
狄利克雷（Dirichlet）条件 条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个；
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
5
狄利克雷（Dirichlet）条件1:例1 不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期 为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一 个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8， 但不连续点的数目是无穷多个。
0
1
1
0
1
2 1
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
0.15 2 1
1
0.25
2 1 1
0
1
1
0
0.15
2 1
0.25
21
四．总结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
满足离散性，谐波性不满足收敛性，频带无限宽
26
一．频谱结构
f (t ) E
/ 2
脉宽为 脉冲高度为E 周期为T1
T1
/2
T1
t
1. 指数函数形式的谱系数
2. 频谱特点
27
1．指数形式的谱系数
1 F ( n 1 ) T1
1 = T1
jn 1 t
T1
T1
2 2
f ( t )e jn1t d t
bn n tg a n
1
关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
周期信号的频谱分析——傅里叶级数教学讲义
T | f (t)| dt
X
例1
第 7
页
不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为2， 它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯 的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过2，但不连 续点的数目是无穷多个。
f (t)
2
0
2
X
例2
第 8
页
不满足条件2的一个函数是
ftsin2t,0t1
指数形式的傅里叶级数的系数
F(0) 1
F1121j1.12ej0.15
F21
1ej 2
4
F1121j1.12ej0.15
F21
1ej4 2
X
谱线
第 21
页
F0 F(0) 1
F1F(1) 1.12 F1F(1)1.12 F2 F(21) 0.5 F2F(21)0.5 指数形式的频谱图
0 0
1 0.15 1 0.15 2 0.25 2 0.25
指 数 函 数 形 式 ： F n~ ， n~ 双边频谱
关系 F (n 1 ) 1 2 c nn 0
F 0 c 0 a 0
● 指 数 形 式 的 幅 度 谱 为 偶 函 数
F(n1)F(n1)
● 相 位 频 谱 为 奇 函 数
(n1)(n1)
X
第
(3)三个性质
26
页
收 敛 性 ：n,Fn1 谐 波 性 ： （ 离 散 性 ） ， 频 率 只 出 现 在 n1处 唯 一 性 ：f(t)的 谱 线 唯 一 (f(t)与 F(n)一 一 对 应 )
表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量
有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的. Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
X
例1
第 7
页
不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为2， 它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯 的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过2，但不连 续点的数目是无穷多个。
f (t)
2
0
2
X
例2
第 8
页
不满足条件2的一个函数是
ftsin2t,0t1
指数形式的傅里叶级数的系数
F(0) 1
F1121j1.12ej0.15
F21
1ej 2
4
F1121j1.12ej0.15
F21
1ej4 2
X
谱线
第 21
页
F0 F(0) 1
F1F(1) 1.12 F1F(1)1.12 F2 F(21) 0.5 F2F(21)0.5 指数形式的频谱图
0 0
1 0.15 1 0.15 2 0.25 2 0.25
指 数 函 数 形 式 ： F n~ ， n~ 双边频谱
关系 F (n 1 ) 1 2 c nn 0
F 0 c 0 a 0
● 指 数 形 式 的 幅 度 谱 为 偶 函 数
F(n1)F(n1)
● 相 位 频 谱 为 奇 函 数
(n1)(n1)
X
第
(3)三个性质
26
页
收 敛 性 ：n,Fn1 谐 波 性 ： （ 离 散 性 ） ， 频 率 只 出 现 在 n1处 唯 一 性 ：f(t)的 谱 线 唯 一 (f(t)与 F(n)一 一 对 应 )
表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量
有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的. Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
信号与系统连续周期信号的频域分析
纯余弦形式傅里叶级数
a0 f (t ) An cos （n 0 t n） 2 n 1
其中
An
a b
2 n
2 n
bn n arctg a n
a0/2称为信号的直流分量， An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
则有
微分特性
f (t ) C n
f ' (t ) jn0 Cn
二、傅里叶级数的基本性质
对称特性
(1) 若 f(t) 为实信号
则 | C n || C n |
Cn C n n
n
二、傅里叶级数的基本性质
例4－1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t) 的傅里叶级数展开式。
f (t )
A
-T
0
T
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅里叶级数展开式。
n0 1 T 1 A jn0t jn0t C n 2T f (t )e dt 2 Ae dt Sa( ) T 2 T 2 T 2
2 其中：a0 T
T /2
T / 2
f (t )dt
2 an T 2 bn T
T /2
T / 2 T /2
f (t ) cos(n0 t )dt f (t ) sin(n0 t )dt
(n = 1,2) (n = 1,2)
T / 2
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
一、周期信号的傅里叶级数展开
2. 指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为
a0 f (t ) An cos （n 0 t n） 2 n 1
其中
An
a b
2 n
2 n
bn n arctg a n
a0/2称为信号的直流分量， An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
则有
微分特性
f (t ) C n
f ' (t ) jn0 Cn
二、傅里叶级数的基本性质
对称特性
(1) 若 f(t) 为实信号
则 | C n || C n |
Cn C n n
n
二、傅里叶级数的基本性质
例4－1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t) 的傅里叶级数展开式。
f (t )
A
-T
0
T
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅里叶级数展开式。
n0 1 T 1 A jn0t jn0t C n 2T f (t )e dt 2 Ae dt Sa( ) T 2 T 2 T 2
2 其中：a0 T
T /2
T / 2
f (t )dt
2 an T 2 bn T
T /2
T / 2 T /2
f (t ) cos(n0 t )dt f (t ) sin(n0 t )dt
(n = 1,2) (n = 1,2)
T / 2
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
一、周期信号的傅里叶级数展开
2. 指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为
信号与系统教学课件 第三章 周期信号的傅立叶级数表示
a
a 1
0
a1
gggg a
a
3
2
a 2 a 3 gggg
2019/10/22
0 0
这样绘出的图 称为频谱图
15
频谱图其实就是将 随a k 频率的分布表示出来，
即 ak ~的关系。由于信号的频谱完全代表了信号，
研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表
示信号的方法称为频域表示法。
三.傅里叶级数的其它形式
若 x 是( t )实信号,则有 x(t)x(t)，于是
x ( t) k a k e jk 0 t * k a k e jk 0 t k a k e jk 0 t k a k e jk 0 t
考查LTI系统对复指数信号 e s t 和 z n 的响应
e st
h (t)
y (t) z n
h (n )
y (n )
由时域分析方法有，
y ( t) e s ( t ) h () d e s t h () e s d H ( s ) e s t
y (n ) z(n k )h (k ) zn h (k )z k H (z)zn
2019/10/22
k
k
7
可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得的。
这说明 和 e 符s t 合对z n单元信号的第一项要求。
特征函数 (Eigenfunction)
9
利用系统的齐次性与叠加性
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
信号的频域分析
物理含义： 周期信号f (t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
4 周期信号的频域分析 p 7
2. 三角形式的傅里叶级数
若 f (t)为实函数，则指数形式的系数必为(课本中已证明)：
f (t)
Cn
e jn0t
Cn
C
n
n=
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示为：
f (t) C0
1
Cn e jn0t
4 周期信号的频域分析 p 3
4 周期信号的频域分析 p 4
Fourier， 法国数学家、 物理学家。1768年3月21日生 于欧塞尔， 1830年5月16日 卒于巴黎。9岁父母双亡，被 当地教堂收养 。1798年随拿 破仑远征埃及时任军中文书 和埃及研究院秘书，1801年 回国后任伊泽尔 省地方长官。 1817年当选为科学院院士， 1822年任该院终身秘书，后 又任法兰西学院终身秘书和 理工科大学校务委 员会主席。
类似于此，在满足一定条件下，一般的信号也可以用一 个正交函数集中的函数来表示。傅里叶级数展开的思想类似 于此。
c2V2
c3V3
V
V3
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
o V1
V2
c2V2
c1V1
4 周期信号的频域分析 p 2
•理论已证明：
•三角函数集，{1, cos(n0t), sin(n0t)} n=0,1,2,…是一个完备
2 bn T0
t0 T0
t0
f (t) sin
n0t
dt
4 周期信号的频域分析 p 9
一、周期信号的傅里叶级数展开
3.*纯余弦形式的傅里叶级数：
其中
4 周期信号的频域分析 p 7
2. 三角形式的傅里叶级数
若 f (t)为实函数，则指数形式的系数必为(课本中已证明)：
f (t)
Cn
e jn0t
Cn
C
n
n=
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示为：
f (t) C0
1
Cn e jn0t
4 周期信号的频域分析 p 3
4 周期信号的频域分析 p 4
Fourier， 法国数学家、 物理学家。1768年3月21日生 于欧塞尔， 1830年5月16日 卒于巴黎。9岁父母双亡，被 当地教堂收养 。1798年随拿 破仑远征埃及时任军中文书 和埃及研究院秘书，1801年 回国后任伊泽尔 省地方长官。 1817年当选为科学院院士， 1822年任该院终身秘书，后 又任法兰西学院终身秘书和 理工科大学校务委 员会主席。
类似于此，在满足一定条件下，一般的信号也可以用一 个正交函数集中的函数来表示。傅里叶级数展开的思想类似 于此。
c2V2
c3V3
V
V3
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
o V1
V2
c2V2
c1V1
4 周期信号的频域分析 p 2
•理论已证明：
•三角函数集，{1, cos(n0t), sin(n0t)} n=0,1,2,…是一个完备
2 bn T0
t0 T0
t0
f (t) sin
n0t
dt
4 周期信号的频域分析 p 9
一、周期信号的傅里叶级数展开
3.*纯余弦形式的傅里叶级数：
其中
第三章§3.2 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
T
2 T 2
T , cos n 1 t cos m 1 t dt 2 0, T , sin n 1 t sin m 1 t dt 2 0,
m n m n m n m n
X
T
2 T 2
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t ) 1 π 5 cos( 1 t 0 . 15 π ) cos 2 1 t 4
c0 1
三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
cn
c1
0 0
5 2 . 236
n
2 . 24 c2
a n
j bn
T
T 0
f ( t ) co s n 1t d t j
T
1 T
T 0
f ( t ) sin n 1t d t
1 T
f ( t )e
0
j n 1t
dt
t 0 T1 t0
因 此 F n 1
1 T
f (t ) e
j n 1t
n
j n 1t
n 0 , 1, 2
jn 1t
f (t )
F (n 1 ) e
4
a
n 1
n
co s n 1t b n sin n 1t
利用欧拉公式
sin n 1 t
co s n 1 t
周期信号
周期信号: 定义在区间 ( , ) ，每隔一定时间 T ，按相同规律重 复变化的信号，如图所示 。它可表示为
8连续周期信号的频域分析_第三节周期信号的频谱及其特点、第四节离散傅里叶级数
0.4
0.6
N=15
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1.2
1.2
1
1
0.8
N=50 0.6
0.4
0.8
0.6
N=500
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2
-1.5
4 6 cos(0t) 2 cos(20t) 4 cos(30t)
9
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的Байду номын сангаас性
(1) 离散频谱特性
周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成的。 信号周期T越大，0就越小，则谱线越密，
谱线幅度降低，但对振幅收敛性无影响。反之，
T越小，0越大，谱线则越疏。
3 2
1
Cn
4 3 2 1
30 20 .0 0 .0 2. 0 3. 0
n. 0
解： 由图可知 C0 4 C1 3 C2 1 C3 2
f (t)
Cne jn0t
n
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
Cn
e jn0t
0.6
N=15
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1.2
1.2
1
1
0.8
N=50 0.6
0.4
0.8
0.6
N=500
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2
-1.5
4 6 cos(0t) 2 cos(20t) 4 cos(30t)
9
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的Байду номын сангаас性
(1) 离散频谱特性
周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成的。 信号周期T越大，0就越小，则谱线越密，
谱线幅度降低，但对振幅收敛性无影响。反之，
T越小，0越大，谱线则越疏。
3 2
1
Cn
4 3 2 1
30 20 .0 0 .0 2. 0 3. 0
n. 0
解： 由图可知 C0 4 C1 3 C2 1 C3 2
f (t)
Cne jn0t
n
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
Cn
e jn0t
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Cn 0.2Sa (n0 / 40) 0.2Sa (nπ / 5)
15
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率
的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t)
A
T
T
t
2
解： 信号的平均功率为
2
P
1 T
T / 2
一定，T增大，间隔 0 减小，频谱变密，幅度减小。
T趋于无穷大时，间隔趋于0，频谱变为连续谱。 11
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的
有效频带宽度,即
B
2π
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
周期信号的功率频谱，简称功率谱。
14
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率
的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t)
A
T
T
t
2
2
解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为
Cn
A
T
Sa( n0
2
)
将A=1，T=1/4， = 1/20，0= 2/T = 8 代入上式
n=
本小节要以一种图形来表示信号----频谱图（区
别于时域分析）
2
三、周期信号的频谱及其特点
1. 频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化 的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的 频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、 相位随频率变化的关系，即
将 An ~ 和n ~ 的关系分别画在以 为
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 离散傅里叶级数
1
回顾
f
t
a0 2
an
n1
cos(n0t )
bn
sin(n0t )
f
(t)
A0 2
n1
An
co（s n0t n）
f (t)
Cn
e j
1 4
cos
3
t
6
2
1 2
cos
4
t
3
的周期T1=8
1 4
cos
3
t
2
3
的周期T2=6
所以f(t)的周期T=24 基波角频率 0 2 / T /12
1 2
cos
4
t
3
是f(t)的 ( / 4) / ( /12) 3 次谐波分量
帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
P 1
T
T
2 T
|
2
f
(t) |2
dt
A0 2
2
n1
1 2
An2
n
Cn 2
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含
的直流和n次谐波分量在1欧电阻上消耗的平均功率之和。
周期信号的功率频谱： |Cn|2 随n0 分布情况称为
Cn
e jn0t
n=
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。
Cn是频率的函数，它反映了组成信 号各次谐波的幅度和相位随频率变化的
规律，称频谱函数。 5
三、周期信号的频谱及其特点
直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图 形，这种图形称为信号的频谱图。能够说明信 号的频域特性。
Cn Cn ejn
幅度频谱
相位频谱
6
例1：周期信号
f
(t )
1
1 2
cos
4
t
2
3
1 4
sin
3
t
6
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率 0 ，画出它的单
边、双边频谱图。
解：首先改写f(t)表达式，即
f
(t)
1
1 2
cos
4
T / 2
f
3 2
1
Cn
4 3 2 1
30 20 .0 0 .0 2. 0 3. 0
n. 0
解： 由图可知 C0 4 C1 3 C2 1 C3 2
f (t)
Cne jn0t
n
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
1 4
cos
3
t
2
3
是f(t)的 ( / 3) / ( /12) 4 次谐波分量
7
例2 周期矩形脉冲信号的频谱图
f (t) A
-T 0
T
Cn
A / T
t
Cn
A
T
Sa( n0
2
)
2π
2π
0 2π / T
n 0
8
例3 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
横坐标的平面上得到的两个图，分别称为幅度频谱 图和相位频谱图。因为n>=0，所以称这种频谱为 单边谱。
3
频谱图示（单边）
An
A0/2
0 0 3 0
n
幅度频谱
相位频谱
0
n 0 (n3)0
4
三、周期信号的频谱及其特点
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
f (t)
12
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
信号的有效带宽有多种定义方式。
物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信
号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。
说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”
。
13
四、周期信号的功率谱
4 6 cos(0t) 2 cos(20t) 4 cos(30t)
9
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(1) 离散频谱特性
周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成的。 信号周期T越大，0就越小，则谱线越密，
谱线幅度降低，但对振幅收敛性无影响。反之，
T越小，0越大，谱线则越疏。
10
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(2) 幅度衰减特性(收敛性） 一般当周期信号的幅度频谱随着谐波n0增大，幅度
频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。
谱线与波形参数之间的关系：
T一定， 变小，此时谱线间隔 0 不变，两零点之
间的谱线数目： / 0 (2 / ) / (2 / T ) T / 增多。