专题一函数的概念及其性质

专题一 函数的概念及其性质

(一)函数的概念：

1．函数有哪三个要素？ 2．如何求函数的定义域？ 3．求函数的值域有哪些方法？ 4．满足什么条件时，两个函数相等？ (二)映射的概念

1．什么是映射？

2．函数与映射有什么关系？ (三)奇偶性

1．判断函数奇偶性时，为什么必须先判断定义域是否关于原点对称？ 2．奇(偶)函数的图象有什么性质？能否依据图象判断函数的奇偶性？ (四)单调性

1．单调性的定义中，x 1，x 2应是怎样的数？ 2．复合函数()y f u =，()u g x =有什么单调性规律？ 3．判断函数单调性的方法一般有哪两种？ 4．用定义判断函数单调性的步骤有哪些？ (五)周期性

1．周期函数的定义是什么？

2．如果周期函数f (x )的周期为T ，则()f x ω(0)ω≠是周期函数吗？它的周期是什么？

题型1：判断两个函数是否相同

例1．以下各组函数表示同一函数的有________．

①f (x )=2x ，g (x )=33x ； ②f (x )=

||

x x ，g (x )=1,0,

1,

0;

x x ⎧⎨-<⎩ ③2121()n n f x x ++=，2121()()n n g x x --=(n ∈N *)； ④f (x )=x ⋅1x +，g (x )=2x x +；

⑤f (x )=x 2-2x -1，g (t )=t 2-2t -1．

练习1) 【2012高考真题江西理2】下列函数中，与函数3

1

y x

=

定义域相同的函数为( )

A ．1()sin f x x

= B ．ln x

y x

=

C ．e x y x =

D ．sin x

y x

=

题型2：函数定义域问题 1．具体函数求定义域

例2．(2013深圳二模)

函数()f x =

的定义域是( )

A ．(1,2)

B ．[1,2)

C ．(,1)

(2,)-+∞∞ D ．(1,2]

练习3) 【2012高考广东文11】函数y =的定义域为________．

练习4) 【2012高考山东文3】函数1

()ln(1)

f x x =

+( )

A ．[2,0)(0,2]-

B ．(1,0)(0,2]-

C ．[2,2]-

D ．(1,2]-

练习5) 【2012高考四川文13】函数()f x ________．(用区间表示)

2．抽象函数求定义域

例3．已知函数()f x 定义域为(0，2)，则2()f x 的定义域为________．

题型3：函数值域问题

1．求函数的值域 例4．求下列函数的值域：

(1) y =(2) 31

2

x y x +=

-；(3)

y x =+(4) y x =+ (5) |1||4|y x x =-++；(6) 2211()212x x y x x -+=>-；(7) 1sin 2cos x

y x -=

-．

练习6) (常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题)函数22()log (4)f x x =-的值域为________．

练习7) 【北京北师特学校2013届高三第二次月考文】函数1

(0)y x x x =+>的值域为________．

练习8) 【北京北师特学校2013届高三第二次月考理】函数2

1

y x =

-的定义域是(,1)[2,5)-∞，则其值域是( ) A ．1

(,0)(,2]2

-∞ B ．(,2]-∞

C ．1

(,)[2,)2

-+∞∞ D ．(0,)+∞

2．分段函数求值

例5．【北京市通州区2013届高三上学期期末理】设函数()22,

0log ,0

x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦

( )

A ．2

B ．1

C ．2-

D ．1-

练习9) 【2012高考真题江西理3】若函数21,1

()lg ,1x x f x x x ⎧+=⎨>⎩

，则f

(f (10)=( )

A ．lg101

B ．2

C ．1

D ．0

练习10) 【2012高考陕西文11】设函数f (x )=0,1(),0,2

x x x ⎨<⎪⎩则f (f (-4))=________．

题型4：函数解析式

例6．(1) 已知3311

()f x x x x

+=+，求()f x ；

(2) 已知2

(1)lg f x x

+=，求()f x ；

(3) 已知()f x 满足1

2()()3f x f x x +=，求()f x ．

练习11) (山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题)某学校要召开学生代表大会，规定

根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额．那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =([x ]表示不大于x 的最大整数)可表示为( )

A ．[]10x y =

B ．3

[

]10

x y += C ．4

[

]10

x y += D ．5

[

]10

x y +=

练习12) (苏州市2013届高三期末)某厂去年的产值为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长

10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为________．(保留一位小数，取51.1 1.6≈)

题型5：判断函数的奇偶性 例7．讨论下述函数的奇偶性：

(1) 21()21

x x f x

-=+；

(2) ()log )(0,1)a f x x a a =>

≠； (3) 2()log 1)f x =； (4) ()f x =．

练习14) (广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题)若奇函数()f x 的定义域为

[,]p q ，则p q +=________．

练习15) (广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学(理)试题)下列函数为奇函数的是( )