专题一函数的概念及其性质

专题一 函数的概念及其性质(一)函数的概念：1．函数有哪三个要素？ 2．如何求函数的定义域？ 3．求函数的值域有哪些方法？ 4．满足什么条件时，两个函数相等？ (二)映射的概念1．什么是映射？2．函数与映射有什么关系？ (三)奇偶性1．判断函数奇偶性时，为什么必须先判断定义域是否关于原点对称？ 2．奇(偶)函数的图象有什么性质？能否依据图象判断函数的奇偶性？ (四)单调性1．单调性的定义中，x 1，x 2应是怎样的数？ 2．复合函数()y f u =，()u g x =有什么单调性规律？ 3．判断函数单调性的方法一般有哪两种？ 4．用定义判断函数单调性的步骤有哪些？ (五)周期性1．周期函数的定义是什么？2．如果周期函数f (x )的周期为T ，则()f x ω(0)ω≠是周期函数吗？它的周期是什么？题型1：判断两个函数是否相同例1．以下各组函数表示同一函数的有________．①f (x )=2x ，g (x )=33x ； ②f (x )=||x x ，g (x )=1,0,1,0;x x ⎧⎨-<⎩ ③2121()n n f x x ++=，2121()()n n g x x --=(n ∈N *)； ④f (x )=x ⋅1x +，g (x )=2x x +；⑤f (x )=x 2-2x -1，g (t )=t 2-2t -1．练习1) 【2012高考真题江西理2】下列函数中，与函数31y x=定义域相同的函数为( )A ．1()sin f x x= B ．ln xy x=C ．e x y x =D ．sin xy x=题型2：函数定义域问题 1．具体函数求定义域例2．(2013深圳二模)函数()f x =的定义域是( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(,1)(2,)-+∞∞ D ．(1,2]练习3) 【2012高考广东文11】函数y =的定义域为________．练习4) 【2012高考山东文3】函数1()ln(1)f x x =+( )A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]-练习5) 【2012高考四川文13】函数()f x ________．(用区间表示)2．抽象函数求定义域例3．已知函数()f x 定义域为(0，2)，则2()f x 的定义域为________．题型3：函数值域问题1．求函数的值域 例4．求下列函数的值域：(1) y =(2) 312x y x +=-；(3)y x =+(4) y x =+ (5) |1||4|y x x =-++；(6) 2211()212x x y x x -+=>-；(7) 1sin 2cos xy x -=-．练习6) (常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题)函数22()log (4)f x x =-的值域为________．练习7) 【北京北师特学校2013届高三第二次月考文】函数1(0)y x x x =+>的值域为________．练习8) 【北京北师特学校2013届高三第二次月考理】函数21y x =-的定义域是(,1)[2,5)-∞，则其值域是( ) A ．1(,0)(,2]2-∞ B ．(,2]-∞C ．1(,)[2,)2-+∞∞ D ．(0,)+∞2．分段函数求值例5．【北京市通州区2013届高三上学期期末理】设函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦( )A ．2B ．1C ．2-D ．1-练习9) 【2012高考真题江西理3】若函数21,1()lg ,1x x f x x x ⎧+=⎨>⎩，则f(f (10)=( )A ．lg101B ．2C ．1D ．0练习10) 【2012高考陕西文11】设函数f (x )=0,1(),0,2x x x ⎨<⎪⎩则f (f (-4))=________．题型4：函数解析式例6．(1) 已知3311()f x x x x+=+，求()f x ；(2) 已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；(3) 已知()f x 满足12()()3f x f x x +=，求()f x ．练习11) (山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题)某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额．那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =([x ]表示不大于x 的最大整数)可表示为( )A ．[]10x y =B ．3[]10x y += C ．4[]10x y += D ．5[]10x y +=练习12) (苏州市2013届高三期末)某厂去年的产值为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为________．(保留一位小数，取51.1 1.6≈)题型5：判断函数的奇偶性 例7．讨论下述函数的奇偶性：(1) 21()21x x f x-=+；(2) ()log )(0,1)a f x x a a =>≠； (3) 2()log 1)f x =； (4) ()f x =．练习14) (广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题)若奇函数()f x 的定义域为[,]p q ，则p q +=________．练习15) (广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学(理)试题)下列函数为奇函数的是( )A ．sin y x =B ．22x x y -=+C ．ln y x =D ．1ln1xy x-=+练习16) 【2012高考广东文4】下列函数为偶函数的是( )A ．sin y x =B ．3y x =C ．e x y =D ．y =例8．设函数()f x 在(,)-+∞∞内有定义，下列函数：①()y f x =-；②y =2()xf x ；③y =()f x --；④()()y f x f x =--，其中为奇函数的有________．(要求填写正确答案的序号)练习17) (2013湛江二模)下列函数中既是奇函数，又在(0,)+∞上单调递增的是( )A ．y =x 2B ．y =x 3C ．y =-xD ．y =tan x题型6：奇偶性的应用 1．利用奇偶性求值例9．设()f x 是定义在R 上的奇函数，若当x 0时，f (x )=log 3(1+x )，则f (-2)=________．练习18) 【2012高考真题上海理9】已知2()y f x x =+是奇函数，且(1)1f =，若()()2g x f x =+，则(1)g -=________．练习19) 【北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文】若函数2log ,0,()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -=________．2．利用奇偶性求参数例10．(山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题是奇函数，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．3-C ．3D ．1-练习20) 【2012高考重庆文12】函数()()(4)f x x a x =+-为偶函数，则实数a =________．3．利用奇偶性求函数解析式例11．(2013茂名二模)已知(2)y f x =+为定义在R 上的偶函数，且当2x 时，2()810f x x x =-+，则当2x <时，()f x 的解析式为________．题型7：判断证明函数的单调性例12．设0a >，e ()ex x af x a =+是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．练习21) 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )=f (x )+1()f x ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．题型8：函数的单调区间 1．利用定义求函数的单调区间 例13．设函数f (x )=x ax b++(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并证明f (x )在其单调区间上的单调性．练习22) 【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学文】已知函数()f x aax x=-()x ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．a ∀∈R ，()f x 在(,0)-∞上是减函数 C ．a ∃∈R ，()f x 是R 上的常函数 D ．a ∃∈R ，()f x 是(0,)+∞上的单调函数2．求复合函数的单调区间例14．求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间．练习24) (黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题)函数20.3log (2)y x x =--的单调递增区间是________．3．奇偶性与单调性的综合运用例15．(北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考文】下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是( ) A ．12log y x =B ．3y x =C ．1y x=D ．tan y x =题型9：单调性的应用例16．【北京市通州区2013届高三上学期期末理】奇函数()f x 的定义域为[2,2]-，若()f x 在[0,2]上单调递减，且(1)()0f m f m ++<，则实数m 的取值范围是________．练习26) 【2012高考真题上海理7】已知函数||()e x a f x -=(a 为常数)．若()f x 在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是________．练习27) 【2012高考安徽文13】若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞，则a =________．题型10：最值问题 1．利用最值求参数例17．【2012高考山东文15】若函数()x f x a =(0,1)a a >≠在[-1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数，则a =＿＿＿＿．练习28) 【山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】已知()f x 为奇函数，在[]3,6上是增函数，[]3,6上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-等于( ) A ．15- B ．13- C ．5- D ．5例18．(吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题)已知2()f x x =-，()2x g x m =-，若对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，使12()()f x g x ，则m 的取值范围是________．练习29) (广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学(理)试题)已知函数()2f x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若11[1,]2x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．1(0,]2 B ．1[,3]2C ．(0,3]D ．[3,)+∞2．应用问题中的最值问题例19．(2013惠州4月模拟)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为21()2202C x x x =++(万元)，一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件 D ．9万件题型11：周期问题例20．已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =(11)x -是奇函数．又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-． (1) 证明：(1)(4)0f f +=；(2) 求()y f x =，[1,4]x ∈的解析式； (3) 求()y f x =在[4,9]上的解析式．练习30) (广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学(理)试题)设f (x )是R 上的奇函数，且对x ∀∈R 都有f (x +2)=f (x )，又当x ∈[0，1]时，f (x )=x 2，那么x ∈[2011，2013]时，f (x )的解析式为________．例21．【河北省衡水中学2013届高三第一次调研考试理】已知()f x 在R 上是奇函数，且(2)f x +()f x =-，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(7)f =( )A ．-2B ．2C ．-98D ．98练习31) 【山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理】设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =+，则()2013.5f =________．练习32) (广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学(理)试题)函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，若(1)2f =，则(99)f =( )A ．13B ．2C ．213D ．132题型12：零点问题 1．求零点所在区间例22．【山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月数学文】函数21()log f x x x=-的零点所在的区间为( ) A ．1(0,)2 B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)练习33) (宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题)已知函数32()22f x x x =-+，则下列区间必存在零点的是( )A ．3(2,)2--B ．3(,1)2--C ．1(1,)2--D ．1(,0)2-2．零点的个数的判断例23．【2012高考真题天津理4】函数3()22x f x x =+-在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3练习34) 【北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文】函数1()ln f x x x =-的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3练习35) 【山东省青岛一中2013届高三1月调研考试数学文】设函数20,()01,x x bx c f x x ⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x =-的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．零点的应用例24．(山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试文科数学)已知函数2,0(),0x x f x x x x ⎧=⎨->⎩，若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A ．1[,1]2-B ．1[,1)2-C ．1(,0)4-D ．1(,0]4-练习36) 【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】已知函数e ,()21,x a x f x x x ⎧+=⎨->⎩(a ∈R )，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(,1)--∞ B ．(,0)-∞C ．(1,0)-D ．[1,0)-题型13：函数性质的综合问题例25．【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】给出定义：若11< +22m x m -(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m ．在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题：①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-；②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k ∈Z ；③函数=()y f x 的最小正周期为1；④函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数，则上述命题中真命题的序号是________．练习37) 【北京市西城区2013届高三上学期期末理】已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2x f x =；②()sin f x x =；③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是________．1．求解析式的一般方法：换元法、配凑法． 2．求()f x 的定义域：①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b 解出． 3．求函数值域的各种方法：①反函数法：用y 表示x ，根据x 的范围求y 的范围； ②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值； ③分式转化法(或称为“分离常数法”)；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数；⑤三角换元法：转化为只含正弦或余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成(0)ky x k x=+>的形式，利用均值不等式来求值域； ⑦单调性法：用复合函数的单调性规律或用导数判定函数的单调性，从而求值域； ⑧数形结合：根据函数的图象或几何意义求值域．4．判断函数的奇偶性，必须先判断定义域是否关于原点对称，如不对称，则可直接断定函数是非奇非偶函数．5．若奇函数的定义域包含0，则f (0)=0． 6．奇偶函数的简单性质：①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域上：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． 7．单调性是函数学习中非常重要的内容，可用定义或导数来解决单调性问题： ①具体函数，一般用导数解决；②抽象函数，一般用定义解决；③复合函数，解答题中应运用定义或求导解决．复合函数[()]f g x的单调性如下表，简记为“同增异减”．8①利用二次函数的性质(配方法)；②利用函数图象；③利用函数单调性．疑点记录请把你不懂、不会、疑惑的知识点、题型、题目写在下面，抽时间找老师答疑解惑．。