特勒根定理(Tellegen’s Theorem)

i4
+
Λ
i5
+
Λ
i6
+
un3
-
Λ
i2+
Λ
i3
-
Λ
i6
把电路2的KCL方程代入上式，可知：
6
uk
iˆk
0
k 1
此上述证明可推广至任何具有n个 结点和b条支路的电路，即有：
b
uk
iˆk
0
k 1
同理可证明定理的第二部分，即有：
b
uˆk ik 0 8
k 1
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4.功率守恒定理：
4. 4 特勒根定理(Tellegen’s Theorem)
特勒根定理是电路理论中对集总电路普遍适用的基本定理， 在这个意义上，它与基尔霍夫定律等价。特勒根定理有两种 形式。
1.特勒根定理1：
对于一个具有n个结点和b条支路的电路，假设各支路 电流和支路电压取关联参考方向，并令（i1 ， i2 ，…ib）、 （u1， u2 ， ub）分别为 b条电路的电流和电压，则对任何 时间t，有
+ Us
–
+ 无源
U1
电阻 网络
–
N0
+
U2 =2V
R2 U2 (2) R1=1.4 , R2=0.8, Us'=9V时,
–
I1'=3A,
求U2'。
解：由已知条件(1)可得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A
由已知条件(2)可得: U1 4.8V, I1 3A, I 2 U 2 /R2 (5/4)U 2
表示两个电路中b条支路的电流和电压，则在任何时 间t，都有：
b
uk i k 0
k 1
或
b
uˆk i k 0
k 1
6
证明：设两个电路的图如下图所示，取结点4为参考结点。
对电路1，可列写KVL方程,有:
u1＝－un1 ； u2＝un1－un3 ；
电路1 u3＝un3 ； u4＝un1－un2 ；
和电流必须遵守的数学关系。由于它仍具有功率之和的形式，
所以有时又称为“拟功率定理”。
注意：特勒根定理适用于一切集总参数电路。只要各支路u，
i 满足KVL、KCL即可。特勒根定理与KVL、KCL三者中取其两
个即可。
9
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例1：
I1 R1
I2
(1) R1=R2=2, Us=8V时, I1=2A,
k 1
把电路1的KVL方程代入上式，整理可得
6
ukiˆk
k=1
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
= -un1 i 1 + (un1 - un3 ) i 2 + un3 i 3 + (un1 - un2 ) i 4 + un2 i 5 + (un2 - un3 ) i 6
=
un1
-
Λ
i1+
Λ
i2+
Λ
i4
+
un2
-
Λ
3
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2.具有相同拓扑结构（特征）的电路
两个电路，支路数和结点数都相同，而且对应支路与结 点的联接关系也相同。
R4 2 R5
R2R6
R3
1
4
3
R1
us1 +–
R4' 2 R5'
1
Rus6+6' –
R3' 4
is2
3 R1'
N
N
故两个电路具有相同拓扑结构，即它们的拓扑图（图）完
利用特勒根定理2
U1( I1) U2 I 2 U 1(I1) U 2 I2
0
对结点①、②、③应用KCL，得
i1+i2 –i4=0 ； – i2+i3 +i5=0 ； – i3+i4 + i6=0
6
而
uk ik = u1i1 + u2i2 + u3i3 + u4i4 + u5i5 + u6i6
k=1
把支路电压用结点电压表示后，代入上式并经整理可得
6
ukik = un1i1 + (un1 - un2 )i2 + (un2 - un3 )i3 + (-un1 + un3 )i4 + un2i5 + un3i6
在任一瞬间，任一电路中的所有支路所吸收的瞬时功率
的代数和为零，即
b
b
pk uk ik 0
k 1
k 1
将特勒根定理1用于同一电路中各支路电流、电压即可证得
上述关系。
值的注意的是，特勒根定理2不能用功率守恒解释，它仅仅
是对两个具有相同拓扑的电路中，一个电路的支路电压和另一
个支路电流，或者可以是同一电路在不同时刻的相应支路电压
b
uk ik 0
k 1 1 章目录 返回 上一页 下一页
此定理可通过右图所示电路的图证明
4
如下：令un1、 un2、 un3分别表示结点 1
22 3
3
的结点电压，按KCL可得出各支路电
压与结点电压的关系为
1
5
6
u1=un1 ； u2=un1 - un2 ； u3=un2 - un3 ；
u4= - un1 + un3 ； u5=un2 ； u6=un3
上述证明可推广至任何具有n个结点和b条支路的电路，即有
b
uk ik 0
k 1
注意在证明过程中，只根据电路的拓扑性质应用了集尔霍夫定
理，并不涉及电路的内容，因此特勒根定理对任何具有线性、
非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用。这个定理实质
上是功率守恒的数学表达式，它表明任何一个电路的全部支路
吸收的功率之和恒等于零。
全相同。
4
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2
4 1
2
5
6
4 左图为上述两个电路的拓扑图。由于
上述两个电路的支路与结点联接关系 3
相同，因此它们的图也相同。
3
1
思考：哪些情况两个电路具有相同的拓扑图？ •两个不同电路的图相同； •一个电路的不同时刻；
假设两个电路中对应支路电压方向相同，支路电流均取
和支路电压相同的参考方向。
k=1
2
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或6
ukik = un1(i1 + i2 - i4 ) + un2 (-i2 + i3 + i5 ) + un3 (-i3 + i4 + i6 )
k=1
上式中各括号内的电流分别为结点①、②、③处电流的代数和，
根据各结点的KCL方程，即有
6
uk ik 0
k 1
5
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3.特勒根定理2：
如果有两个具有n个结点和b条支路的电路，它 们具有相同的图，但由内容不同的支路构成。假设各 支路电流和电压都取关联参考方向，并分别用（i1， i2，…， ib）、（u1， u2，… ub）和 (iˆ1 , iˆ2 , , iˆb ) 、 (uˆ1 ,uˆ2 , ,uˆb )
4
u5＝un2 ； u6＝un2－un3
1
对电路2，可列写KCL方程，有 2
iˆ1 iˆ2 iˆ4 0
电路2 iˆ4 iˆ5 iˆ6 0
iˆ2 iˆ3 iˆ6 0
2
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6
4
3
3
1
7
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而
6
uk
iˆk
u1iˆ1 u2iˆ2
u3iˆ3 u4iˆ4
u5iˆ5 u6iˆ6