哈工大计算机仿真实验三利用数值积分算法的仿真实验
计算机仿真实验报告-实验三
一、实验内容：实验三 利用欧拉法、梯形数法和二阶显式Adams 法对RLC 串联电路的仿真1前向欧拉法状态方程：Du CX y Bu AX X m +=+=+•1 然后根据前向欧拉法（其中h 为步长）•++=m m m hX X X 1即可得到系统的差分方程2后向欧拉法根据前向欧拉法得到的系统状态方程，结合后向欧拉法（其中h 为步长）•+++=11m m m hX X X 即可得到系统的差分方程3梯形法由前面的系统状态方程，结合梯形法)(211+••+++=m m m m X X h X X 即可得到系统的差分方程4二阶显式Adams 方法由前面的状态方程，结合二阶显式Adams 方法)51623(12211--++-+=m m m m m F F F h X X 即可得到系统的差分方程但是二阶显式Adams 法不能自起步，要使方程起步，需要知道开始的三个值，但是我们只知道第一个值。
经过分析后，二阶显式Adams 方法精度是二阶的，而梯形法精度也是二阶的，因此我们可以先借助梯形法得到输出的前三个值，以达到起步的目的，然后借助上面得到的差分方程对其进行求解。
二、实验波形：下图为前向欧拉法、后向欧拉法、梯形法、二阶显式Adams 方法的系统差分方程得到相应的输出波形：图1 h=410 时四种方法的输出波形图2 h=56-⨯时四种方法的输出波形10图3 h=510-时四种方法的输出波形图4 h=610-时四种方法的输出波形三、实验分析：由输出波形可以看到各种方法的特点（在图中蓝色线均表示连续系统模型的实际输出波形，红色线表示在对应方法下系统的输出波形。
）：1前向欧拉法和二阶显式Adams方法对步长的要求很强。
步长太大，最后的到的结果不是绝对收敛，而是发散。
在小步长下才显得收敛，这也从另一方面验证，步长越小，截断误差越小；2步长不能太小，太小的步长相应的舍入误差和累积误差也会增大；3前向欧拉法也可称为显式欧拉法，后向欧拉法也可称为隐式欧拉法，可以看到，后向欧拉法的稳定域要比前向欧拉法大，计算精度也要高一些。
哈尔滨工程大学数学上机实验
实验报告实验一：函数绘图实验1、实验目的利用数学软件绘制数学函数曲线及曲面，通过实验了解函数图形的绘制方法。
2、实验内容⑴在同一个图形中，绘制双曲线，以及的双曲线2条渐近线。
⑵在同一个图形中，绘制球面与锥面相交的曲面。
⑶自选题目：绘制一个或者多个平面图形、空间曲面图形。
3、程序设计及运行结果(1)>> x=-5:0.1:5;ezplot('x^2-y^2=1');y1=x;y2=-x;hold on;plot(xy1);hold on;plot(xy2);(2) >> x=-5:0.1:5;y=x;z=x;[xyz]=meshgrid(xyz);f1=x.^2+y.^2+z.^2-1;f2=x.^2+y.^2-z;p1=patch(isosurface(xyzf10));set(p1 'FaceColor' 'm');p2=patch(isosurface(xyzf20));set(p2 'FaceColor' 'w');(3)>> x=-5:0.1:5;y=x;z=x;[xyz]=meshgrid(xyz);f1=x.^2+y.^2+z.^2-9;f2=x.^2+y.^2-2*z;p1=patch(isosurface(xyzf10));set(p1 'FaceColor' 'm');p2=patch(isosurface(xyzf20));set(p2 'FaceColor' 'w');4、讨论与分析在本次试验中初步了解了matlab，学会了一些简单绘图，加深了对函数的理解为以后实验作个铺垫，由浅入深的了解matlab.实验二：微积分实验1、实验目的熟悉并了解使用数学软件，进行微积分问题计算的相关数学软件命令，让学生通过实验理解微积分，解决微积分计算上的问题。
数值积分算法实验报告
数值积分算法实验报告实验目的：验证数值分析理论实验工具：matlab摘要：本实验通过对比龙贝格积分算法和三点，五点勒让德高斯求积公式，对数值分析理论进行验证。
文章中提供了用matlab写的小程序即运行结果。
我们可以看到，龙贝格积分算法方便快捷且效率较高。
三点积分算法不足以满足精度要求，五点法基本可以满足，但是如果追求更高精度，则五点法改进困难，而龙贝格则可适用于任何精度的计算。
高斯求积的效率是比较高的，只需五点就可以达到非常高的精度。
一matlab源程序1．%龙贝格积分算法，jd表示相对精度function z=lbgjf(a,b,jd)h=(b-a);TT(1,1)=h.*(f(b)+f(a))/2;k=2;TT(1,2)=TT(1,1)./2+h/2.*f(a+h/2);TT(2,1)=TT(1,2).*4/3-TT(1,1)./3;z=TT(2,1);while abs((TT(k,1)-TT(k-1,1))./TT(k,1))>=jdk=k+1;h=h./2;for j=1:2.^(k-2)ff(1,j)=f(a+h*(j-1/2));endfff=sum(ff).*h/2;TT(1,k)=TT(1,k-1)./2+fff;for j=2:kTT(j,k-j+1)=4^(j-1).*TT(j-1,k-j+2)./(4^(j-1)-1)-TT(j-1,k-j+1)/(4^(j-1 )-1);z=TT(j,k-j+1);endend2 %五点法·¨function z=fivedlrd(a,b)Ak=[0.2369269 0.4786287 0.5688889 0.4786287 0.2369269];xk=[-0.9061798 -0.5384693 0 0.5384693 0.9061798];for i=1:5ff(i)=Ak(i).*f((b-a).*xk(i)./2+(b+a)./2);endz=(b-a)./2.*sum(ff)3%三点法¨function z=threedlrd(a,b)Ak=[0.5555556 0.8888889 0.5555556];xk=[-0.7745967 0 0.7745967];for i=1:3ff(i)=Ak(i).*f((b-a).*xk(i)./2+(b+a)./2); endz=(b-a)./2.*sum(ff)4%另用一matlab文件来表示函数function y=f(x)y=sin(x).^10;end二实验过程1 f(x)=x.^2,2 f(x)=x.^3可以看到，对于这种简单函数三种方法基本没有区别3 f(x)=sin(x).^10.lbgjf(2,3,10e-6)ans =0.0608>> fivedlrd(2,3)z =0.0608ans =0.0608>> threedlrd(2,3)z =0.0618ans =0.06184f(x)= exp(exp(sin(x).^10))threedlrd(2,3)z =2.9278ans =2.9278>> fivedlrd(2,3)z =2.9304ans =2.9304>> lbgjf(2,3,10e-6)ans =2.9304>>可见三点法已经不再满足要求。
哈工大 计算机仿真技术实验报告 仿真实验四基于Simulink控制系统仿真与综合设计
基于Simulink 控制系统仿真与综合设计一、实验目的(1) 熟悉Simulink 的工作环境及其功能模块库； (2) 掌握Simulink 的系统建模和仿真方法；(3) 掌握Simulink 仿真数据的输出方法与数据处理；(4) 掌握利用Simulink 进行控制系统的时域仿真分析与综合设计方法； (5) 掌握利用 Simulink 对控制系统的时域与频域性能指标分析方法。
二、实验内容图2.1为单位负反馈系统。
分别求出当输入信号为阶跃函数信号)(1)(t t r =、斜坡函数信号t t r =)(和抛物线函数信号2/)(2t t r =时，系统输出响应)(t y 及误差信号)(t e 曲线。
若要求系统动态性能指标满足如下条件：a) 动态过程响应时间s t s 5.2≤；b) 动态过程响应上升时间s t p 1≤；c) 系统最大超调量%10≤p σ。
按图1.2所示系统设计PID 调节器参数。
图2.1 单位反馈控制系统框图图2.2 综合设计控制系统框图三、实验要求(1) 采用Simulink系统建模与系统仿真方法，完成仿真实验；(2) 利用Simulink中的Scope模块观察仿真结果，并从中分析系统时域性能指标（系统阶跃响应过渡过程时间，系统响应上升时间，系统响应振荡次数，系统最大超调量和系统稳态误差）；(3) 利用Simulink中Signal Constraint模块对图2.2系统的PID参数进行综合设计，以确定其参数；(4) 对系统综合设计前后的主要性能指标进行对比分析，并给出PID参数的改变对闭环系统性能指标的影响。
四、实验步骤与方法4.1时域仿真分析实验步骤与方法在Simulink仿真环境中，打开simulink库，找出相应的单元部件模型，并拖至打开的模型窗口中，构造自己需要的仿真模型。
根据图2.1 所示的单位反馈控制系统框图建立其仿真模型，并对各个单元部件模型的参数进行设定。
所做出的仿真电路图如图4.1.1所示。
《计算机仿真技术》报告
《计算机仿真技术》实验报告实验一 数字仿真方法验证一、实验目的1．掌握基于数值积分法的系统仿真、了解各仿真参数的影响； 2．掌握基于离散相似法的系统仿真、了解各仿真参数的影响； 3．掌握SIMULINK 动态仿真；4．熟悉MATLAB 语言及应用环境。
二、实验环境网络计算机系统，MATLAB 语言环境三、实验内容、要求（一）试将示例1的问题改为调用ode45函数求解，并比较结果。
示例1：设方程如下，取步长 h =0.1。
上机用如下程序可求出数值解。
调用ode45函数求解： 1）建立一阶微分方程组 du=u-2*t/u2）建立描述微分方程组的函数m 文件 function du=sy11vdp(t,u) du=u-2*t/u3）调用解题器指令ode45求解y[t,u]=ode45('sy11vdp',[0 1],1) plot(t,u,'r-'); xlabel('t'); ylabel('u'); 结果对比：euler 法：t=1,u=1.7848; RK 法：t=1,u=1.7321; ode45求解:t=1,u=1.7321;[]1,01)0(2∈⎪⎩⎪⎨⎧=-=t u u t u dt duode45求解t-u 图：00.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.11.21.31.41.51.61.71.8tu（二）试用四阶RK 法编程求解下列微分方程初值问题。
仿真时间2s ，取步长h=0.1。
⎪⎩⎪⎨⎧=-=1)0(2y t y dt dy 四阶RK 法程序：clear t=2; h=0.1; n=t/h; t0=0; y0=1;y(1)=y0; t(1)=t0;for i=0:n-1 k1=y0-t0^2;k2=(y0+h*k1/2)-(t0+h/2)^2; k3=(y0+h*k2/2)-(t0+h/2)^2 k4=(y0+h*k3)-(t0+h)^2;y1=y0+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; t1=t0+h; y0=y1; t0=t1;y(i+2)=y1; t(i+2)=t1;end y tplot(t,y,'r'); 结果：t=2,y=2.61090.511.522.511.21.41.61.822.22.42.62.83：（三）试求示例3分别在周期为5s 的方波信号和脉冲信号下的响应，仿真时间20s ，采样周期Ts=0.1。
计算机仿真技术课件3数值积分法在系统仿真中的应用
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
龙格-库塔法
将式(3.3)在tn点展开 泰勒级数
h2 (t n ) (t n ) o(h 3 ) y (t n h) y (t n ) hy y 2
龙格-库塔（RK）法的一般形式为
r
（3-9）
yn1 yn h wi ki
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
为了适用于实时仿真计算，一般经常采用以下方法：
（1）选择Adams多步法。 （2）合理地选择龙格-库塔法计算公式中的系数，使之适用于 实时仿真。
在方程(3 18)式中，令W1 0可得W2 1, c2 1 , 此时， 2 (3 18)式化为
yn 1 yn hk2 k1 f (t n , yn ) k 2 f (t n h , yn h k1) 2 2
（3-38）
F为函数，外部输入为u(t) 。
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
采入un1
采入u (tn h ) 2
计算yn1 , 并输入
计算k 2
计算下 一个k1
tn
tn h 2
t n 1
图3.6
tn1 h 2
tn1 h
RK-2 的计算流程
由于当tn h tn 1时极端即才能真正采入 外部输入un1 , 才具备 计算k2的条件。所以 yn1要到tn1 h 时才能计算出来，并输 入到外 2 部设备，也就是说，计 算机输出要迟后半个计 算步距。
p yn 1 yn h f ( yn , t n ) （3-8） p p h y y [ f ( y , t ) f ( y n n n 1 , t n 1 )] n 1 n 2
实验一 数值积分算法仿真实验
3
计算机仿真输出图像 h=0.05
h=5.00
h=10.00
4
（3） 四阶龙—库法 数值积分算法如下： 数学模型为 设
初始值为 0；
计算机仿真程序 x1=0; x2=0; t0=0;tf=200;h=0.8; y=0; t=t0; n=round((tf-t0)/h); for i=1:n k11=x2; k21=1-x1-0.1*x2; k12=x2+h/2*k21; k22=1-(x1+h/2*k11)-0.1*(x2+h/2*k21); k13=x2+h/2*k22; k23=1-(x1+h/2*k12)-0.1*(x2+h/2*k22); k14=x2+h*k23; k24=1-(x1+h*k13)-0.1*(x2+h*k23); x1=x1+h/6*(k11+2*k12+2*k13+k14); x2=x2+h/6*(k21+2*k22+2*k23+k24); y=[y,x1]; t=[t,t(i)+h]; end [t',y'] plot(t,y) grid gtext('RK-4') gtext('h=0.8')
5
计算机仿真输出图像 h=0.80
h=5.00
h=10.00
6
实验结论
1、 2、 3、 4、 数值积分算法对仿真建模有三个基本要求：稳定性、准确性、快速性； 随着步距 h 的增大，仿真结果准确性逐渐降低，但速度也随之降低； 在三次仿真中， 四阶龙-库法精度最高， 可以看出， 计算量增加精度提高； 在不同的仿真计算中，要综合考虑要求精度及其运行速度选择合适的仿 真方法及步距，在既保证精度的情况下提高计算速度。
实验一 数值积分算法仿真实验
实验一数值积分算法仿真实验数值积分算法是对微积分中每个基本概念的具体应用，它被广泛应用于数学、工程、物理学、计算机科学等领域。
实验一旨在通过仿真实验来理解数值积分的基本原理以及各种算法的优劣。
1. 实验目的通过本实验，我们将探索数值积分算法的基本原理，以及了解求解积分的各种算法的使用方法和适用范围。
具体而言，本实验的目的包括：1. 理解数值积分的基本原理和方法。
2. 掌握数值积分算法的使用方法和步骤。
3. 比较不同积分算法的优缺点，了解它们适用的范围。
2. 实验内容本实验的具体内容包括：1. Simpson 积分算法的仿真实验3. 辛普森—三分积分算法的仿真实验4. 实验结果的分析与比较3. 实验原理在本次实验中，我们将介绍三种数值积分算法，分别是 Simpson 积分算法、梯形积分算法和辛普森-三分积分算法。
Simpson 积分算法也称为复化 Simpson 公式，是一种求解一定区间内函数积分值的数值计算方法。
这种方法的基本思路是将区间内的几何图形近似为二次函数，从而完成积分的近似计算。
具体而言，这种方法是通过将区间内的函数曲线分成若干个小区间，计算每一个小区间内的积分值，最后将这些积分值加起来得到整个区间内的积分值。
Simpson 积分公式如下所示：$I=\frac{h}{3}(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+...+4f(x_{n-1})+f(x_n))$其中，$n$ 表示小区间的数目，$h$ 表示每个小区间的长度，$f(x_i)$ 表示区间内的函数值。
3.2 梯形积分算法辛普森-三分积分公式如下所示：$I=\frac{2b-a}{6n}(f(a)+f(b)+2\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j})+4\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x _{2j + 1}))$```% Simpson 积分算法function result = simpson(a,b,f,n)h = (b-a)/n;x = a:h:b;y = f(x);result = h/3*(y(1) + 4*sum(y(2:2:n)) + 2*sum(y(3:2:n-1)) + y(n+1));end我们可以通过实验数据来比较不同积分算法的优缺点。
哈工大 计算机仿真技术实验报告 实验3 利用数值积分算法的仿真实验
模型的稳定性：当步距 h=5.0e-5 时，前向欧拉法和后向欧拉法明显失真， 随着步距的减小， 二阶显式 Adams 法， 梯形法和显式四阶 Runge-Kutta 法的波形 变化不大，而前向欧拉法和后向欧拉法的波形得到明显改善。所以显式四阶 Runge-Kutta 法，二阶显式 Adams 法和梯形法的稳定性较好，前向欧拉法和后向 欧拉法的稳定性较差。 模型的精度和离散时间间隔：步距为 h=5.0e-6 时，显式四阶 Runge-Kutta 法 精度最高，其次是二阶显式 Adams 法和梯形法。步距为 h=5.0e-7 时，前向欧拉 法和后向欧拉法仿真精度才达到要求。所以，显式四阶 Runge-Kutta 法，二阶显 式 Adams 法和梯形法模型的精度较高，离散时间间隔要求低，其中，显式四阶 Runge-Kutta 法模型的精度最高，其次是二阶显式 Adams 法，由于是二次函数较 复杂，函数曲线与真实曲线较为接近；再次精确的是梯形法，取梯形面积，误差 也较小；前向欧拉法和后向欧拉法模型的精度较低，由于取的是矩形面积，离散 时间间隔要求高。
实验 3 利用数值积分算法的仿真实验
(
一、 实验目的
1) 熟悉 MATLAB 的工作环境；
2) 掌握 MATLAB 的 .M 文件编写规则，并在命令窗口调试和运行程序； 3) 掌握利用欧拉法、梯形法、二阶显式 Adams 法及四阶龙格库塔法构建系 统仿真模型的方法,并对仿真结果进行分析。
二、实验内容
上对应的标题。
四、实验原理
在连续系统的数字仿真算法中,较常用的有欧拉法、 梯形法、 二阶显式 Adams 法及显式四阶 Runge-Kutta 法等。欧拉法、梯形法和二阶显式 Adams 法是利用离 散相似原理构造的仿真算法，而显式四阶 Runge-Kutta 法是利用 Taylor 级数匹配 原理构造的仿真算法。 对于线性系统，其状态方程表达式为：
计 算 机 仿 真 技 术第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
取 c2 1，得
W1=
W2=
1 2
a21 1
故得二阶龙格—库塔法计算公式
yn1
yn
1 2
K1
K2
K1 hf tn , yn K2 hf tn h, yn K1
(3.1.19)
由于(3.1.13)式中只取了 h ，h 2两项，而将h 2 以上的高阶项 忽略了，所以这种计算方法的截断误差正比于h 3。
ytn
h
ytn
hf
tn ,
yn
h h2 2!
f
tn ,
yn
将(3.1.4)式在
Rn
1 2!
h2
f
tn
,
yn
以后截断，即
得(3.1.3)式的欧拉公式，Rn称为局部截断误差，
它与 h2成正比，即 Rn O h2
(3.1.5)
另外，解以t 0开始继续到t tn ，所积Βιβλιοθήκη 的误3.1.2龙格—库塔法
欧拉法是将 y f t, y, yt1 y0在 tn点附近 的 ytn h经台劳级数展开并截去 h2以后各项得到
的一阶一步法，所以精度较低。如果将展开式 (3.1.4)式多取几项以后截断，就得到精度较高的 高阶数值解，但直接使用台劳展开式要计算函数 的高阶导数。龙格—库塔法是采用间接利用台劳 展开式的思路，即用在n个点上的函数值f的线性 组合来代替f的导数，然后按台劳展开式确定其中 的系数，以提高算法的阶数。这样既能避免计算 函数的导数，同时又保证了计算精度。由于龙 格—库塔法具有许多优点，故在许多仿真程序包 中，它是一个最基本的算法之一。
仿真3数值积分法
•
• 描述各类系统最基本的模型用微分方程或 状态空间表达式，二次建模就是要求出适合用数 字计算机求解的模型，就需要把微分运算转化成 算术运算在用计算机求解。
连续系统数值积分法：就是利用数值积分 方法对常微分方程建立离散化形式的数学模型（ 差分方程）并求出数值解。
最常用的数值解法有：
欧拉法、梯形法、Adams、Runge—Kutta法 。
• 实际在逐步递推过程中，计算 yn+1 时已经获
得一系列的近似值：
以及
。
• 如果能利用多步计算信息（历史时刻值）， 则可能既加快仿真速度又获得较高的仿真精度， 这就是构造多步法的出发点。
• 多步法中以 Adams 法最具代表性，应用最为 普遍。
•
• 一、Adams算法
• 对一阶连续系统
：
•连续解为：
•此时，RK4公式的４个 k 值：
•
例：系统方程
•解
•取步长 h=0.1,试用RK4法求t=0.1，0.2时的解 •将原系统方程化为状态方程形式
:：
•
•
•见仿真结 果
•作业：P149 3.2
•
•
• 第三节 数值积分法的多步算法
• 单步法的特点：计算 n+1 时刻的值 yn+1 时， 只用到第 n 时刻的 yn 和 fn 。
•
(1)
• 之间的误差为：
• 局部截断误差与hp+1是同阶无穷小量,记为 •O(以hp上+1)公式(1)就称为p阶的Taylor展开法递推公
式
•
欧拉法的Taylor级数展开
•只取一次项，其余忽略
•写成差分方程 为 •这就是解微分方程初值问题的欧拉算法。
(完整版)哈工大-数值分析上机实验报告
实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。
本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。
在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。
重复运行计算，直至满足精度为止。
这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。
当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。
另外，若将该迭代公式改进为其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。
其中待求解的方程写成function的方式，如下function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。
二分法源程序：clear%%%给定求解区间b=1.5;a=0;%%%误差R=1;k=0;%迭代次数初值while (R>5e-6) ;c=(a+b)/2;if f12(a)*f12(c)>0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear%%%% 输入函数f=input('请输入需要求解函数>>','s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值x0x0=input('input initial value x0>>');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解while (abs(R)>1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if (eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10);breakendif k>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值ss=input('maybe result is error,choose a new x0,y/n?>>','s');if strcmp(ss,'y')x0=input('input initial value x0>>');k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0；%给出解结果分析和讨论：1.用二分法计算方程在[1，2]内的根。
哈工大数值分析实验报告
哈工大数值分析实验报告标题：哈工大数值分析实验报告一、实验目的：本实验的目的是探究在数值分析中使用的各种数值方法，对于解决实际问题的有效性和可靠性进行评估。
二、实验内容：本实验主要包括以下几个方面的内容：1. 熟悉数值分析中常用的数值方法，如数值积分、数值微分、迭代法等；2. 在MATLAB等数学软件平台上，编写程序实现所学的数值方法；3. 使用所编写的程序，对给定的实际问题进行求解，并分析其结果的有效性和可靠性；4. 根据实际问题的特点，评估不同数值方法的适用性，并给出相应的结论和建议。
三、实验步骤：1. 阅读相关的理论知识，熟悉数值分析中常用的数值方法；2. 编写数值分析实验的程序代码，包括数值积分、数值微分和迭代法等；3. 使用编写的程序，对所给的实际问题进行求解，记录并分析结果；4. 根据实际问题的特点，评估所使用的数值方法的可靠性和有效性；5. 根据实验结果，撰写实验报告，包括实验目的、实验内容、实验步骤和实验结果的分析等。
四、实验结果：根据实际问题的不同，实验结果也会有所差异。
在实验报告中，可以详细叙述对所给实际问题的求解过程，并对结果进行分析和解释。
同时，还可以比较不同数值方法的结果，评估其优劣和适用性。
五、实验结论：根据实验结果的分析，可以得出结论，总结不同数值方法的优缺点，并对其在实际问题中的应用进行评价。
同时，还可以给出相应的建议，为以后的数值分析工作提供参考。
六、实验总结：通过本次实验，进一步加深了对数值分析中常用数值方法的理解和掌握。
通过实际问题的求解，对于这些数值方法的应用和效果有了更深入的认识。
同时，也提高了编程和科研报告撰写的能力，为以后的学习和工作打下了坚实的基础。
以上是关于哈工大数值分析实验报告的基本内容，具体实验细节和结果请根据实际情况进行补充。
哈工大-数值分析上机实验报告
Emax= 0.70770085900503，0 此时由 Emax 可以看出，不选主元的结果应该可以说是不正确了，这是由机器误差引 起的。 当 10 20 时，不选主元和选主元的计算结果如下 NaN NaN NaN Emax=NaN, 0 不选主元时，程序报错： Warning: Divide by zero. 。这是因为机器计算的最小精度为 10-15，所以此时的 10 20 就认为是 0，故出现了错误现象。而选主元时则没有这种现象， 而且由 Emax 可以看出选主元时的结果应该是精确解。
x3 x 1 0
x0=1； x0=0.45, x0=0.65；
( x 1) 2 (2 x 1) 0
当 x0=0.45 时，计算结果为 x= 0.49999999999983； f(x)= -8.362754932994584e-014； k=4； 由 f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有 4 次看出收敛速度很快，实际上该方程确实 有真解 x=0.5。 当 x0=0.65 时，计算结果为 x= 0.50000000000000； f(x)=0； k=9； 由 f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解 x=0.5，但迭代次数增多，实际上当取 x0〉0.68 时，x≈1，就变成了方程的另一个解，这说明 Newton 法收敛与初值很有关系， 有的时候甚至可能不收敛。
实验报告
结果分析和讨论： 例 用最小二乘法处理下面的实验数据 . xi fi 3 2.01 4 2.98 5 3.50 6 5.02 7 5.47 8 6.02 9 7.05
Hale Waihona Puke 并作出 f ( x) 的近似分布图。 分别采用一次，二次和五次多项式来拟合数据得到相应的拟合多项式为： y1=-0.38643+0.82750x ； y2=-1.03024+1.06893x-0.02012x2； y5=-50.75309+51.53527x-19.65947x2+3.66585x3-0.32886x4+0.01137x5； 分别作出它们的曲线图，图中点划线为 y1 曲线，实线为 y2 曲线，虚线为 y5 曲线。’x’为 给定的数据点。从图中可以看出并不是多项式次数越高越好，次数高了，曲线越能给定点 处和实际吻合，但别的地方就很差了。因此，本例选用一次和两次的多项式拟合应该就可 以了。
计算机仿真实验报告
目录实验一Matlab语言编程 (1)一.实验目的 (1)二.具体实验内容、步骤、要求： (1)实验二数值积分算法及函数调用练习 (3)一．实验目的 (3)二．实验实例介绍： (3)实验三控制工具箱与SIMULINK软件应用 (9)一．实验目的 (9)二．实验预习要求： (9)三．学会调出、运行已由SIMULINK建立的仿真模型。
(9)四．实验设计题目与要求： (10)实验一 Matlab 语言编程一. 实验目的熟悉Matlab 语言及其编程环境，掌握编程方法 要求认真听取实验指导老师讲解与演示二. 具体实验内容、步骤、要求：1．运行交互式学习软件，学习Matlab 语言2．在Matlab 的命令窗口下输入如下命令：INTRO,然后根据显示出来的幻灯片右面按钮进行操作，可按START —>NEXT —>NEXT 按钮，一步步运行，观察。
3．自编程序并完成上机编辑、调试、运行，存盘。
(1). 用Matlab 命令完成矩阵的各种运算，例如：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211A 求出下列运算结果，并上机验证。
A(:,1)，A(2,:)，A(1:2,2:3)，A(2:3,2:3)，A(:,1:2)，A(2:3), A(:),A(:,:),ones(2,2), eye(2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=41312111A(:,1)[]24232221:)A(2,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=232213123):2,2:A(1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=333223223):3,2:A(2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=42413231222112112):A(:,1[]31213):A(2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44342414433323134232221241312111A(:)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211:)A(:,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1111)2,2(ones ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001)2(eye(2). 绘制数学函数图形t=0:0.1:8;y=1-2*t.*sin(t); plot(t,y)12345678-15-10-551015时间t输出y绘制数学函数图形4．理解命令文件和函数文件的区别，并自编函数文件并调用。
哈尔滨工业大学《系统建模与仿真》系统建模与仿真-第三章-连续系统仿真方法
本章目次
3.1离散化原理及要求
3.4纯延迟环节仿真模型
3.2连续系统仿真算法
3.5采样控制系统仿真方法 3.6间断特性仿真方法
3.3连续系统实时仿真算法 3.7 病态系统仿真方法
3.1 离散化原理及要求
在计算机上仿真面临的问题：数字计算机的数值及时间均具有 离散性，而被仿真系统的数值及时间均具有连续性。后者如何用 前者来实现？
t
x(t) exp( A t)x(0) exp( A (t ))Bu( )d 0
x(n1)T (T ) x(nT ) u m(T ) (nT )
其中：(T ) exp( A T ),
T
m(T ) exp( A (T ))Bd 0
(2)步长 h 在整个计算中并不要求固定，可以根据精度要求改变，
但是在一步中算若干个系数 Ki (俗称龙格—库塔系数)，则必须
用同一个步长 h。
3.2 连续系统仿真算法
3.2.2 非线性连续系统仿真算法—龙格库塔法
龙格库塔法特点
(3)龙格—库塔法的精度取决于步长 h 的大小及方法的阶次。许 多计算实例表明：为达到相同的精度，四阶方法的 h 可以比二 阶方法的h 大10倍，而四阶方法的每步计算量仅比二阶方法大1
令(t) L1 (sI A)1 ,则
其中：
x(s) L (t) x(0) L (t) Bu(s)
t
x(t) (t) x(0) (t )Bu( )d 0
(t) exp( At)为状态转移矩阵,则得线性状态方程的解析解：
数字计算机：从根本意义上讲，所进行的计算仅仅是“数字”计 算，它表示数值的精度受限于字长，这将引入舍入误差；另一方 面，这种计算是按指令一步一步进行的，因而，还必须将时间离 散化，这样就只能得到离散时间点上系统的（离散数值）状态 （性能）。
数值积分上机实验报告
一、实验目的1. 理解数值积分的概念及其在实际应用中的重要性；2. 掌握数值积分的常用方法，如梯形法、辛普森法、高斯法等；3. 利用计算机编程实现数值积分算法，提高编程能力；4. 分析不同数值积分方法在精度和效率方面的差异。
二、实验内容1. 实现梯形法、辛普森法和高斯法；2. 对给定函数进行数值积分，比较不同方法的精度和效率；3. 分析误差来源，提出改进措施。
三、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3. 数值计算库：NumPy四、实验步骤1. 实现梯形法：```pythonimport numpy as npdef trapezoidal_rule(f, a, b, n):h = (b - a) / nresult = 0.5 (f(a) + f(b))for i in range(1, n):result += f(a + i h)result = hreturn result```2. 实现辛普森法：```pythondef simpson_rule(f, a, b, n):h = (b - a) / nresult = f(a) + f(b)for i in range(1, n):if i % 2 == 1:result += 4 f(a + i h)else:result += 2 f(a + i h)result = h / 3return result```3. 实现高斯法：```pythondef gauss_quadrature(f, a, b, n):x = np.linspace(a, b, n)w = 2 (b - a) / (3 n) np.ones(n)return np.dot(w, f(x))```4. 对给定函数进行数值积分，比较不同方法的精度和效率：```pythondef f(x):return np.sin(x)a = 0b = np.pin = 10result_trapezoidal = trapezoidal_rule(f, a, b, n)result_simpson = simpson_rule(f, a, b, n)result_gauss = gauss_quadrature(f, a, b, n)print("梯形法结果：", result_trapezoidal)print("辛普森法结果：", result_simpson)print("高斯法结果：", result_gauss)```5. 分析误差来源，提出改进措施：通过比较梯形法、辛普森法和高斯法的结果，我们可以发现高斯法在精度和效率方面都优于梯形法和辛普森法。
数值分析上机实验——数值积分
实验报告哈尔滨工程大学教务处制实验三 数值积分一．数值积分的基本思想1.复合梯形公式：Tn=++)()([2b f a f h2∑-=11)](n k xk f ；2.复合辛普森公式：Sn=6h[f(a)+f(b)+2∑-=11)](n k xk f +4∑-=+1)2/1(n k x f ]；以上两种算法都是将a-b 之间分成多个小区间（n ）,则h=(b-a)/n,x k =a+kh,x k+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据两公式便可。
3.龙贝格算法：在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式（1）Sn=34T2n-31Tn（2）Cn=1516S2n-151Sn（3）Rn=6364C2n-631Cn4T)(k m=144-m m T )1(1+-k m - 141-mT )(1k m -，k = 1，2，… 二.实验题目及实验目的(第4章计算实习题第1题)用不同数值方法计算积分xdx x ln 1⎰= -94。
（1）取不同的步长h 。
分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善？（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。
（3）用自适应辛普森积分，使其精度达到104-。
三．实验手段：指操作环境和平台:win7系统下MATLAB R2009a程序语言：一种类似C 语言的程序语言，但比C 语言要宽松得多，非常方便。
四.程序①复合梯形求积程序function t=TiXing_quad(a,b,.h) format longx=a:h:b;y=sqrt(x).*log(x);y(1)=0;t=0;for k=1:(b-a)/h,t= t+y(k)+y(k+1);endt=t*h/2;②复合辛普森求积程序function s=Simpson_quad(a,b,h) format longx=a:h:b;y=sqrt(x).*log(x);z=sqrt(x+h/2).*log(x+h/2);y(1)=0;s=0;for k=1:(b-a)/h,s= s+y(k)+y(k+1)+4*z(k);ends=s*h./6;③龙贝格求积程序function [q,R]=Romberg(a,b,eps) h=b-a;R(1,1)=h*(0+sqrt(b).*log(b))/2; M=1;J=0;err=1;while err>epsJ=J+1;h=h/2;S=0;for p=1:Mx=a+h*(2*p-1);S=S+sqrt(x).*log(x);endR(J+1,1)=R(J,1)/2+h*S;M=2*M;for k=1:JR(J+1,k+1)=R(J+1,k)+(R(J+1,k)-R(J,k))/(4^k-1);enderr=abs(R(J+1,J)-R(J+1,J+1));endq=R(J+1,J+1);控制台输入代码：（1）>> a=0;>> b=1;>> h=0.1;>> t=TiXing_quad(a,b,h)>> s=Simpson_quad(a,b,h)>> h=0.01;>> t=TiXing_quad(a,b,h)>> s=Simpson_quad(a,b,h)>> h=0.001;>> t=TiXing_quad(a,b,h)>> s=Simpson_quad(a,b,h)（2）>> a=0;>> b=1;>> eps=10^-8;>> [quad,R]=Romberg(a,b,eps)（3）>> a=0;>> b=1;>> eps=10^-4;>> q=ZiShiYingSimpson('sqrt(x).*log(x)',a,b,eps) 五．实验结果比较与分析（1）h = 0.1时h = 0.01时h = 0.001时由结果（1）可知对于同一步长h，复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时即h越小时，积分精度越高。
计算机仿真教案02--第二章数值积分法的系统仿真
仿真技术基础 · 数值积分法的系统仿真
2.1 概述
的
计算过程：由初始点
y (t 0 ) y 0
t t0
f (t0，y0 )
y(t ) y0 f (t , y)dt
f(t,y)
f(t 0,y o)
t0
t
t1
t
仿真技术基础 · 数值积分法的系统仿真
2.2 数值积分法
2 .2 数值积分法
由前进Euler公式
y j 1 y j hf ( x j , y j )
y j h( y j
2xj yj
)
j 1,2 ,, n
仿真技术基础 · 数值积分法的系统仿真
2.2 数值积分法
20 ) 1.1 1
得
y1 y0 h( y0
2 x0 ) y0
1 0.1(1
2.1 概述
2. 对仿真建模方法三个基本要求：
（1）稳定性：不改变原系统的稳定性
若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的 若原连续系统是不稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是不稳定的 （2）准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是： 绝对误差准则：
ˆ (t n ) y (t n ) e y (t n ) y
船舶与海洋工程学院
第二章 数值积分法的系统仿真
仿真技术基础 · 数值积分法的系统仿真
2.1 概述
2.1 概述 连续系统仿真，从本质上：对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统 进行离散化并选择合适的数值计算方法来近似积分运算
在数值积分法的计算中，只计算了采样点的值，相当于是对系统模型进 行了离散化处理，所以从本质说，数值积分法也是离散化方法，只不过它是 从数值积分的角度出发，没有明确提出“离散”这个概念
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实验三利用数值积分算法的仿真实验一、实验目的1) 熟悉MATLAB的工作环境；2) 掌握MATLAB的 .M文件编写规则，并在命令窗口调试和运行程序；3) 掌握利用欧拉法、梯形法、二阶显式Adams法及四阶龙格库塔法构建系统仿真模型的方法,并对仿真结果进行分析。
二、实验内容与要求系统电路如图3所示。
电路元件参数：直流电压源，电阻，电感，电容。
电路元件初始值：电感电流，电容电压。
系统输出量为电容电压。
试利用欧拉法、梯形法、二阶显式Adams法及显式四阶Runge-Kutta法构建系统仿真模型，并求出离散系统的输出量响应曲线。
连续系统输出响应的解析解为：其中，三、实验原理在连续系统的数字仿真算法中,较常用的有欧拉法、梯形法、二阶显式Adams法及显式四阶Runge-Kutta法等。
欧拉法、梯形法和二阶显式Adams法是利用离散相似原理构造的仿真算法，而显式四阶Runge-Kutta法是利用Taylor级数匹配原理构造的仿真算法。
对于线性系统，其状态方程表达式为:(3-1)式（3-1）中，是系统的n维状态向量,是系统的m维输入向量，是系统的r维输出向量。
A为阶参数矩阵，又称动态矩阵，B为阶输入矩阵，C为阶输出矩阵，D为阶交联矩阵。
利用前向欧拉法构建线性系统的仿真模型为：（3-2）式中，为积分步长，为单位矩阵。
利用后向欧拉法构建线性系统的仿真模型为：（3-3）利用梯形法构建线性系统的仿真模型为：（3-4）利用二阶显式Adams法构建线性系统的仿真模型为：（3-5）式中： （3-6）二阶显式Adams法为多步计算方法，利用多步计算方法对系统进行仿真时，需要与之具有相同计算精度的单步计算方法辅助计算。
二阶显式Adams法的计算精度为二阶，可以采用梯形法或改进的Euler法等辅助计算。
利用改进的Euler法构建线性系统的仿真模型为：（3-7）利用显式四阶Runge-Kutta法构建线性系统的仿真模型为：（3-8）四、实验步骤与方法1. 建立系统数学模型根据图3所示电路，系统状态方程模型:(3-9)式中，状态变量，输出变量，系数矩阵为：，，。
2. 建立系统离散数学模型根据系统状态方程模型，利用式（3-2）~（3-8）给出的欧拉法、梯形法、二阶显式Adams法及显式四阶Runge-Kutta法的公式，分别构造与连续系统相似的离散系统模型，即系统的差分方程。
该模型是编写计算机仿真程序的基础。
对于图3所示的系统，利用欧拉法构造的系统差分方程具有形式：（3-10）对于前向欧拉法，式（3-10）的系数矩阵为：，，。
对于后向欧拉法，式（3-10）的系数矩阵为：，，。
对于图3所示的系统，利用梯形法构造的系统差分方程具有形式：（3-11）其系数矩阵为：，，。
利用二阶显式Adams法构造与连续系统相似的离散系统模型时，首先选择起步计算方法。
这里选择改进的Euler法。
其离散系统模型为：（3-12）其中，。
由式（3-12）计算出和后，便可以转入由二阶显式Adams法构造的离散系统模型计算，即系统差分方程。
其计算方程为：（3-13）（3-14）其中，。
利用显式四阶Runge-Kutta法构建的图3所示线性系统的离散系统模型为：（3-8）3. 编写Matlab的M文件程序利用欧拉法、梯形法、二阶显式Adams法及显式四阶Runge-Kutta法建立的离散系统差分方程编写系统仿真程序。
Matlab的M函数编写及运行见附录。
编写的M文件程序应能够满足实验要求。
4. 仿真实验为了比较分析算法特性，如稳定性、精度及误差，与积分步长的关系，应选择一组合理的积分对系统进行仿真实验。
试采用表3-1数据，分别利用欧拉法、梯形法、二阶显式Adams法及显式四阶Runge-Kutta法对图3电路进行仿真，给出仿真试验曲线及算法误差曲线（与准确解相比）。
从算法的稳定性、精度和算法误差与与积分步长的关系角度，对算法的仿真结果进行对比分析。
表3-1 积分步长的选择仿真时间t=0.01s积分步长/s五、实验报告要求1）给出欧拉法、梯形法、二阶显式Adams法及显式四阶Runge-Kutta法构建离散系统模型的过程；2）给出系统仿真程序；3）给出仿真试验曲线；4）分析仿真结果，从仿真模型实现的难易性、模型的稳定性、模型的精度等方面，对欧拉法、梯形法、二阶显式Adams法及显式四阶Runge-Kutta法构造的离散系统模型进行对比分析，并给出分析结论。
六、系统仿真程序function []=RLC(R,L,C,U,t,h)R=10;L=0.01;C=1.0e-6;U=1;t=0.01;h = 2.0e-4;m = fix(t/h);n = 2;A = [-R/L -1/L;1/C 0];B = [1/L;0];D = [0 1];E = [1 0;0 1];% 前向欧拉法 %for i=1:1:nx1(1:n,1) = 0;endfor k=1:mx1(1:n,k+1) = x1(1:n,k) + (A*x1(1:n,k)+B)*h;endfor k=1:1:my1(k) = D*x1(1:n,k);end% 后向欧拉法 %x2(1:n,1) = 0;endA1 = inv(E-A*h);for k=1:mx2(1:n,k+1) = A1*(x2(1:n,k) + B*h);endfor k=1:1:my2(k) = D*x2(1:n,k);end% 梯形法 %for i=1:1:nx3(1:n,1) = 0;endA2 = inv(E-A*h/2);for k=1:mx3(1:n,k+1) = A2*( x3(1:n,k) + B*h + A*x3(1:n,k)*h/2);endfor k=1:1:my3(k) = D*x3(1:n,k);end% 二阶显示Adams法 %for i=1:1:nx4(1:n,1) = 0;endfor k=1:mx4(1:n,k+1) = A2*(x4(1:n,k) + B*h + A*x4(1:n,k)*h/2);endfor k=3:mfm1 = 23*(A*x4(1:n,k)+ B);fm2 = -16*(A*x4(1:n,k-1)+ B);fm3 = 5*(A*x4(1:n,k-2)+ B);x4(1:n,k+1) = x4(1:n,k)+(fm1+fm2+fm3)*h/12;endy4(k) = D*x4(1:n,k);end% 四阶Runge-Kutta法 %for i=1:1:n % 状态变量初值x5(1:n,1) = 0;endfor k=1:mx5(1:n,k+1) = A2*( x5(1:n,k) + B*h + A*x5(1:n,k)*h/2);endfor k=1:1:mk1=A*x5(1:n,k+1);k2=A*(x5(1:n,k+1)+h*k1/2);k3=A*(x5(1:n,k+1)+h*k2/2);k4=A*(x5(1:n,k+1)+h*k3);x5(1:n,k+1)=x5(1:n,k+1)+h.*(k1+2*k2+2*k3+k4)./6;endfor k=1:1:my5(k) = D*x5(1:n,k);end% 解析解 %p = R/(2*L);w=sqrt(1/(L*C)-(R/(2*L))^2);for k=1:1:my(k) = U*(1-exp(-p*(k-1)*h) * (cos(w*(k-1)*h) + sin(w*(k-1)*h)*p/w));end%输出曲线 %for k=1:1:mt(k) = (k-1)*h;endsubplot(2,3,1),plot(t,y,'r',t,y1,'b')legend('y解析解,','y1前向欧拉')title('前向欧拉法')subplot(2,3,2),plot(t,y,'r',t,y2,'b')legend('y解析解,','y2后向欧拉')title('后向欧拉法')subplot(2,3,3),plot(t,y,'r',t,y3,'b') legend('y解析解,','y3梯形法')title('梯形法')subplot(2,3,4),plot(t,y,'r',t,y4,'b') legend('y解析解,','y4二阶显式Adams法') title('二阶显式Adams法')subplot(2,3,5),plot(t,y,'r',t,y5,'b') legend('y解析解,','y5显式四阶Runge-Kutta 法')title('显式四阶Runge-Kutta法')六、仿真实验曲线七、实验结论1）欧拉法为单步计算法，为自动起步的。
梯形法也为单步法，可以自动起步计算。
二阶显示Adams法需要知道k个初始值，不能自起步，二次函数很复杂，常用单步法来得到所需的几个初始值，很为复杂。
显式四阶Runge-Kutta法建模最为复杂，仿真时间也较长。
2）我们看到欧拉法最先与解析解分离开来，最后振荡开来，故稳定性最低；显式四阶Runge-Kutta法、二阶显示Adams 法和梯形法而则在较长时间可与曲线拟合收敛，故稳定性好。
3）显式四阶Runge-Kutta法，二阶显示Adams法模型的精度较高，函数曲线与真实曲线较为接近。
其次精确的是梯形法，取梯形面积，误差也较小。
前向欧拉法和后向欧拉法模型的精度最低。
4）二阶显示Adams法和梯形法对离散时间间隔要求低，前向欧拉法和后向欧拉法由于取的是矩形面积，离散时间间隔要求高。
5）从以上几种方法的仿真，共同规律是在小步长下都收敛，步长越小，误差越小，函数曲线与真实曲线较为接近；步长太大，最后的到的结果不是绝对收敛。
同时，同一算法隐式算法要比显式算法稳定性好，计算精度高。