8连续周期信号的频域分析_第三节周期信号的频谱及其特点、第四节离散傅里叶级数

t

2
3



1 4
cos


3
t


6


2

1 2
cos


4
t


3

的周期T1=8
1 4
cos


3
t

2
3

的周期T2=6
所以f(t)的周期T=24 基波角频率 0 2 / T /12
1 2
cos


4
t


3

是f(t)的 ( / 4) / ( /12) 3 Байду номын сангаас谐波分量
帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
P 1
T
T
2 T
|
2
f
(t) |2
dt


A0 2
2

n1
1 2
An2

n
Cn 2
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含
的直流和n次谐波分量在1欧电阻上消耗的平均功率之和。
周期信号的功率频谱： |Cn|2 随n0 分布情况称为
一定，T增大，间隔 0 减小，频谱变密，幅度减小。
T趋于无穷大时，间隔趋于0，频谱变为连续谱。 11
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的
有效频带宽度,即
B

2π

信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
3 2
1
Cn
4 3 2 1
30 20 .0 0 .0 2. 0 3. 0
n. 0
解： 由图可知 C0 4 C1 3 C2 1 C3 2
f (t)


Cne jn0t
n
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 离散傅里叶级数
1
回顾
f
t

a0 2


an
n1
cos(n0t )
bn
sin(n0t )
f
(t)

A0 2

n1
An
co（s n0t n）
f (t)

Cn
e jn0t
1 4
cos


3
t

2
3

是f(t)的 ( / 3) / ( /12) 4 次谐波分量
7
例2 周期矩形脉冲信号的频谱图
f (t) A
-T 0
T
Cn
A / T
t
Cn

A
T
Sa( n0
2
)
2π

2π
0 2π / T
n 0
8
例3 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
n=
本小节要以一种图形来表示信号----频谱图（区
别于时域分析）
2
三、周期信号的频谱及其特点
1. 频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化 的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的 频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、 相位随频率变化的关系，即
将 An ~ 和n ~ 的关系分别画在以 为
周期信号的功率频谱，简称功率谱。
14
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率
的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t)
A
T


T
t
2
2
解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为
Cn

A
T
Sa( n0
2
)
将A=1，T=1/4， = 1/20，0= 2/T = 8 代入上式
Cn Cn ejn
幅度频谱
相位频谱
6
例1：周期信号
f
(t )

1
1 2
cos


4
t

2
3


1 4
sin


3
t


6

试求该周期信号的基波周期T，基波角频率 0 ，画出它的单
边、双边频谱图。
解：首先改写f(t)表达式，即
f
(t)
1
1 2
cos


4

Cn
e jn0t
n=
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。
Cn是频率的函数，它反映了组成信 号各次谐波的幅度和相位随频率变化的
规律，称频谱函数。 5
三、周期信号的频谱及其特点
直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图 形，这种图形称为信号的频谱图。能够说明信 号的频域特性。
横坐标的平面上得到的两个图，分别称为幅度频谱 图和相位频谱图。因为n>=0，所以称这种频谱为 单边谱。
3
频谱图示（单边）
An
A0/2
0 0 3 0
n
幅度频谱

相位频谱
0
n 0 (n3)0

4
三、周期信号的频谱及其特点
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
f (t)
12
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
信号的有效带宽有多种定义方式。
物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信
号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。
说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”
。
13
四、周期信号的功率谱
10
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(2) 幅度衰减特性(收敛性） 一般当周期信号的幅度频谱随着谐波n0增大，幅度
频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。
谱线与波形参数之间的关系：
T一定， 变小，此时谱线间隔 0 不变，两零点之
间的谱线数目： / 0 (2 / ) / (2 / T ) T / 增多。
T / 2
f
4 6 cos(0t) 2 cos(20t) 4 cos(30t)
9
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(1) 离散频谱特性
周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成的。 信号周期T越大，0就越小，则谱线越密，
谱线幅度降低，但对振幅收敛性无影响。反之，
T越小，0越大，谱线则越疏。
Cn 0.2Sa (n0 / 40) 0.2Sa (nπ / 5)
15
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率
的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t)
A
T


T
t
2
解： 信号的平均功率为
2
P

1 T
T / 2