概率论与数理统计答案 (6)

习题六
1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值
之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100
~(0,1)
Z N =
即 60
~(0,1)15/10
X Z N -=
(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<
2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=
2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？ 【解】
~(0,1)
Z N =
(2.2 6.2)P X P Z <<=<<
210.95,=Φ-=
则，故即n >24.01，所以n 至少应取25
3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样
本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，
只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2=1002
1000
~(8)
100/3X t t -=
=
10621000
(1062)()( 1.86)0.05100/3
P X P t P t ->=>
=>=
4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】~(0,1)
Z N =，由P (|X -μ|>4)=0.02得
P |Z |>4(σ/n )=0.02,
故210.02⎡⎤-Φ=⎢⎥
⎢⎥⎝⎭⎣⎦
,
即0.99.Φ=⎝⎭ 查表得
2.33,=
所以
5.43.σ=
= 5.设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，
S 2为其样本方差，且P （S 2＞a ）=0.1，求a 之值.
【解】22
22299~(9),()0.1.1616S a P S a P χχχ⎛
⎫=>=>= ⎪⎝
⎭
查表得
914.684,16
a
= 所以 14.68416
26.105.9
a ⨯=
= 6.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量
Y =
∑∑==-n
i i
i i X
X n 6
25
1
2)15(，n ＞5
服从何种分布？ 【解】25
2
2
2
2
221
1
~(5),~(5)i n
i
i i i X
X X n χχχ===
=-∑∑
且12χ与22
χ相互独立. 所以
2122/5~(5,5)/5
X Y F n X n =--
7.求总体X ~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于
0.3的概率. 【解】令X 的容量为10的样本均值，Y 为容量为15的样本均值,则X ~N (20,
310
), Y ~N (20,
3
15
)，且X 与Y 相互独立. 则33~0,
(0,0.5),1015X Y N N ⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
那么~(0,1),Z N = 所以
(||0.3)||2[1(0.424)]P X Y P Z Φ⎛
->=>=- ⎝
2(10.6628)0.6744.=-=
8.设总体X ~N （0，σ2
）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y =()
15
12112
10
22212X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 . 【解】
~(0,1),i
X N σ
i =1,2, (15)
那么122
2
10
15
2222
111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑
且12χ与22
χ相互独立,
所以
22
2110122
211152/10~(10,5)2()/5
X X X Y F X X X ++==++ 所以Y ~F 分布，参数为（10,5）.
9.设总体X ~N （μ1,σ2）,总体Y ~N (μ2,σ2),X 1,X 2,…,1n X 和Y 1，Y 2，…，2n X 分别来自总体X 和
Y 的简单随机样本，则
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21121
22
1
n n Y Y X X E n j j n i i = . 【解】令 122
22
1
211
1211(),(),11n n i i i j S X X S Y Y n n ===-=---∑∑ 则
1
2
2
2
22
11
221
1
()(1),()(1),n n i
j i j X
X n S y y n S ==-=--=-∑∑
又2
2
22
221122
1
12
22
2
(1)(1)~(1),~(1),n S n S n n χχχχσσ--=-=
-
那么
1
2
22112222121212()()1()22n n i j i j X X Y Y E E n n n n σχσχ==⎡⎤-+-⎢⎥
⎢⎥=+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦
∑∑
2
22
12122
2
1212[()()]
2
[(1)(1)]2
E E n n n n n n σχχσ
σ=
++-=
-+-=+-
10.设总体X ~N （μ,σ2
），X 1，X 2，…，X 2n （n ≥2）是总体X 的一个样本，∑==n
i i X n X 21
21，令
Y =
∑=+-+n
i i n i
X X X
1
2)2(，求EY .
【解】令Z i =X i +X n +i , i =1,2,…,n .则
Z i ~N (2μ,2σ2)(1≤i ≤n ),且Z 1,Z 2,…,Z n 相互独立.
令 22
11
, ()/1,n
n
i i i i Z Z S Z Z n n ====--∑∑
则 21111
,222n
n i i
i i X X Z Z n
n =====∑∑ 故 2Z X = 那么
2
221
1
(2)()(1),n n
i n i i i i Y X X X Z Z n S +===+-=-=-∑∑
所以
22()(1)2(1).E Y n ES n σ=-=-
11. 设总体X 的概率密度为f (x )=x
-e 2
1 (-∞<x <+∞),X 1，X 2，…，X n 为总体X 的简单随机样
本，其样本方差为S 2，求E (S 2).
解： 由题意，得
1e , 0,2
()1e ,0,2
x
x x f x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩
于是 22222220()()()()
1()()d e d 021()()d e d e d 2,
2x
x
x E S D X E X E X E X xf x x x x E X x f x x x x x x +∞+∞--∞-∞+∞+∞+∞---∞-∞
==-=======⎰⎰⎰⎰⎰
所以
2()2E S =.。