函数值域的13种求法

函数值域十一种求法
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数
x 1
y =
的值域
解：∵0x ≠
∴0x 1≠
显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞
例2. 求函数x 3y -=的值域
解：∵0x ≥
3x 3,0x ≤-≤-∴
故函数的值域是：]3,[-∞
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数
]2,1[x ,5x 2x y 2
-∈+-=的值域 解：将函数配方得：
4)1x (y 2
+-= ∵]2,1[x -∈
由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)
例4. 求函数
22x 1x x 1y +++=
的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程
0x )1y (x )1y (2=-+-
（1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆
解得：23y 2
1≤
≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡23,21
例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 22
2=++-（1） ∵R x ∈
∴0y 8)1y (42
≥-+=∆
解得：21y 21+≤≤-
但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤
由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 22
2
=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出
的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤
0)x 2(x x y ≥-+=∴
21y ,0y min +==∴代入方程（1）
解得：
]
2,0[2
2
222x 41∈-+=
即当22222x 41-+=
时，
原函数的值域为：]21,0[+
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数6x 54
x 3++值域
解：由原函数式可得：
3y 5y 64x --=
则其反函数为：
3x 5y 64y --=
，其定义域为：53
x ≠
故所求函数的值域为：33
(,)(,)55
-∞⋃+∞
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数
1e 1e y x
x +-=的值域 解：由原函数式可得：
1y 1y e x -+=
∵0e x
>
∴01y 1
y >-+
解得：1y 1<<-
故所求函数的值域为)1,1(-
例8. 求函数
3x sin x
cos y -=
的值域 解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：
y 3)x (x sin 1y 2=β++
即
1y y
3)x (x sin 2+=
β+ ∵R x ∈
∴]1,1[)x (x sin -∈β+
即1
1y y 312
≤+≤
-
解得：
42y 42≤≤-
故函数的值域为⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡-42,42
6. 函数单调性法
例9. 求函数)10x 2(1x log 2
y 35
x ≤≤-+=-的值域
解：令1x log y ,2
y 325
x 1-==-
则21y ,y 在[2，10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2，10]上是增函数 当x=2时，
81
12log 2y 33min =
-+=-
当x=10时，339log 2y 35
max =+=
故所求函数的值域为：⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡33,81
例10. 求函数1x 1x y --+=的值域
解：原函数可化为：
1x 1x 2y -++=
令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数 所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数
所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值2
22
=
显然0y >，故原函数的值域为]2,0(
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数1x x y -+=的值域
解：令t 1x =-，)0t (≥
则1t x 2
+=
∵
43
)21t (1t t y 22+
+=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知 当0t =时，1y min =
当0t →时，+∞→y 故函数的值域为),1[+∞
例12. 求函数2
)1x (12x y +-++=的值域
解：因0)1x (12
≥+- 即1)1x (2
≤+
故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+
∴
1cos sin cos 11cos y 2
+β+β=β-++β= 1
)4sin(2+π+β=
∵
π
≤π+β≤π≤β≤45
40,0 2
11)4sin(201)4
sin(22+≤+π
+β≤∴≤π
+β≤-
∴
故所求函数的值域为]21,0[+
例13. 求函数
1x 2x x x y 24
3++-=的值域 解：原函数可变形为：
22
2
x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯= 可令β=tg x ，则有β=+-β=+22
22cos x 1x 1,2sin x 1x 2
β
-=β⨯β-=∴4sin 41
2cos 2sin 21y 当
82k π-π=β时，41y max =
当
82k π+π=β时，41y min -
= 而此时βtan 有意义。

故所求函数的值域为⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域 解：)1x )(cos 1x (sin y ++=
1x cos x sin x cos x sin +++=
令t x cos x sin =+，则)
1t (21
x cos x sin 2-=
2
2)1t (21
1t )1t (21y +=++-=
由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+= 且
⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 可得：2
t 22
≤≤
∴当2t =时，
2
23y max +=
，当
22t =时，22
43y += 故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡++
223
,2243。

例15. 求函数2
x 54x y -++=的值域
解：由0x 52
≥-，可得5|x |≤
故可令],0[,cos 5x π∈ββ=
4
)4sin(10sin 54cos 5y +π
+β=β++β=
∵π≤β≤0
4544π≤π+β≤π∴
当4/π=β时，104y max +=
当π=β时，54y min -=
故所求函数的值域为：]104,54[+-
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例16. 求函数2
2)8x ()2x (y ++-=的值域
解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。

由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-= 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞
例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 2
2++++-=的值域
解：原函数可变形为：
2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=
上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和，
由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，43)12()23(|AB |y 2
2min =+++==，
故所求函数的值域为],43[+∞
例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 2
2++-+-=的值域
解：将函数变形为：2
222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的
距离之差。

即：|BP ||AP |y -= 由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成'A B P ∆，根据三角形两边之差小于第三边，有
26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-
即：26y 26<<-
（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26|AB |||BP ||AP ||==- 综上所述，可知函数的值域为：]26,26(-
注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。

如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），)1,2(--，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），)1,2(-，在x 轴的同侧。

9. 不等式法
利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3
≥++≥+)R c ,b ,a (+
∈，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19. 求函数
4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 2
2-+++
=的值域
解：原函数变形为：
5
2x cot x tan 3x cot x tan 3x sec x ces 1x
cos 1
x sin 1)x cos x (sin y 22322222222=+≥++=++=+
++=
当且仅当x cot x tan =
即当
4k x π
±
π=时)z k (∈，等号成立 故原函数的值域为：),5[+∞
例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域
解：x cos x sin x sin 4y =
x cos x sin 42=
27
64]3/)x sin 22x sin x [(sin 8)x sin 22(x sin x sin 8x cos x sin 16y 322222224=-++≤-==
当且仅当x sin 22x sin 2
2-=，即当
32
x sin 2=
时，等号成立。

由
2764y 2≤
可得：
93
8y 938≤≤- 故原函数的值域为：⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡-938,938
10. 一一映射法
原理：因为
)0c (d cx b
ax y ≠++=
在定义域上x 与y 是一一对应的。

故两个变量中，
若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例21. 求函数
1x 2x
31y +-=
的值域
解：∵定义域为⎭⎬
⎫⎩
⎨⎧
->-<21x 21x |x 或 由
1x 2x 31y +-=得3y 2y 1x +-= 故
213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -
<+-= 解得
23y 23y -
>-<或 故函数的值域为⎪
⎭⎫
⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-∞-,2323,
11. 多种方法综合运用
例22. 求函数
3x 2
x y ++=
的值域
解：令)0t (2x t ≥+=，则1t 3x 2
+=+
（1）当0t >时，2
1
t 1t 11t t y 2≤+=+=
，当且仅当t=1，即1x -=时取等号，所
以
21y 0≤
<
（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：⎥
⎦⎤⎢⎣⎡21,0
注：先换元，后用不等式法
例23. 求函数42432x x 21x x x 2x 1y ++++-+=
的值域
解：423
4
242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-= 22
22
x 1x x 1x 1++⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-= 令2tan x β=，则β=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-22
22
cos x 1x 1
β=+sin 21
x 1x 2
1
sin 21
sin sin 21cos y 22+β+β-=β+β=∴ 161741sin 2+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-β-= ∴当
41
sin =β时，1617y max =
当1sin -=β时，2y min -=
此时
2tan
β都存在，故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-1617,2 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用βsin 的有界性。

12.部分分式法
求2
1
+-=
x x y 的值域。

解：（利用部分分式法）由12
3
1232≠+-=+-+=x x x y ，可得值域{}1≠y y
小结：已知分式函数)0(≠++=c d
cx b
ax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）
内，值域为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≠
c a y y ； 如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为
)(bc ad d
cx c ad
b c a y ≠+-
+
=，用复合函数法来求值域。

13．数形结合法
例1、 求函数52++-=x x y 的值域。

结合图形不难得到：),7[+∞∈y 。

例16. 求函数2
2)8x ()2x (y ++-=的值域。

解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞ 1、 求13+--=x x y 的值域
解法一：（图象法）可化为 ⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4
x x x x y
观察得值域{}
44≤≤-y y。