八上勾股定理测试题及答案B
八数上(BS)-八年级数学上册测试题及答案(1-6章)--复习资料
八年级上册数学评价检测试卷第一章勾股定理一、选择题1．以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（ ） （A ）4cm ，8cm ，7cm （B ） 2cm ，2cm ，2cm （C ） 2cm ，2cm ，4cm （D ）13cm ，12 cm ，5 cm2．一个三角形的三边长分别为15cm ，20cm ，25cm ，则这个三角形最长边上的高为（ ） （A ）12cm （B ）10cm （C ）12.5cm （D ）10.5cm3．Rt ∆ABC 的两边长分别为3和4，若一个正方形的边长是∆ABC 的第三边，则这个正方形的面积是（ ） （A ）25 （B ）7 （C ）12 （D ）25或74．有长度为9cm ，12cm ，15cm ，36cm ，39cm 的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5．将直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）以上结论都不对 6．在△ABC 中，AB =12cm ， AC =9cm ，BC =15cm ，下列关系成立的是（ ） （A ）B C A ∠+∠>∠ （B ）B C A ∠+∠=∠ （C ）B C A ∠+∠<∠ （D ）以上都不对7．小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平刚好相齐，河水的深度为（ ） （A ）2m （B ）2.5cm （C ）2.25m （D ）3m 8．若一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+，则这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上结论都不对9．一架250cm 的梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙的终端距离为70cm ，如果梯子顶端沿墙下滑40cm ，那么梯足将向外滑动（ ） （A ）150cm（B ）90cm（C ）80cm（D ）40cm10．三角形三边长分别为12+n 、n n 222+、1222++n n （n 为自然数），则此三角形是（ ） （A ）直角三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上结论都不对二、填空题11．写四组勾股数组.______，______，______，______.12．若一个直角三角形的三边为三个连续的偶数，则它的周长为____________。
初二勾股定理测试题及答案
初二勾股定理测试题及答案一、选择题1. 在直角三角形中，如果直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 82. 已知一个三角形的两边长分别为5和12，且这两边构成直角，那么第三边的长度是多少？A. 10B. 13C. 15D. 17二、填空题3. 如果一个直角三角形的直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是_________。
4. 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，另一条直角边的长度是_________。
三、计算题5. 在一个直角三角形中，如果已知斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边的长度。
6. 一个直角三角形的两条直角边长分别为x和y，斜边长为z。
已知x=9，y=12，求z的值。
四、解答题7. 一个梯形的两底边长分别为3和5，高为4，求梯形的对角线长度。
8. 一个长方体的长、宽、高分别为3米、4米和5米，求这个长方体的对角线长度。
答案：一、选择题1. A（根据勾股定理：3² + 4² = 5²）2. B（根据勾股定理：5² + 12² = 13²）二、填空题3. 10（根据勾股定理：6² + 8² = 10²）4. 12（根据勾股定理：5² + 12² = 13²）三、计算题5. 另一条直角边的长度为8（根据勾股定理：6² + 8² = 10²）6. z的值为15（根据勾股定理：9² + 12² = 15²）四、解答题7. 梯形的对角线长度为5（根据勾股定理：(3+5)² + 4² = 5²）8. 长方体的对角线长度为5（根据勾股定理：3² + 4² + 5² = 50，再开方得5）结束语：通过本次测试，我们复习了勾股定理的应用，希望同学们能够熟练掌握并灵活运用勾股定理解决实际问题。
八年级数学《勾股定理》单元测试题(B卷)
八年级数学《勾股定理》单元测试题（B 卷）一．选择题（共10小题）1．已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c 下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ） A ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5 B ．a ＝5，b ＝12，c ＝13 C ．∠A ﹣∠B ＝∠CD ．a 2＝b 2﹣c 22．以下各组数为三角形的三边，其中，能构成直角三角形的是（ ） A ．3k ，4k ，5k （k ＞0） B ．32，42，52 C ．13，14，15D ．√3，√4，√53．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A ．b 2＝a 2﹣c 2B ．∠A ＝∠B +∠C C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．a 2：b 2：c 2＝1：2：34．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ．26B ．18C ．20D ．215．如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．27D ．5√26．小明从家出发向正北方向走了60m ，接着向正东方向走到离家100m 远的地方，小明向正东方向走了（ ） A ．60 mB ．80 mC ．100 mD ．160 m7．如图，长方形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧交数轴于点M ，则点M 表示的数为（ ）A．√5B．√5−1C．√10D．√10−18．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三边长之比为3：4：5B．三内角之比为3：4：5C．三内角之比为1：2：3D．三边长的平方之比为1：2：39．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（）A．121B．144C．169D．19610．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B都在格点上，则线段AB的长为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共5小题）11．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为．12．已知直角坐标平面内两点A（6，4）和B（2，1），则线段AB的长为．13．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，若AC＝2cm，AD=52cm，则BD的长度为cm．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，CB＝12，BD平分∠ABC，则AD的长是．15．如图，在一棵树的10米高B处，有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树的高度为米．三．解答题（共8小题）16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝CD，求CD的长．17．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC分别与AD，AC交于点E，F．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若EF＝2，求CF的长．18．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米，与公路上另一停靠站B的距离为800米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．19．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.3米，将秋千AD往前推送BC＝1.5米，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为0.8米，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）求秋千的长度；（2）如果想要踏板离地的垂直高度为1.8米时，需要将秋千AD往前推送米．20．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．（1）请用文字语言叙述勾股定理的内容：；（2）请从下列3种常见的证明图形中任选一种来证明该定理．（下图中的图形均满足证明勾股定理所需的条件）21．为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°，AB＝26m，BC＝24m．求出该空地的面积．22．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：测量示意图测量数据边的长度①测得水平距离BC的长为15米．②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米．③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．请完成以下任务．（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求线段AD的长．（2）如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？23．每周一我们都会举行升旗仪式，看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．。
《勾股定理》综合测试题(B)
板 朋 Ｆ的直 角顶点 Ｐ落在 ＡＤ边上 （ 与点 ／， 重合 ） 在 ， 上适 当移动 ＿角板 顶点 Ｐ 不 １Ｄ ， ） 二 ：
（） １ 能否 使你 的三角 板 两直 角 边分 别通 过 点 Ｂ与点 Ｃ ？若 能 ， 你求 Ｈ 这 时 ＡＰ的长 ； 请 ｛ 若不 能 ． 说 明理 由． 请
托 尔 夫 ・ 默 生 爱
于（ ） ．
Ａ ． 孚
Ａ． ＋１
Ｂ ． 孚
Ｂ一 ． ＋１
ｃ ． 等
） ．
Ｃ． ／ 、 一一１
５
Ｄ． ／５ 、
１ ． 图所示 ， ７如 数轴上 点 Ａ所 表示 的数 为 。 则 ０的值 是 （ ，
．
一
．
ｌ ． ． １ ．
２ ３
４
砸 到． 大树倒 下时 能砸 到李 大爷 的房 子吗？请 你通 过计算 、 析后 给 正 确 的 回答 ． 分 （
Ａ 一定 不会 ． Ｂ 可能 会 ． Ｃ 一定 会 ．
）
Ｄ． 以上 答案都 不 对
２ ． 图 ， 一 块 塑 料 矩 形 模 板 ＡＢ Ｄ， 为 １ １如 有 Ｃ 长 ０厘 米 ， 为 ４厘 米 ， 你 手 中 足 够 大 的 直 角 三 角 宽 将
ｌ ８厘 米
３ —２ —１ Ｏ １
第 ｌ ７题 图
第 １ ８题 图
１． 图， ８如 一个 圆桶 ， 底面 直径 为 １ 米 ， ６厘 高为 １ ８厘米 ， 则一 只小 虫从 下底部 点 Ａ 沿着 桶壁 爬 到
上底 部点 Ｂ处 ， 则小虫 所爬 的最 短路 径长是 （
Ａ． ０厘 米 ２ Ｂ３ ． ０厘 米
・
・
《 勾股定理》 台测试题（ ） 综 日
八年级初二数学勾股定理测试试题含答案
八年级初二数学勾股定理测试试题含答案一、选择题1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF=- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④2．如图，等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，点F 是AB 边的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且∠DFE ＝90°，连接DE 、DF 、EF ，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC 的面积是四边形CDFE 面积的2倍；③CD +CE ＝2FA ；④AD 2+BE 2＝DE 2．其中错误结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于O ，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5，则AD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．34．如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB 30=a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM +MN +NB 的长度和最短，则此时AM +NB ＝（ ）A．6 B．8 C．10 D．125．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，则点D到AB的距离是（）A．3 B．4 C．7(21)D．7(21)8．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于( )A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间9．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则 h 的取值范围是（）A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm 10．有下列的判断：①△ABC中，如果a2＋b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形②△ABC中，如果a2－b2＝c2，那么△ABC是直角三角形③如果△ABC是直角三角形，那么a2＋b2＝c2以下说法正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．②二、填空题11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm．13．如图，点E 在DBC △边DB 上，点A 在DBC △内部，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）①BD ＝CE ；②∠DCB ＝∠ABD ＝45°；③BD ⊥CE ；④BE 2＝2（AD 2+AB 2）．14．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32，则AB 的长为__________．15．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC=DC ，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若 A =60°，AB=4，CE=3，则BC 的长为_______．16．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)17．若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且2AC BD =，则AD 的长为__________．18．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．19．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5．①线段OA 的取值范围是______________；②若BD -AC =1，则AC •BD = _________．20．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．三、解答题21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？22．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；，求线段AB （3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：22，CD＝36的长．23．如图，△ABC中AC=BC，点D，E在AB边上，连接CD，CE．(1)如图1，如果∠ACB=90°，把线段CD逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF，①求证：△ACD≌△BCF；②若∠DCE=45°，求证：DE2=AD2+BE2；(2)如图2，如果∠ACB=60°，∠DCE=30°，用等式表示AD，DE，BE三条线段的数量关系，说明理由．24．如图1, △ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a，且点A、D、E在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).25．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.26．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．27．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是 ．（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ； （3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．29．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()4a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．30．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．（1）如图1，若m＝8，求AB的长；（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠，∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒，∴90FAB CDA ∠=︒-∠，∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确；∵3CG =，1DG =，∴314CD CG DG =+=+=，∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，221697AG AC CG =--=， ∴1272ACD S AG CD =⋅= ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒，∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠，∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确； ∴47GF AF AG =-=-，在Rt CGF 中，()2222347272CF CG GF =+=+-=-，故③正确． 故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理．2．B解析：B【分析】结论①错误，因为图中全等的三角形有3对；结论②正确，由全等三角形的性质可以判断；结论③错误，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断；结论④正确，利用全等三角形的性质以及直角三角形的勾股定理进行判断．【详解】连接CF ，交DE 于点P ，如下图所示结论①错误，理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AFC ≌△BFC ，△AFD ≌△CFE ，△CFD ≌△BFE ． 由等腰直角三角形的性质，可知FA=FC=FB ，易得△AFC ≌△BFC ．∵FC ⊥AB ，FD ⊥FE ，∴∠AFD=∠CFE ．∴△AFD ≌△CFE （ASA ）．同理可证：△CFD ≌△BFE ．结论②正确，理由如下：∵△AFD ≌△CFE ，∴S △AFD =S △CFE ，∴S 四边形CDFE =S △CFD +S △CFE =S △CFD +S △AFD =S △AFC =12S △ABC ， 即△ABC 的面积等于四边形CDFE 的面积的2倍．结论③错误，理由如下：∵△AFD ≌△CFE ，∴CE=AD ，∴FA ．结论④正确，理由如下：∵△AFD ≌△CFE ，∴AD=CE ；∵△CFD ≌△BFE ，∴BE=CD ．在Rt △CDE 中，由勾股定理得：222CD CE DE +=，∴222AD BE DE += ．故选B ．【点睛】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点，综合性比较强．解决这个问题的关键在于利用全等三角形的性质．3．B解析：B【分析】设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，根据勾股定理求出a 2+b 2＝AB 2＝9，c 2+b 2＝BC 2＝16，c 2+d 2＝CD 2＝25，即可证得a 2+d 2＝18，由此得到答案.【详解】设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，由勾股定理得，a 2+b 2＝AB 2＝9，c 2+b 2＝BC 2＝16，c 2+d 2＝CD 2＝25，则a 2+b 2+c 2+b 2+c 2+d 2＝50，∴a 2+d 2+2（b 2+c 2）＝50，∴a 2+d 2＝50﹣16×2＝18，∴AD ==故选：B ．【点睛】此题考查勾股定理的运用，根据题中的已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理求出未知的边长，解题中注意直角边与斜边.4．B解析：B【解析】【分析】MN 表示直线a 与直线b 之间的距离，是定值，只要满足AM +NB 的值最小即可．过A 作直线a 的垂线，并在此垂线上取点A ′，使得AA ′＝MN ，连接A 'B ，则A 'B 与直线b 的交点即为N ，过N 作MN ⊥a 于点M ．则A 'B 为所求，利用勾股定理可求得其值．【详解】过A 作直线a 的垂线，并在此垂线上取点A ′，使得AA ′＝4，连接A ′B ，与直线b 交于点N ，过N 作直线a 的垂线，交直线a 于点M ，连接AM ，过点B 作BE ⊥AA ′，交射线AA ′于点E，如图，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．∵AE＝2+3+4＝9，AB230=，∴BE2239=-=．AB AE∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B22=+=8．'A E BE所以AM+NB的最小值为8．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．5．D解析：D【解析】分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.6．C解析：C【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到SC=12cm，FC=18-2=16cm，再利用勾股定理计算出SF长即可．【详解】将圆柱的侧面展开，蜘蛛到达目的地的最近距离为线段SF的长，由勾股定理，SF2=SC2+FC2=122+(18-1-1)2=400，SF=20 cm，故选C.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．7．C解析：C【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据角平分线的性质定理，可得：DE ＝DC ＝x ，则BE ＝72－x ，进而可得到AE ＝AC ＝7，在Rt △BDE 中，应用勾股定理即可求解．【详解】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则∠AED ＝90°，AE ＝AC ＝7，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴BC ＝AC ＝7，AB ＝22AC +BC =72，在Rt △AED 和Rt △ACD 中，AE ＝AC ，DE ＝DC ，∴Rt △AED ≌Rt △ACD ，∴AE ＝AC ＝7，设DE ＝DC ＝x ，则BD ＝7－x ，在Rt △BDE 中，222BE +DE =BD ，即：()()22272-77-x x +=， 解得： 7(21)x =-，故选：C ．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，运用方程思想是解题的关键．8．C【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据无理数的估算即可求得答案.【详解】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=2222OA AB+=+=，2313∴P点所表示的数就是13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理和无理数的估算，熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的关键.9．C解析：C【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.【详解】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cmAD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm∴8cm≤h≤17cm故选：C【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.解析：D【分析】欲判断三角形是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】①c 不一定是斜边，故错误；②正确；③若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则a 2＋b 2≠c 2，故错误，所以正确的只有②，故选D.【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的内容是解题的关键.二、填空题11．103． 【解析】 试题解析：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， ∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=10， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=10，故3x+12y=10，x+4y=103， 所以S 2=x+4y=103． 考点：勾股定理的证明．12．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．【分析】①由已知条件证明DAB ≌EAC 即可；②由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°；③由∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°可判断③； ④由BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2可判断④．【详解】解：∵∠DAE ＝∠BAC ＝90°，∴∠DAB ＝∠EAC ，∵AD ＝AE ，AB ＝AC ，∴∠AED=∠ADE=∠ABC=∠ACB=45°， ∵在DAB 和EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴DAB ≌EAC ，∴BD ＝CE ，∠ABD ＝∠ECA ，故①正确；由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°故②错误；∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°，∴∠CEB ＝90°，即CE ⊥BD ，故③正确；∴BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2． ∴BE 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2，故④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键．14．【分析】利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到12BC AB =，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB .【详解】在Rt △ACD 中，CD=AD=∴6=，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴12BC AB =，∵222AC BC AB +=， ∴22216()2AB AB +=,解得AB=43，负值舍去，故答案为：43.【点睛】此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键. 15．7【分析】连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO ＝∠DAO ＝30°，AB ＝AD ＝BD ，BO ＝OD ，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE ＝EF ＝DF ，由勾股定理可求OC ，BC 的长．【详解】连接AC ，交BD 于点O ，∵AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠A ＝60°，∴AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，∴∠BAO ＝∠DAO ＝30°，AB ＝AD ＝BD ＝4，BO ＝OD ＝2，∵CE ∥AB ，∴∠BAO ＝∠ACE ＝30°，∠CED ＝∠BAD ＝60°，∴∠DAO ＝∠ACE ＝30°，∴AE ＝CE ＝3，∴DE ＝AD−AE ＝1，∵∠CED ＝∠ADB ＝60°，∴△EDF 是等边三角形，∴DE ＝EF ＝DF ＝1，∴CF ＝CE−EF ＝2，OF ＝OD−DF ＝1，22OC CF OF 3∴-=22BC=OB +OC =7∴故答案为：7．【点睛】 本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．16．【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长7×3=21（尺），因此葛藤长222021+=29（尺）．答：葛藤长29尺．故答案为：29．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．17．5【分析】在直角ABC 中，依据勾股定理求出AC 的长度，再算出BD ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，通过等面积法求出BE ，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE ED 、，两者相加即为AD 的长.【详解】解：如图，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒,∵直角ABC 中，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，∴22=10AC AB BC +=,又∵2ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅，2AC BD =∴6810BE ⨯=，5BD =,∴=4.8BE ,∵90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒ ∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=,∴5AD AE ED =+=.故答案为：5.【点睛】本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.18．10【分析】首先作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值，易得△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∠N ′OM ′=90°，继而可以求得答案．【详解】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM ′=OM =6，ON ′=ON =8，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°．在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′=22''OM ON +=10． 故答案为10．【点睛】本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．19．①1＜OA ＜4． ②672． 【解析】(1)由三角形边的性质5-3<2OA <5+3,1＜OA ＜4.(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE ,由题意知，22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()24CE +，()()222225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-，2AC ∴+ 2BD=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68，BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD =1， ∴AC •BD =672.20．12013【解析】 ∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴B 点，C 点关于AD 对称， 如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，交AD 于E ，则CF=BE+FF 的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB ⋅CF=BC ⋅AD ，∴CF=BC AD AB ⋅=101213⨯=12013故答案为12013. 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF ⊥AB 时，CF 有最小值是解题的关键.三、解答题21．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度AE=22-=24米．257答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴22-，2520CD CE-22∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．22．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED2CD，∴BD2+AD2＝2CD2，（3）解：连接EF，设BD＝x，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ，∵AE 2+AD 2＝2CD 2， ∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.23．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD ，证明详见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD ，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD ≌△BCF ；②连接EF ，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE ≌△FCE 得到EF=DE 即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD ，DE ，BE 之间的关系．【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD ，∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD ≌△BCF②证明：连接EF ，由①知△ACD ≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD ，BF=AD∴∠EBF=90°∴EF 2=BE 2+BF 2，∴EF 2=BE 2+AD 2又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF，CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD∵AC=BC，∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°∴BG=12BF，3∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF，CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12 BF，∴EF2=（EB+12BF）2+（32BF）2∴DE2=（EB+12AD）2+3）2∴DE2=EB2+AD2+EB·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．24．（1）见解析；（2）26；（323+3 【分析】（1）由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ，再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ，即可得到AD=BE ；（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12DE ，同（1）可证△ACD ≌△BCE ，得到AD=BE ，然后可求AE 的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB 的长；（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出3，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.【详解】证明：（1）∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∵CM ⊥DE ，∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点∴CM=12DE ， ∴DE=2CM=14，∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE∴AE=AD+DE=24如图，设AE ，BC 交于点H ，在△ACH 和△BEH 中，∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH ，而∠CAH=∠EBH ，∴∠BEH=∠ACH=90°，∴△ABE 为直角三角形 由勾股定理得2222AB=AE BE =2410=26++（3）由（1）（2）可得△ACD ≌△BCE ，∴∠DAC=∠EBC ，∵△ACB ，△DCE 都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，∵CM ⊥DE ，∴∠CMD=90°，DM=EM ，∴CD=CE=2CM ，3CM∴33∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°， ∴∠NBE=30°，∴BE=2EN ，3EN∵BN=a∴23=AD ∴AE=AD+DE=3233+a b 【点睛】本题考查全等三角形的旋转模型，掌握此模型的特点得到全等三角形是关键，其中还需要用到等腰三角形三线合一与30度所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本知识点是关键.25．（1）(0，；（2）DF OE =；（3）9+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出OA ==A 的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得12DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，OA === ∴点A 的坐标为(0，；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，AO =·sin 6092AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点，1122DG OF ∴==⨯=ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．26．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF【解析】【分析】（1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状；（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短距离为DF'，P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点.【详解】解：（1）∵()2, 4A 、()3, 8B --∴AB 13==故A 、B 两点间的距离为：13.∵M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1∴()MN 415=--=故M 、N 两点的距离为5.（2）∵()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F∴DE 5==DF 5==EF ==∴DE=DF ，222DE DF EF +=∴△DEF 为等腰直角三角形（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时DP+PF 最短设直线DF'的解析式为y=kx+b将D （1,6），F'（4，-2）代入得：642k b k b +=⎧⎨+=-⎩ 解得83263k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DF'的解析式为：826y 33x =-+ 令y=0，解得13x 4=，即P 的坐标为（1304，） ∵PF=PF'∴PD+PF=PD+ PF'= DF'=()()22146273-++= 故当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF 的长度最短，最短长度为73. 【点睛】本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x 轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.27．（1）△AEF 是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F 到BC 的距离为3﹣．【解析】【分析】（1）连接AC ，证明△ABC 是等边三角形，得出AC ＝AB ，再证明△BAE ≌△DAF ，得出AE ＝AF ，即可得出结论；（2）连接AC ，同（1）得：△ABC 是等边三角形，得出∠BAC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ，再证明△BAE ≌△CAF ，即可得出结论；（3）同（1）得：△ABC 和△ACD 是等边三角形，得出AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝∠ACD ＝60°，证明△BAE ≌△CAF ，得出BE ＝CF ，AE ＝AF ，证出△AEF 是等边三角形，得出∠AEF ＝60°，证出∠AEB ＝45°，得出∠CEF ＝∠AEF ﹣∠AEB ＝15°，作FH ⊥BC 于H ，在△CEF内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，则GE＝GF，∠FGH＝30°，由直角三角形的性质得出FG＝2FH，GH＝FH，CF＝2CH，FH＝CH，设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，得出EH＝4+x＝2x+3x，解得：x＝﹣1，求出FH＝x ＝3﹣即可．【详解】（1）解：△AEF是等边三角形，理由如下：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD，∠B＝∠D，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∵点E是线段CB的中点，∴AE⊥BC，∴∠BAE＝30°，∵∠EAF＝60°，∴∠DAF＝120°﹣30°﹣60°＝30°＝∠BAE，在△BAE和△DAF中，，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）证明：连接AC，如图2所示：同（1）得：△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵∠BCD＝∠BAD＝120°，∴∠ACF＝60°＝∠B，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴BE＝CF；（3）解：同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，。
初中数学北师大版八年级上册 第一章 勾股定理单元测试(含答案)
第一章勾股定理一、选择题1. 若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．a=1.5，b=2，c=2.5B．a:b:c=3:4:5C．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52. 在Rt△ABC中，若∠C=90∘，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离为( )A．3B．4C．5D．2.43. 如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，且AB=BC=2，CD=3，DA=1，则∠DAB的度数为( )A．90∘B．120∘C．135∘D．150∘4. 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( )A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )A．47B．13C．11D．86. 如图，将一根长度为8 cm，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3 cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm7. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90∘，并测得BC长为16 m，若已知AC比AB长8 m，则A点和B点之间的距离为( )A．25 m B．12 m C．13 m D．43 m8. 如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．207二、填空题9. 在△ABC中，∠C=90∘．（1）已知a=10，b=24，那么c=．（2）已知b:c=4:5，a=9，那么b=，c=．10. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB等于．11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．12. 如图，一个长方体长4 cm，宽3 cm，高12 cm，则它上下两底面的对角线MN的长为cm．13. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则可以判断△ABC的形状为．14. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=∘（点A，B，P是网格线的交点）．15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=．三、解答题16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘．(1) 已知a=8，c=17，求b．(2) 已知b=40，c=41，求a．17. 如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90∘，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四边形ABCD的面积．18. 如图，滑竿在机械槽内运动，∠C=90∘，AB=2.5 m，BC=1.5 m，当底端B向右移动0.5 m时，顶端A下滑了多少米？19. 假期中，王强和同学到某海岛上去旅游．他们按照如图所示路线．在点A登陆后租借了自行车，骑车往东走8千米，又往北走2千米；遇到障碍后往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，走了1千米到达景点B．登陆点A到景点B的直线距离是多少千米？20. 若正整数a，b，c（a<b<c）满足a2+b2=c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯⋯第二类（a是偶数）：(6,8,10)，(8,15,17)，(10,24,26)，⋯⋯(1) 请再写出两组勾股数，每类各写一组；(2) 分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”．答案一、选择题1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. D二、填空题9. 26；12；1510. 1011. x2+62=(10−x)212. 1313. 直角三角形14. 4515. 20三、解答题16.(1) 15．(2) 9．17. ∵∠DBC=90∘，DC=17，BC=8，∴BD2=CD2−BC2=172−82=225=152，∴BD=15．∵AD2+AB2=122+92=144+81=225，BD 2=225， ∴AD 2+AB 2=BD 2，∴△ABD 是直角三角形，且 ∠A =90∘，∴ 四边形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +∠CBD 的面积 =12×9×12+12×15×8=54+60=114．18. 依题意得 AB =DE =2.5 m ，BC =1.5 m ，∠C =90∘，∴AC 2+BC 2=AB 2，即 AC 2+1.52=2.52，解得 AC =2 m ． ∵BD =0.5 m ， ∴CD =2 m ．在 Rt △ECD 中，CE 2+CD 2=DE 2， ∴CE =1.5 m ， ∴AE =0.5 m ．答：顶端 A 下滑了 0.5 m ．19. 10 千米．20.(1) 第一组（a 是奇数）：9,40,41（答案不唯一）；第二组（a 是偶数）：12,35,37（答案不唯一）．(2) 当 a 为奇数时，b =a 2−12，c =a 2+12；当 a 为偶数时，b =a 24−1，c =a 24+1．证明：当 a 为奇数时，a 2+b 2=a 2+(a 2−12)2=(a 2+12)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．当 a 为偶数时，a 2+b 2=a 2+(a 24−1)2=(a 24+1)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．。
初二勾股定理试题及答案
初二勾股定理试题及答案一、选择题1. 下列选项中，哪一项是勾股定理的表达式？A. a + b = cB. a² + b² = c²C. a × b = cD. a ÷ b = c答案：B2. 如果直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 7C. 8D. 9答案：A3. 一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，那么另一条直角边的长度是多少？A. 8B. 4C. 6D. 10答案：A二、填空题1. 已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，根据勾股定理，斜边的长度为______。
答案：102. 如果一个直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为5，那么另一条直角边的长度是______。
答案：12三、解答题1. 一个直角三角形的两条直角边长分别为9和12，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15。
2. 一个直角三角形的斜边长为17，其中一条直角边长为8，求另一条直角边的长度。
答案：设另一条直角边的长度为x，根据勾股定理，有x² + 8² =17²，即x² + 64 = 289，解得x² = 225，所以x = √225 = 15。
四、证明题1. 证明：如果直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么a² + b² = c²。
答案：设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
在三角形中，我们可以构造一个边长为a和b的正方形，以及一个边长为c的正方形。
在这两个正方形中，我们可以画出四个相同的直角三角形，每个三角形的直角边长分别为a和b，斜边长为c。
这样，我们可以将这四个三角形拼成一个边长为a+b的正方形，其面积为(a+b)²。
八年级上勾股定理单元测试4份及解答题
一，选择题( 本大题共8小题, 每小题3分,共24分)1. 如图：,,a b cA. 222a b c += B. ab c = C. a b c += D. 2a b c += 2. 下列各组数中以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、2,3,4a b c === B 、7,24,25a b c === C 、6,8,10a b c ===D 、3,4,5a b c ===3．小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸最有可能是 ( ) A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米) 4. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )A. 25B. 12.5C. 9D.8.55．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2B 、4cm 2C 、6cm 2D 、12cm 26．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里7.小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为( )A. 2m;B. 2.5m;C. 2.25m;D. 3m. 第5题图北南 A东第6题图基础训练1．若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 .4．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．5．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ．（ 不取近似值）6．底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 cm ．7．一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 Km ；8．如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，AD=12，AC=13，BC=14. 则AB=_____.9．如图是一个育苗棚，棚宽a=6m ， 棚高b=2.5m ，棚长d=10m ，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为_________m 2．10．在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要___________m ． 11．若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16 cm,那么它的面积为 ( ) A. 48 cm 2 B. 36 cm 2 C. 24 cm 2 D.12 cm 2A. 1.5mB. 0.9mC. 0.8mD. 0.5m14．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地12． 若一个直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边比斜边短1cm ，则斜边长为 （ ） A.18 cm B.20 cmC.24 cmD.25 cm13．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯脚移动的距离是（）ABCD (第8题)(第9题)5m(10题)257A.440 mB.460 mC.480 mD. 500 m 15.分别以下列四组为一个三角形的三边的长①6、8、10；②5、12、13； ③8、15、17；④7、8、9，其中能构成直角三角形的有（ ）. A.4组 B.3组 C.2组 D.1组16．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）． （A ）24cm 2 （B ）36cm 2 （C ）48cm 2 （D ）60cm 217．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）． （A ）321S S S >+ （B ）321S S S =+（C ）321S S S <+ （D ）无法确定321S S S八年级上勾股定理单元测试（三）一、选择题（每题3分,共18分）1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） （A ）1,2,3 （B ）2,3,4 （C ）3,4,5 （D ）4,5,62．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（ ） （A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）603．如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) (A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米 二、填空题（每题3分,共24分）4. 如图2，以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.5. 在Rt ABC ∆中,3,5a c ==,则边b 的长为______.6. 如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.7. 如图4，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则3_____.S =8.如图6，在长方形ABCD 中，5DC cm =,在DC 上存在一点E ,沿直线AE 把AED ∆折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若ABF ∆的面积为230cm ,那么折叠AED ∆的面积为_____.图610．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。
北师大版八年级上第一章勾股定理(附习题和答案)
第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBAC A B ED 练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c ---=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只CABDS 3S 2S 1C B A 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62+，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
八年级数学第一章勾股定理测试题
一、选择题1. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A. 1.5, 2, 3B. 7, 24, 25C. 6, 8, 10D. 9, 12, 15答案： A2. 适合下列条件的△ABC 中，是直角三角形的个数为 ( )① 5,12,13; ② 6,8,10; ③ 9,12,15; ④ 25,24,7; ⑤ 4,2,2A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个答案： C3. 已知直角三角形两直角边的长分别为 A 和 B，则该直角三角形的斜边的长度为（）A. A＋BB. √A² + B²C. A² + B²D. A - B答案： B4. 一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A. 4B. 8C. 10D. 12答案： C5. 如果一个三角形的一条边是另一边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定答案： A二、填空题6. 一个小三角形的两边长分别为3和4，第三边长是_______。
答案： 57. 一个直角三角形的两边长分别为9和12，其斜边长为_______。
答案： 158. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=_______。
答案： 109. 如图，在四边形ABCD中，A=60°, B=90°, BC=2, CD=3, 那么AB的长度为_______。
答案：√2310. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形答案： C三、判断题11. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
（）答案：对12. 一个三角形的三条边长分别为5,6>7，则它一定是一个直角三角形。
（）答案：错四、综合题13. 如图，正方形网格中的直角三角形ABC，顶点A、B、C都在格点上，BD⊥AC于点D，若BD的长为4，求AC的长。
初二勾股定理试题及答案
初二勾股定理试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 直角三角形中，斜边的长度为13，一条直角边的长度为12，另一条直角边的长度为多少？A. 5B. 8C. 9D. 102. 在直角三角形ABC中，∠A是直角，AB=3，AC=4，那么BC的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 勾股定理的数学表达式是什么？A. a² + b² = c²B. a² - b² = c²C. a² * b² = c²D. a² / b² = c²4. 如果一个三角形的三边长分别为3，4，5，那么这个三角形是：A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 非直角三角形5. 已知直角三角形的两条直角边分别为6和8，那么斜边的长度是多少？A. 10B. 12C. 14D. 16二、填空题（每题2分，共10分）6. 直角三角形的两条直角边长分别为3和4，斜边的长度为______。
7. 如果一个三角形的三边长满足a² + b² = c²，那么这个三角形是______三角形。
8. 在直角三角形中，如果斜边的长度为c，两条直角边的长度分别为a和b，那么它们之间的关系可以用______来表示。
9. 勾股定理适用于______三角形。
10. 已知直角三角形的两条直角边分别为5和12，斜边的长度是______。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 在直角三角形DEF中，∠D是直角，DE=9，DF=12，求EF的长度。
12. 如果一个三角形的三边长分别为6，8和10，判断这个三角形是否为直角三角形，并说明理由。
13. 已知直角三角形的两条直角边分别为7和24，求斜边的长度。
14. 一个直角三角形的斜边长度为17，一条直角边的长度为8，求另一条直角边的长度。
四、应用题（每题10分，共20分）15. 某建筑工地需要搭建一个三角形的支撑架，已知支撑架的一条直角边长度为5米，斜边长度为13米，求另一条直角边的长度。
八年级数学勾股定理30道必做题(含答案和解析)
八年级数学勾股定理30道必做题（含答案和解析）1、如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为a ，b ，c. A ，B ，N ，E ，F 五点在同一直线上，则c ＝ ．（用含有a ，b 的代数式表示）．答案：√a 2+b 2.解析：由三个正方形如图的摆放.∵四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形. ∴∠CNB ＋∠ENH ＝90°.又∵∠CNB ＋∠NCB ＝90°，∠ENH ＋∠EHN ＝90°. ∴∠CNB ＝∠EHN ，∠NCB ＝∠ENH. 在△CBN 和△NEH 中：{∠BNC =∠EHNNC =HN ∠NCB =∠HNE .∴△CBN ≌△NEH （ASA ）. ∴HE ＝BN.在Rt △CBN 中，BC 2＋BN 2＝CN 2.又已知三个正方形的边长分别为a ，b ，c. 则有a 2＋b 2＝c 2. ∴c =√a 2+b 2．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.三角形——直角三角形——勾股定理. 四边形——正方形——正方形的性质.2、在Rt △ABC 中，斜边长BC ＝3，AB 2＋AC 2＋BC 2的值为（ ）． A.9 B.18 C.6 D. 无法计算答案：B.解析：在Rt△ABC中，斜边长BC＝3.BC2＝AB2＋AC2＝9.∴AB2＋AC2＋BC2＝9＋9＝18．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.3、三角形三边长分别为① 3，4，5；② 9，40，41；③ 5，12，13；④ 6，8，10；⑤ 7，24，25；⑥ 8，15，17．其中能构成直角三角形的有．答案：①②③④⑤⑥.解析：① 3，4，5；② 9，40，41；③ 5，12，13；④ 6，8，10；⑤ 7，24，25；⑥ 8，15，17．全都能构成直角三角形．考点：三角形——直角三角形——勾股数.4、已知点A（3,5），B（-1，1）那么线段AB的长度为（）．A.4B.3√2C.4√2D.5答案：C.解析：已知A（3,5）和B（-1，1），由两点间的距离公式可知AB=√(3+1)2+(5−1)2=4√2．考点：函数——平面直角坐标系——坐标与距离.5、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为，斜边上的高为．答案：1．5√2.2．5.解析：等腰三角形的三边关系为1∶1∶√2.因为等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为5√2.斜边上的高，即为斜边的中线，为斜边的一半，长为5．考点：三角形——直角三角形——等腰直角三角形——勾股定理.6、若正方形的周长为40，则其对角线长为（）．A.100B.20√2C.10√2D.10答案：C.解析：正方形边长为10，根据勾股定理得对角线长为10√2．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AC的长是（）．A.2B.√32C.√3D.√3+2答案：C.解析：略.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.8、等边三角形的边长为4，则它的面积是．答案：4√3 .解析：等边三角形的面积=√34×42=4√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.9、已知一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，则此三角形斜边是__________，斜边上的高为__________．A.5；125B.6；145C.6；125D.5；145答案：A.解析：略.考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.直角三角形——勾股定理.10、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它的斜边上的高为．答案：6013.解析：设斜边的长为c，斜边上的高为h.∵直角三角形的两直角边长分别为5和12.∴c=√52+122=13.∴5×12＝13h，解得h＝60．13考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.11、如图所示，小明同学在距离某建筑物6米的点A处测得条幅两端点B，C点的仰角分别为60°和30°，则条幅的高度BC为米（结果可以保留根号）．答案：4√3.=2√3，BC=BD−CD=4√3．解析：依题可知，BC=6√3，CD=√3考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.三角形——锐角三角函数——解直角三角形.12、一张直角三角形的纸片，按图所示折叠，使两个锐角的顶点A，B重合，若∠B＝30°，AC＝√3，则DC的长为．答案：1.解析：由题知∠DAE＝∠B＝30°.∴∠DAC＝90°－∠B－∠DAE＝30°．AC=1．∴在Rt△ADC中，DC=√33考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.13、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，D是AB延长线上一点且∠CDB＝45°．求DB与DC的长．答案：证明见解析．解析：过C作CE⊥AB于E.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4.∴BC＝2，∠ABC＝60°.∴∠BCE＝30°.∴BE＝1，CE＝√3.在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠CDB＝45°.∴∠ECD＝45°.∴DE＝CE＝√3.∴CD＝√CE2+DE2=√6.∴BD＝√3－1．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形——等腰直角三角形——勾股定理.14、如图，数轴上有两个Rt△OAB，Rt△OCD，OA，OC是斜边，且OB＝1，AB＝1，CD＝1，OD＝2，分别以O为圆心，OA，OC为半径画弧交x轴于E，F，则E，F分别对应的数是.答案：−√2，√5.解析：在Rt△OAB中，OA＝√OB2+AB2=√2.∴OE＝√2.∴点E对应的数为−√2．在Rt△OCD中，OC＝√OD2+CD2=√5.∴OF＝√5.∴点F对应的数为√5．考点：数——有理数——数轴.三角形——直角三角形——勾股定理.15、在△ABC中，三条边的长分别为AB＝√5，BC＝√10，AC＝√13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格，其中每个小正方形的边长为1，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样就不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为√2a，√13a，√17a(a>0).请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上．（3）若△ABC中有两边的长分别为√2a,√10a(a>0).且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上．.答案:（1）72a2.（2）52（3）4a或2√2a.解析:（1）△ABC的面积为72．（2）△ABC的面积为52a2.（3）图中三角形为符合题意的三角形．第三边的长度为4a或2√2a.考点：函数——平面直角坐标系——坐标与面积.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.16、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝5，c＝4，则S△ABC＝．答案：94.解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2＋b2＝c2．又有(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，∴(a＋b)2－c2＝2ab.∴S△ABC＝12ab=94．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.17、已知Rt△ABC的周长为2+√6，其中斜边AB＝2，则这个三角形的面积为．答案：12.解析：在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b．由勾股定理得a2＋b2＝4．由题意得a ＋b ＋2＝2＋√6. ∴a ＋b ＝√6. ∴ab =(a+b)2−(a 2+b 2)2=6−42=1．∴s =12ab =12．考点：式——整式——完全平方公式.三角形——直角三角形——勾股定理.18、在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为 ． 答案：132cm. 解析：略.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.19、如图所示，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求水深是多少？答案：水深为1.5米．解析：设水深AC 为x 米．则红莲的长是(x ＋1)米．在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴(x ＋1)2＝x 2＋4． 解得x ＝1.5． 答：水深为1.5米．考点：三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的应用.20、如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA ⊥AB ，AD ＝1，BD ＝√17，则BC 的长为 ．.答案：178解析：在Rt△ABD中，由勾股定理可知，AD＝1，BD＝√17，AB＝4．设BC＝BD＝x，AC＝4－x..由勾股定理可知12＋(4－x)2＝x2，解得x＝178考点：三角形——直角三角形——勾股定理.21、如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于．答案：6.解析：∵AB＝10，EF＝2.∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4.∴四个直角三角形的面积和为100－4＝96.ab=96.设AE＝a，DE＝b，即4×12∴2ab＝96，a2＋b2＝100．∴a＋b＝14.∵a－b＝2.解得a＝8，b＝6.∴AE＝8，DE＝6.∴AH＝8－2＝6．考点：方程与不等式——二元一次方程组——解二元一次方程组.三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.22、在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，则AB边的长是．答案：13或√119.解析：若AC＝5，BC＝12都是直角边，则AB＝13．若BC＝12是斜边，则AB＝√122−52=√119．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.23、等腰三角形的一边长为12，另一边长是10，则其面积为．答案：48或5√119.解析：作出底边上的高AD.当AB＝AC＝12，BC＝10时，BD＝5.由勾股定理得：AD＝√AB2−BD2=√119．∴S=12BC×AD=12×10×√119=5√119．当AB＝AC＝10，BC＝12时，BD＝6.由勾股定理得：AD＝√AB2−BD2=√102−62=8．∴S=12BC×AD＝48.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.24、在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为cm2．答案：66或126.解析：如图所示，分如下两种情况：由勾股定理可得，B1H＝B2H＝5，CH＝16．∴CB1＝21，CB2＝11.∴△ABC的面积为66或126cm2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.25、下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）．A.3，4，5B.1，1，√2C.5，12，13D.4，6，8答案：D.解析：∵32＋42＝52，∴选项A正确.∵12＋12＝(√2)2，∴选项B正确.∵52＋122＝132，∴选项C正确.∵42＋62≠82，∴选项D错误．考点：三角形——直角三角形——勾股定理的逆定理.26、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，如果三边长满足b2－a2＝c2，那么△ABC中互余的一对角是．答案：∠A和∠C.解析：∵b2－a2＝c2.∴b2＝a2＋c2.∴△ABC为直角三角形，且∠B＝90°.∴∠A＋∠C＝90°．考点：几何初步——角——余角和补角.三角形——直角三角形——勾股定理的逆定理.27、如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝14CD．求证：△AEF 是直角三角形．答案：证明见解析．解析：如图所示，延长FE交AB的延长线于点G.∵∠C＝∠GBE＝90°，CE＝BE，∠1＝∠2．∴△CEF≌△BEG．∴EF＝EG，CF＝BG．设正方形ABCD的边长为a，则CF＝14a，DF＝34a．在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AF2＝AD2＋DF2＝a2+(34a)2=2516a2．∴AF=54a，BG=14a．∴AG=54a.∴AF＝AG．∵EF＝EG.∴AE⊥FG．∴∠AEF＝90°．∴△AEF是直角三角形.考点：三角形——全等三角形——全等三角形的应用.三角形——等腰三角形——等腰三角形的性质.三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.28、如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．答案：四边形ABCD的面积为1＋√5．解析：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.∴AC＝√AB2+BC2=√5．在△ACD中，AC2＋CD2＝5＋4＝9＝AD2.∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD＝12AB×BC+12AC×CD=12×1×2+12×√5×2=1+√5.故四边形ABCD的面积为1＋√5．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.29、在△ABC中，点D为BC的中点，点M，N分别为AB，AC上的点，且MD⊥ND．（1）若∠A＝90°，以线段BM，MN，CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形？（2）如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2，求证AD2=14(AB2+AC2)．答案：（1）能，该三角形是直角三角形．（2）证明见解析．解析：（1）略.（2）延长ND至E，使DE＝DN，连接EB，EM，MN．因为DE＝DN，DB＝DC，∠BDE＝∠CDN，则△BDE≌△CDN．从而BE＝CN，∠DBE＝∠C．而DE＝DN，∠MDN＝90°，故ME＝MN.因此DM2＋DN2＝MN2＝ME2.即BM2＋BE2＝ME2，则∠MBE＝90°.即∠MBD＋∠DBE＝90°．因为∠DBE＝∠C，故∠MBD＋∠C＝90°．则∠BAC＝90°．AD为Rt△ABC斜边BC上的中线.BC．故AD＝12(AB2+AC2)．由此可得AD2=14考点：三角形——全等三角形——全等三角形常用辅助线——倍长中线.三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.三角形——直角三角形——勾股定理.30、阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP’C，连接PP’，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．（1）图1中∠APB的度数等于．（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2√2，PB＝1，PD＝√17，则∠APB的度数等于，正方形的边长为．（3）如图，在正六边形ABCDEF内有一点，且PA＝2，PB＝1，PF＝√13，则∠APB的度数等于，正六边形的边长为（并写出解答过程）．答案:（1）150°.（2）1．135°.2．√13.（3）1．120°.2．√7.解析：（1）∵△ABC为正三角形，PA＝P’A.∴△AP P’为正三角形.∴∠A P’P＝60°，P’P＝AP＝3.∵P’C＝PB＝4，PC2＝P’P2＋P’C2.∴∠PP’C＝90°.∴∠APB＝∠AP’C＝150°.（2）1．135°；2．√13.（3）图4中∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为√7．将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△A P’F，连接P’P．过点A作AN⊥P’P，过点A作AH⊥FP’于点H．∵△APB绕点A逆时针旋转120°得到△A P’F.∴∠PAP’＝120°，P’A＝PA＝2，P’F＝PB＝1.∴∠AP’P＝30°．在Rt△ANP’中，P’A＝2AN＝2.∴P’N＝√3．∴PP’＝2√3．在△FPP’中，PF＝√13，PP’＝2√3，P’F＝2．∴PF2＝P’F2＋P’P2.∴∠FP’P＝90°．∴∠APB＝∠FP’A＝∠FP’P＋∠AP’P＝120°.∴∠HP’A＝60°．在Rt△HP’A中，AP’＝2, ∠P’AH＝30°．∴HP’＝1．在Rt△HFA中，FA2＝FH2＋HA2.∴FA＝√FH2+HA2=√7.考点：三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.几何变换——图形的旋转——旋转全等.。
(典型题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试(有答案解析)
一、选择题1．用梯子登上20m 高的建筑物，为了安全要使梯子的底面距离建筑物15m ，至少需要（ ）m 长的梯子．A ．20B ．25C ．15D ．5 2．下列各组数据，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A ．5、6、7 B ．6、8、10 C ．1.5、2、2.5 D ．3、2、7 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在网格的格点上，则△ABC 的三条边中边长是无理数的有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 4．在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48 5．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，已知3AC =，4BC =，则BD =（ ）A ．125B ．95C ．235D ．1656．《九章算术》奠定了中国传统数学的基本框架，是中国古代最重要的数学著作之一．其中第九卷《勾股》章节中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”．意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子底部3尺远，问原处还有多高的竹子？（备注：1丈10=尺）这个问题的答案是（ ）A ．4尺B ．4.5尺C ．4.55尺D ．5尺7．如图，用64个边长为1cm 的小正方形拼成的网格中，点A ，B ，C ，D ，E ，都在格点（小正方形顶点）上，对于线段AB ，AC ，AD ，AE ，长度为无理数的有（ ）．A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则DE 的长为（ ）A ．103B ．256C ．203D ．1549．下列各组数中是勾股数的是（ ）A ．4，5， 6B ．1.5，2， 2.5C ．11，60， 61D ．1，3，2 10．如图，原来从A 村到B 村，需要沿路A →C →B （90C ∠=︒）绕过两地间的一片湖，在A ，B 间建好桥后，就可直接从A 村到B 村．已知5km AC =， 12km BC =，那么，建好桥后从A 村到B 村比原来减少的路程为（ ）A ．2kmB ．4kmC ．10 kmD ．14 km11．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm ，高为5cm 的圆柱粮仓模型．如图BC 是底面直径，AB 是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A ，C 两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）A ．10πcmB ．20πcmC ．102cmD ．52cm 12．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题13．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺（1尺＝10寸），则AB 的长是_____寸．14．如图，在ABC ∆中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，点Р在射线CA 上，且12BPC BAC ∠=∠，则2BP =_______．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，10AB =，8AC =，D 是AB 的中点，M 是边AC 上一点，连接DM ，以DM 为直角边作等腰直角三角形DME ，斜边DE 交线段CM 于点F ，若2MDF MEF S S =，则CF 的长为________．16．如图，l 1∥l 2∥l 3，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3．若点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ，则AB 的长是_____．17．如图，在四边形ABCD 中，B D 90∠∠==︒，AD=CD ，AB+BC=8，则四边形ABCD 的面积是_________．18．如图是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的斜面是半径为4m 的半圆，其边缘AB=CD=20m ，点E 在CD 上，CE=4m ，一滑行爱好者从A 点滑行到E 点，则他滑行的最短距离为____________m （π的值为3）19．如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出40A ∠=︒，50B ∠=︒，5AB =公里，4BC =公里，若每天凿通隧道0.3公里，问_________天才能把隧道AC 凿通．20．如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A 爬到点B 的最短路程是_____．三、解答题21．已知ABC ∆中，ACB ∠=90°，如图，作三个等腰直角三角形ACD ∆，EAB ∆，FCB ∆，AB ，AC ，BC 为斜边，阴影部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ． （1）当AC =6，BC =8时，①求1S 的值；②求4S -2S -3S 的值；（2）请写出1S ，2S ，3S ，4S 之间的数量关系，并说明理由．22．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：(1)10PQ ，其中P 、Q 都在格点上；(2)面积为13的正方形ABCD ，其中A 、B 、C 、D 都在格点上．23．△ABC 三边长分别为，AB ＝25，BC ＝10，AC ＝34．（1）请在方格内画出△ABC ，使它的顶点都在格点上；（2）求△ABC 的面积；（3）求最短边上的高．24．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求作图：（1）在图1中画一个边长为5的菱形；（2）在图2中画一个面积为5的直角三角形．25．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足290αβ+=︒，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若ABC 是“近直角三角形”，90B ∠>︒，50C ∠=︒，则A ∠=_____度；（2）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =．若CD 是ACB ∠的平分线，①求证：BDC 是“近直角三角形”；②求BD的长．（3）在（2）的基础上，边AC上是否存在点E，使得BCE也是“近直角三角形”？若存CE的长；若不存在，请说明理由．在，直接写出．．．．26．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】可依据题意作出简单的图形，结合图形利用勾股定理进行求解，即可．【详解】解：如图所示：∵AC＝20m，BC＝15m，∴在Rt△ABC中，22+m，152025故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．2．A解析：A【分析】利用勾股定理的逆定理计算判断即可．【详解】∵2256253661+=+=≠2749=，∴5、6、7不能作为直角三角形的三边长，∴选项A 错误；∵22866436100+=+==210100=，∴6、8、10能作为直角三角形的三边长，∴选项B 正确；∵221.52 2.254 6.25+=+==22.5 6.25=，∴1.5、2、2.5能作为直角三角形的三边长，∴选项C 正确； ∵222347+=+==27=， ∴2能作为直角三角形的三边长，∴选项D 正确；故选A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握逆定理并进行准确计算是解题的关键． 3．C解析：C【分析】根据勾股定理求出三边的长度，再判断即可．【详解】解：由勾股定理得：5AC ==，是有理数，不是无理数；BC ==AB ==即网格上的△ABC 三边中，边长为无理数的边数有2条，故选：C ．【点睛】本题考查了无理数和勾股定理，能正确根据勾股定理求出三边的长度是解此题的关键． 4．B解析：B【分析】画出直角三角形，由11,24,c a b c =++=可得：222169,a ab b ++=再由勾股定理可得：222121,a b c +==从而求解24,ab =再利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解：如图，由题意知：11,24,c a b c =++=13,a b ∴+=222169,a ab b ∴++=222121,a b c +==121+2169,ab ∴=248,ab =24,ab ∴=112.2S ab ∴== 故选：.B【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，掌握以上知识是解题的关键． 5．D解析：D【分析】勾股定理求出AB ＝5，设BD=x ，AD=5-x ，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =， ∴2222AB AC BC 345=++=，设BD=x ，AD=5-x ，∵CD AB ⊥∴∠CDA=∠CDB=90°，2222AC AD BC BD -=-，22223(5)4x x --=-，解得，x=165， 故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理求线段长，解题关键是设未知数，根据勾股定理列方程．6．C解析：C【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设原处还有x尺的竹子，则斜边为（10−x）尺，利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10−x）尺，根据勾股定理得：x2＋32＝（10−x）2，解得：x＝4.55故选C．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．7．C解析：C【分析】先根据勾股定理求出AB，AC，AD，AE这4条线段的长度，即可得出结果．【详解】根据勾股定理计算得：=，5==，10长度为无理数的有2条，故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理及无理数．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．8．C解析：C【分析】利用勾股定理求BC的长度，连接AE，然后设BE=AE=x，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：如图，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴6BC===，∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=12AB=5，∠EDB=90°，AE=BE 连接AE ，设AE=BE=x ，则CE=x-6在Rt △ACE 中，222(6)8x x -+=，解得：253x =∴BE=AE=253 在Rt △BDE 中，ED=22222520()533BE BD -=-=． 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 9．C解析：C【分析】根据勾股数的定义判断即可．【详解】解：A 、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意；B 、1.5， 2.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；C 、112+602＝612，三个数都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；D 3不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数． 10．B解析：B【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：222251213AB AC BC km则打通隧道后从A 村到B 村比原来减少的路程为：512134（km ）．故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出AB的长是解题关键．11．C解析：C【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC=A'C，且点C为BB'的中点，∵AB=5cm，BC=1×10=5cm，2∴装饰带的长度=2AC=2222+=+=cm，2255102AB BC故选：C．【点睛】本题考查平面展开-最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．12．B解析：B【分析】由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．【详解】设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S1，S2，S3，大小正方形重叠部分的面积为S，则由勾股定理可得：S1+S2=S3，在图②中，S1+S2+3-S=S3，∴S=3，故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键．二、填空题13．101【分析】取AB 的中点O 过D 作DE ⊥AB 于E 根据勾股定理解答即可得到结论【详解】解：取AB 的中点O 过D 作DE ⊥AB 于E 如图2所示：由题意得：OA ＝OB ＝AD ＝BC 设OA ＝OB ＝AD ＝BC ＝r 寸则解析：101【分析】取AB 的中点O ，过D 作DE ⊥AB 于E ，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB 的中点O ，过D 作DE ⊥AB 于E ，如图2所示：由题意得：OA ＝OB ＝AD ＝BC ，设OA ＝OB ＝AD ＝BC ＝r 寸，则AB ＝2r （寸），DE ＝10寸，OE ＝12CD ＝1寸， ∴AE ＝（r ﹣1）寸，在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2，即（r ﹣1）2＋102＝r 2，解得：r ＝50.5，∴2r ＝101（寸），∴AB ＝101寸，故答案为：101【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．14．90【分析】设则根据题意可得求得根据勾股定理计算即可；【详解】∵设则又∵∴∴∴∵∴∴∴∴；故答案是90【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用准确计算是解题的关键解析：90【分析】设BPC x ∠=，则2BAC x ∠=，根据题意可得ABP x ∠=，求得AB AP =，根据勾股定理计算即可；【详解】∵12BPC BAC ∠=∠，设BPC x ∠=，则2BAC x ∠=，又∵BAC BPC ABP ∠=∠+∠，2x x ABP =+∠， ∴ABP x ∠=，∴ABP BPC ∠=∠，∴AB AP =，∵90C ∠=︒， ∴2222AB AC BC 345=++=，∴5AP =，∴9CD =，3BC =，∴281990BP =+=；故答案是90．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．15．3【分析】作DG ⊥AC 于GEH ⊥AC 于H 则∠DGM ＝∠MHE ＝90°DG ∥BC 由勾股定理得出BC ＝6证出DG 是△ABC 的中位线得出DG ＝BC ＝3AG ＝CG ＝AC ＝4证明△MDG ≌△EMH （ASA ）得解析：3【分析】作DG ⊥AC 于G ，EH ⊥AC 于H ，则∠DGM ＝∠MHE ＝90°，DG ∥BC ，由勾股定理得出BC ＝6，证出DG 是△ABC 的中位线，得出DG ＝12BC ＝3，AG ＝CG ＝12AC ＝4，证明△MDG ≌△EMH （ASA ），得出MG ＝EH ，由三角形面积关系得出DG ＝2EH ＝3，得出MG＝EH ＝32，再证明∆DGF~∆EHF ，从而求出GF ，进而即可得出答案． 【详解】作DG ⊥AC 于G ，EH ⊥AC 于H ，如图所示：则∠DGM ＝∠MHE ＝90°，DG ∥BC ，∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8， ∴BC 221086-=，∵DG ∥BC ，D 是AB 的中点，∴DG 是△ABC 的中位线，∴DG ＝12BC ＝3，AG ＝CG ＝12AC ＝4， ∵△DME 是等腰直角三角形，∴∠DME ＝90°，DM ＝ME ，∵∠DMG ＋∠GDM ＝∠DMG ＋∠EMH ＝90°，∴∠GDM ＝∠EMH ，在△MDG 和△EMH 中，DGM MHE DM MEGDM EMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△MDG ≌△EMH （ASA ），∴MG ＝EH ，∵S △MDF ＝2S △MEF ，∴DG ＝2EH ＝3，∴MG ＝EH ＝32， ∵DG ∥EH ，∴∆DGF~∆EHF ，∴21DG GF EH HF ==， ∵GH=MH-MG=DG-MG=3-32=32， ∴GF=32×221+=1， ∴CF=AC-AG-GF=8-4-1=3，故答案是：3．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；添加辅助线，构造三角形全等是解题的关键．16．【分析】过点A 作AD ⊥l3于D 过点B 作BE ⊥l3于E 易证明∠BCE ＝∠CAD 再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ）得出结论BE ＝CD 由l1l2之间的距离为2l2l3之间的距离为3即得出CD 和AD 解析：17 【分析】 过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，易证明∠BCE ＝∠CAD ，再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ），得出结论BE ＝CD ，由l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，即得出CD 和AD 的长，利用勾股定理即可求出AC 的长，从而得到AB 的长．【详解】如图，过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，则∠CAD+∠ACD ＝90°，∵AC ⊥BC ，∴∠BCE+∠ACD ＝180°﹣90°＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD ，∵在△ACD 和△CBE 中，BCE CAD ADC CEB 90AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴BE ＝CD ，∵l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，∴CD ＝3，AD ＝2+3＝5，在Rt △ACD 中，AC 2222AD CD 5334=+=+=，∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB 2=AC 234=⨯=217．故答案为：17【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．作出辅助线并证明BE ＝CD 是解答本题的关键．17．16【分析】求不规则四边形的面积可以转化为两个三角形的面积由题意可知：求出与的面积即为四边形ABCD 的面积【详解】连接AC ∵∴∴∵AB+BC=8∴∴∴故答案为：16【点睛】本题主要考查的是四边形面积解析：16【分析】求不规则四边形的面积，可以转化为两个三角形的面积，由题意B D 90∠∠==︒，可知：求出Rt ABC 与Rt ADC 的面积，即为四边形ABCD 的面积．【详解】连接AC ，∵B D 90∠∠==︒，∴222AB BC AC +=，222AD DC AC +=， ∴11=22ABC ADC ABCD S S S BC AB CD AD +=⋅+⋅四边形21122BC AB AD =⋅+ ()2221111=2224BC AB CD AB BC AB BC ⋅+=⋅++， ∵AB+BC=8，∴222=64AB BC BC AB ++⨯，∴4464ABC ADCS S +=， ∴=16ABC ADC ABCD S SS +=四边形故答案为：16．【点睛】本题主要考查的是四边形面积的求解，三角形面积以及勾股定理，熟练运用三角形面积公式以及勾股定理是解答本题的关键．18．20【分析】要使滑行的距离最短则沿着AE 的线段滑行先将半圆展开为矩形展开后ADE 三点构成直角三角形AE 为斜边AD 和DE 为直角边求出AD 和DE 的长再根据勾股定理求出AE 的长度即可【详解】将半圆面展开可解析：20【分析】要使滑行的距离最短，则沿着AE 的线段滑行，先将半圆展开为矩形，展开后，A 、D 、E 三点构成直角三角形，AE为斜边，AD和DE为直角边，求出AD和DE的长，再根据勾股定理求出AE的长度即可．【详解】将半圆面展开可得，如图所示：∵滑行部分的斜面是半径为4m的半圆∴AD=4π米，∵AB＝CD＝20m，CE＝4m，∴DE=DC-CE=AB-CE=16米，在Rt△ADE中，2222(4)1620AD DEπ+=+≈m．故答案为：20．【点睛】考查了勾股定理的应用和两点之间线段最短，解题关键是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，再勾股定理求解．19．10【分析】根据勾股定理可求出BC的长度然后除以每天凿隧道的长度可求出需要的天数【详解】解：∵∠A=40°∠B=50°∴∠C=90°即△ABC为直角三角形∵AB=5kmAC=4km∴故：所需天数==解析：10【分析】根据勾股定理可求出BC的长度，然后除以每天凿隧道的长度，可求出需要的天数．【详解】解：∵∠A=40°，∠B=50°，∴∠C=90°，即△ABC为直角三角形∵AB=5km，AC=4km∴2222543BC AB AC km=--=，故：所需天数=30.3=10天．故答案为：10．【点睛】本题主要是运用勾股定理求出所需凿隧道的长度．20．25π【分析】沿过A点和过B点的母线剪开展成平面连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A 点爬到B 点的最短路程求出AC 和BC 的长根据勾股定理求出斜边AB 即可【详解】解：如图所示：沿过A 点和过B 点的母线剪 解析：25π【分析】沿过A 点和过B 点的母线剪开，展成平面，连接AB ，则AB 的长是蚂蚁在圆柱表面从A 点爬到B 点的最短路程，求出AC 和BC 的长，根据勾股定理求出斜边AB 即可．【详解】解：如图所示：沿过A 点和过B 点的母线剪开，展成平面，连接AB ，则AB 的长是蚂蚁在圆柱表面从A 点爬到B 点的最短路程，AC ＝12×2π×24＝24π，∠C ＝90°，BC ＝7π， 由勾股定理得：AB ＝()()2222274AC BC ππ+=+＝25π．故答案为：25π．【点睛】考核知识点：勾股定理．把问题转化为求线段长度是关键．三、解答题21．（1）① 9；② 9；（2）4123S S S S =++，见解析【分析】（1）①在等腰直角三角形ACD ∆中，根据勾股定理AD =CD =32 ②设5BEG S S ∆=，则()45235423++BEA BFC S S S S S S S S S S ∆∆-=+-=--，利用勾股定理得出52AE BE ==42CF BF ==即可求解；（2）设5BEG S S ∆=，假设一个等腰直角三角形的斜边为a ，则面积为214a ，利用勾股定理得出222AC BC AB +=，则222111444AC BC AB +=，即ABE ADC BFC S S S =+△△△，依此即可求解． 【详解】解：（1）①ACD ∆是等腰直角三角形，AC =6，∴AD =CD =3211323292S ∴=⨯=； ②ACB ∠=90°，AC =6，BC =8，∴AB =10，EAB ∆和FCB ∆是等腰直角三角形， ∴52AE BE ==，42CF BF ==，设5BEG S S ∆=()4523542311++52524242922BEA BFC S S S S S S S S S S ∆∆-=+-=--=⨯⨯-⨯⨯=；（2）设5BEG S S ∆=，如图，等腰直角三角形的面积公式12ABC S AB CD =⋅=214a ，∵等腰直角三角形ACD ∆，EAB ∆，FCB ∆， ∴222111,,444ADC BFC ABE S AC S BC S AB ===△△△， ∵222AC BC AB +=，∴222111444AC BC AB +=，即ABE ADC BFC S S S =+△△△， ∴451253S S S S S S +=+++，∴4123S S S S =++．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，有一定难度，解题关键是将勾股定理和直角三角形的面积公式进行灵活的结合和应用．22．(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）由勾股定理可知当直角边为1和310，由此可得线段PQ ；（2）由勾股定理可知当直角边为2和313可得到面积为13的正方形ABCD ．【详解】(1)(2)如图所示：【点睛】本题考查了勾股定理的运用，本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决问题．23．（1）见解析；（2）7；（3）7105． 【分析】 （1）根据AB ＝22252024==+， BC ＝221031=+，，AC ＝223435=+，利用勾股定理不难在网格上画出△ABC ；（2）如图，根据S △ABC =ADB BEC AFC ADEF S S S S ---⊿⊿⊿矩形不难得到答案； （3）对各边作出比较，可以找出最短边，然后根据三角形面积公式可求得最短边上的高．【详解】解：（1）如图所示：△ABC 即为所求；（2）如图，S △ABC ＝5×4﹣122⨯×4﹣12⨯1×3﹣12⨯3×5＝7，∴△ABC 的面积是7；（3）∵10＜534∴BC 是最短边，作AH ⊥BC ，交CB 延长线于点H ，∵S △ABC ＝12BC •AH ， ∴AH ＝2ABC S BC ＝10＝105． 710．【点睛】本题考查三角形面积的综合问题，熟练掌握三角形面积的各种求解方法是解题关键． 24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据22521=+，可以得到作图方法；（2）根据22221212452⨯+⨯+=可以得到一种作图方法． 【详解】（1）如图1；（2）如图2．【点睛】本题考查给定边长或面积的作图问题，解题关键是熟练掌握面积的计算公式以及勾股定理的应用．25．（1）20︒，（2）①见解析；②53BD =；（3）52CE =或74=CE ． 【分析】（1）先判断出B 不可能是α或β，再根据条件计算即可；（2）①根据DC 平分ACB ∠，得到2ACB BCD ∠=∠，再根据90BAC ∠=︒，即可得到结果；②作DH BC ⊥交于点H ，根据勾股定理得到5AC =，证明ADC HDC △≌△，再根据勾股定理计算即可；（3）根据点E 存在的两种情况分类讨论即可；【详解】（1）B 不可能是α或β，当A α∠=时，50C β∠==︒，290αβ+=︒，不成立；故A β∠=，C α∠=，290αβ+=︒，则20β=︒，（2）①∵DC 平分ACB ∠，∴2ACB BCD ∠=∠，∵90BAC ∠=︒，∴90B ACB ∠+∠=︒，即290B BCD ∠+∠=︒．∴BCD △是“近直角三角形”．②作DH BC ⊥交于点H ，∵3AB =，4AC =，∴5AC =（勾股定理）．在ADC 和HDC △中，DAC DHC ∠=∠，ACD HCD ∠=∠，DC DC =，∴ADC HDC △≌△，∴DH DA =，4AC HC ==，∴1BH =．设BD x =，则3DH x =-，在Rt BDH △中，()22231x x =-+， 得53x =，即53BD =． （3）52CE =或74=CE ．如图所示，点E 在ABC ∠的角平分线上，作EF BC ⊥，设EC x =，则4AE x =-，则4EF x =-， 根据已知条件可得：3AB BF ==， ∴532FC =-=，在Rt △EFC 中， ()22242x x -+=，52x =；在AC 上面找一点E ，连接BE ，使得ABE C ∠=∠，延长EA 至G ，使得AE=AG ， 根据条件可得：△△ABG ABE ≅，∴GBA EBA C ∠=∠=∠，∵90GBA G ∠+∠=︒，∴90C G ∠+∠=︒，∴90CBG ∠=︒，设EC x =，则4AE AG x ==-， ∴()()222224385BG x x =-+=--，74x =； ∴97444CE AC AE =-=-=； ∴边AC 上存在点E ，使得BCE 也是“近直角三角形”，此时52CE =或74=CE ． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理和全等三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 26．水深12尺，芦苇长13尺【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x -1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，利用勾股定理求出x 的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，如下图，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x -1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，在Rt△ACB'中，52+（x-1）2=x2，解得：x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．。
北师大版八年级勾股定理练习题含答案
北师大版八年级数学上勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；C.若a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠A，则a2＋b2＝c2；=D.若a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠C，则a2＋b2＝c2．=2. Rt△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）A．cba<+ D. 2a>+ C. cba=b+ B. c2c2+a=b3．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（）A、2kB、k+1C、k2－1D、k2+14. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．120 C．90 D．不能确定6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42 或32 D．37 或33 7.※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）（A2d（B d（C）2d（D）d8、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（）A：3 B：4 C：5 D：79．若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm高AD=24,则BC的长为（）A．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形 11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ． 12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形． 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ． 18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是 ．二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．A CB2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？AE15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3． 解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长.答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，观测点所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9． 解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5． 答案：cm 5． 二、综合发展11． 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m, 所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解. 答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ． 答案：这辆小汽车超速了．。
数学八年级上期勾股定理单元测试题12套参考答案
数学八年级上期勾股定理单元测试题12套参考答案数学八年级上期【勾股定理】单元测试题01一、选择题：１、Ｂ ２、Ｃ ３、Ｃ ４、Ｃ ５、Ｂ ６、Ｃ ７、Ｃ ８、Ｃ 二、填空题：１、直角三角形 ２、合格 ３、512４、２５ ５、６ ６、74 ７、２≤ｈ≤３ 三、解答题：１、解：在Rt △ABC 中，BC=6，AC=8ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２，ＡＢ＝8436+＝100＝１０， ＣＤ＝ABBC AC ⋅＝1086⨯＝4.82、解：连接AC∵在Rt △ABC 中，ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２，ＡＣ=169+=5cm ∴S △ABC=2BC AB ⋅=243⨯=6cm 2在△ACD 中，ＡＣ２+CD ２=25+144=169，DA ２=132=169，∴DA ２=ＡＣ２+CD ２∴△ACD 是Rt △∴S △ACD=2DC AC ⋅=2125⨯=30 cm 2，∴S 四边形ABCD= S △ABC+ S △ACD=6+30=36 cm 23、解：由题意得：设城门高为ｘ，（ｘ＋１）２＝ｘ２＋３２，ｘ２＋２ｘ＋１＝ｘ２＋９， ２ｘ＝８， ｘ＝４，竹竿长为４＋１＝５米。
答：竹竿长为５米。
４、解：由题意得：（ｘ＋１）２＝ｘ２＋２５，ｘ２＋２ｘ＋１＝ｘ２＋２５，２ｘ＝２４， ｘ＝１２。
答：旗杆的高度为１２米。
５、（１）Ａ：（kb-，０）（３，０） Ｂ：（０，４） （２）ＡＢ＝169+＝５ （３）存在。
Ｃ：（－３，０） ６、解：设ＥＣ为ｘ，∵△ＡＤＥ与△ＡＦＥ对折 ∴ＥＦ＝ＤＥ＝８－ｘ在Rt △AB Ｆ中，ＢＦ２＝ＡＦ２－ＡＢ２， ＢＦ＝64100-＝６∴ＦＣ＝ＢＣ－ＢＦ＝１０－６＝４在Rt △ＦＣＥ中，ＥＣ＝ｘ，ＥＦ＝８－ｘ，ＦＣ＝４，（８－ｘ）２＝ｘ２＋４２ ，６４－１６ｘ＋ｘ２＝ｘ２＋１６ ，１６ｘ＝４８，ｘ＝３ ∴ＥＣ＝３数学八年级上期【勾股定理】单元测试题02一1.C 2.D 3.D 4.C 5.D 6.A 7.D 8.C 9.A 10.D二11、勾股定理，222a b c += ；12、10；13、480； 14、15；15、直角；16、合格；17、30；18、25.三19、13米20、AC 2＝621、20=v 米/秒＝72千米/时＞70千米/时，超速。
北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》测试卷(含答案)
北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》测试卷（含答案）一．选择题1．下列线段不能构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．2，3，C．4，7，5D．1，，2．下列各组数中，能构成直角三角形的三边的长度是（）A．3，5，7B．，，C．0.3，0.5，0.4D．5，22，233．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠AOB走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB．他们踩伤草坪，仅仅少走了（）A．4m B．6m C．8m D．10m4．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．不能确定5．传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（）A．B．C．D．6．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（）A．7B．8C．7D．77．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（）cm．A．14B．15C．16D．178．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2022B．2021C．2020D．19．下列各组数中，不是勾股数的是（）A．6，8，10B．9，41，40C．8，12，15D．5k，12k，13k（k为正整数）10．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2二．填空题11．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为．12．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有m．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是边AC上的高，CD＝2，则BD＝．14．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果AB＝10cm，那么AF＝cm．15．若△ABC的三边a、b、c，其中b＝1，且（a﹣1）2+|c﹣|＝0，则△ABC的形状为．16．如图，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝．17．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为．18．请写出两组勾股数：、．19．如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入元．20．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．三．解答题21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2﹣BN2＝AC2．22．如图，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，点E是AD的中点，求CE的长．23．如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC 相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2＝c2．24．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．25．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．26．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．27．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出（1）当a＝19时，求b、c的值；（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、52+122＝169＝132，故是直角三角形，不符合题意；B、22+（）2＝9＝32，故是直角三角形，不符合题意；C、42+52＝41≠72，故不是直角三角形，符合题意；C、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，不符合题意．故选：C．2．解：A、∵32+52＝34≠72，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误；B、∵（）2+（）2＝7≠（）2 ，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误；C、∵（0.3）2+（0.4）2＝0.25＝（0.5）2，∴以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形，故选项正确；D、∵52+222＝509≠232，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误．故选：C．3．解：在Rt△AOB中，AB＝＝10m，∴AO+BO﹣AB＝6+8﹣10＝4m．即少走了4m．故选：A．4．解：根据题意得：如图：OA＝40×20＝800m．OB＝40×15＝600m．在直角△OAB中，AB＝＝1000米．故选：C．5．解：设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，由题意可得，，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（m﹣n）2﹣n2＝m2﹣2mn，∴这个直角三角形的面积＝ab＝．故选：A．6．解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时，小正方形的边长＝12﹣5＝7，∴EF＝；故选：C．7．解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝＝15cm，故选：B．8．解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2022．故选：A．9．解：A、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B、92+402＝412，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；C、82+122≠152，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D、（5k）2+（12k）2＝（13k）2，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；故选：C．10．解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．二．填空题11．解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，所以，KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110．故答案是：110．12．解：由图形及题意可知，AB2+BC2＝AC2设旗杆顶部距离底部有x米，有32+x2＝52，得x＝4，故答案为4．13．解：由已知得：AD＝AC﹣CD＝8，AB＝10，∵BD是高，∴△ADB是直角三角形，∴BD2+AD2＝AB2，∴BD＝＝6．14．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB＝5，∵FC∥DE，∴∠AFC＝∠D＝45°，由勾股定理得，AF＝＝5（cm），故答案为：5．15．解：∵（a﹣1）2+|c﹣|＝0，∴a﹣1＝0，c﹣＝0，解得a＝1，c＝，∵12+12＝（）2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．16．解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．故答案为：2π．17．解：在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．阴影故答案是：96m218．解：两组勾股数是：3、4、5；6、8、10；故答案为：3、4、5；6、8、10．19．解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，S 四边形ABCD ＝S △BAD +S △DBC ＝，＝＝36． 所以需费用36×200＝7200（元）．故答案为：720020．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm ，宽为（2+3）×3dm ， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：x 2＝82+[（2+3）×3]2＝172，解得x ＝17．故答案为：17．三．解答题21．证明：∵MN ⊥AB 于N ，∴BN 2＝BM 2﹣MN 2，AN 2＝AM 2﹣MN 2∴BN 2﹣AN 2＝BM 2﹣AM 2，又∵∠C ＝90°，∴AM 2＝AC 2+CM 2∴BN 2﹣AN 2＝BM 2﹣AC 2﹣CM 2，又∵BM ＝CM ，∴BN 2﹣AN 2＝﹣AC 2，即AN 2﹣BN 2＝AC 2．22．解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∴，∵CD ＝12，AD ＝13，∵AC 2+CD 2＝52+122＝169，AD 2＝169，∴AC 2+CD 2＝AD 2，∴∠C ＝90°，∴△ACD 是直角三角形，∵点E 是AD 的中点，∴CE ＝．23．（1）△ABE 是等腰直角三角形，证明：∵Rt △ABC 绕其锐角顶点A 旋转90°得到在Rt △ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠BAC +∠CAE ＝∠CAE +∠DAE ＝90°，又∵AB ＝AE ，∴△ABE 是等腰直角三角形；（2）∵四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，∴四边形ABFE 的面积等于：b 2．（3）∵S 正方形ACFD ＝S △BAE +S △BFE即：b 2＝c 2+（b +a ）（b ﹣a ），整理：2b 2＝c 2+（b +a ）（b ﹣a ）∴a 2+b 2＝c 2．24．解：（1）△ABC 为直角三角形，理由：由图可知，，BC ＝，AB ＝＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，即＝h，解得，h＝2，即AB边上的高为2．25．解：所画图形如下所示，其中点A即为所求；．26．解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则有CD＝14﹣x，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解之得：x＝9，∴AD＝12，∴S＝BC•AD＝×14×12＝84．△ABC27．解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1∵a＝19，a2+b2＝c2，∴192+b2＝（b+1）2，∴b＝180，∴c＝181；（2）通过观察知c﹣b＝1，∵（2n+1）2+b2＝c2，∴c2﹣b2＝（2n+1）2，（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，又c＝b+1，∴2b+1＝（2n+1）2，∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，但2n2+2n＝112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．。
第1章 勾股定理 北师大版八年级数学上册能力提升(含答案)
第一章勾股定理单元测试（能力提升）一、单选题1．下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（）A．3、4、5B．5、12 、13C．7、24、25D．7、9、13【答案】D【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解：选项A：∵3²+4²=5²，∴能构成直角三角形三边，故选项A不符合题意；选项B：∵5²+12²=13²，∴能构成直角三角形三边，故选项B不符合题意；选项C：∵7²+24²=25²，∴能构成直角三角形三边，故选项C不符合题意；选项D：∵7²+9²=49+81=130≠13²，∴不能构成直角三角形三边，故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2．如图，在中，D，E分别是边BC，AC的中点，已知，，，则AB 的长为（）．A．B．C．10D．【答案】A设，，在和中，利用勾股定理可证得，在Rt△ABC中，利用即可求解．设，，在中，，①在中，，②①＋②，，∴，在Rt△ABC中，，故选A．【点睛】本题考查了勾股定理，借助中点的定义，灵活运用勾股定理是解答的关键．3．如图正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为( )A．B．5C．D．【答案】D把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．解：如图示，将正方体展开，连接、，根据两点之间线段最短，．答：蚂蚁从点爬行到点的最短距离为．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．4．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c 三个正方形的面积之和为（）A．11B．15C．10D．22【答案】B【解析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a的面积等于1号的面积加上2号的面积，b的面积等于2号的面积加上3号的面积，c的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和.利用勾股定理可得：，，∴故选B【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.5．如图1是由个全等的边长为的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是的大正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以D．甲、乙都不可以【答案】A【解析】直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案．解：如图所示：可得甲、乙都可以拼一个面积是5的大正方形．故选：．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题关键．6．下列命题①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1．其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．①④D．②④【答案】C【解析】分别利用勾股数的定义、勾股定理以及等腰直角三角形的边的关系分别判断得出即可．解：①如果a，b，c 为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数，是真命题；②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，则这三角形的三个内角度数为：45°，60°,75°，因此这个三角形不是直角三角形，原命题是假命题；③如果一个三角形的三边是12、25、21，因为，故此三角形不是直角三角形，故原命题是假命题；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1，是真命题；故选：C．【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握勾股定理以及等腰直角三角形的性质是解题关键．7．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，．若，则的面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】连接DE，证明DE=DC=5，推出AB=10，AD=6，进而求出的面积即可得出结果．如图，连接，作于F点，是边上的高线，在中，根据“斜中半”定理可知，，，，为等腰三角形，且由勾股定理知：，，，是边上的中线，，，得，，，在中，由“三线合一”性质，知G为CE的中点，，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识点，解决问题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（ ）A．10m B．11m C．12m D．13m【答案】B【解析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC 中利用勾股定理可求出x．设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，故选：B．【点睛】此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题.9．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD 即可．解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，∴△BAF≌△EAF(SAS)∴BF=EF∴AF⊥BE又∵AF＝4，AB＝5，∴在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴即∵，∴∴∴∴在Rt△BDF中，，，∴故选：A【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，由折叠的性质及中点性质，可得△AEB是直角三角形，且G点是BE的中点，从而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的长，则根据△ABC的面积相等一方面可表示为，另一方面其面积为△BCD与△ACD面积的和，从而可求得CH的长．连接BE，延长CD 交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE∴CG是线段BE的垂直平分线∴BG=BE∵D点是AB的中点∴BD=AD，∴AD=ED∴∠DAE=∠DEA∵BD=ED∴∠DEB=∠DBE∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°∴2∠DEA+2∠DEB=180°∴∠DEA+∠DEB=90°即∠AEB=90°在Rt△AEB中，由勾股定理得：∴∵∴∴故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG⊥BE，从而可求得△BCD的面积也即△ABC的面积．二、填空题11．如图,已知OA=AB,数轴上点C表示的实数是_____________，点E表示的实数是____________.【答案】【解析】利用勾股定理求出OB，即可得到点C表示的实数；利用勾股定理求出OD可得到点E表示的实数.解：由题意得：，∴，即点C表示的实数是，∴，∴，即点E表示的实数是，故答案为：，.【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，熟练应用勾股定理是解题关键.12．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，BC=6, 一个边长为2的正方形DEFH沿边CA方向向下平移，平移开始时点F与点C重合，当正方形DEFH的平移距离为__________时，有DC2=AE2+BC2成立，【答案】【解析】连接CD，设平移的距离为x,则CF=x,根据勾股定理得到CD2=22+(x+2)2,由∠A=30°，∠B=90°，BC=6,得到AC=12，AE=12-2-x=10-x,再根据DC2=AE2+BC2列出方程即可求解.连接CD，设平移的距离为x,则CF=x,根据勾股定理得到CD2=22+(x+2)2,∵∠A=30°，∠B=90°，BC=6,∴AC=12，AE=12-2-x=10-x,∴AE2+BC2=（10-x）2+62，∵DC2=AE2+BC2∴22+(x+2)2=（10-x）2+62，解得x=【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理进行求解.13．若直角三角形的三边分别为a、a＋b、a＋2b，则的值为___【答案】3或－5【解析】若b是正数，则a、a＋b、a＋2b中a+2b最大，即a+2b是斜边，由勾股定理可得(a+2b) 2＝a2＋(a+b) 2，化简得a2－2ab－3b2＝0 ，所以(a+b)(a-3b)＝0 ，又a+b是一条直角边，因此a+b>0，所以a＝3b>0，即=3 ；若b是负数，则a、a＋b、a＋2b中a最大，即a是斜边，由勾股定理可得a2＝(a+b) 2＋(a+2b) 2，化简得a2＋6ab＋5b2＝0 ，即(a+b)(a＋5b)＝0 ，同上a+b>0，所以a＝-5b，即=-5.所以的值为3或－5.点睛：本题考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决本题的关键.14．如图，在中于点D，点P是线段AD上一个动点，过点P作于点E，连接PB，则的最小值为________.【解析】根据题意点B与点C关于AD对称，所以过点C作AB的垂线，与AD的交点即点P，求出CE即可得到答案∵∴点B与点C关于AD对称过点C作CE⊥AB于一点即为点P，此时最小∵∴BD=2在Rt△ABC中，∵S△ABC=∴得故此题填【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题15．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．【答案】0.5【解析】结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，∴AC===2（米）.∵BD=0.5米，∴CD=2米，∴CE===1.5（米），∴AE=AC-EC=0.5（米）．故答案为0.5.点睛：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．16．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.【答案】21【解析】在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，先证明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=BC＝10的长度，再设EF=BF=x，在Rt△CFB和Rt△CFA中，由勾股定理求出x，再根据AB=AE+EF+FB求得AB的长度．如图所示，在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠EAC．在△AEC和△ADC中，∴△ADC≌△AEC（SAS），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF⊥AB，∴EF=BF，设EF=BF=x．∵在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2-BF2=102-x2，∵在Rt△CFA中，∠CFA=90°，∴CF2=AC2-AF2=172-（9+x）2，即102-x2=172-（9+x）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．17．定义：如图，点、点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点、点是线段的勾股分割点．已知点点是线段的勾股分割点，，则_____．【答案】或【解析】①当MN为最长线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最长线段时，由勾股定理求出BN即可．解：当为最长线段时，点是线段的勾股分割点，；当为最长线段时，点是线段的勾股分割点，．综上所述：或．故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，注意分类思想的应用．18．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为__________海里．【答案】【解析】根据题目中的已知角度，求出，再利用勾股定理列方程计算．由题意知，，在中，，，则，解得：故答案为：15【点睛】本题考查了勾股定理的应用，突破口在于找到直接三角形．19．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和4cm，高为6cm．如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕n 圈到达点B，那么所用细线最短需要_______________cm．（结果用含n 的代数式表示）【答案】2【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理解答．解：将长方体展开，连接A、B．从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，相当于两条直角边分别是10n和6，根据两点之间线段最短，则AB＝=2cm．故填：2.【点睛】本题主要考查平面展开−最短路径问题，解题的关键是得到两条直角边分别是10n和6，根据两点之间线段最短，运用勾股定理进行解答．20．如图，已知，过作，且；再过作且；又过作且；又过作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么______．【答案】．【解析】利用勾股定理解直角三角形，然后利用三角形面积公式计算三角形面积，从而发现规律．解：由题意可得在中，∴同理可得：…∴故答案为：【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形及数字的规律探索，准确利用勾股定理及三角形面积公式进行计算是解题关键．21．如图，四边形ABCD中，点E在CD上，交AC于点F，，若，，则__________．【答案】7【解析】证明△ABF≌△DCA可得AD=AF，AC=BF，过点D作DG垂直于AC于点G，可得DG=GC=3，GF=GC-FC=1，在△ADG中利用勾股定理即可求得AD，从而求得AC．解：∵BE∥AD，∴∠AFB=∠CAD，∵，∴△ABF≌△DCA（AAS），∴AD=AF，AC=BF，过点D作DG垂直于AC于点G，∠ACD=45°，，∴DG=GC=3，∴GF=GC-FC=3-2=1，设AD=AF=x，则AG=x-1，由勾股定理得32+（x-1）2=x2，解得x=5，∴AD=5，BF=AC=AF+CF=5+2=7，故答案为：7．【点睛】此题考查勾股定理以及全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．22．如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的结论是___________．（填正确结论的序号）【答案】①②③【解析】由三角形的角平分线的含义结合三角形的内角和定理可判断①，先证明△ABP≌△FBP（ASA）与△APH≌△FPD（ASA），结合可判断②，由△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，再证明HD∥EP，可判断③，若DH平分∠CDE，推导DE∥AB，这个显然与条件矛盾，可判断④；解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE= ，∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，在△APH和△FPD中，，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH=PD，，故②正确，∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH=S△EPD，∴S△APH=S△AED，故③正确，若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，∴∠CDE=∠ABC，∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题23．如图，已知与有一个公共点C，其中，若，，，，.求证：．【答案】见详解.【解析】先利用勾股定理求出AC2和CE2的值，再根据勾股定理的逆定理证明△ACE为直角三角形.证明：∵，∴在中，根据勾股定理同理可求.在中∵..∴.∴为直角三角形.【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用，如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形，本题依次可证.24．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB = 90°，求证：a2+b2=c2．【答案】证明见解析．【解析】根据即可得证．如图，过点D作，交BC延长线于点F，连接BD，则，由全等三角形的性质得：，，，，即，整理得：．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握“面积法”是解题关键．25．如图，某小区对位于小路AC同侧的两个喷泉A，B的管道进行铺设．供水点M在小路AC上，喷泉A，B的距离是400米，供水点M到AB的距离MN是150m，BM=250m．（1）供水点M到A，B两个喷泉铺设的管道总长是多少米？（2）改变供水M的在AC上的位置，若使管道BM最短，求出此时供水点M到A，B两个喷泉铺设的管道总长是多少米？．【答案】（1）500m；（2）560m【解析】（1）根据勾股定理依次求出BN和AM，供水管道总长即为AM+BM；（2）根据垂线段的性质可画出对应图，再根据勾股定理分别在Rt△BM M '和Rt△BAM '中表示，列出方程求解即可求得MM '，由此可求得和AM '即可求解．解：（1）由题意可得：MN⊥AB，∴∠MNA=∠MNB=90°，在Rt△MNB中，∠MNB=90°，BN＝，∵AB＝400，∴AN＝AB﹣BN＝200，在Rt△AMN中，∠MNA=90°，AM＝，∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝250+250＝500m；（2）由题意可得：BM '⊥AC，AM=BM=250，AB=400，∴∠BM 'M=90°，设MM '=x，则AM '=x+250，在Rt△BM M ' 中，∠BM 'M=90°，，在Rt△BAM ' 中，∠BM 'M=90°，，∴，∴，∴，∴，∴供水点M ' 到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝320+240＝560m.【点睛】本题考查勾股定理的应用，线段垂线段的性质．（2）中能正确作出图形，并熟练掌握方程思想是解题关键．26．如图1，在中，，，是的高，且．（1）求的长；（2）是边上的一点，作射线，分别过点，作于点，于点，如图2，若，求与的和．【答案】（1）3；（2）．【解析】（1）根据勾股定理可求AD，再根据勾股定理可求CD，根据BC=BD+CD即可求解；（2）根据三角形面积公式可求AF与CG的和．（1）在Rt△ABD中，ADB=90，由勾股定理得：AD=，在Rt△ACD中，ADC=90，由勾股定理得：CD=，∴BC=BD+CD=1+2=3，∴BC的长为3；（2）∵AF⊥BE，CG⊥BE，BE=，∴，=，=，而=，∴=，即AF与CG的和为．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积法的应用，正确运用勾股定理是解题的关键．27．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．（1）台风中心经过多长时间从移动到点？（2）已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？【答案】（1）台风中心经过16小时时间从B移动到D点；（2）他们要在20时到24时时间段内做预防工作【解析】（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间＝路程÷速度进行计算；（2）根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间＝路程÷速度计算，然后求出时间段即可．解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD==240km，所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点；（2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，∴BE=BD-DE=240-30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，∵台风速度为15km/h，∴210÷15=14时，270÷15=18，∵早上6：00接到台风警报，∴6+14=20时，6+18=24时，∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，此题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然后进行正确分析．28．如图，在中，过点A作，BE平分交AC于点E．（1）如图1，已知，，，求BD的长；（2）如图2，点F在线段BC上，连接EF、ED，若，，，求证：．【答案】（1）BD=5；（2）证明见解析【解析】（1）利用勾股定理运算即可；（2）利用角平分线的性质可得到，证出得到，，再通过角的等量代换证出，取的中点，连接，即可证出，从而得到结论．解：（1）∵∴∴∴（2）∵平分∴又∵，∴∴，∴∴∵∴取的中点，连接，如图2所示：则∴∵∴∴∴∴∴【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质及判定等，合理做出辅助线灵活证明全等是解题的关键．29．（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．（2）应用：如图（2），已知在中，，，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为，，则______.（请直接写出结果）．（3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等．【答案】（1）见解析；（2）；（3）O应建在离C点52.5千米处．【解析】（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可；（2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积；（3）设CO=xkm，则OD=（80-x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分别表示出AO和BO的长，根据AO=BO列出方程，求解即可．（1）由面积相等可得，∴，∴，∴．（2），，∴．故答案为：（3）设千米，则千米．∵到A，B两个城市的距离相等，∴，即，由勾股定理，得，解得．即O应建在离C点52.5千米处．【点睛】本题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解是解题的关键．30．阅读下面的材料，并解决问题：数学家与勾股数组定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边的长都是正整数，且满足，那么数组称为一组勾股数．每一组勾股数都能确定一个边长都为正整数的直角三角形，研究勾股数对研究直角三角形具有重要意义，历史上很多数学家都对勾股数进行了研究：1．我国西周数学家商高在公元前年发现了“勾三，股四，弦五”，数组是世界上发现最早的一组勾股数．2．毕达哥拉斯学派提出勾股数公式为，其中为正整数．(说明：根据这个公式不能写出所有勾股数)3．柏拉图提出的勾股数公式为，其中为大于的整数．(说明：根据这个公式不能写出所有勾股数)4．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》，其勾股数公式为，其中是互质的奇数．(注：的相同倍数组成的一组数也是勾股数) 5．国外最先给出勾股数通解公式的是希腊的丢番图，其公式为，其中是互质且为一奇一偶的任意正整数．问题解答：通过观察柏拉图提出的勾股数公式特点，可知_；直接写出一组勾股数，且这组数不能由柏拉图提出的勾股数公式得出；通过阅读可知，一组勾股数中至少有一个数是偶数，请写出一组勾股数，使其中含有数字．【答案】（1）-2；（2）答案不唯一，例如；（3）答案不唯一，例如【解析】（1）直接令b-c即可求解；（2）根据题意即可写出勾股数；（3）根据题意即可写出勾股数．解：（1）∵∴b-c=故答案为：-2．答案不唯一，例如答案不唯一，例如．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握完全平方公式、满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．31．问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为___；位置关系为．拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE与BD 之间的关系是否仍然成立请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=90°，连接AB、AE、AD，把线段AB 绕点A旋转，若AB=5，AC=3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）．【解析】（1）问题发现，由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，∠BDC＝∠EAC，可证AE⊥BD；（2）拓展探究，由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，可证AE⊥BD；（3）解决问题，由由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，由三角形的三边关系可求解．解：（1）问题发现如图①，延长BD交AE于H，∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCD＝90°，CA＝CD，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠BDC＝∠EAC，∵∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠CBD+∠EAC＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AE⊥BD，故答案为：AE＝BD，AE⊥BD；拓展探究：（2）成立．理由：如图2，设与BD相交于点G．∵，∴．又∵，，∴，∴，．∵，，∴，∴，∴．拓展延伸：（3）AE的最大值为．如图3，连接BD．∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴，当点在线段DA的延长线时等号成立，故AE的最大值为．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，证明△ACE≌△DCB是本题的关键．。
八年级勾股定理十道典型题
1、直角三角形中，一直角边长为3，斜边长为5，则另一直角边长为：A. 2B. 3C. 4D. 6（答案）C2、若等腰直角三角形的腰长为a，则其斜边长为：A. a2B. 2aC. a√2D. a/√2（答案）C3、在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为：A. 3+4B. 5C. 7D. √(32+42)（答案）D（但实际计算结果为5，与B相同，此处考察的是勾股定理的应用过程）4、一个直角三角形的两条直角边分别增加20%和30%，那么斜边增加的百分比最接近：A. 20%B. 25%C. 30%D. 50%（答案）B（实际增加百分比需通过计算得出，但接近25%）5、已知直角三角形的一直角边长为5，斜边与另一直角边之差为2，则斜边长为：A. 6B. 7C. 8D. 9（答案）D6、设直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，若a+b=10，c=8，则ab的值为：A. 18B. 36C. 50D. 64（答案）B（利用勾股定理a2+b2=c2和(a+b)2=a2+2ab+b2求解）7、一个直角三角形的斜边长为10，一直角边与斜边之比为3:5，则另一直角边长为：A. 4B. 5C. 6D. 8（答案）A（利用比例关系和勾股定理求解）8、直角三角形中，若斜边长为斜边上的高的5倍，则较小的锐角为：A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°（答案）B（利用三角函数和勾股定理求解）9、在直角三角形中，若一直角边长为6，斜边上的高为4，则斜边长为：A. 8B. 9C. 10D. 12（答案）C（利用直角三角形的面积公式和勾股定理求解）10、已知直角三角形的两直角边a和b满足a+2b=10，且斜边c为整数，则c的可能取值为：A. 4或5B. 5或6C. 6或7D. 7或8（答案）B（通过枚举和勾股定理验证）。
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北八上第一章《勾股定理》水平测试（B ）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定
2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长
（A ）4 cm （B ）8 cm （C ）10 cm （D ）12 cm 3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25 （B ）14 （C ）7 （D ）7或25 4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )
（A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）64
5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
7
1524
25
20715
2024
25
7
25
20
24
257
202415
(A)
(B)
(C)
(D)
6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
（A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )
（A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ）
C
8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2
2
+=+,则这个三角形是( )
（A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形. 9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）. （A ）50a 元 （B ）600a 元 （C ）1200a 元 （D ）1500a 元 10.如图，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）.
（A ）12 （B ）7 （C ）5 （D ）13
二、填空题（每小题3分，24分）
11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________
米.
5米
3米
12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB
=2，则2
2
2
AB AC BC ++=______.
13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.
15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC =8，AD =5，则AC 等于
______________.
17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.
E
A
B
C
D
A
B
D
C
E
18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.
三、解答题（每小题8分，共40分）
19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：
“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远
20.如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.
21. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少
A
B
C D
L
第21题图
A
B
C
D
第
18
题
图
7cm
22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
23. 如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米
四、综合探索（共26分）
24.（12分）如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险
25.（14分）△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则2
2
2
c b a =+，若△ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想2
2
b a +与2
c 的关系，并证明你的结论.
A
B
C
D
第24题图
参考答案：
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（D）；
2.（C）；
3.（D）；
4.（B）；
5.（C）；
6.（C）；
7.（B）；
8.（C）；
9.（B）；10.（D）；
二、填空题（每小题3分，24分）
；；；14.25
8
； 15. 13；；；；
三、解答题
；20. 设BD=x，则AB=8-x
由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2，也就是(8-x)2=x2+42.
所以x=3，所以AB=AC=5，BC=6
21.作A点关于CD的对称点A′，连结B A′，与CD交于点E，则E点即为所求.总费用150万元. 22.116m2；23. 0.8米；
四、综合探索
小时，小时.
25.：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2<c2
当△ABC是锐角三角形时，
证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。
设CD为x，则有DB=a－x 根据勾股定理得 b2－x2＝c2―(a―x) 2
即 b2－x2＝c2―a2＋2ax―x 2
∴a2＋b2＝c2＋2ax
∵a>0，x>0
∴2ax>0
∴a2+b2>c2
当△ABC是钝角三角形时，
证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D.
设CD为x，则有DB2=a2－x2
根据勾股定理得 (b＋x)2＋a2―x 2＝c2
即 b2＋2bx＋x2＋a2―x 2＝c2
∴a2＋b2＋2bx＝c2
∵b>0，x>0
∴2bx>0
∴a2+b2<c2.。