函数间断点的图解法

函数间断点的图解法

李小平

(株洲职业技术学院 株洲 412001)

在高等数学教学中，当讲到函数的连续性概念时，就要讲到第一类间断点和第二类间断点的概念，倘若用文字来说明它们的区别，学生是很难理解透彻，倘若将抽象问题具体化，用图像的方法来说明，其教学效果是显著的。

1、间断点的概念

根据函数()y f x =在点0x 处的极限情况，函数的间断点可分为两类：

①00lim ()x x f x →+、00

lim ()x x f x →−都存在的间断点，就是第一类间断点； ②不为第一类间断点的间断点，就是第二类间断点[1]。

第一类间断点的定义，学生从字面上可以理解，但第二类间断点的定义，太抽象了，单从定义上看，学生难以接受，理解不透彻，教学中需要从其他方面着手帮助学生理解，直观的图像法是最好的教学手段，下面讲到的就是第一、二类函数间断点的图像和实例。

2、用图像来说明

2.1第一类间断点的图像

以下图1至图4是第一类间断点的图像。

对图1来说：00lim ()x x f x →+、00lim ()x x f x →−都存在，00lim ()x x f x →+=00

lim ()x x f x →−，但0()f x 不存在。

例如2(,2)()2(2,)

x x f x x x ⎧∈−∞=⎨∈+∞⎩，函数()f x 在2x =处为第一类间断点（因为函数

()f x 在2x =时未定义）。

对图2来说：00lim ()x x f x →+、00lim ()x x f x →−都存在，000

lim ()()x x f x f x →−=，但

[作者简介]：李小平，株洲职业技术学院副教授、程序员。

0000

lim ()lim ()x x x x f x f x →+→−≠ 例如2

(,2]()3(2,)x x f x x x ⎧∈−∞=⎨∈+∞⎩，函数()f x 在2x =处为第一类间断点。

对图3来说：与图1类似，00lim ()x x f x →+、00

lim ()x x f x →−、0()f x 都存在，但00lim ()x x f x →+=00

lim ()x x f x →−0()f x ≠ 例如2(,2)()1022(2,)x x f x x x x ⎧∈−∞⎪==⎨⎪∈+∞⎩

当时，函数()f x 在2x =处为第一类间断点。

对图4来说：与图2类似，00lim ()x x f x →+、00lim ()x x f x →−都存在，000

lim ()()x x f x f x →+=，但0000

lim ()lim ()x x x x f x f x →+→−≠ 例如2(,2()3[2,)

x x f x x x ⎧∈−∞=⎨∈+∞⎩），函数()f x 在2x =处为第一类间断点。

2.2第二类间断点的图像

以下图5至图7是第二类间断点的图像。

对图5来说：000lim ()()x x f x f x →−=、00lim ()x x f x →+=+∞（或00

lim ()x x f x →+=−∞），即00lim ()x x f x →+不存在。

例如(,1]()1(1,)1

x f x x x ∈−∞=⎨∈+∞⎪−⎩，函数()f x 在1x =处为第二类间断点。 对图6来说：类似图5，000lim ()()x x f x f x →+=、00

lim ()x x f x →−=+∞（或00lim ()x x f x →−=−∞），即00

lim ()x x f x →−不存在。

例如1[0,1]1()(1,)x x f x x ⎧∈⎪−=∈+∞，函数()f x 在1x =处为第二类间断点。

对图7来说：00lim ()x x f x →−=+∞（或00lim ()x x f x →−=−∞）、00

lim ()x x f x →+=−∞（或00lim ()x x f x →+=+∞），即函数()y f x =在0x 的左右极限都不存在。 例如2

1(,)2()3(,)22x x f x tgx x ππππ⎧∈−∞⎪−⎪=⎨⎪∈⎪⎩

，函数()f x 在2x π=处为第二类间断点。

3、图解法的优缺点

3.1优点

①可以帮助学生更好地理解函数连续性的有关概念，图像法比文字定义法更具体；

②图像法可以帮助学生更好地复习左右极限知识，函数是否有左右极限，一目了然；

③培养学生在高等数学中应用数形结合的能力，为今后的学习做了一个很好的开端，增强了学生对学习的自信心，克服了畏惧心里；

④培养学生分析实际问题的能力——在高等数学中如何做到从抽象思维到形象思维、再从形象思维回到抽象思维的分析能力，避免了学生数学基础差、教师上课学生难以理解的尴尬局面；

⑤培养了学生严密的数学思维能力。

3.2不足之处

因函数间断点的教学不是教材中的重点内容，课堂上占用了主课时间，影响了教学进度，但它对主课内容所起的辅助作用相当大。

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奖学金对获奖者而言不仅是经济上的奖励，更重要是一种荣誉，是对前一阶段表现的肯定。要让学生全面了解奖学金的标准和评比方法，使学生自觉主动用奖学金的评定标准内化自己的行动。奖学金评定的过程是学生自我回顾、自我评价、发现问题的过程，也是受教育的过程，奖学金评定中反映出来关于学生思想道德、学习态度、生活秩序等方面的信息，可以成为学生思想政治工作再输出。奖学金评定结束后，应召开表彰大会对获奖者进行宣传，并对获奖者进行引导和教育，促使获奖者合理使用奖学金，在学生中树立标杆形象。

5、让学生真正参与到奖学金的评定中来

确保奖学金评定过程的公平、公正，邀请学生参加评奖的过程，并且让更多的奖学金实现差额产生，体现奖学金的竞争性而不仅仅根据一些固定的指标一刀切排个座。科学的评分、审核、公开、回避、时效、申诉程序是保障奖学金评定公平的重要措施。在奖学金评定评分、评定、申诉这几个环节应组织专门的小组，这些小组中要有学生成员。评分主要针对主要是在奖学金评定前对学生的专业素质和综合素质的量化过程，这一过程一般按照统一标准统一实施，确保奖学金评定的前提是统一；评定主要指审核学生的申请材料确定那些同学可以申请奖学金，这一过程除了传统的资格审查外，如果进行答辩、差额产生奖学金候选人对学生的激励作用将更大，也能使学生明白相互之间的差距，便于学生找准努力方向。