高考数学专题立体几何中的二面角的求法 优秀PPT
用三垂线法求二面角的方法
用三垂线法求二面角的方法三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ⋂PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ⊂平面PAB ∴a ⊥PB 总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直.三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。
求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。
运用三垂线法求二面角的一般步骠：①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。
. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。
③求： 二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。
1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD ==，AD =①求二面角C ABD --的大小；②求二面角B CD A --的大小；1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4π ∴二面角C AB D --的大小为4π ②∵AB ⊥面BCD BC CD ⊥ ∴由三垂线定理得CD AC ⊥∴ACB ∠为二面角B CD A --的平面角 ∵BC CD ⊥∴BD ==∵AB ⊥平面BCD ∴AB BC ⊥ AB BD ⊥∴1AB ==在Rt ABC ∆中，tan 1ABACB BC∠==， ∴二面角B CD A --的大小为4π 方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线AB 、斜线AC 及其射影BC,。
《二面角的平面角求法》课件
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
Байду номын сангаас
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
高中数学微专题3二面角的常见求法课件新人教A版必修第二册
设SA＝AB＝2a，则SB＝BC＝2 2，＝ 2，＝2 3a，SC＝4a.
由题意得AE＝ 3a，在Rt△ADE中，sin
∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值为
6
.
3
2
6
∠AED＝ ＝
＝ ，
3
3
03
类型3
垂面法求二面角
方法：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱
a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角．
【例3】
如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE
垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求
二面角E-BD-C的大小．
[解]
∵SB＝BC且E是SC的中点，
∵AA′⊥α，又BC⊂α，∴AA′⊥BC，又AD⊥BC，
AD∩A′A＝A，AD，A′A⊂平面AA′D，
∴BC⊥平面AA′D，又A′D⊂平面AA′D，
∴A′D⊥BC.
∴∠ADA′为二面角α-BC-β的平面角．
设 △ABC 和 △A′BC 的 面 积 分 别 为 S 和 S′ ， ∠ADA′ ＝ θ ， 则 S ＝
[解]
∵∠SAB＝∠SAC＝90°，
∴SA⊥AB，SA⊥AC.
又AB∩AC＝A，AB、AC⊂平面ABC，∴SA⊥平面ABC.
又BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.
又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA、AB⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.
又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.
(2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值．
∵在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，
高考立体几何专题复习公开课获奖课件
第20页
面面垂直鉴定
假如一种平面通过另一种平面一条 垂线，则这两个平面互相垂直
推论:假如一种平面与另一种平面垂线 平行，则这两个平面互相垂直
第21页
面面垂直性质
假如两个平面垂直，则在一种平面内垂直 于它们交线直线垂直于另一种平面
推论:假如两个相交平面都与另一种平面 垂直，则这两个平面交线 l 垂直于另一种 平面
（3）推论：
假如一种平面内两条相交直线与另一种平面两条 相交直线分别平行，那么这两个平面平行。
第10页
（4）运用线面垂直：
假如两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两 个平面平行。
（5）运用面面平行：
假如两个平面都平行于第三个平面，那么这两个 平面平行。
（6）运用距离：
假如一种平面上所有点到另一种平面距离相等， 那么这两个平面平行。
α
a
直线与平 面所成角
βA Pm
αB
二面角
00<θ≤900
00≤ θ≤900
00≤θ ≤1800
空间角计算环节：一作、二证、三算
第34页
空间中角解法小结
1、异面直线所成角措施 （1）平移法（2）补形法
2、直线与平面所成角措施
关键：抓垂足、斜足，找斜线在平面内射影。
3、二面角
找二面角棱,进而找棱两条垂线
第6页
（4）运用垂直
假如一条直线和一种平面分别与另一种平面垂 直，且直线不在这个平面内，则这条直线和这 个平面平行。
（5）运用平行 假如一条直线与两个平行平面中一种平 行且不在另一种平面内，则这条直线与 另一种平面平行。
（6）运用距离
高中新课标数学-二面角课件
则ቐ
∙ = 1 = 0
∙ = 1 + 1 = 0
,
取1 =1，可得1 = −1, 1 = 0,此时 = (−1,0,1),
平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射
影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解:∵PC⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性
质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则
2
2√3
√2
=
√2
a,
4
= √6.
故二面角 B-PA-C 的平面角的正切值为√6.
归纳总结
1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三
角形的方法来求解.
2.二面角的定义求法主要有:
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是
解:以题意，, , 1 两两相互垂直。
以C为原点, ，， 1 的方向分别为轴, 轴, 轴正方向，
建立如图所示直角坐标系，则： C 0,0,0 , 0,1,0 , D(1,0,1) 1 (1,1,1)
所以=(0,1,0), =(1,0,1) , 1 =(-1,0,1) , 1 =(0,-1,2) ,
人教2019B版 选择性必修 第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.2.4 二 面 角（1）
学习目标
1.掌握二面角的概念
2.理解二面角的平面角的含义
求二面角的平面角PPT教学课件
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
A1
E
C
F B
D
P
A
例3、(高考题)⊿ABC中，AB⊥BC， SA ⊥平面ABC，DE垂直平分SC， 又SA＝AB＝ａ，SB＝BC, （1）求证：SC ⊥平面BDE, （2）求二面角E－BD－C的大小?
文
研
• 事情发生的地点在寄园
读
• “情”是文章的中心内
课
深容入感知
题
关于“寄园” 为何难忘 是怎样的一种感情
我在童年和少年时代曾
在寄园求学，得到钱名 山先生的教诲，令我终 生难忘，迄今对他充满 感恩和怀念
作文马虎 找我谈话
寄 夜幕降临 促膝长谈 园 欣赏书画 读 书 先生评画
炫耀诗才 先生批评
第二课时
在RtSAC中，tanSCA= SA = a = 3 AC 3a 3
则SCA=300，则CDE=900－SCA＝600
在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求二面角D1—AC—D的大小？
D1
C1
A1
B1
答案：arctan 2
DO
C
A
B
小结
1. 二面角是立体几何的重点、热点、难 点，求二面角的大小方法多，技巧性 强．但一般先想定义法，再想三垂线法， 要抓住题目中的垂直关系．
二面角的平面角来解题．
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
二面角的求法和利用空间向量解决立体几何问题
二面角的定义:
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角
l
的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示方法
二面角－AB－
A
C
B
二面角－ l－
D
l
B
A
二面角C－AB－ D
F
E
A
B
D
C
二面角C－AB－ E
二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为端
点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
面面平行
∥ n1 ∥ n2 n1 kn2
二、垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 AB,CD ，
平面 , 的法向量分别为 n1 , n2 ， 线线垂直:
l ⊥ m AB ⊥ CD AB • CD 0 ；
Bl
A
平面 内的两个相交向量垂直
(4)解方程组，令其中一个量的值求另外两个， 即得法向量。
一、平行关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 AB,CD ，
lm
BD
平面 , 的法向量分别为
线线平行:
n1
, n2
，
l ∥ m AB ∥ CD AB kCD
；
x1 y1
=
A
x2 y2
=
C
x3 y3
线面平行
AB
l ∥ AB n1 AB n1 0 ；
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就 是此二面角的平面角。
2、垂线法: 在一个平面 内选一点A向另一平面 作 垂线AB，
垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
2024年高考数学复习培优讲义专题15---几何法求二面角,线面角(含解析)
专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。
这是空间向量求解的巨大优点，也是缺点，就这么共存着。
其实不建系而直接计算真的很比较锻炼空间想象的能力，方法上也更灵活一些，对于备考的中档学生来说，2种方法都要熟练掌握。
方法介绍一、定义法：交线上取点 等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角αβl OAB二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角αβlOABαβlOABβαOABCαβlOAB六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将cos θ＝边之比∣面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC 在平面α上的投影为△A 1BC ， 则平面α与平面ABC 的夹角余弦值1cos A BCABCθ=△△即cos θ=投影原S S补充：即使交线没有画出来也可以直接用例题：一题多解2023汕头二模T20如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，PQ 是所在棱上的中点.1C 1CD ABA B 1αBCAA 1D（1）求平面APQ 与平面ABCD 夹角的余弦值 （2）补全截面APQ2023全国乙卷数学(理)T9——由二面角求线面角P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1PC 1DABA B 11．已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．252021·新高考1卷·T20——由二面角求线段长2．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D −−的大小为45︒，求三棱锥A BCD −的体积.题型一 定义法1．如图，在三棱锥S—ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC =1，∠ACB =90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°.(1)求证：平面MAP ⊥平面SAC . (2)求二面角M—AC—B 的平面角的正切值；2．(湛江期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，点M ，N 分别是PB ，AC 的中点，且MN ⊥A C ． （1）证明：BC ⊥平面PA C ．（2）若PA ＝4，AC ＝BC ＝22，求平面PBC 与平面AMC 夹角的余弦值．(几何法比较简单)3．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,2,4A AD AB ∠=︒==，将ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P ，如图2．重点题型·归类精讲(1)证明：平面BCD⊥平面P AD；(2)当二面角D PA B−−的平面角的正切值为6时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．题型二三垂线法4．(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，12PA AD AB CD===，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD；（2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．5．如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，,,224,23BC AD CD AD AD CD BC PB ⊥====∥ （2023广州一模T19）（1） 求证：AD PB ⊥；（2）求平面P AB 与平面ABCD 交角的正弦值.6．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为2的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =且二面角E BC D −−的大小为60，求三棱锥A BCD −的体积．7．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱111ABCA B C 中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC 是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =.(1)求证：111B C A D ⊥；(2)若2AB =且二面角11A BC B −−的余弦值为35，求点A 到侧面11BB C C 的距离.8．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，4AC =，3BE =.(1)在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由； (2)求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.题型三 作2次交线的垂线9．在三棱锥S ABC −中,底面△ABC 为等腰直角三角形,90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒. （杭州二模） （1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB ＝2，22SC =，求平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值．题型四 找交线10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCI )是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥C D ． (1)证明：AB ⊥PB ；(2)若平面PAB ⊥平面PCD ，且102PA =，求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值． （广东省二模T19）题型五 转换成线线角湖北省武汉市江汉区2023届高三上学期7月新起点考试11．在直三棱柱111ABC A B C −中，已知侧面11ABB A 为正方形，2BA BC ==，D ，,E F 分别为AC ，BC ，CC 1的中点，BF ⊥B 1D ．(1)证明：平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1；(2)求平面BC 1D 与平面1B DE 夹角的余弦值六、 题型六 投影面积法12．(2022·惠州第一次调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知//AB CD ，AD ⊥CD ，BC BP =，CD ＝2AB＝4，△ADP 是等边三角形，E 为DP 的中点．(1)证明：AE ⊥平面PCD ；(2)若2,PA =求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值13．(2022深圳高二期末)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥BC ，且12,2BC CD AB ===取AB 的中点O ，连结OD ，并将△AOD 沿着OD 翻折，翻折后23AC =M ，N 分别是线段AD ，AB 的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM.（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。
2025版高考数学全程一轮复习第七章立体几何与空间向量专题培优课几何法求线面角二面角与距离课件
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
答案：ABD
)
4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三
角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝2，则二面角P-BC-D的
的距离为3.故选D.
2．[2023·全国乙卷]已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，
△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面
ABC所成角的正切值为(
)
1
A．
5
C．
3
5
答案：C
2
B．
5
2
D．
5
3．(多选)[2022·新高考Ⅰ卷]已知正方体ABCD - A1B1C1D1，则(
2
题型三 几何法求距离
例3 已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，
PD＝AD＝2，二面角P-AD-C的大小为60°，则点A到平面PBD的距离
是(
)
2 21
A．
7
6
C．
2
答案：A
B． 3
D．1
题后师说
求点到平面的距离的常用方法
(1)直接法：过点P作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形
π
为[0， ].
2
【问题2】
范围．
请你在图中作出平面α与平面β所成的角，并指出它的
提示：在平面α与平面β的交线l上任取一点O，作
OA⊥l(OA⊂α)，OB⊥l(OB⊂β)，则∠AOB为二面角α-lβ的平面角，其范围为[0，π].
2025届高中数学一轮复习课件《二面角》ppt
∵PA＝AB＝2，∴AC＝BC＝ 2，PO＝ 3，∴OD＝ 2 2， ∴二面角 P-AC-B 的正切值是OPOD＝ 6.
高考一轮总复习•数学
(2)如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D 为 AC 的中点．
第16页
①证明：平面 AA1C1C⊥平面 DBC1； ②若 AB＝2，且二面角 D-BC1-C 的正切值为 615，求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积．
－ 即 －
2x1＋ 2y1＋
2z1＝0， 2z1＝0，
设平面 ABF 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)，
取 x1＝1，则 y1＝z1＝AA··nn＝＝00，，
即
2x2＝0，
－ 2y2＋
2z2＝0，
得 x2＝0，取 y2＝1，则 z2＝1，n＝(0,1,1)．
高考一轮总复习•数学
第14页
对点练 1 (1)如图， 设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆周上， 若 PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角 P-AC-B 的正切值是____6____．
高考一轮总复习•数学
第15页
(1)解析： 如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD，易知 OD⊥AC，PD⊥AC，∴∠PDO 是二面角 P-AC-B 的平面角．
在 Rt△AB1C 中，S△AB1C＝12AB1·AC＝12B1C·AE，所以 AE＝ABB11·CAC＝2×2
2＝2
2 .
23
3
高考一轮总复习•数学
在 Rt△ADE 中，sin∠AED＝AADE＝ 2 ＝ 2 3. 22 3
所以∠AED＝60°，所以二面角 A-B1C-B 的大小为 60°.
第11页
高考一轮总复习•数学
【课件】2020年高三数学专题复习关于二面角是锐角还是钝角的解决方案(共15张PPT) - 最新
m 与 n 是同出的，因此 =
n1, n2
，所以：cos
7 7
上面方法是：
先盲求法向量，再由法向量指向的卦限，相对于某 半平面，判断是进还是出。 这种判断优于目测！
下面我们再给出一个不用目测，不用判断的方法。 这一方法的特点是，事先控制法向量的方向，使得法向量的夹角就是二面角的平面角。 这个方法和向量的叉积有关 建立右手系空间坐标系
目测二面角的大小，尽管存在一些问题， 但我们都用过，是没有办法的办法。尽管方法 不够完美，但如果图形位置摆放的合理，一眼 便知锐钝，目测观察也有合理的一面。
目测观察二面角的大小，是我们解决此类 问题的第一种方法。除此之外，还有其它方法。
方法二，利用法向量的方向来判断。
Байду номын сангаас
当两个法向量同出或同进时， = n1, n2
当两个法向量一出一进时， = n1, n2
这个道理我们都懂，但问题是我们怎么样判断法 向量是进还是出？
上面例子中，我们求出了两个半平面的法向量
m 4,-1,2
n -1，1,1
这两个法向量是盲求的，是随意求出的。事 先我们没有加以控制，无法确定方向。
既然无法确定方向，那么我们怎么样判断这 个法向量是进还是出呢？
0, 2, 1
i, j, k PS PD 1, 2, 1 2i 2 j 2k
1, 0, 1
即法向量为2， 2, 2
这样求得的法向量，保证了一进一出。所以 cos 8 2 4 7
21 12 7
这种方法中，求法向量，不能盲求。必须是求叉积，并
在空间坐标系中，三个坐标平面将空间分成了八个部分，
八个卦限
法向量指向的卦限由终点的三个分量坐标的正负决定。
线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)
1A 1B 1C 1D ABCD E FG线线角、线面角、二面角的求法1.空间向量的直角坐标运算律：⑴两个非零向量与垂直的充要条件是1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=⑵两个非零向量与平行的充要条件是a ·b =±|a ||b | 2.向量的数量积公式若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： a ·b =|a ||b | cos θ（2）模长公式：则212||a a a a a =⋅=++2||b b b b =⋅=+（3）夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+（4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB x ==,A B d =①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>=例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）A ．515arccosB ．4π C ．510arccosD ．2π（向量法，传统法）PBCA例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．解：（1）向量法（2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB中，即t a n 2PDDBA DB∠==． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -②直线a 与平面α所成的角0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(重点讲述平行与垂直的证明)可转化成用向量→a 与平面α的法向量→n 的夹角ω表示，由向量平移得：若ππ（图）；若ππ平面α的法向量→n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z =(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(0a <(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。
高二立体几何第九章(二面角)课件(PPT 18页)
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 1.在平面几何中" 是怎样定义的？ 在平面几何中 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"异面直线所成的角 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, 直线a 是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' O,分别引直线 b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 b,我们把相交直线a' b'所成的锐角 或直角） 我们把相交直线 面直线所成的角。 面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 做这条直线和这个平面所成的角。 做这条直线和这个平面所成的角。
l
A
l
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 二面角 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的面。 这两个半平面叫做二面角的面 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面。
B
β
Q
B PαlOAA平面角由射线--点--射线构成。 射线构成。
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求面SCD与面SAB所成的角的大小。
解法2：（三垂线定理法） 延长CD、BA交于点E，连结SE， S
SE即平面CSD与平面BSA的交线.又∵DA⊥平面SAB，∴过A
B
C
点作SE的垂线交于F.如图. ∵AD＝ 1 BC 且AD∥BC 2
F
A
D
∴△ADE∽△BCE ∴EA＝AB＝SA
又∵SA⊥AE ∴△SAE为等腰直角三角形，F为中点，
二面角的平面角的范围: 0180
一、几何法：
1、定义法:
以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内 分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就
是此二面角的平面角。
2、三垂线法:在一个平面内选一点A向另一平面 作垂线AB，
垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
（3）垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为 这一点不好选择，所以此法一般不用。
以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
高考数学专题立体几何中的二面角的 求法 课件
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（4）射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证 明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公 式,这种方法避免了找平面角，如果面积计算较简单，可用 此方法。 （5）当空间直角坐标系容易建立时，用向量法较为简洁明 快．用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的 夹角大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以 根据图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面 角一般是比较明显的．
αm
n
β
如图：二面角的大小等于<m ,n>
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二、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
m n
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
高考数学专题立体几何中的二面角的 求法 课件
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出S△SCD与S△SAB即可，
故所求的二面角θ应满足Fra bibliotekcos S SAB
S S CD
1 11
=2
1 3 2
2
2
6
=
3
S
B
C
A
D
高考数学专题立体几何中的二面角的 求法 课件
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例：如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， AD∥BC, ∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD= 1 .
3、垂面法: 过二面角内一点A作AB⊥于B，作AC⊥ 于C，面 ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
a
A
A
O B
A
B
a O
C
O a
B
4.射影面积法
A B
C
A1
B1
C1
cos S射影多边形
S多边形
二、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
高考数学专题立体几何中的二面角的 求法 课件
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例：如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， AD∥BC,
∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD= 1 .
求面SCD与面SAB所成的角的大小。
2
解法1：可用射影面积法来求，这里只要求
高中数学核心素养——直观想象
高考立体几何中二面角的求法
考点分析：
立体几何是历年高考必考的热点，试 题难度中等，命题的热点主要有空间线 面位置关系的证明和空间角的求解；试 题背景有折叠问题，探索性问题等，考 查同学们的空间想象能力、逻辑思维能 力以及转化与化归思想的应用能力，解 决此类问题一般有常规方法和向量方法 ，用向量法解决此类问题可以化繁为简 ，降低题目的难度．
E
AF1SE 2SA 2
22
2
又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE
评∴注由三：垂常线规定理法得求D解F⊥步SE骤：一作：作出或找出相应空间角；
∴二∠D证FA：为通二面过角简的单平面的角判, 断或推理得到相应角；三求：通过计 ∴ta算nD求FA出＝相DFA应A 的22角。即所求二面角的正切值.
高考数学专题立体几何中的二面角的 求法 课件
复 习: 二面角的定义:
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角
l
的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示方法
二面角－AB－
A
C
B
二面角－ l－
D
l
B
A
二面角C－AB－ D
F
E
A
B
D
C
二面角C－AB－ E
二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为端
高考数学专题立体几何中的二面角的 求法 课件
例∠A：B如C=图9,0在°底，面SA是⊥一平直面角A梯C，形S的A=四A棱B=锥BSC-=A1B，CDA中D=，1
AD∥BC, .
求面SCD与面SAB所成的角的大小。
解法3：（向量法） 如图，建立空间直角坐标系，
2
z
则A(0，0，0)，B(0，-1，0)，C(-1，1，0)，
S
D(0，1 ，0)，S(0，0，1)，
B
C
2
易知平面SAB的法向量为 m =(0，1 ，0)；
2
设平面SDC的法向量为 n =(x，y，z)，
A
x
D
y
评或nn •• 其D注D CS补： 0角0 通）得过的此常例x规12 可y 方12 以yz法看是00 出构：造令求三n 二角x面=形(角1求，1大解2得小，，（1其y) 空关间键2面,又面是z角作等出于1二二面即面角角的
点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
l
P
B
A
P1
B1
A1
二面角的大小用它的平面角的大小来度量 ∠APB= ∠A1P1B1
注意: 二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱
几点说明：
（1）定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的 一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂 线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算， 不是我们首选的方法。
（2）三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一 个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结 这个点和棱上的垂足。此法得出的平面角在直角三角形中， 计算简便，所以我们常用此法。