习题答案(第六章)

1、R n 中分量满足下列条件的全体向量1(,,)n x x 的集合，是否构成R n

的子空间？

①10n x x ++= ；②120n x x x ⋅⋅⋅= ；③2211n x x ++= 。

解：①是，设(){}11

1

,,|0n

n

V x x x x

=

++= ，显然V 1≠∅，1,,,a b F V ξη∀∈∀∈，设

1212(,,),(,,)x x y y ξη== ，则

()()()1111,,,,,,n n n n a b a x x b y y ax by ax by ξη+=+=++ ，而 1111()()()()000n n n n ax by ax by a x x b y y a b ++++=+++++=+=

所以1a b V ξη+∈，所以V 1是R n 的子空间；

②不是，取(1,0,,0),(0,1,,1)αβ== ，则(){}1

1

,,,|0n

n

V x x x x

αβ∈=

⋅⋅= ，但

(1,1,,1)V αβ+=∉ ，所以V 不是R n 的子空间；

③不是，取(1,0,,0),(0,1,0,,0)αβ== ，则(){}2

2

1

1

,,,|1n

n V x x x

x αβ∈=++= ，

但(1,1,0,,0)V αβ+=∉ ，所以V 不是R n 的子空间。

2、子集{}1|,,V X AX XB A B n ==为已知的阶矩阵是否是()n M F 的子集？

解：是()n M F 的子集；证：显然1V ≠∅，1,,,X Y V a b F ∀∈∈，有

()()A aX bY aAX bAY aXB bYB aX bY B +=+=+=+，所以1aX bY V +∈，所以1V 是

()n M F 的子集。

3、设12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-，求含12,αα的R 4的一组基。

解：因为1010101010

10112001100010⎛⎫⎛⎫⎛⎫

→→

⎪ ⎪

⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭

， 取34(0,0,1,0),(0,0,0,1)αα==，所以{}1234,,,αααα为R 4的一组基。

4、求R n 的下列子空间的维数和一组基：

111{(,,)|0,,,}n n n W x x x x x x R =++=∈

解：W 生成元分量满足方程10n x x ++= 的其基解系，其基础解系为

121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n ααα-=-=-=- ，

即{}121,,,n ααα- 为W 的一组基，所以dimW=n-1 .

5、设1234(1,3,2,1),(2,1,5,3),(4,3,7,1),(1,11,8,3)αααα=--=-=-=---，求由向量1234,,,αααα所生成的F n 子空间的维数和一组基。

解：

132113211321132121530591059105914371091509150038171118301410400000000--------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---

⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

所以1234123(,,,)(,,)L L ααααααα=，所以，1234dim (,,,)3L αααα=，其一组基为

{}123,,ααα。

6、设12,αα线性相关,12,ββ也线性相关,问1122,αβαβ++是否线性相关?

解：1122,αβαβ++不一定线性相关，

取1212(1,0),(2,0),(0,3),(0,4)ααββ====，则有12,αα线性相关,12,ββ线性相关，但

1122(1,3),(2,4)αβαβ+=+=线性无关；

取1212(1,0),(2,0),(0,1),(0,2)ααββ====，则有12,αα线性相关,12,ββ线性相关，但

1122(1,1),(2,2)αβαβ+=+=线性相关。

7、设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===,问: ①t 为何值时, 123,,ααα线性相关? ②t 为何值时, 123,,ααα线性无关?

③当线性相关时,将3α表示为1α和2α线性组合?

解：因为12311111111

112301

201213021005t t t ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，所以 ①当5t =时，123,,ααα线性相关；

②当5t ≠时，123,,ααα线性无关；

③当123,,ααα线性相关,即当5t =时，则312(1,3,5)2ααα==-+。

8、设123(1,1,1),(,0,),(1,3,2)a b ααα===，若123,,ααα线性相关，求a,b 满足的关系式。

解：因为13211111

111113202

102100002a b a b a b a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，若123,,ααα线性相关，则2a b =。

9、已知)4,,4(),2,1,(),1,,1(),1,1,1(2321-==-=-t t t βααα＝，若β可由3

21ααα，，线性表出且表示法不唯一，求t 及β的表达式。

解：设112233x x x βααα=++，即1232

12312

34

24

x x tx x tx x t x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩，其增广矩阵

2222114112411

241124111101340228112411402280134112402281

00(1)(4)(4)2t A t t t t t t t t t t t t t t t t ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫

⎪-- ⎪→- ⎪ ⎪-+-- ⎪⎝⎭

（1）当1t =-时，秩23A =≠=秩A ，方程组无解，β不能由321ααα，，线性表出； （2）当1t ≠-且4t ≠时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解，β可由321ααα，，唯一线性表出；

（3）当4t =时，秩2A ==秩3A <，方程组有无数解，β可由321ααα，，线性表出且表示法不唯一，此时，有

112410300228011400000000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，所以其通解为12334x c

x c x c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ （c R ∈）， 即：1233(4),()c c c c R βααα=-+-+∈。