NOIP2014普及组复赛 螺旋矩阵

NOIP2014普及组复赛试题解答

3. 螺旋矩阵

【问题描述】

一个n 行n列的螺旋矩阵可由如下方法生成：

从矩阵的左上角（第1行第1列）出发，初始时向右移动：如果前方是未曾经过的格子，则继续前进，否则右转；重复上述操作直至经过矩阵中所有格子。根据经过顺序，在格子中依次填入1，2，3，…，n2，便构成了一个螺旋矩阵。

现给出矩阵大小n以及i和j,请你求出该矩阵中第i行第j列的数是多少。

【分析】

这是个蛇形填数问题。如果采用先枚举二维数组再找对应的元素方法，由于1 ≤n ≤30,000，需要建立一个 30,000× 30,000的二维数组，结果会发生数据溢出且超出运行内存上限（128M)。

我们可以采用类似贪吃蛇的方法，让它在N×N个方格内自外向内逐格移动，控制其向右转的方向，并计算其长度。

解法一

#include

using namespace std;

bool pd(int,int) ;

int i,j;

bool p;

int main()

{

int n,x,y,u,d,l,r,tot=0; // U为上边界，D为下边界，L为左边界，R为右边界；

freopen("matrix.in","r",stdin);

freopen("matrix.out","w",stdout);

scanf("%d%d%d",&n,&i,&j);

d=n;r=n;u=1;l=1; //各边界赋初值；

x=1;y=0;

p=true;

while((tot

{

while((y

while((x

while((y>l)&&p){--y;++tot;pd(x,y);}++l;//在下侧边界上向左移动，当下侧一行的结束时，控制其左边界向右缩一列；

while((x>u+1)&&p){--x;++tot;pd(x,y);}++u;//在左侧边界上向上移动，当左侧一列的结束时，控制其上边界向下缩一行；

}

printf("%d\n",tot);

fclose(stdin);fclose(stdout);

return 0;

}

bool pd(int x,int y) //判断是否到达目的地，如果到达则停止枚举；

{

if((x==i)&&(y==j))p=false;

return p;

}

解法二：

在上一个解法中，如果遇到极端情况时，可能需要枚举达900000000次，这显然太慢了些，我们可以根据贪吃移动的特点对程序进行优化。

可以这样考虑，当贪吃蛇到每个行列的转折点时，可以先判断目的地是否在自己的正前方，如果是则只需计算当前位置到目的地的距离加上自身的长度即可；否则就计算到下一个转折点人距离，加上当前自身长度，并到达下一个转折点，同时控制所在行（或列）的边界向内侧移动；

#include

using namespace std;

bool pd(int,int) ;

int main()

{

int n,i,j,x,y,u,d,l,r,tot=1; // U为上边界，D为下边界，L为左边界，R为右边界；

freopen("matrix.in","r",stdin);

freopen("matrix.out","w",stdout);

scanf("%d%d%d",&n,&i,&j);

d=n;r=n;u=1;l=1; //各边界赋初值；

x=1;y=1;

bool p=true;

while(p)

{

if(p)

if(x==i) //在上侧边界线上向右移动。如果目的地在正前方，则当前长度加上当前位置到目的地距离，结束循环；

{tot=tot+j-y;p=false;}

else //否则，当前长度加当前位置至行未的长度，同时到达右边界位置，并控制其上边界向下移动一列；

{tot=tot+r-y;y=r;++u;}

if(p)

if(y==j)

{tot=tot+i-x;p=false;}

else

{tot=tot+d-x;x=d;--r; }

if(p)

if(x==i)

{tot=tot+y-j;p=false;}

else

{tot=tot+y-l;y=l;--d; }

if(p)

if(y==j)

{tot=tot+x-i;p=false;}

else

{tot=tot+x-u;x=u;++l;}

}

printf("%d\n",tot);

fclose(stdin);fclose(stdout);

return 0;

}

解法三：

对解法二，我们还可以进行优化。考虑到贪吃蛇总是从外围一圈圈地向目的地前进，而每一圈刚好是一个正方形，我们可以先计算外围各圈正方形的周长之和，再让贪吃蛇从目的地所在圈的左上角出发，计算其从出发地到目的地的长度就可以了。

#include

using namespace std;

bool pd(int,int) ;

int main()

{

int n,i,j,x,y,u,d,l,r,k,t,tot=0; // U为上边界，D为下边界，L为左边界，R为右边界；

bool p=true;

freopen("matrix.in","r",stdin);

freopen("matrix.out","w",stdout);

scanf("%d%d%d",&n,&i,&j);

x=i

y=j

k=x

u=k;l=k;d=n-k+1;r=n-k+1; //设定各边界；

for(t=1;t

{tot=tot+(n-1)*4;n=n-2;} //计算在到达目的地外围所有圈的周长之和；

x=k;y=k;++tot; //进入目的地所在的那一圈，初始化出发地；

if(p)

if(x==i) //向右移动。如果目的地在正前方，则当前长度加上当前位置到目的地距离，结束循环；

{tot=tot+j-y;p=false;}