人教A版高中数学必修三笔记(全册)

第一章 算法初步（略）
第二章 统计
2.1 随机抽样
1、总体和样本
（1）总体：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体． （2）个体：把每个研究对象叫做个体．
（3）总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量．
（4）样本容量：为了研究总体x 的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：1x ，2x ，
3x ， ……，n x 研究，我们称它为样本．．．其中个体的个数称为样本容量．．．．
. 2、简单随机抽样
（1）定义：一般地，设一个总体包含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本)(N n ≤，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样.
（2）特点：
① 被抽取样本的总体个数N 是有限的；
② 样本是从总体中逐个抽取的； ③ 是一种不放回抽样；
④ 每个样本被抽中的可能性相同（概率相等）；
⑤ 总体单位之间差异程度较小和数目较少时，采用简单随机抽样. （3）常用的方法⎩⎨
⎧.
②；①随机数法抽签法
3、系统抽样（等距抽样或机械抽样）：
（1）定义：当总体中的个体较多时，可将总体分为均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样叫做系统抽样.
（2）步骤：
① 编号：先将总体的N 个个体编号；
② 分段：确定分段间隔k ，对编号进行分段，当
n N 是整数时，取n N k =（当n
N 不是整数时，要先剔除零头）；
③ 确定第1个编号：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l ；
④ 成样：按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号（k l +），再加k 得到第3个个体编号（k l 2+），依次进行下去，直到获取整个样本．
4、分层抽样：
（1）定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法就叫做分层抽样．
（2）步骤：
① 分层：根据题意，将总体分成互不交叉的层；
② 定抽样比：根据总体中的个体数N 和样本容量n 计算抽样比N
n k =
； ③ 定各层抽取的数目：确定第i 层应该抽取的个体数目k N n i i ⨯=； ④ 抽取个体：在各层中随机抽取该层确定的个体数目.
5、三种抽样方法的异同点：
2.2 用样本估计总体
1、频率、样本容量、频数的关系
2、作频率分布直方图的步骤
(1) 求极差，即计算最大值与最小值的差； (2) 决定组距与组数； (3) 将数据分组；
(4) 计算各小组的频率，列频率分布表； (5) 画频率分布直方图.
3、众数、中位数、平均数
4、平均数、方差、标准差
（1）平均数：n
x x x x x n
++++=
321
（2）方 差：n
x x x x x x x x s n 2
2322212
)()()()(-++-+-+-=
（3）标准差：[]
22322212)()()()(1
x x x x x x x x n
s s n -++-+-+-=
=
. 5、从频率分布直方图中估计众数、平均数、中位数
（1）众 数：最高矩形所在组的组中值即为众数的估计值. （2）平均数：每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. （3）中位数：中位数左边和右边直方图的面积相等.
2.3 变量间的相关关系
1、散点图
将样本中的n 个数据点),(11y x ，),(22y x ，…，),(n n y x 描在直角坐标系中，所得到的图形叫做散点图.
2、正相关与负相关
（1）正相关：从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内. （2）负相关：从散点图上看，点分布在从左上角到右下角的区域内.
3、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
【重要结论】散点可能在回归直线上，也可能不再回归直线上，但样本点的中心),(y x 必在回归直线上.（其中x 、y 分别为变量x 和y 的平均数.）
4、最小二乘法
（1）定义：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．．．．．．．．．．．．．．．
的方法叫做最小二乘法． （2）求法：设线性回归方程为a x b y
ˆˆˆ+=，则 ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧
-=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ,
)())((ˆ1
2
21
1
2
1x b y a
x n x y
x n y x x x y y x x b n
i i n
i i
i n i i n
i i i
例1：
根据上表得到回归直线方程为a x y
ˆ7.0ˆ+=，据此可预测，当x =15时，y 的值为（ ） A . 7.8 B . 8.2 C . 9.6 D . 8.5
例2：为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天
根据上表得到回归直线方程为9.5467.0ˆ+=x y
，由于表中一个数据模糊不清，请你推断该数据的值为（ ）
A . 67
B . 68
C . 68.3
D . 71 例3：【2014全国2卷理18】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
∑∑==---=n
i i
n
i i
i
x x y y
x x b
1
2
1
)
()
)((ˆ，x b y a
ˆˆ-=. 解：（1）方法一（利用第一个b
ˆ的公式）：根据题意，列表如下：
所以，∑∑==---=n
i i
i i
i
x x y y
x x b
1
2
1
)
()
)((ˆ5.028
14==
，x b y a
ˆˆ-=3.245.03.4=⨯-=. 所以，线性回归方程为3.25.0ˆ+=x y
. 方法二（利用第二个b
ˆ的公式）：根据题意，列表如下： 所以，∑∑==--=n
i i
i i
i x n x
y
x n y
x b
1
2
2
1
ˆ5.04
71403.4474.1342
=⨯-⨯⨯-=，x b y a ˆˆ-=3.245.03.4=⨯-=. 所以，线性回归方程为3.25.0ˆ+=x y
.
（2）由于线性回归方程3.25.0ˆ+=x y
是增函数，所以，2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加.
2015年对应的x =9，此时8.63.295.0ˆ=+⨯=y
，即该地区2015年农村居民家庭人均纯收
入约为6.8千元.
第三章 概率
3.1 随机事件的概率
1、基本概念：
（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；
（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件叫相对于条件S 的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例n
n A f A
n =
)(为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率)(A f n 稳定在某个常数上，把这个常数记作)(A P ，称为事件A 的概率.
（6）频率与概率的关系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
2、事件的关系与运算
【注】：互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件.
3、概率的基本性质
（1）任何事件的概率0≤P (A )≤1；
（2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；
（3）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P (A ∪B )= P (A )+ P (B )；
（4）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P (A ∪B )=1，P (A )=1—P (B ).
3.2 古典概型 3.3 几何概型
1、基本事件
（1）概念：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不可再分的最简单的随机事件，在一次试验中只能有一个基本事件发生.
（2）特点 ⎩⎨⎧.基本事件的和件）都可以表示成几个任何事件（除不可能事
②斥的；任何两个基本事件是互
①
2、古典概型
（1）定义：我们将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型． ① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ② 每个基本事件出现的可能性都相等． （2）古典概型概率公式 基本事件的总数
包含的基本事件的个数
事件A A P =
)(.
3、几何概型
（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
（2）特点 ⎩
⎨⎧.事件发生的概率都相等等可能性，即每个基本②限个；结果（基本事件）有无无限性，即每次试验的
①
（3）计算公式: 积）
的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）
的区域长度（面积或体构成事件A A P =
)(.。