河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试文科数学试卷(含答案)

2018-2019学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项： 1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ前，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合{}{}31,,6,8,10,12,14,Ax x n n N B ==-∈=则集合AB 中元素的个数为A.5B.4C.3D.2 2.已知复数12i,2iz +=-则z 的虚部为 A.1- B.0 C. 1 D. i 3.已知点()4,3P -是角α终边上的一点，则()sin πα-= A.35 B.35- C.45- D.45()22210234.x y a a a -=>=已知双曲线的离心率为，则A.2B. D.1 5.某数学期刊的国内统一刊号是CN42-1167/01，设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和383969a a a ++⋅⋅⋅+=A.180B.160C.150D.1406.已知点()1,4P -，过点P 恰存在两条直线与抛物线C 有且只有一个公共点，则抛物线C 的标准方程为A.214x y =B.24x y =或216y x =-C.216y x =-D.214x y =或216y x =-7.若数列{}n a 中，262,0,a a ==且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则4a =A.12 B.13 C.14 D.16()()()()()8.s i n c o s 423fx x x Rx f xg x g x πλλπ=+∈=-已知函数的图象关于直线对称，把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为A.6x π= B.4x π=C.3x π=D.116x π=2290.2:33M x O x y N OMN M ︒=+=∠=设点为直线上的动点，若在圆上存在点，使得，则的纵坐标的取值范围是A.[]1,1-B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡-⎣D.,22⎡-⎢⎣⎦ 1360,3,,,310.4ABCD BAD AB DF DC AE AC BF DE ︒∠====⋅=已知菱中则形，A.89B.218-C.34-D.4322142x y ABCD AB AD +=11.若平行四边形内接于椭圆，直线的斜率为1，则直线的斜率为A.12 B.12- C.14- D.2-212.,,,.3430,a b e e a e bbe b a b π-⋅+=-已知是平面向量是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足则的最小值是A.211D.2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。

把答案填在答题纸的横线上）()()()2,0,13.=20,x x f x f f x ⎧≤⎪-=>设则_______________.{}2246614.2,14,n a a a a a a =++==已知数列是等比数列，满足则_______________.()215.121,0,______________2,_.F C y x P l A B BP PA AF BF ==+=设为抛物线：的焦点，经过点的直线与抛物线交于两点，且则()()16.2sin sin2,_______________.f x x x f x =+已知函数则的最小值是三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置上） 17. （本小题满分10分）()(),,,,,c o s.s i n 1t a n 21,2,.A B C A B C a b c a b b CCBa b c -===∆在中，角所对应的边分别为求的值；若求18. （本小题满分12分）()()22221.1212.k l x y A B AB x k l x y C D AB CD l ==+==斜率为的直线与抛物线交于两点、，且的中点恰好在直线上求的值；若直线与圆交于两点、，，求直线的方程19.（本小题满分12分）{}()()()(){}()(){}*112113,,1.141212.n n n n n nn n n n n n n a n S a S S y x n n N nS n n b b b n T a a +++==++∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭+=-数列的前项和为，若点在直线上求证：数列是等差数列；若数列满足，求数列的前项和20.（本小题满分12分）()()()()1e l n 12e 0.1215e .x x fx a x x x y a x f x -==+=>-已知函数在处的切线与直线垂直求的值；证明：21. （本小题满分12分）()()()()()()2222:100,12121,1,.x y E a b A a bE k E P Q A AP AQ +=>>-如图，椭圆经过点求椭圆的方程；若经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点均异于点，证明：直线与的斜率之和为定值22.（本小题满分12分）()()()()()()()[)()2224l n ,.111,121,,0.fx x a x x aR a y f x f x f x x a a =-∈==∈+∞+->设函数当时，求曲线在点处的切线方程；若对任意恒成立，求实数的取值范围2018-2019学年度第一学期高三年级期中考试文数参考答案及解析一、选择题1～5 DCADB 6～10 DADCB 11～12 BC 二、填空题113.2 14.8 15.172 16.三、解答题17.解：（1）由cos a b b C -=及正弦定理，得sin sin sin cos A B B C -=，即()sin sin sin cos B C B B C +=+，即sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+，即sin cos sin C B B =，得sin tan C B =，所以sin 1tan CB=.（4分） （2）由cos a b b C -=，且1,2a b ==，得1cos 2C =-，由余弦定理，得22212cos 1421272c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以c =（10分）18.解：（1）设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,,A x y B x y 由2,2,y kx m x y =+⎧⎨=⎩得2220x kx m --=，则12122,2.x x k x x m +==-（2分）因为AB 的中点在直线1x =上，所以122,x x +=即22k =，所以1k =.（4分）（2）因为O 到直线l 的距离d CD ==（5分）由（1）得，12AB x =-=（6分）又,AB CD =所以=化简，得28200,m m +-=所以10m =-或2m =.（10分）由480,m d ∆=+>⎧⎪⎨<⎪⎩得12m -<< 所以2,m =直线l 的方程为2y x =+.（12分） 19.解：（1）点()1,n n S S +在直线()*11n y x n n N n+=++∈上， 111n n n S S n n ++∴=++，两边同除以1n +，则有111n n S S n n+-=+.（2分）又131S =，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，1为公差的等差数列.（4分） （2）由（1）可知，()2*2,n S n n n N =+∈∴当1n =时，13a =；当2n ≥时，121,n n n a S S n -=-=+经检验，当1n =时也成立，()*21n a n n N ∴=+∈.（6分）()()()()()411111,21232123nn n n b n n n n +⎛⎫∴=-=-+ ⎪++++⎝⎭211433n T n ∴=-+.（12分） 20.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()e e ln xx f x a x x ⎛⎫'=+⎪⎝⎭，由已知()y f x =在1x =处的切线的斜率2e k =， 所以()1e 2e,f a '==所以2a =.（4分） （2）要证明()115e x xf x ->-，即证明12e ln 15e,0x x x x x ->->，等价于证明512ln ,e e xx x +> 令()52ln ,eg x x x =+所以()()2ln 1g x x '=+. 当10e x <<时，()0g x '<；当1ex >时，()0g x '>，所以()52ln e g x x x =+在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数， 所以()min 13.e eg x g ⎛⎫==⎪⎝⎭因为1e x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞上为减函数，所以0111e e x ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是()311,e e x g x ≥>>所以()115e.x xf x ->-（12分）21.解：（1）由题设知1,2c b a ==结合222a b c =+，解得a = 所以椭圆E 的方程为22 1.2x y +=（4分） （2）由题设知，直线PQ 的方程为()()112,y k x k =-+≠代入221,2x y += 得()()()221241220,k x k k x k k +--+-=由已知0∆>，设()()112212,,,,0,P x y Q x y x x ≠则()()1212224122,,1212k k k k x x x x k k --+==++从而直线,A P AQ的斜率之和为()12121212111221122AP AQ y y kx k kx k k k k k x x x x x x ⎛⎫+++-+-+=+=+=+-+ ⎪⎝⎭()()()()()1212412222221 2.22k k x x k k k k k k x x k k -+=+-=+-=--=-（12分） 22.解：（1）当1a =时，()10f =，()()()44ln 24f x x x x '=-+-，()12,f '=- 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()21,y x =--即220x y +-=.（4分）（2）设()()()[)22224ln ,1,,g x f x x a x ax x x a x =+-=-+-∈+∞则()()()()()44ln 2424ln 1,1,g x x a x x a x x a x x '=-+-+=-+≥ 当1a ≤时，()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以，对任意1x ≥，有()()110g x g a ≥=->，所以 1.a <当1a >时，()g x 在[)1,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，所以()()()2min 12ln g x g a a a a ==--，由条件知，()212ln 0a a a -->，即()12ln 10.a a -->设()()12ln 1,1,h a a a a =-->则()12ln 0,1,h a a a '=--<>所以()h a 在()1,+∞上单调递减，又()10h =，所以()()10h a h <=与条件矛盾. 综上可知，实数a 的取值范围为(),1.-∞（12分）。