小学奥数周期问题

周期问题

典型例解

［例1］把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着，其中第90颗是什么棋？第101颗是什么棋？

…

【分析】仔细观察图中棋的排列，不难发现棋的排列规律是：2颗黑棋，1颗白棋，2颗黑棋, 1颗白棋，也就是按“两颗黑棋，一颗白棋”的次序循环出现，因此，这道题的周期为3。

再看看90,101里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。

解答90 -3=30,正好有30个周期。

101 -3=33……2, 有33个周期还多2个。

所以，第90颗棋是白棋，第101颗棋是黑棋。

答：第90颗是白棋，第101颗是黑棋

［举一反三1］

①有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4…第129个数是多少？

②有同样大小的黑、白、红珠子共180个，按5个红珠，4个白珠，3个黑珠排列，第158个珠子是什么颜色？这158个珠子中有多少个黑珠？

③△△。△厶…其中第99个是什么图形？

［例2］7 7 :7 L、；q积的个位数字是几？

202 X

［分析］要求202个7连乘的积的个位数字，因此，我们只需要考虑积的个位数字的排列规律。

从上表中，我们发现积的个位数字分别以7、9、3、1不断重复出现，即每4个7相乘为1个周期。202个7相乘中含有多少个这样的周期？余数是几？如果余数是1,那么积的个位数字是7;如果余数是2,那么积的个位数字是9;如果余数是3,那么积的个位数字是3;如果没有余数，那么积的个位数字是1。

［解答］202十4=50 （周）……2 （个）

答：202个7连乘，积的个位数字是9。

［举一反三2］

① 2 2 2 2二'2的积的个位数字是几？

1001 个2

②434积的个位数字是几?

2003个4

③99 . 9 9cP 9的积的个位数字是几?

2011 个9

［例3］25宁74的商的小数点后面第80位是几？小数点后面前80个数字之和是多少？

［分析］先找出25-74的商，25-74=0.3378378378…，从小数点后第二个数字开始，3,7,8这三个数字依次重复不断地出现，即循环节有三个数字组成：3,7,8，即25-74=0.3378,显然这

道题的周期是3(3,7,8)。

(1)要求小数点后第80位数字，先去掉第一个数字，还剩下80—仁79 (个)数字，再算一算79个数字里有几个这样的周期；79- 3=26……1,则小数点后面第80个数字是“ 3”。

(2)小数点后面前80个数字之和应由三部分组成；第一个数字3,26个周期中的数字和，最

后一个数字3,把这三部分加起来，即可求得小数点后面80个数字之和。

［解答］(1)这道题的周期是3 (3,7,8 )

80 —仁79 (个)

79 - 3=26 (1)

所以，小数点后第80位数字是3。

(2)小数点后面前80个数字之和。

3 +( 3+ 7+ 8)X 26 + 3

=3 + 468+ 3

=474

答：小数点后面第80位数字是3，小数点后面前80个数字之和是474。

［举一反三3］

①2- 13的商的小数点后面第2005位上的数字是多少?

②2- 7的商的小数点后面第2000位上的数字是多少?

③4- 7的商的小数点后面第2011位上的数字是多少?

［例4］有一个1111位数，各位数字都是1,这个数除以6,余数是几？商的末位数字是几? ［分

余数出现的周期为3( 1, 5, 3);第一个“ 1”上相对应的商为“ 0”，从第2个“1”开始，商的末位数字的周期为3( 1, 8, 5)。

［解答］(1) 1111-3=370……1 (2) (1111 —1)十3=370

所以，这个数除以6的余数是1,商的末位数字是5。

［举一反三4］

①555心55一\8，余数是几，商的末位数是几？

300个5

②222) 22 - 7的余数是几，商的末位数是几？

2006个2

③有一个2005位数，个位数字都是1,这个数除以6的余数是多少?

［例5］有一根200厘米长的绳子上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将绳子逐段剪短。长度是1厘米的短绳子有多少根？

［分析］两种染色方法的方向不同，若能将两种染色方法统一，则容易找出染色的规律。因为

200被5整除，所以不管按哪种方向染色，两种染色结果都相同。因此我们可以看作两次都是

自左向右染色。6和5的最小公倍数是30,即在30,60 , 90,120,150,180的地方同时染色，所

以30厘米为一个周期，每一周期的染色情况如下图所示：

0 6 12 18 24 30

1 ----------- H ------------ ,| ----------- 1 ----- 1| -------------- H-------------- r

5| 10 15 20 |25

1厘米丄厘米

从上图可以看出：一个周期内有2根长度是1厘米的绳子，200里面有6个周期还多20厘米, 最后20厘米中有1根长度是1厘米的绳子。

［解答］这道题的周期是30厘米。

200 - 30=6 (20)

2 X 6+ 1

=12 +1

=13 （根）

答：长度是1厘米的短绳子有13根。

［举一反三5］

①张华在一根长80米的木棍上，从左到右每隔3米染上一个红点，从右到左每隔5米染上一个

红点，然后沿红点将木棍切开，那么，长度是2的短木棒有多少根？

②李健在一根长60分米的彩带上，从左到右每隔3分米染上一个红点，同时从右到左每隔4分米染上一个红点，然后沿红点将彩带剪开，一共有多少根短彩带？

③在一根肠110厘米的木棍上，从左

到右每隔4厘米染上一个红点，同时从右到左每隔5厘米染上一个红点，然后沿红点将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有多少根？

【整合集训】

①有同样大小的红、白、黑珠子共90个，按先3个红的后2个白的，再1个黑的顺序排列其中白