第八章 小结与习题课

[ C ]
5. 在一自感线圈中通过的电流 I 随时间 t 的变化 规律如图 (a) 所示，若以 I 的正流向作为 的正 方向，则代表线圈内自感电动势 随时间 t 变化 规律的曲线应为图 (b) 中 (A)、(B)、(C)、(D)中 的哪一个？
I (a) o

t
(b ) o
(A)

t
o
( B)
小为
iBA
dB l R l dt
2 2
电动势的方向为由B指向A。
t

[ D ]
o
(C )

o
( D)
t
t
6、 在通有电流为 I = I0 cosωt 的长直载流导 线旁，放置一矩形回路，如图所示，求回路中的 感应电动势及导线与矩形回路间的互感系数。
解： B 0 I 2x d m B dS
I
x L
dx
v
BdS
o
a
b
x
0 I Ldx dΦm BdS 2x
解
(a<r<b)
R1 Q
R
I
I r
P
R2
l
S
dr
13. 在通有电流为 I = I0 sinωt 的长直载流导线旁，
放置一矩形线框，如图所示，且b/c=3。求(1) 直导线 与矩形线框间的互感系数；(2)线框中的感应电动势。
解(1)如图，穿过线框面积的磁通量为ACDE穿过的磁 通。
0 I B 2x dΦm B dS BS
答案：BScoswt, BSwsinwt, kS
9.有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相 同，半径分别 为 r1 和 r2 .管内充满均匀介质， 其磁导率分别为 1和 2．设r1:r2=1 : 2 , 1 : 2 = 2 : 1 当将两只螺线管串联在电路中通电稳定 后.其自感系数之比 L1:L2 与磁能之比 Wm1 :Wm2 分别为：
方向?
11. 一矩形截面螺线环，共N匝，如图所示，求它的 自感。 解
NI fm Bds cos B s 2r R NI fm R 2r hdr NIh R2 ln 2 R1 Nfm N 2h R2 L ln I 2 R1
2 1
dr
r
12： 求同轴电缆单位长度上的自感。
0 I 0 L b w sin(wt ) ln 2 a
思考：
问：下列几种情况互感是否变化？
O
1）线框平行直导线移动；
2）线框垂直于直导线移动；
C
3）线框绕 OC 轴转动；
4）直导线中电流变化.
练习作业：如图所示,长直导 线和矩形线圈共面, AB 边与 导线平行 a =1 cm, b=8 cm, l=30 cm. (1)若导线中的电流 i 在1s 内均匀地从10A降到零,则线 圈ABCD中的感应电动势的 大小和方向如何? (2)长直导线和线圈的互感系 M=? [ (ln2)=0.693]
b
14：半径为R的圆柱形体积内，充满磁感强度为 B的均匀 磁场，有一长为2l 的金属棒 AB放在磁场中， B 以恒定的 dB/dt减小，求金属棒两端的感应电动势。 解：由法拉第定律计算 设想一回路，如OABO，则该回路 的感应电动势大小为
dΦ d dB A i ( BS ) S dt dt dt 2 2 dB l R l dt 方向由楞次定律判断： dB/dt <0，则回路中的感应
[ C ]
10：长直螺线管绕有N匝线圈，通有电流 dI C（常量> 0 ） ，求感应电动势。 I且 dt L 解： B 0nI
s
m B dS BS
B I
S
dB d m N S i N dt dt 2 dI N 0S dI N0nS dt L dt
C
D
I c
O
x
A
dx
E
0 I Ldx 2x
L x
b
0 IL dx 0 IL ln 3 Φm 2 2 x c
3c
Φm 0 L M ln 3 I 2
C
D
I c
O
x
A
dx
E
L x
(2)
0 LI 0w ln 3 cos wt 2
dI i M dt
B
b
l
c
w
a
( A ) 0,Ua Uc Bwl / 2.
2
(B) 0,Ua Uc Bwl / 2.
2
(C) Bwl , Ua Uc Bwl / 2.
2
2
( D) Bwl , Ua Uc Bwl / 2.
2
2
B
b
l
c
w
a
[ B ]
3、载有电流的I长直导线附近，放一导体半 圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连 线与长直导线垂直．半圆环的半径为b，环 心O与导线相距a．设半圆环以速度 平行导 线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方 向以及MN两端的电压UM-UN． v
0 IL dx Φm 2 x a
b
0 IL b ln 2 a
Φm 0 L b M ln I 2 a
I
x L
dx
v
o
a
b
x
0 IL b 0 I 0 cos wt L b m ln ln 2 a 2 a
d m d 0 LI 0 coswt b ln i dt dt 2 a
解： （1）大环在O点产生的磁场
B2 (t )
0 I 2
2r2
因为
r2 >> r1
0 I 0
2r2
所以小环中通过的磁通量：
f1 B 2 (t ) r1
2
r12 sin wt
（2）小环中的感应电动势 2 0 I 0wr1 df1 1 coswt dt 2r2
i
B
a
C l
D
A
b
( 0 4 10 H/m)
7
(1) 距 i 为 x 处取一宽为 dx 的窄条，其 面积为 dS=ldx , dS上的
B 0i /(2x )
0 il dx df BdS 2x b 0il f a dx 2x
i
B
a
C l
dx
0il b ln 2 a
P
a
b

c

d

B

[
A ]
2.如图所示，直角三角形金属架 abc 放在均匀 磁场中，磁场 B 平行于ab 边，bc 的长度为 l．当金属框架绕 ab 边以匀角速度w 转动时， abc 回路中的感应电动势 和a、c 两点间的电 势差 Ua Uc 为：
(2)感生电动势
E感
三.自感互感
自感 互感
1
2
四.磁场能量
线圈磁场能量：
五、麦克斯韦电磁场方程组
S1
Ｌ
-
S2 + + + +
I
1.如图所示，导轨置于水平面内，磁场方向垂 直向上，导线 ab 和 cd 可以在导轨上自由滑 动.当 ab 在外力 F 作用下，向左运动时,下面 的描述那一个是正确的 ? (A) cd 也向左运动. (B) cd 内有电流流过，由 d 向 c . (C) cd 向右运动. (D)磁场对 ab 导线的作用力向左.
8、面积为S的平面线圈置于磁感应强度为B的 均匀磁场中，若线圈以匀角速度ω绕位于线圈 平面内且垂直于B方向的固定轴旋转，在时刻 t=0时B与线圈平面垂直。则任意时刻t时通过 线圈的磁通量 ，线圈中的感应电动 势 。若均匀磁场B是由通过电流I的 线圈所产生，且B=kI(k为常量），则旋转线圈 相对于产生磁场的线圈的最大互感系数 为 。
第八章 小结与习题课
一、两个定律 1.法拉第电磁感应定律
S
N
d i dt
2.楞次定律
ψ NΦm
感应电流所产生的磁场总是企图阻止或补偿 回路中磁通量的变化。
二.感应电动势
(1)动生电动势

a
b
v B
电动势方向为顺时针方向。
B均匀 O l B
由于磁场均匀增加，圆形磁场区域内、外E感 线为一系列同心圆；
R 由于构成回路的 OA和OB两段沿径 向，各点的涡旋电场垂直于段元， o 所以这两段上不产生感应电动势。 所以回路OABO中感应电动势就是 金属棒AB上的感应电动势，其大
x
MN
a b 0 Iv a b 0 I ln ( v B) d l v dx 2 ab 2x MN a b
负号表示
MN 的方向与x轴相反
0 Iv
I
O
MeN
ab ln 2 ab
v
M a-b dx N
x
方向N→M
( A )L1 : L2 1 : 1,Wm1 : Wm2 1 : 1. ( B)L1 : L2 1 : 2,Wm1 : Wm2 1 : 1. (C)L1 : L2 1 : 2,Wm1 : Wm2 1 : 2. ( D)L1 : L2 2 : 1,Wm1 : Wm2 2 : 1.
U M U N MN ab ln 2 a b
0 Iv
4.对于单匝线圈取自感系数的定义式为 L=fm/I , 当线圈的几何形状、大小及周围介质 分布不变，且无铁磁性物质时，若线圈中的电流 强度变小，则线圈的自感系数 L
（A）变大，与电流成反比关系。 （B）变小。 （C）不变。 （D）变大，但与电流不成反比关系。
e I M a b O N
解：动生电动势
MeN
( v B) d l
MN
B
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e b
引入一条辅助线MN，构成闭合回 路MeNM, 闭合回路总电动势
I M a
O
N x
总 MeN NM 0
MeN NM MN
I
O
v
M a-b dx N
O
A
D
X
b
df 0l b di ( ln ) dt 2 a dt
1.25 10 V
5
的方向为A B C D A
(2)
M /(di/dt)
1.25 10 H
7
7. 如图所示，一半径为r2圆环通有变化的电 流 I 2 I 0 sin wt ，里边有一半径为r1的导体 环，两环共面同心(r2 >> r1)，求(1)任意时刻 小环中的磁通量；(2)小环中的感应电动势的 大小？