教学设计3：10.2.2 复数的乘法与除法

10.2.2复数的乘法与除法

知识点一复数的乘法法则

思考并完成以下问题

怎样进行复数的乘法？

提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

知识梳理

(1)复数乘法的运算法则

设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

(2)复数乘法的运算律

对任意复数z1，z2，z3∈C，有

知识点二共轭复数

思考并完成以下问题

共轭复数有何性质？

提示：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i.

则①z＋z＝2a；②z－z＝2b i；③z·z＝|z|2.

知识梳理

当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋b i，则z＝a－b i.

知识点三复数的除法法则

预习教材，思考并完成以下问题 如何理解复数的除法运算法则？

提示：复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)． 知识梳理 复数除法的运算法则

对于复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，

(a ＋b i) ÷(c ＋d i)＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad

c 2＋

d 2

i(c ＋d i≠0)．

思考：1.实数集和复数集内的乘法、乘方有何不同？

提示：实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如： (1)当z ∈R 时，有|z |2＝z 2；当z ∈C 时，有|z |2∈R ，而z 2∈C ，故|z |2和z 2不能进行比较． 例如，当z ＝1＋i 时，|z |2＝2，z 2＝2i ，此时2和2i 不能进行比较．

(2)当m ，n ∈R 时，有m 2＋n 2＝0⇔m ＝n ＝0；当z 1，z 2∈C 时，z 21＋z 2

2＝0D /⇒z 1＝z 2＝0， 但z 1＝z 2＝0⇒z 21＋z 22

＝0. 需注意：z 1z 2＝0的充要条件是z 1＝0或z 2＝0.依据复数的乘法运算可得z 1z 2＝0⇔|z 1z 2|＝0⇔|z 1||z 2|＝0⇔z 1＝0或z 2＝0. 2.你是怎样理解共轭复数的？

提示：(1)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数．

(2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数． (3)z ∈R 的充要条件是z ＝z .设z ＝a ＋b i ，则z ∈R ⇔b ＝0⇔z ＝z ，所以z ∈R 的充要条件是z ＝z .

(4)z ＝－z 不是z 为纯虚数的充要条件．设z ＝a ＋b i ，若z 是纯虚数，则a ＝0，b ≠0，此时z ＝b i ，z ＝－b i ，从而z ＝－z ；反之，若z ＝－z ，则a ＋b i ＝－(a －b i)，所以a ＝－a ，即a ＝0，此时z ＝b i ，当b ≠0时z 是纯虚数，当b ＝0时z ＝0.所以z ＝－z 是z 为纯虚数的必要不充分条件． 3.如何理解复数的除法？

提示：(1)复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，一般不能直接约分化简．

(2)复数除法的一般做法：通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b i

c ＋

d i

的形式，再把分子与分母同

乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝

a ＋

b i

c ＋

d i

教学小测

1．复数(a －i)(1－i)(a ∈R )的实部与虚部相等，则实数a ＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

【解析】(a －i)(1－i)＝a －1＋(－1－a )i(a ∈R )，∵实部与虚部相等，∴a －1＝－1－a ，解得a ＝0.

【答案】B

2．复数z 与复数i(2－i)互为共轭复数，其中i 为虚数单位，则 z ＝( )

A ．1－2i

B ．1＋2i

C ．－1＋2i

D ．－1－2i

【解析】∵i(2－i)＝1＋2i ，又复数z 与复数i(2－i)互为共轭复数，∴z ＝1－2i. 【答案】A

3．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2

z

＋z 2＝________.

【解析】2z ＋z 2＝2

1＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i)2＋1＋2i ＋i 2＝1－i ＋1＋2i －1＝1＋i.

【答案】1＋i 课堂·合作探究

探究一 复数的乘除运算 [例1] 计算：

(1)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋3

2i (1＋i)；

(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i ；

(4)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i

. 解：(1)原式＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭

⎫－12＋3

2i

＝(1－i 2)⎝⎛⎭⎫－12＋3

2i

＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i. (2)原式＝－2＋3i

1＋2i

＝(－2＋3i)(1－2i)

(1＋2i)(1－2i)

＝

(－2＋6)＋(3＋4)i

12＋22

＝45＋75

i. (3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i

＝(1＋4)＋(－4＋1)i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i

3＋4i

＝(7＋i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝(21＋4)＋(3－28)i

25

＝

25－25i

25

＝1－i. (4)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝－1－i －2i ＋2i －1－1－i ＋i ＝1－3i －2＋i ＝(1－3i)(－2－i)(－2＋i)(－2－i)＝(－2－3)＋(6－1)i

5

＝

－5＋5i

5

＝－1＋i. 方法技巧 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．

(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似． 跟踪探究1.计算：

(1)(15＋8i)(－1－2i)； (2)(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)

. 解：(1)原式＝－(15＋8i)(1＋2i) ＝－(15＋30i ＋8i ＋16i 2)