教学设计3：10.2.2 复数的乘法与除法
10.2.2+复数的乘法与除法课件2024-2025学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册
(2)因为in+in+1+in+2+in+3=0,n∈N+,
所以原式=1+(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i4 017+i4 018+i4 019+i4 020)
=1+0=1.
探究二
复数的除法
【例2】 计算:(1)(1+2i)÷(3-4i);
3
(1+i) -(1-i)
(2)
即 a2+b2-2b+2ai=8+6i,
= 3,
2 + 2 -2 = 8,
解得
所以
= 1.
2 = 6,
所以 a+b=4,即复数 z 的实部与虚部的和是 4.
反思感悟
在同一式中出现z, ,|z|中两者时,常设复数z=x+yi(x,y∈R),再利用复数相
等的充要条件列方程组求解.
25
(-3+i)i
=-1-3i.
-i×i
3+2i
3-2i
(3)解法一:
− 2+3i
2-3i
(3+2i)(2+3i)-(3-2i)(2-3i)
=
(2-3i)(2+3i)
6+13i-6-6+13i+6 26i
=
=
=2i.
4+9
13
3+2i
3-2i
i(2-3i) -i(2+3i)
解法二:
− 2+3i =
《复数的乘法与除法》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】
第五章复数5.2.2复数的乘法与除法◆教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，能够运用法则求两个复数的积与商．2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．◆教学重难点◆教学重点：复数代数形式的乘、除运算法则及其运算律．教学难点：复数除法的运算法则．◆教学过程一、新课导入情境：我们知道，两个一次式相乘，有(ax+b)(cx+d)=acx2+(bc+ad)x+bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？设计意图：类比多项式的乘法运算，以及复数的加减法运算与多项式加法运算的关系，引导学生思考复数乘除法运算法则．二、新知探究问题1：类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？答案：我们规定，复数的乘法法则为：设z1=a+b i，z2=c+d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+b i)(c+d i)=ac+bc i+ad i+bdi2=ac+bc i+ad i−bd=(ac−bd)+(bc+ad)i．追问1：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？答案：通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定．追问2：当z1z2都是实数时，复数乘法的运算法则与实数乘法法则一致吗？答案：根据法则，我们发现，当b=d=0时，z1z2都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致．追问3：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法？答案：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成−1，并且把实部与虚部分别合并即可．结论：两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘．设计意图：与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则．同时培养学生类比的核心素养．问题2：类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想．答案：猜想：对于任意对于任意z1，z2，z3∈C，有：交换律：z1∙z2=z2∙z1；结合律：(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)；分配律：z1(z2+z3)=z1∙z2+z1∙z3．证明：设z1＝a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i．(1)∵z1∙z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)iz2∙z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1−b2b1)+(b2a1+a2b1)i又a1a2−b1b2=a2a1−b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1，∴z1∙z2=z2∙z1．(2)(z1∙z2)∙z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)．=[(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i](a3+b3i)=[(a1a2−b1b2)a3+(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2−b1b2)b3]i=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，同理可得：z1∙(z2∙z3)=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，∴(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)．(3) z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i]=[a1(a2+a3)−b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)−a1(b2+b3)]i=(a1a2+a1a3−b1b2−b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1∙z2+z1∙z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3−b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2−b1b2+a1a3−b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a 1a 2+a 1a 3−b 1b 2−b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1∙z 2+z 1∙z 3．设计意图：引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律．培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深．想一想：计算：(1)(−2−i )(3+i )； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )． 分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算． 解：(1) (−2−i )(3+i )=−6−2i −3i −i 2=−5−5i ； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )=(11−2i )(−2+i )=−20+15i ．总结：按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．问题3：如何定义复数的乘方运算呢？答案：对于复数z ，定义它的乘方z n =z ∙z ∙ … ∙z ．根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有：z m ∙z n =z m+n ，(z m )n =z mn ，(z 1∙z 2)n =z 1n ∙z 2n ．追问：i 0=1，i 1=i ，i 2=−1，i 3=−i ，…以此类推，你发现了什么规律？ 答案：i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=−1，i 4n+3=−i (n ∈N )．思考：计算下列各式，你发现其中有什么规律吗？请将你概括出的规律与同学交流，并证明. (1)(3+2i )(3−2i )；(2)(2+i )(2−i )；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)；(4)(√3+√2i)(√3−√2i)．答案：(1)(3+2i )(3−2i )=32−6i +6i −(2i )2=9−(−4)=13； (2)(2+i )(2−i )=22−2i +2i −i 2=4−(−1)=5；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)=(−2√2)2−2√2i +2√2i −i 2=8−(−1)=9； (4)(√3+√2i)(√3−√2i)=(√3)2−√6i +√6i −(√2i)2=3−(−2)=5．规律：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．即若z =a +b i (a ，b ∈R)，则z ∙z̅=|z |2=|z̅|2=a 2+b 2．问题4：我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，由复数的加法法则，推导出了复数的减法法则．同样，复数的除法是乘法的逆运算，尝试利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则．答案：我们通过引入倒数来定义复数的除法．给定复数z2，若存在复数z，使得z2∙z=1，则称z是z2的倒数，记作z=1z2．设z2=c+di≠0和z= x+yi(c，d，x，y∈R)，则z2∙z=(c+di)( x+yi)=cx−dy+ (cy+dx)i=1，所以{cx−dy=1，cy+dx=0，解得{x=cc2+d2，y=−dc2+d2．所以z2=c+di的倒数1z2=cc2+d2−dc2+d2i．（这里要求c，d不能同时为0，即z2≠0．）对任意的复数z1=a+b i(a，b∈R)和非零复数z2=c+di(c，d∈R)，规定复数的除法：z1z2=z1∙1z2，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数．因此z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(cc2+d2−dc2+d2i)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．说明：在实际计算a+bic+di时，通常把分子和分母同乘分母c+di的共轭复数c−di，化简后就得到上面的结果：a+bi c+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．由此可见，在进行复数除法运算是，实际上是将分母“实数化”．设计意图：通过引入复数的倒数，将复数的除法转化成乘法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则．渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系．解：原式=[(−2−3i)(−1+3i)](√6+i)=(2−6i+3i−9i2)(√6+i)=(11−3i)(√6+i)=11√6+11i−3√6i−3i2=(11√6+3)+(11−3√6)i．例2 计算：(1)(1+i)4；(2)(2−i)2(2+i)2．解：(1)(1+i)4=[(1+i)2]2=(1+2i+i2)2=(2i)2=−4；(2)(2−i)2(2+i)2=[(2−i)(2+i)]2=(4+1)2=25．例3 求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，并验证x1+x2=−ba ，x1x2=ca．解：使用配方法容易得到：(x +b2a )2=b 2−4ac 4a 2．(1)若b 2−4ac ≥0，则x 1=−b+√b 2−4ac2a ，x 2=−b−√b 2−4ac2a．因此x 1+x 2=−b+√b 2−4ac2a+−b−√b 2−4ac2a=−b a，x 1x 2=−b+√b 2−4ac2a ·−b−√b 2−4ac2a=b 2−(b 2−4ac )4a 2=ca．(2)若b 2−4ac<0，则x +b 2a=±√4ac−b 24a 2i ，即x 1=−b+√4ac−b 2i2a，x 2=−b−√4ac−b 2i2a．因此x 1+x 2=−b+√4ac−b 2i2a+−b−√4ac−b 2i2a=−ba ，x 1x 2=−b+√4ac−b 2i 2a·−b−√4ac−b 2i2a=b 2+(4ac−b 2)4a 2=ca ．综上所述，一元二次方程x 2+bx +c =0(a ≠0)在复数范围内的根x 1，x 2都满足x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca．例4 证明：对任意的两个复数z 1，z 2，若z 1·z 2=0，则z 1，z 2至少有一个为0． 解：设z 1≠0，则|z 1|≠0，z 1的共轭复数z̅1≠0．将z 1·z 2=0的左右两边同时乘z̅1，得z 1·z 2·z̅1=0·z̅1，即|z̅1|2·z 2=0． 因为|z̅1|2≠0，所以z 2=0． 例5 计算：(1)−12i；(2)1+2i 2−3i ；(3)(1+i1−i )6． 解：(1)−12i=−1×(−i )2i×(−i )=i2；(2)1+2i2−3i=(1+2i )×(2+3i )(2−3i )×(2+3i )=−4+7i 13=−413+713i ； (3)(1+i 1−i)6=[(1+i )2(1−i )(1+i )]6=(2i 2)6=i 6=−1． 设计意图：在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。
复数的乘、除运算(教学设计)
复数的乘除运算教学设计教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，提升数学运算的核心素养。
教学重难点1.重点：掌握复数的乘法和除法运算；2.难点：复数的除法运算教学过程（一）新知导入1.创设情境，生成问题两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？2.探索交流，解决问题【问题1】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复数相乘？[提示]z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.(实部相乘减去虚部相乘的差为实部，实部与另一复数虚部相乘的和为虚部）【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗？[提示]满足．【问题3】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z z的共轭复数等于什么？z z是一个怎样的数？[提示]z＝a－b i，z z＝a2＋b2是一个实数．（二）复数的乘除运算1.复数的乘法运算复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式、完全平方公式等(1)复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝z 2·z 1结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3（3）例题讲解【例1】计算（3−4i）【例2】计算（1−2i）（3+4i）(−2+i)解：（3−4i）（3+4i）解：（1−2i）（3+4i）(−2+i)=3×3+3×4i −4×3i −4i×4i;=(11−2i)(−2+i);=−20+15i.=25.【变式】计算（12−5i）（12+5i）=22512+=213（三）、复数的除法运算猜想：实数的除法是乘法的逆运算，那么该如何定义复数的除法呢？试试自己猜测，复数的除法法则：(1+2i)÷(3+4i)=(1+2i)×4i +31=4i +32i 1+=4i)-4i)(3+(34i)-2i)(3+(1=22434i)-2i)(3+(1=+注：分母是虚数，怎样变成实数呢？类比“分母有理化”，分子分母同时乘以分母的共轭复数。
《3.2.2复数的乘法和除法》教学案1
《3.2.2复数的乘法和除法》教学案【教学目标】：(1)知识目标：能进行复数代数形式的乘除运算. (2)过程与方法目标：从实数的乘除运算及其运算律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律，通过2||z z z ⋅=实现实数与虚数的转化，培养学生转化的思想.(3)情感与能力目标：通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识.【教学重点】：i 的运算和分母实数化.【教学难点】：复数除法中的分母实数化.【教学过程设计】：1．若复数满足方程02=+z ，则=z ( )A .22±B . 22-C . i 22-D . i 22± 解：Ｄ2．复数10(1)16(1)i i +-等于( )A ．1i +B .1i --C . 1i -D . 1i -+ 解：Ｄ3．i 是虚数单位，=+ii1( ) A ．i 2121+ B ．i 2121+- C ．i 2121- D ．i 2121-- 解：Ａ 4．已知220031z z z z =++++ 求的值.解：21zzz++++＝20041(1)1z z--，又3200436681,1,()12z z z z =-∴=∴==，所以原式＝0.5222004()1i +++ 解：1i -. 6．已知,(0),()1a i z a w z z i i -=>=+-复数的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数w 的模解：21(1)1,()222a a i a a az w z z i i ++-++=∴=+=+，2213,4,2222a a a a a ++-=∴==± ，0,2,||a a w >∴=∴==。
课件3：10.2.2 复数的乘法与除法
B．－1＋i
C.1275＋3215i
D．－177＋275i
【解析】(1)法一：11＋ －ii32＝1＋－i21i＋i2＝1＋i－1＋2ii2＋2i ＝－－2＋2i2i＝1－i i＝－1－i.故选 D. 法二：11＋ －ii32＝11＋ －ii2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)． (2)37＋＋4ii＝37＋＋4ii33－－44ii＝25－2525i＝1－i，故选 A. 【答案】(1)D (2)A
4．设 z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且zz12为纯虚数，则实数 a 的值为________. 【解析】设zz12＝bi(b∈R 且 b≠0)，所以 z1＝bi·z2，即 a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi， 所以a2＝ ＝43bb， ， 所以 a＝83. 【答案】83
5．计算：
(1)(1－i)－12＋ 23i(1＋i)；(2)
a2＋b2＝25，
解得ab＝ ＝43， 或ab＝ ＝－ －43.，
∴z1＝4＋3i 或 z1＝－4－3i.
【答案】4＋3i 或－4－3i
例 2.11＋ －ii32＝(
)
类型 2 复数代数形式的除法运算
A．1＋i
B．1－
C．－1＋i
D．－1－i
(2)i 是虚数单位，复数37＋＋4ii＝(
)
A．1－i
[构建·体系]
当堂检测
1．已知 i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )
A．－3＋i
B．－1＋3i
C．－3＋3i
D．－1＋i
【解析】按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i. 【答案】B
2．在复平面内，复数 z＝12＋i i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(
复数的乘除运算教案
复数的乘除运算教案复数乘除运算教案一、教学目标1. 理解复数的乘除运算的概念和规律；2. 能够进行复数的乘除运算；3. 通过实际问题的解决，培养学生的应用能力。
二、教学重点1. 复数的乘法规则；2. 复数的除法规则。
三、教学难点1. 对复数的乘除运算规则的理解和灵活运用。
四、教学准备1. 复数的定义和性质；2. 复数的乘法和除法运算规则。
五、教学过程Step 1 知识导入复习复数的概念和性质，并引导学生回顾复数的加减运算规则。
Step 2 复数的乘法规则1. 引导学生思考：如何计算两个复数的乘积？2. 让学生观察一些简单的乘法例子，并总结乘法的规律，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些乘法运算练习。
Step 3 复数的除法规则1. 引导学生思考：如何计算一个复数除以另一个复数？2. 让学生观察一些简单的除法例子，并总结除法的规律，例如：(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c - di)/(c^2 + d^2)。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些除法运算练习。
Step 4 综合运用通过实际问题的解决，让学生灵活应用复数的乘除运算规则。
例如：问题：如果有一个复数z，满足z乘以4等于(-8 + 16i)，求z的值。
解决思路：设z = a + bi，将已知条件代入乘法规则，得到方程(a + bi) * 4 = (-8 + 16i)，然后解方程，求得z的值。
六、教学拓展引导学生思考复数的乘法和除法规则在实际生活中的应用，例如在电路分析、信号处理等领域。
七、作业布置完成教师布置的练习题，巩固所学的乘除运算规则。
八、课堂小结复习复数的乘除运算规则，并提醒学生练习和巩固所学知识。
以上是关于复数的乘除运算教案的参考内容，通过引导学生总结计算规律和应用实例，帮助学生理解复数的乘除运算规则，并通过实际问题的解决来培养学生的应用能力。
高中数学_3.2.2 复数的乘法和除法教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计复数的乘法和除法一、教学目标：1、理解复数的乘法与除法法则推导过程2、掌握复数的乘法与除法法则，并用运用法则进行运算二、教学重点：复数的乘法与除法法则教学难点：复数的除法运算及综合运算三、知识回顾：（此部分主要以提问学生为主）院 1、复数的定义、共轭复数2、两个复数相等条件3、复数的加法和减法运算四、讲授新课（此部分由教师讲解，学生自主，小组讨论为主）1、复数的乘法法则2、复数的除法法则五、典型例题（教师讲解第一小题，变式及剩余题目学生自主完成）例1、计算（1）(1+2i)(1-2i) (2)(3+4i)(3-4i)(3)i3 ,i4 ,i5 ,i6 (4)(i-2)(4-3i)（教师讲解第一小题，变式及剩余题目学生自主完成）例2、计算（1）)1()32(ii-÷+ (2)ii-+231(3)ii+-31(4)iiii-++22)11(（由学生自主完成）即时巩固学情分析：学生在前几节已经学习了复数的定义和一些有知概念，并能够进行复数的加法和减法运算。
本节课引导学生推导一下复数的乘法和除法的运算法则，学生应当相对轻松的就掌握起来了，通过例题和巩固练习，学生就能熟练地进行运算了。
效果分析：本节课通过对复数的乘法和除法的运算法则的学习，学生相对轻松的就掌握起来了，通过例题和巩固练习，学生就能熟练地进行运算了，学生对这部分的题目也比较有信心了。
教材分析：这部分内容是在选修内容里，但在高考题目中经常出现，在选择题的第一或第二题的位置，属于必须得分的题目。
内容较高中数学的其它部分容易，在六课时左右就能讲授完成，学生也较容易掌握。
观评记录：高二数学组全体教师听评了这节课，认为能够从学生角度出发，以学生为主体，采取启发式教学，推导法则和总结规律实质。
是一节对学生来说比较实用的一节课。
缺点是课堂气氛稍有点沉，应在调动学生积极性上再多下功夫。
评测练习：课后反思：本节课从教的角度来说比较简单,但从学生角度来看并不不那么容易，要不死记公式，运用法则的实质去运算，再比如说，分式能不能象实数运算那样去通分然后再作除法，还是先作除法再通分，这些学生都还拿不准，还有在一些混合运算中，怎么算运算量小，需要在以后的课程中以补充，完善。
高三数学教案：复数的乘法与除法2篇
高三数学教案：复数的乘法与除法高三数学教案：复数的乘法与除法精选2篇（一）一、复数的乘法复数的乘法有以下两种形式：1. 两个复数相乘，直接将实部相乘，虚部相乘，再将结果相加。
设 z1=a1+bi，z2=a2+ci，则它们的乘积为：z1×z2=(a1+bi)×(a2+ci)=(a1a2-bc) + (a1c+b2i)2. 复数与实数相乘，将复数的实部与虚部分别乘以该实数。
二、复数的除法复数的除法有以下两种形式：1. 将两个复数的实部和虚部分别乘以被除数的共轭复数，并将结果相加。
设 z1=a1+bi，z2=a2+bi，则 z1÷z2= (a1+bi) ÷ (a2+bi) =[(a1a2+b1b2) + (a2b1-a1b2)i] ÷ (a2^2+b2^2)2. 将复数的实部和虚部分别除以被除数的共轭复数的模的平方。
教学步骤：1. 复习复数的基本概念和表示方法，包括实部、虚部和共轭复数的概念。
2. 介绍复数的乘法规则，通过例题讲解和练习巩固。
3. 引导学生通过观察乘法规则的特点，总结复数相乘的基本性质。
4. 介绍复数的除法规则，通过例题讲解和练习巩固。
5. 引导学生通过观察除法规则的特点，总结复数相除的基本性质。
6. 练习复数的乘法与除法，包括计算复数的乘幂数和课堂练习。
教学重点：1. 理解复数的乘法和除法的运算规则。
2. 掌握复数乘法的计算方法和复数相除的计算方法。
3. 熟悉复数乘法和除法的基本性质。
教学延伸：可以引导学生通过解决实际问题来应用复数的乘法和除法，例如电路分析、振动问题等。
通过解决实际问题，提高学生对复数乘法和除法的应用能力和解决问题的能力。
高三数学教案：复数的乘法与除法精选2篇（二）教案名称：复数的向量表示教学目标：1. 理解复数的概念及其性质；2. 掌握复数的向量表示方法；3. 能够利用复数的向量表示解决相关问题。
教学内容：1. 复数的概念及性质回顾a. 复数的定义；b. 复数的共轭；c. 复数的加法和减法；d. 复数的乘法和除法；e. 复数的模和幅角。
学案3：10.2.2 复数的乘法与除法
10.2.2 复数的乘法与除法自主预习·探新知 情景引入在研究复数的乘法时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则让第一项与第二项的各项分别相乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果． 新知导学1．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝ . 2．复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有3已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是 . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是 . 4．复数代数形式的除法法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b i c ＋d i ＝ (c ＋d i≠0)．预习自测1．如果复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m 等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 2．已知z －是z 的共轭复数，若z ·z －i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i3．已知复数z 满足(2＋i)z ＝3＋4i ，则z ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i4．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z .互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向1复数代数形式的乘除法运算典例1(1)若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝()A．4＋2i B．2＋iC．2＋2i D．3(2)设复数z(2－3i)＝6＋4i(其中i是虚数单位)，则z的模为____.[思路分析](1)利用乘法法则运算；(2)先求复数z，然后利用模长公式求解．规律总结1.复数的乘法运算法则的记忆复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．2．复数的除法运算法则的记忆复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.跟踪训练1 (1)已知复数z＝2＋i，则z·z＝()A．3B．5C．3D．5(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1＋i，则z1z2＝()A．2B．－2C．1＋i D．1－i命题方向2虚数单位的幂的周期性典例2计算i＋i2＋i3＋…＋i2018＋i2019.[思路分析]先计算i，i2，i3，i4的和，找出规律，再按照规律求解．规律总结1.虚数单位i的周期性．(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)．n也可以推广到整数集．(2)i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N )． 2．常用结论：(1)(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ；(2)1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i ＝i ；(3)1i＝－i. 跟踪训练2 计算：1＋2i ＋3i 2＋…＋2 017i 2 016命题方向3 共轭复数及其应用典例3 已知复数z 1＝(－1＋i)(1＋b i)，z 2＝a ＋2i1－i，其中a ，b ∈R .若z 1与z 2互为共轭复数， 求a ，b 的值．[思路分析] 先利用复数乘法与除法的运算法则分别化简复数z 1，z 2，再根据共轭复数的定义列出a ，b 满足的方程组求解．规律总结 共轭复数的求解与应用1．若复数z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出z ，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求z . 2．共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z 和z 的方程，而复数z 的代数形式未知，求z ，解此类题的常规思路为设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．跟踪训练3若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i 其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i学科核心素养 复数的综合应用在有关复数运算的综合问题中，常与数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标或向量问题进行解决． 典例4 已知关于x 的方程x a ＋bx＝1，其中a 、b 为实数．(1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a 、b 的值； (2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根．规律总结 解与复数有关的方程的根问题时，一般方法是将方程的根设出，代入方程，然后利用复数相等的充要条件求解． 跟踪训练4若复数z 在复平面内的对应点在第二象限，|z |＝5，z －对应点在直线y ＝43x 上，则z ＝ . 易混易错警示 共轭复数典例5 设z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z ＋i z ＝103＋i，求z . [错解]设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， 因为z ·z ＋i z ＝103＋i，所以(a －b i)(a ＋b i)＋i(a ＋b i)＝3－i. 即a 2＋b 2＋b ＋a i ＝3－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＋b ＝3，a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.所以z ＝－1＋i 或z ＝－1－2i.[辨析]在解题中错把i 2当成1，因此对虚数单位的定义要掌握好． [正解]设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， 因为z ·z ＋i z ＝103＋i，所以(a －b i)(a ＋b i)＋i(a ＋b i)＝3－i.即a 2＋b 2－b ＋a i ＝3－i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－b ＝3，a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.所以z ＝－1－i 或z ＝－1＋2i. 应用案·巩固提升1.复平面内表示复数z ＝i （－2＋i ）的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设复数z ＝3＋2i2－3i，则z 的共轭复数为（ ）A.1B.－1C.iD.－i3.若a 为实数，且2＋a i1＋i＝3＋i ，则a ＝（ ）A.－4B.－3C.3D.44.设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z |＝（ ）A.1B.2C. 3D.25.若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝（ ）A.1±3iB.3±iC.3＋iD.3－i6.已知i 为虚数单位，若复数z ＝1＋2i 2－i ，z 的共轭复数为z －，则z ·z －＝ .7.设复数z ＝－2＋i ，若复数z ＋1z 的虚部为b ，则b 等于 .8.设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝ .9.计算：（1）⎝⎛⎭⎫－12＋32i （2－i ）（3＋i ）；（2）（2＋2i ）2（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）.10.已知复数z ＝（1－i ）2＋3（1＋i ）2－i.（1）求复数z ；（2）若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值.参考答案新知导学 1．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 2．复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有3已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1) a ＝c 且b ＝－d (2) a ＝c 且b ＝－d ≠0 4．复数代数形式的除法法则ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i 预习自测1．【解析】∵(m 2＋i)(1＋m i)＝(m 2－m )＋(m 3＋1)i 是实数，m ∈R ， ∴由a ＋b i(a 、b ∈R )是实数的充要条件是b ＝0，得m 3＋1＝0，即m ＝－1. 【答案】B2．【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，代入z ·z －i ＋2＝2z 中得，(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，∴2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴z ＝1＋i ，故选A ． 【答案】A3．【解析】z ＝3＋4i 2＋i ＝(3＋4i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝2＋i.选A ．【答案】A4．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i.∴zz＝2＋i 2－i ＝(2＋i)2(2－i)(2＋i)＝3＋4i 5＝35＋45i.互动探究·攻重难 互动探究解疑命题方向1 复数代数形式的乘除法运算典例1【解析】(1)z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3－i ＋3i －i 2＝4＋2i. (2)由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i 2－3i ＝(6＋4i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝2i ，∴|z |＝2.【答案】(1)A (2)2【解析】(1)方法1：∵ z ＝2＋i ，∴ z ＝2－i ，∴ z ·z ＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D ． 方法2：∵ z ＝2＋i ，∴ z ·z ＝|z |2＝5.故选D ．(2)复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1＝1＋i ，所以z 2＝1－i ， 所以z 1z 2＝(1＋i)(1－i)＝2. 【答案】(1)D (2)A命题方向2 虚数单位的幂的周期性典例2 解：∵i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，i 5＝i ，……∴i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，∴i ＋i 2＋i 3＋i 4＋…＋i 2 019＝i 2 017＋i 2 018＋i 2 019＝i －1－i ＝－1. 跟踪训练2 解：设S ＝1＋2i ＋3i 2＋…＋2 017i 2 016 ∴i S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋2 017i 2 017∴(1－i)S ＝1＋i ＋i 2＋…＋i 2 016－2 017i 2 017＝1－2 017i ∴S ＝1－2 017i 1－i ＝(1－2 017i)(1＋i)2＝1 009－1 008i.命题方向3 共轭复数及其应用典例3 解：z 1＝(－1＋i)(1＋b i)＝－1－b i ＋i －b ＝(－b －1)＋(1－b )i. z 2＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝a ＋a i ＋2i －22＝a －22＋a ＋22i.∵z 1与z 2互为共轭复数，∴⎩⎨⎧a －22＝－b －1a ＋22＝－1＋b,解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1.跟踪训练3【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i.故2z ＋z －＝2(a ＋b i)＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2，所以z ＝1－2i.故选B ．【答案】B典例4 解：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋b x ＝1，化简得(1a ＋b 4)＋(34b －3a)i ＝1，∴⎩⎨⎧1a ＋b4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.证明：(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0，假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab . ∵a >0，∴b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾．故原方程无实数根．【解析】设z －＝3t ＋4t i(t ∈R )， 则z ＝3t －4t i ，∵|z |＝5，∴9t 2＋16t 2＝25，∴t 2＝1， ∵z 的对应点在第二象限，∴t <0， ∴t ＝－1，∴z ＝－3＋4i. 【答案】－3＋4i 应用案·巩固提升1.【解析】z ＝i （－2＋i ）＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i （－2＋i ）的点位于第三象限，故选C. 【答案】C2.【解析】z ＝3＋2i 2－3i ＝2－3i2－3i ·i ＝i ，于是z 的共轭复数为－i.【答案】D3.【解析】因为2＋a i1＋i ＝3＋i ，所以2＋a i ＝（3＋i ）（1＋i ）＝2＋4i ，又a ∈R ，所以a ＝4. 【答案】D4.【解析】由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A. 【答案】A5.【解析】设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i. 【答案】B6.【解析】依题意，得z ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝i ，所以z －＝－i ，所以z ·z －＝i·（－i ）＝1.【答案】17.【解析】因为z ＝－2＋i ，所以z ＋1z ＝－2＋i ＋1－2＋i ＝－2＋i ＋－2－i （－2＋i ）（－2－i ）＝－2＋i －25－15i ＝－125＋45i ，所以b ＝45.【答案】458.【解析】x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i 可化为x （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＋y （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ），即x ＋x i 2＋y ＋2y i 5＝5＋15i10，从而5（x ＋x i ）＋2（y ＋2y i ）＝5＋15i ，于是⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.【答案】49.解：（1）⎝⎛⎭⎫－12＋32i （2－i ）（3＋i ）＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i （7－i ）＝3－72＋73＋12i.（2）（2＋2i ）2（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）＝4i （4＋5i ）5－4－9i＝－20＋16i 1－9i ＝－4（5－4i ）（1＋9i ）82＝－4（41＋41i ）82＝－2－2i.10.解：（1）z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i＝（3＋i ）（2＋i ）5＝1＋i.（2）把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得（1＋i ）2＋a （1＋i ）＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋（2＋a ）i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.。
复数的乘除教学设计
复数的乘除教学设计教学设计：复数的乘除一、教学目标：1. 了解复数的概念及表示方法；2. 掌握复数的乘法规则；3. 掌握复数的除法规则；4. 能够在实际问题中运用复数的乘除法。
二、教学准备：1. 教学课件、黑板、白板或投影仪等教学工具；2. 多元实物，如果汁、水果、鲜花等。
三、教学过程设计：1. 导入（5分钟）教师可以用一些实物来进行导入，如两杯果汁，两只苹果等，并问学生这两杯果汁、两只苹果等的数量是多少。
引出复数的概念，解释复数是用来表示多个事物的数量的。
2. 复习复数的表示方法（10分钟）复习复数的表示方法，包括将实数加上“i”变为虚数、虚数加上实数变为复数等。
通过举例，让学生巩固记忆，并在黑板上让学生写出几个虚数和复数的表示方法。
3. 复数的乘法规则（30分钟）3.1 复习实数的乘法规则复习实数的乘法规则，复习实数乘法的运算法则。
可以用具体的例子来复习乘法的运算法则，例如2×3=6。
3.2 复数的乘法规则3.2.1 复数的相乘引导学生思考复数的相乘规则，强调实数和虚数相乘的特点。
然后给出复数相乘的计算公式，例如(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
通过例题的讲解，让学生掌握复数相乘的具体步骤和方法。
3.2.2 复数的乘法性质引导学生发现和总结复数的乘法性质，例如乘积的实部等于实部相乘减虚部相乘，乘积的虚部等于实部相乘加虚部相乘等。
通过例题的解答，让学生掌握复数乘法的性质。
4. 复数的除法规则（30分钟）4.1 复数的除法原理引导学生思考复数的除法原理，并解释除法的本质是乘法的逆运算。
然后给出复数除法的计算公式，例如(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
通过例题的讲解，让学生掌握复数除法的具体步骤和方法。
4.2 复数的除法性质引导学生发现和总结复数的除法性质，例如除数的共轭复数的乘积等于除数的模的平方，商的虚部等于商的实部相乘减被除数的实部相乘等。
《复数的乘除运算》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】
《复数的乘除运算》教学设计【高中数学人教A版必修2（新课标）】教学目标：1. 理解复数的乘法运算规则，并能够正确应用复数的乘法进行计算。
2. 理解复数的除法运算规则，并能够正确应用复数的除法进行计算。
3. 掌握复数的乘除运算在平面直角坐标系中的几何意义。
教学重点：1. 复数的乘法运算规则的理解和应用。
2. 复数的除法运算规则的理解和应用。
3. 复数乘除运算的几何意义的理解和应用。
教学难点：1. 复数的乘除运算规则的掌握和运用。
2. 复数乘除运算的几何意义的理解和应用。
教学准备：1. 教师准备：教材、课件、黑板、彩色笔。
2. 学生准备：教材、笔、纸。
教学过程：Step 1 热身导入（5分钟）通过回顾上节课所学的复数基本概念和运算规则，复习复数的基础知识。
Step 2 学习复数的乘法运算规则（20分钟）1. 教师以示例方式介绍复数的乘法运算规则，并解释规则的原理。
2. 教师讲解几种特殊情况的复数乘法运算规则，并通过示例进行演示。
3. 学生跟随教师进行课堂练习，巩固复数的乘法运算规则。
Step 3 学习复数的除法运算规则（20分钟）1. 教师以示例方式介绍复数的除法运算规则，并解释规则的原理。
2. 教师讲解几种特殊情况的复数除法运算规则，并通过示例进行演示。
3. 学生跟随教师进行课堂练习，巩固复数的除法运算规则。
Step 4 复数乘除运算的几何意义（15分钟）1. 教师引导学生思考复数乘法和除法运算在平面直角坐标系中的几何意义。
2. 教师演示并讲解复数乘法运算和除法运算的几何意义，并通过实例进行说明。
3. 学生完成几个与几何意义相关的练习题，巩固对复数乘除运算几何意义的理解。
Step 5 拓展应用（10分钟）1. 学生进行一些综合性的习题练习，巩固复数的乘除运算。
2. 学生通过解决实际问题，应用复数的乘除运算进行计算。
Step 6 总结反思（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并与学生一起回顾乘除运算的关键知识点。
复数的乘法除法教学设计
复数是数学中的一个重要概念，它包括了实数和虚数部分。
复数乘法和除法是复数的基本运算，对于学习复数的学生来说，理解和掌握这两种运算是非常重要的。
因此，本文将针对复数的乘法和除法进行教学设计，旨在帮助学生更好地理解和应用这两种运算。
教学目标：1. 理解复数的乘法和除法的定义；2. 掌握复数乘法和除法的计算规则；3. 能够运用复数乘法和除法解决实际问题。
教学内容：1. 复数的乘法：(1) 复数的定义和表示方法；(2) 复数乘法的计算规则；(3) 复数乘法的性质和特殊情况。
2. 复数的除法：(1) 复数的定义和表示方法；(2) 复数除法的计算规则；(3) 复数除法的性质和特殊情况。
教学步骤：第一步：引入复数的概念和表示方法（10分钟）教师可以通过简单的例子和实际生活中的应用来引导学生了解复数的概念，并介绍复数的表示方法，如a+bi的形式。
同时，教师要强调虚数单位i的意义和性质。
第二步：复数的乘法（30分钟）1. 讲解复数乘法的计算规则，即使用分配律和虚数单位i的性质，将复数的乘法转化为实数的乘法。
2. 通过几个简单的例子来演示如何进行复数的乘法计算，同时让学生参与其中，帮助学生理解乘法的过程和规则。
3. 引导学生发现乘积的特征：当两个复数都为实数时，乘积也是实数；当一个复数为纯虚数时，乘积为负的实数。
第三步：复数的除法（30分钟）1. 讲解复数除法的计算规则，即通过乘以共轭复数进行除法操作。
2. 借助几个实际问题来演示如何进行复数的除法计算，鼓励学生参与讨论和解答问题，帮助他们理解除法的过程和规则。
3. 引导学生发现除法的特征：当两个复数都为实数时，商依然是实数；当一个复数为纯虚数时，商为负的纯虚数。
第四步：综合应用与拓展（40分钟）1. 提供一些拓展的习题，让学生运用复数乘法和除法解决实际问题。
2. 引导学生思考和讨论：在什么情况下使用复数乘法和除法更方便和有效？复数乘法和除法在哪些领域有重要的应用？3. 结合实际应用场景，让学生发现复数乘法和除法在电路、信号处理等领域的应用，增强对复数运算的兴趣和认识。
2.2复数的乘法与除法教学设计教案
教学预备
1. 教学目标
一、把握复数的加、减、乘、除四那么运算及其运算律；明白得复数加、减法的几何意义。
二、培育类比思想和逆向思维。
3、培育学生探讨精神和良好的学习适应。
2. 教学重点/难点
教学重点：复数的加、减、乘、除四那么运算及其运算律。
教学难点：运用类比思想由实数运算法那么探讨复数运算法那么。
3. 教学用具
4. 标签
教学进程
教学进程：
一、温习引入
复数的加法：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们和为z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i
复数的和仍然为一个复数，其实部为z一、z2的实部和，虚部为z一、z2的虚部和。
复数加法知足(1)互换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
复数的减法：(加法的逆运算)复数a＋bi减去复数c＋di的差是指知足(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi，记作(a＋bi)－(c＋di)
依照复数相等的概念：(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i
复数的差仍然是一个复数，其实部为两个复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。
显然，减法不知足互换律和结合律。
复数加法的几何意义：
复数能够用向量表示，复数加法的几何意义即为平行四边形法那么。
课堂练习：讲义107练习一、二、3、4
课堂小结：1.复数乘法 2.共轭复数 3.复数除法作业布置：习题5-2A组二、3、4。
3.2.2复数的乘法和除法优秀教学设计
(bc d2
ad )i
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
2
三、运 用新 知， 体验成 功
练习 1： ①．计算：
1.(1 i)2; 2.(1 i)2; 3.（[ 3 2i) i]2; 4.i23 , i352 , i1000 , i2007
②．
若
1 2
(2)设z a bi,则z2 (a bi)2 a2 b2 2abi (z)2 (a bi)2 a2 b2 2abi于是z2 (z)2
(3)设z1 a bi, z2 c di,则z1 z2 (ac bd ) (ad bc)i (ac bd ) (ad bc)i z1 z2 (a bi)(c di) (ac bd ) (ad bc)i于是z1 z2 z1 z2
教学环节
一、复习 引入
（3）情感与能力目标：通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学 的情感认识。
【教学重点】： i 的运算和分母实数化。
【教学难点】：复数除法中的分母实数化。 【课前准备】：powerpoint 课件 【教学过程设计】：
教学活动
1．根据虚数单位 i 的定义, i 满足方程 x2 1,即i 2 1, i i 1 ,那么 (2i) (i) 呢, (1 i)2 呢？
3 2
i,
求
2和1
2
③．计算：
1.
2i 7 4i
;
2.1i ;
3.1
1
i
复数的乘除运算(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：复数的乘除运算．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第2节第二课时的内容．复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.通过实例，明确复数的乘除运算法则，发展数学运算素养.经历复数四则运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养．（2）理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，会求在复数范围内方程的根，提升数学运算的核心素养．目标解析：（1）与复数的加法法则类似，教学时要引导学生结合引入复数集的过程，在希望保持运算律的指引下，自主探索如何“合理地”规定复数的乘法法则．（2）鉴于复数的乘法法则的形式较为复杂，因此在引入复数的乘法法则后，更应引导学生加强与多项式的乘法进行类比，以发现两者的共性和差异，将复数看作关于i的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式乘法进行，只要在结果中把2i换成1,并且把实部和虚部分别合并即可.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节课的教学中，推导乘法的运算法则是进行数学类比教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：掌握复数的乘法和除法运算．三、教学问题诊断分析教学问题一：学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应；但独立推导复数乘法法则，从思维角度看学生还缺乏经验．解决方案：在讲解本节前，可提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，或者在课上先复习共轭复数和分母有理化等相关知识，再进行新课的学习和探究，这是突破难点的一个重要举措，这样有助于学生理解复数的乘法法则．教学问题二：复数的除法运算是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过复习共轭复数的性质，22z z a b ⋅=+，类比分母有理化帮助学生理解．教学问题三：如何在复数范围内求二次方程的根？这是学生不好理解的一个地方．解决方案：两种方法解决：一是拓展求根公式，当△<0==，从而求解；二是将方程的根设为a bi +，代入方程．利用复数的相等求解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：求复数范围内的方程根．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到复数的乘、除法法则，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数除法法则的推导理解，让学生体会到类比的基本过程.五、教学过程与设计课堂小结升华认知a是实数，且a1＋i＋1＋i2是实数，则a等于()A.12 B.1 C.322.(1＋i)(2－i)＝()A.－3－iB.－3＋iC.3－iD.3＋iz1＝2－i，z2＝1－3i，则复数iz1＋z－25的虚部等于________.z满足：z·z－＋2z i＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和.学生15：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.B 2.D 3.1 4.4课后练习是对运算巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
教学设计2：10.2.2 复数的乘法与除法
10.2.2 复数的乘法与除法教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念. 教学知识梳理 新知提炼1.复数乘法的运算法则和运算律 （1）复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ），则z 1·z 2＝（a ＋b i ）（c ＋d i ）＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i. （2）复数乘法的运算律对任意复数z 1、z 2、z 3∈C ，有（1）如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数.z 的共轭复数用z －表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i. （2）复数与共轭复数的乘法性质z z －＝（a ＋b i ）（a －b i ）＝a 2＋b 2. 3.复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （c ＋d i≠0）， 则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i （c ＋d i≠0）. 名师指津1.复数的乘法的两点说明（1）复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开（i 2换成－1）.（2）多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用. 2.对复数除法的两点说明（1）分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.（2）注意最后结果要将实部、虚部分开. 3.共轭复数的注意点（1）结构特点：实部相等，虚部互为相反数.（2）几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称. 教学小测1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）两个复数的积与商一定是虚数.（ ） （2）两个共轭复数的和与积是实数.（ ）（3）复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减.（ ） 【答案】（1）× （2）√ （3）√ 2.（1＋i ）（2＋i ）＝（ ）A.1－iB.1＋3iC.3＋iD.3＋3i【解析】依题意得（1＋i ）（2＋i ）＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 【答案】B 3.1＋3i1－i ＝（ ） A.1＋2i B.－1＋2i C.1－2i D.－1－2i【答案】B4.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝ ，y ＝ .【答案】－1 1 教学探究案·讲练互动探究点1 复数代数形式的乘除运算 例1.（1）⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i （1＋i ）；（2）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ；（3）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i .【解】（1）⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i （1＋i ）＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i （1＋i ） ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i （1＋i ）＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i＝－1＋32＋1－32i.（2）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i.（3）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i25＝1－i.方法归纳解决复数的乘、除运算问题的思路（1）复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i 2换成－1，并将实部、虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（a ＋b i ）2＝a 2＋2ab i ＋b 2i 2＝a 2－b 2＋2ab i ，（a ＋b i ）3＝a 3＋3a 2b i ＋3ab 2i 2＋b 3i 3＝a 3－3ab 2＋（3a 2b －b 3）i.（2）复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算. 跟踪训练 1.下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A.i （1＋i ）2B.i 2（1－i ）C.（1＋i ）2D.i （1＋i ）【解析】i （1＋i ）2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2（1－i ）＝－（1－i ） ＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；（1＋i ）2＝2i ，2i 是纯虚数.故选C. 【答案】C2.计算：（1）（4－i ）（6＋2i ）－（7－i ）（4＋3i ）； （2）3＋2i 2－3i ＋3－2i2＋3i ；（3）（i －2）（i －1）（1＋i ）（i －1）＋i.【解】（1）（4－i ）（6＋2i ）－（7－i ）（4＋3i ） ＝（24＋8i －6i ＋2）－（28＋21i －4i ＋3） ＝（26＋2i ）－（31＋17i ） ＝－5－15i.（2）3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i ＝i （2－3i ）2－3i ＋－i （2＋3i ）2＋3i ＝i －i ＝0.（3）（i －2）（i －1）（1＋i ）（i －1）＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i＝1－3i i －2＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5＝－1＋i.探究点2 i 的运算性质例2.（1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于 .（2）化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解析】（1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 017＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝（i 4）504·i ＝1504·i ＝i.故填i.【答案】i【解】（2）设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得（1－i ）S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101 ＝i （1－i 100）1－i －100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－100（－1＋i ）2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i. 方法归纳（1）等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n ＋i n＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0（n ∈N *）.（2）记住以下结果，可提高运算速度. ①（1＋i ）2＝2i ，（1－i ）2＝－2i. ②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. 跟踪训练 3.复数z ＝1－i1＋i，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为（ ）A.1B.－1C.iD.－i【解析】z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1.【答案】B4.计算：（1）2＋2i （1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016；（2）i ＋i 2＋…＋i 2 017. 【解】（1）原式＝2（1＋i ）－2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008＝i （1＋i ）＋（－i ）1 008 ＝i ＋i 2＋（－1）1 008·i 1 008 ＝i －1＋i 4×252 ＝i －1＋1 ＝i.（2）法一：原式＝i （1－i 2 017）1－i ＝i －i 2 0181－i＝i －（i 4）504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i2＝i.法二：因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n （1＋i ＋i 2＋i 3）＝0（n ∈N *），所以原式＝（i ＋i 2＋i 3＋i 4）＋（i 5＋i 6＋i 7＋i 8）＋…＋（i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016）＋i 2 017＝i 2 017＝（i 4）504·i ＝1504·i ＝i.探究点3 共轭复数例3.（1）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则（a ＋b i ）2＝（ ）A.5－4iB.5＋4iC.3－4iD.3＋4i（2）把复数z 的共轭复数记作z ，已知（1＋2i ）z ＝4＋3i ，求z . 【解析】（1）因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以（a ＋b i ）2＝（2＋i ）2＝3＋4i. 【答案】D【解】（2）设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z ＝a －b i ，由已知得：（1＋2i ）（a －b i ）＝（a ＋2b ）＋（2a －b ）i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i. 互动探究若把本例（2）条件改为（1＋2i ）z ＝4＋3i ，求z－z .【解】设z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），则（1＋2i ）（x ＋y i ）＝4＋3i ，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝4，2x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， 所以z ＝2－i. 所以z －z ＝2＋i 2－i ＝35＋45i.方法归纳共轭复数性质的巧用（1）z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质.（2）实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数.（3）若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数. 跟踪训练 5.若复数z 满足z－1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝（ ）A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i【解析】由题意z －＝i （1－i ）＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A. 【答案】A6.已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .【解】设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i （a ，b ∈R ）， 由题意得（a ＋b i ）（a －b i ）－3i （a －b i ）＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.课堂知识小结当堂检测1.复数z ＝i （1＋i ）2（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）A.－2B.2C.2iD.－2i【解析】因为z ＝i （1＋i ）2＝i （1＋2i ＋i 2）＝i·2i ＝－2，所以z －＝－2. 【答案】A2.若复数（1＋b i ）（2＋i ）是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b ＝（ ）A.－2B.－12C.12D.2【解析】因为（1＋b i ）（2＋i ）＝2－b ＋（2b ＋1）i 是纯虚数，所以b ＝2. 【答案】D3.已知i 为虚数单位，则复数i2－i的模等于（ ） A.5 B. 3 C.33 D.55【解析】因为i 2－i ＝i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝i （2＋i ）5＝－15＋25i ，所以|i 2－i|＝|－15＋25i|＝（－15）2＋（25）2＝55，故选D.【答案】D 4.计算：（1）（1－i ）（－12＋32i ）（1＋i ）；（2）（1＋i ）2 016；（3）（－2＋3i ）÷（1＋2i ）.【解】（1）原式＝（1－i ）（1＋i ）（－12＋32i ）＝（1－i 2）（－12＋32i ）＝2（－12＋32i ）＝－1＋3i.（2）原式＝[（1＋i ）2]1 008＝（1＋2i ＋i 2）1 008＝（2i ）1 008＝21 008·i 1 008＝21 008·（i 2）504＝21 008.（3）原式＝－2＋3i1＋2i＝（－2＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝（－2＋6）＋（3＋4）i12＋22＝45＋75i.。
复数的乘法和除法教案
复数的乘法和除法教案教案：复数的乘法和除法教学内容：本节课将讲解复数的乘法和除法。
复数是由实数和虚数组成的数，可以用来表示平面上的点或向量。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，通过学习这些运算，学生将能够更好地理解和应用复数的概念。
教学目标：1.能够理解复数的乘法和除法的定义；2.能够使用复数的乘法和除法进行运算；3.能够应用复数的乘法和除法解决实际问题；4.能够解释复数乘法和除法的几何意义。
教学准备：1. PowerPoint课件；2.白板、黑板、彩色粉笔/白板笔；3.复数乘法和除法的练习题。
教学过程：Step 1: 引入复数的乘法和除法（10分钟）1. 使用PowerPoint课件引入复数的乘法和除法的概念。
2.几何概念：复数的乘法和除法对应于平面上的点或向量的运算。
3.解释复数的乘法：实数与虚数的乘积等于虚数，并且实数与实数的乘积仍然是实数。
4.解释复数的除法：将除数乘以其共轭复数，然后将分子和分母都除以复数的模长。
Step 2: 复数乘法的计算方法（20分钟）1.使用示例展示复数乘法的计算方法。
2. 板书示例，例如：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3.解释如何计算乘积的实部和虚部。
示例：计算(2+3i)(4+5i)解：(2+3i)(4+5i)=2×4+2×5i+3i×4+3i×5i=8+10i+12i+15i²=8+22i-15=-7+22i4.更多示例：让学生计算更多的复数乘法示例，以加深对计算方法的理解。
Step 3: 复数除法的计算方法（20分钟）1.使用示例展示复数除法的计算方法。
2. 板书示例，例如：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)+(bc-ad)i] /(c²+d²)。
3.解释如何计算商的实部和虚部。
示例：计算(3+4i)/(1+2i)解：(3+4i)/(1+2i)=[(3×1+4×2)+(4×1-3×2)i]/(1²+2²)=(3+8+4i-6i)/5=(11-2i)/5=11/5-(2/5)i4.更多示例：让学生计算更多的复数除法示例，以加深对计算方法的理解。
20-21版：3.2.2 复数的乘法和除法（创新设计）
3.2.2 复数的乘法和除法
18
12345
3.(1＋i)(2－i)＝( D )
A.－3－i
B.－3＋i C.3－i
解析 (1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.
D.3＋i
3.2.2 复数的乘法和除法
19
12345
4.设复数 z 的共轭复数是 z ，若复数 z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且 z1·z2 是
自主学习，积淀基础
[知识链接] 写出下列各小题的计算结果： (1)(a±b)2＝__a_2±__2_a_b_＋__b_2_； (2)(3a＋2b)(3a－2b)＝__9_a_2_－__4_b_2 _； (3)(3a＋2b)(－a－3b)＝_－__3_a_2－__1_1_a_b_－__6_b_2_；
(4)(x－y)÷( x＋ y)＝__x_－____y_.
3.2.2 复数的乘法和除法
22
2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想. 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥 梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条 件转化.
3.2.2 复数的乘法和除法
23
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A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析 1－1 i＝（1－i） 1＋（i 1＋i）＝1＋2 i＝12＋12i，所以1－1 i的共
轭复数为12－12i，在复平面内对应的点为12，－12，位于第四
象限，故选 D.
3.2.2 复数的乘法和除法
21
课堂小结 1.复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数 的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写 成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数， 化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.
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10.2.2复数的乘法与除法知识点一复数的乘法法则思考并完成以下问题怎样进行复数的乘法？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．知识梳理(1)复数乘法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有知识点二共轭复数思考并完成以下问题共轭复数有何性质？提示：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i.则①z＋z＝2a；②z－z＝2b i；③z·z＝|z|2.知识梳理当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋b i，则z＝a－b i.知识点三复数的除法法则预习教材，思考并完成以下问题 如何理解复数的除法运算法则？提示：复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)． 知识梳理 复数除法的运算法则对于复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，(a ＋b i) ÷(c ＋d i)＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．思考：1.实数集和复数集内的乘法、乘方有何不同？提示：实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如： (1)当z ∈R 时，有|z |2＝z 2；当z ∈C 时，有|z |2∈R ，而z 2∈C ，故|z |2和z 2不能进行比较． 例如，当z ＝1＋i 时，|z |2＝2，z 2＝2i ，此时2和2i 不能进行比较．(2)当m ，n ∈R 时，有m 2＋n 2＝0⇔m ＝n ＝0；当z 1，z 2∈C 时，z 21＋z 22＝0D /⇒z 1＝z 2＝0， 但z 1＝z 2＝0⇒z 21＋z 22＝0. 需注意：z 1z 2＝0的充要条件是z 1＝0或z 2＝0.依据复数的乘法运算可得z 1z 2＝0⇔|z 1z 2|＝0⇔|z 1||z 2|＝0⇔z 1＝0或z 2＝0. 2.你是怎样理解共轭复数的？提示：(1)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数．(2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数． (3)z ∈R 的充要条件是z ＝z .设z ＝a ＋b i ，则z ∈R ⇔b ＝0⇔z ＝z ，所以z ∈R 的充要条件是z ＝z .(4)z ＝－z 不是z 为纯虚数的充要条件．设z ＝a ＋b i ，若z 是纯虚数，则a ＝0，b ≠0，此时z ＝b i ，z ＝－b i ，从而z ＝－z ；反之，若z ＝－z ，则a ＋b i ＝－(a －b i)，所以a ＝－a ，即a ＝0，此时z ＝b i ，当b ≠0时z 是纯虚数，当b ＝0时z ＝0.所以z ＝－z 是z 为纯虚数的必要不充分条件． 3.如何理解复数的除法？提示：(1)复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，一般不能直接约分化简．(2)复数除法的一般做法：通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i教学小测1．复数(a －i)(1－i)(a ∈R )的实部与虚部相等，则实数a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】(a －i)(1－i)＝a －1＋(－1－a )i(a ∈R )，∵实部与虚部相等，∴a －1＝－1－a ，解得a ＝0.【答案】B2．复数z 与复数i(2－i)互为共轭复数，其中i 为虚数单位，则 z ＝( )A ．1－2iB ．1＋2iC ．－1＋2iD ．－1－2i【解析】∵i(2－i)＝1＋2i ，又复数z 与复数i(2－i)互为共轭复数，∴z ＝1－2i. 【答案】A3．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝________.【解析】2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i)2＋1＋2i ＋i 2＝1－i ＋1＋2i －1＝1＋i.【答案】1＋i 课堂·合作探究探究一 复数的乘除运算 [例1] 计算：(1)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)；(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i ；(4)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i. 解：(1)原式＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i. (2)原式＝－2＋3i1＋2i＝(－2＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－2＋6)＋(3＋4)i12＋22＝45＋75i. (3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i＝(1＋4)＋(－4＋1)i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i＝(7＋i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝(21＋4)＋(3－28)i25＝25－25i25＝1－i. (4)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝－1－i －2i ＋2i －1－1－i ＋i ＝1－3i －2＋i ＝(1－3i)(－2－i)(－2＋i)(－2－i)＝(－2－3)＋(6－1)i5＝－5＋5i5＝－1＋i. 方法技巧 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似． 跟踪探究1.计算：(1)(15＋8i)(－1－2i)； (2)(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i). 解：(1)原式＝－(15＋8i)(1＋2i) ＝－(15＋30i ＋8i ＋16i 2)＝－(38i －1) ＝1－38i.(2)法一：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝1＋7i 1－3i ＝(1＋7i)(1＋3i)10＝－2＋i.法二：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3i 2－i＝i(4＋3i)(2＋i)5＝(－3＋4i)(2＋i)5＝－10＋5i5＝－2＋i.探究二 i 的运算性质 [例2] 计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016(2)i ＋i 2＋…＋i 2 017解：(1)原式＝2(1＋i)－2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008 ＝i ＋i 2＋(－1)1 008· i 1 008 ＝i －1＋i 4×252 ＝i －1＋1 ＝i.(2)法一：原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i 2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i2＝i.法二：因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3 ＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋()i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017 ＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.方法技巧 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)． (2)记住以下结果，可提高运算速度①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ； ②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i ； ③1i＝－i.跟踪探究2.(1)计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________；(2)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016的值为________．【解析】(1)由1＋i 1－i ＝i ，a ＋b i b －a i ＝i ，可得原式＝i 6＋i ＝－1＋i.(2)因为1＋i1－i＝i ，所以原式＝i·i 2·i 3·…·i 2 016＝i 1＋2＋3＋…＋2 016＝i2 016×(1＋2 016)2＝i 1 008×2 017＝(i 2)504×2 017＝1.【答案】(1)－1＋i (2)1 探究三 共轭复数及应用[例3] 把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i.延伸探究 (1)若把本例条件改为z (z ＋2)＝4＋3i ，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．则z ＝x －y i ，由题意知，(x －y i)(x ＋y i ＋2)＝4＋3i.得 ⎩⎪⎨⎪⎧x (2＋x )＋y 2＝4，xy －y (x ＋2)＝3.解得⎩⎨⎧x ＝－1－112，y ＝－32，或⎩⎨⎧x ＝－1＋112，y ＝－32，所以z ＝⎝⎛⎭⎫－1－112－32i 或z ＝⎝⎛⎭⎫－1＋112－32i. (2)若把条件改为(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则(1＋2i)(x ＋y i)＝4＋3i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝4，2x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，所以z ＝2－i.方法技巧 已知关于z 和z 的方程求解z 或z 时，常设出z 的代数形式，再表示出z ，代入方程，利用复数相等的充要条件，转化为实数方程组求解．跟踪探究3.(1)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i(2)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i【解析】(1)设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. 因为z ＋z ＝2a ＝2，所以a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，所以b ＝－1.故z ＝1－i.故选D. (2)4i z z －1＝4i (1＋2i)(1－2i)－1＝4i 4＝i ，故选C. 【答案】(1)D (2)C 课后小结(1)复数代数形式的乘除运算①复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．②在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． (2)共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． (3)复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化． 素养培优误认为|z |2＝z 2致错．易错案例：已知复数z 满足条件z 2－|z |－6＝0.求复数z .易错分析：求解本题易将复数z 的模等同于实数的绝对值，误认为|z |2＝z 2而出错．事实上，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，有z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝a 2＋b 2，即z 2≠|z |2，二者不可混淆．考查等价转化，数学运算等核心素养．自我纠正：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则依条件得x 2－y 2＋2xy i －x 2＋y 2－6＝0. 依复数相等的充要条件得⎩⎨⎧x 2－y 2－x 2＋y 2－6＝0，2xy ＝0，解得⎩⎨⎧ x 2－x 2－6＝0，y ＝0或⎩⎨⎧y 2＋y 2＋6＝0，x ＝0(无解)，即⎩⎨⎧ (x 2－3)(x 2＋2)＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±3，y ＝0.故z ＝3或z ＝－3.当堂检测1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i【解析】因为z ＝1＋i ，所以zi ＋i·z ＝－i ＋1＋i ＋1＝2.【答案】C2．若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4D.45【解析】因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以已知等式为(3－4i)z ＝5，即z ＝53－4i ＝5(3＋4i)(3－4i)(3＋4i)＝5(3＋4i)25＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以复数z 的虚部为45，选择D.【答案】D3．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z ＝( )A ．1±3iB ．3±iC ．3＋iD ．3－i【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i. 【答案】B4．已知复数z ＝3＋i (1－3i)2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( )A.14B.12 C ．1D ．2【解析】∵z ＝3＋i (1－3i)2＝－3i 2＋i (1－3i)2＝i(1－3i)(1－3i)2＝i 1－3i＝i(1＋3i)4＝－34＋i 4，∴z ＝－34－i 4， ∴z ·z ＝14.【答案】A5．已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________.【解析】因为z ＝(3＋i)2＝8＋6i ，所以|z |＝82＋62＝10. 【答案】106．若z ＝－1－i2，则z 2 012＋z 102＝________.【解析】z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i.z 2 012＋z 102＝(－i)1 006＋(－i)51 ＝(－i)1 004·(－i)2＋(－i)48·(－i)3 ＝－1＋i. 【答案】－1＋i7．复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i，若z 2＋az ＜0，求纯虚数a .解：z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R ，m ≠0)，则 z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i ＜0， ∴⎩⎨⎧－m2＜0，m2－2＝0，∴m ＝4.∴a ＝4i.8．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.解：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由ω＝z2＋i ，得z ＝ω(2＋i)＝(x ＋y i)(2＋i)．依题意，得(1＋3i)z ＝(1＋3i)(x ＋y i)(2＋i) ＝(－x －7y )＋(7x －y )i ， ∴7x －y ＝0. ①又|ω|＝52，∴x 2＋y 2＝50. ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－7.∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i.。